2012高考数学(理)专题练习：二十六 分类讨论思想

高考专题训练二十六 分类讨论思想班级_______ 姓名________时间：45分钟 分值：75分 总得分_______一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．1．已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎨⎧a n 2， 当a n 为偶数时，3a n ＋1， 当a n 为奇数时.)若a 6＝1，则m 所有可能的取值为( )A ．4或5B ．4或32C ．5或32D ．4,5或32解析：若a 5为偶数，则a 6＝a 52＝1，即a 5＝2.若a 4为偶数，则a 5＝a 42＝2，∴a 4＝4；若a 4为奇数，则有a 4＝13(舍)．[来源:学。

科。

网]若a 3为偶数，则有a 3＝8；若a 3为奇数，则a 3＝1. 若a 2为偶数，则a 2＝16或2；若a 2为奇数，则a 2＝0(舍)或a 2＝73(舍)．若a 1为偶数，则a 1＝32或4； 若a 1为奇数，有a 1＝5或a 1＝13(舍)．若a 5为奇数，有1＝3a 5＋1；所以a 5＝0，不成立． 综上可知a 1＝4或5或32. 答案：D点评：本题考查了分类讨论的应用，要注意数列中的条件是a n 为奇数或偶数，而不是n 为奇数或偶数．2．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－3,2]上的最大值为4，则a 等于( )A ．－3B ．－38C ．3 D.38或－3解析：当a <0时，在x ∈[－3,2]上，当x ＝－1时取得最大值，得a ＝－3；当a >0时，在x ∈[－3,2]上，当x ＝2时取得最大值，得a ＝38.答案：D3．对一切实数，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[－2，＋∞)C ．[－2,2]D ．[0，＋∞)解析：本题是不等式恒成立问题，可以构造函数，把函数转化为y ＝x ＋ax 型，通过求解函数的最值得到结论．由不等式x 2＋a |x |＋1≥0对一切实数恒成立．①当x ＝0时，则1≥0，显然成立；②当x ≠0时，可得不等式a ≥－|x |－1|x |对x ≠0的一切实数成立．令f (x )＝－|x |－1|x |＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |≤－2.当且仅当|x |＝1时，“＝”成立． ∴f (x )max ＝－2，故a ≥f (x )max ＝－2. 答案：B [来源:学科网]4．0<b <1＋a ，若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中的整数恰有3个，则( )A ．－1<a <0B ．0<a <1C ．1<a <3D ．3<a <6解析：(x －b )2－(ax )2>0，(x －b －ax )(x －b ＋ax )>0. 即[(1－a )x －b ][(1＋a )x －b ]>0. ①令x 1＝b 1－a ，x 2＝b1＋a.∵0<b <1＋a ，则0<b1＋a<1，