2017-2018学年北京市海淀区九上期中数学试卷

2017-2018学年北京市海淀区九上期中数学试卷一、选择题（共8小题；共40分）1. 一元二次方程3x2−6x−1=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )A. 3，6，1B. 3，6，−1C. 3，−6，1D. 3，−6，−12. 把抛物线y=x2向上平移1个单位长度得到的抛物线的表达式为( )A. y=x2+1B. y=x2−1C. y=−x2+1D. y=−x2−13. 如图，A，B，C是⊙O上的三个点．若∠C=35∘，则∠AOB的大小为( )A. 35∘B. 55∘C. 65∘D. 70∘4. 下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是( )A. B.C. D.5. 用配方法解方程x2−4x+2=0，下列配方正确的是( )A. (x−2)2=2B. (x+2)2=2C. (x−2)2=−2D. (x−2)2=66. 风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n∘后能与原来的图案重合，那么n的值可能是( )A. 45B. 60C. 90D. 1207. 二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=mx+n的图象如图所示，则满足ax2+bx+c>mx+n的x的取值范围是( )A. −3<x<0B. x<−3或x>0C. x<−3或x>1D. 0<x<38. 如图1，动点P从格点A出发，在网格平面内运动，设点P走过的路程为s，点P到直线l的距离为d．已知d与s的关系如图2所示．下列选项中，可能是点P的运动路线的是( )A. B.C. D.二、填空题（共8小题；共40分）9. 点P(−1,2)关于原点的对称点的坐标为．10. 写出一个图象开口向上，过点(0,0)的二次函数的表达式：．11. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD的延长线上一点．若∠B=110∘，则∠ADE的大小为．12. 抛物线y=x2−x−1与x轴的公共点的个数是．13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为(0,2)，(−1,0)，将线段AB绕点O顺时针旋转，若点A的对应点Aʹ的坐标为(2,0)，则点B的对应点Bʹ的坐标为．14. 已知抛物线y=x2+2x经过点(−4,y1)，(1,y2)，则y1y2（填“>”，“=”，或“<”）．15. 如图，⊙O的半径OA与弦BC交于点D，若OD=3，AD=2，BD=CD，则BC的长为．16. 下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程．已知：△ABC．求作：BC边上的高AD．作法：如图，AC的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；（1）分别以点A和点C为圆心，大于12（2）作直线PQ，交AC于点O；（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O，与CB的延长线交于点D，连接AD．线段AD即为所作的高．请回答：该尺规作图的依据是．三、解答题（共12小题；共156分）17. 解方程：x2−4x+3=0．18. 如图，等边三角形ABC的边长为3，D是线段BC上的点，CD=2，以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．求CE的长．19. 已知m是方程x2−3x+1=0的一个根，求(m−3)2+(m+2)(m−2)的值．20. 如图，在⊙O中，AB=CD．求证：∠B=∠C．21. 如图，ABCD是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG=2BE．设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米．（1）y与x之间的函数关系式为（不需写自变量的取值范围）；（2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，请问此时BE的长为多少米?22. 关于x的一元二次方程x2+2(m−1)x+m2−1=0有两个不相等的实数根x=x1，x=x2．（1）求实数m的取值范围；（2）是否存在实数m，使得x1x2=0成立?如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由．23. 古代丝绸之路上的花剌子模地区曾经诞生过一位伟大的数学家——“代数学之父”阿尔·花拉子米．在研究一元二次方程解法的过程中，他觉得“有必要用几何学方式来证明曾用数字解释过的问题的正确性”．以x2+10x=39为例，花拉子米的几何解法如下：如图，在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为x和5的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补成一个大正方形．通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为(x+ )2=39+ ，从而得到此方程的正根是．24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(1,0)，点P的横坐标为2，将点A绕点P旋转，使它的对应点B恰好落在x轴上（不与A点重合）；再将点B绕点O逆时针旋转90∘得到点C．（1）直接写出点B和点C的坐标；（2）求经过A，B，C三点的抛物线的表达式．25. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点O作OD⊥BC交BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB．（1）求证：E为OD的中点；（2）若CB=6，求四边形CAOD的面积．26. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:y=x2−4x+4和直线l:y=kx−2k(k>0)．（1）抛物线C的顶点D的坐标为；（2）请判断点D是否在直线l上，并说明理由；（3）记函数 y ={x 2−4x +4,x ≤2kx −2k,x >2的图象为 G ，M (0,t )，过点 M 垂直于 y 轴的直线与图象 G 交于 P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)．当 1<t <3 时，若存在 t 使得 x 1+x 2=4 成立，结合图象，求 k 的取值范围．27. 对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P ，给出如下定义：记点 P 到 x 轴的距离为 d 1，到 y 轴的距离为 d 2，若 d 1≤d 2，则称 d 1 为点 P 的“引力值”；若 d 1>d 2，则称 d 2 为点 P 的“引力值”．特别地，若点 P 在坐标轴上，则点 P 的“引力值”为 0．例如，P (−2,3) 到 x 轴的距离为 3，到 y 轴的距离为 2，因为 2<3，所以点 P 的“引力值”为 2．（1）① A (1,−4) 的“引力值”为 ；②若 B (a,3) 的“引力值”为 2，则 a 的值为 ；（2）若点 C 在直线 y =−2x +4 上，且点 C 的“引力值”为 2，求点 C 的坐标；（3）已知 M 是以 D (3,4) 为圆心，半径为 2 的圆上的一个动点，那么点 M 的“引力值”d 的取值范围是 ．28. 在 Rt △ABC 中，斜边 AC 的中点 M 关于 BC 的对称点为点 O ，将 △ABC 绕点 O 顺时针旋转至△DCE ，连接 BD ，BE ，如图所示．（1）在 ①∠BOE ，②∠ACD ，③∠COE 中，等于旋转角的是 （填出满足条件的的角的序号）；（2）若 ∠A =α，求 ∠BEC 的大小（用含 α 的式子表示）；（3）N 是 BD 的中点，连接 MN ，用等式表示线段 MN 与 BE 之间的数量关系，并证明．答案第一部分1. D2. A3. D4. B5. A6. D7. A8. D第二部分9. (1,−2)10. 答案不唯一，例如y=x211. 110∘12. 213. (0,1)14. >15. 816. ①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②直径所对的圆周角是直角；③两点确定一条直线第三部分17.(x−1)⋅(x−3)=0,所以x−1=0或x−3=0.所以x1=1,x2=3.18. 如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠BAC=60∘．∴∠1+∠3=60∘．∵△ADE是等边三角形，∴AD=AE，∠DAE=60∘．∴∠2+∠3=60∘．∴∠1=∠2．在△ABD和△ACE中{AB=AC,∠1=∠2, AD=AE.∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴CE=BD．∵BC=3，CD=2，∴BD=BC−CD=1．∴CE=1．19. ∵m是方程x2−3x+1=0的一个根，∴m2−3m+1=0．∴m2−3m=−1．∴原式=m2−6m+9+m2−4=2(m2−3m)+5=3.20. ∵在⊙O中，AB=CD，∴∠AOB=∠COD．∵OA=OB，OC=OD，∴在△AOB中，∠B=90∘−12∠AOB，在△COD中，∠C=90∘−12∠COD．∴∠B=∠C．21. （1）y=−2x2+4x+16（或y=(4−x)(4+2x)）（2）由题意，原正方形苗圃的面积为16平方米，得−2x2+4x+16=16.解得：x1=2,x2=0(不合题意,舍去),答：此时BE的长为2米．22. （1）因为方程x2+2(m−1)x+m2−1=0有两个不相等的实数根，所以Δ=4(m−1)2−4(m2−1)=−8m+8>0，所以m<1．（2）存在实数m使得x1x2=0．x1x2=0，即是说x=0是原方程的一个根，则m2−1=0．解得：m=−1或m=1．当 m =1 时，方程为 x 2=0，有两个相等的实数根，与题意不符，舍去． 所以 m =−1．23. 5；25；3【解析】通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为 (x +5)2=39+25， 从而得到此方程的正根是 3．24. （1） 点 B 的坐标为 (3,0)，点 C 的坐标为 (0,3)．（2） 方法 1：设抛物线的解析式为 y =ax 2+bx +c ．因为它经过 A (1,0)，B (3,0)，C (0,3)，则 {a +b +c =0,9a +3b +c =0,c =3, 解得 {a =1,b =−4,c =3.所以经过 A ，B ，C 三点的抛物线的表达式为 y =x 2−4x +3．【解析】方法 2：抛物线经过 A (1,0)，B (3,0)，故可设其表达式为 y =a (x −1)(x −3)(a ≠0)． 因为 C (0,3) 在抛物线上，所以 a (0−1)(0−3)=3，得 a =1．所以经过 A ，B ，C 三点的抛物线的表达式为 y =x 2−4x +3．方法 3：抛物线经过 A (1,0)，B (3,0)，则其对称轴为直线 x =2．设抛物线的表达式为 y =a (x −2)2+k ．将 A (1,0)，C (0,3) 代入，得 {a +k =0,4a +k =3, 解得 {a =1,k =−1.所以经过 A ，B ，C 三点的抛物线的表达式为 y =x 2−4x +3．25. （1） ∵ 在 ⊙O 中，OD ⊥BC 于点 E ，∴CE =BE ，∵CD ∥AB ，∴∠DCE =∠B ，在 △DCE 和 △OBE 中，{∠DCE =∠B,CE =BE,∠CED =∠BEO.∴△DCE ≌△OBE ，∴DE =OE ，∴E 为 OD 的中点．（2） 连接 OC ，如图．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90∘，∵OD⊥BC，∴∠CED=90∘=∠ACB，∴AC∥OD，∵CD∥AB，∴四边形CAOD是平行四边形，∵E是OD的中点，CE⊥OD，∴OC=CD，∵OC=OD，∴OC=OD=CD，∴△OCD是等边三角形，∴∠D=60∘，∴∠DCE=90∘−∠D=30∘，∴在Rt△CDE中，CD=2DE，∵BC=6，∴CE=BE=3，∵CE2+DE2=CD2=4DE2，∴DE=√3，CD=2√3，∴OD=CD=2√3，=OD⋅CE=6√3．∴S四边形CAOD26. （1）(2,0)（2）点D在直线l上，理由如下：直线l的表达式为y=kx−2k(k>0)，∵当x=2时，y=2k−2k=0，∴D(2,0)在直线l上．（3）如图，不妨设点P在点Q左侧．由题意知：要使得x1+x2=4成立，即是要求点P与点Q关于直线x=2对称．又∵函数y=x2−4x+4的图象关于直线x=2对称，∴当1<t<3时，若存在t使得x1+x2=4成立，即要求点Q在y=x2−4x+4(x>2,1<y<3)的图象上．根据图象，临界位置为射线y=kx−2k(k>0,x>2)过y=x2−4x+4(x>2)与y=1的交点A(3,1)处，以及射线y=kx−2k(k>0,x>2)过y=x2−4x+4(x>2)与y=3的交点B(2+√3,3)处．此时k=1以及k=√3，故k的取值范围是1<k<√3．27. （1）1；±2（2）设点C的坐标为(x,y)，由于点C的“引力值”为2，则∣x∣=2或∣y∣=2，即x=±2或y=±2，当x=2时，y=−2x+4=0，此时点C的“引力值”为0，舍去；当x=−2时，y=−2x+4=8，此时C点坐标为(−2,8)；当y=2时，−2x+4=2，解得x=1，此时点C的“引力值”为1，舍去，当y=−2时，−2x+4=−2，x=3，此时C点坐标为(3,−2)；综上所述，点C的坐标为(−2,8)或(3,−2)．（3）1≤d≤7+√7228. （1）③（2）连接BM，OB，OC，OE，如图1，∵Rt△ABC中，∠ABC=90∘，M为AC的中点，∴MA=MB=MC=12AC．第11页（共13 页）∴∠A=∠ABM．∵∠A=α，∴∠BMC=∠A+∠ABM=2α．∵点M和点O关于直线BC对称，∴∠BOC=∠BMC=2α．∵OC=OB=OE，∴点C，B，E在以O为圆心，OB为半径的圆上．∠BOC=α．∴∠BEC=12BE，证明如下：（3）MN=12连接BM并延长到点F，使BM=MF，连接FD，如图2，∵∠A=α，∠ABC=90∘，∴∠ACB=90∘−∠A=90∘−α．∴∠DEC=∠ACB=90∘−α．∵∠BEC=α，∴∠BED=∠BEC+∠DEC=90∘．∵BC=CE，∴∠CBE=∠CEB=α．∵MB=MC，∴∠MBC=∠ACB=90∘−α．∴∠MBE=∠MBC+∠CBE=90∘．∴∠MBE+∠BED=180∘．∴BF∥DE．∵BF=2BM，AC=2BM，∴BF=AC．∵AC=DE，∴BF=DE．∴四边形BFDE是平行四边形．∴DF=BE．∵BM=MF，BN=ND，DF．∴MN=12第12页（共13 页）BE．∴MN=12第13页（共13 页）。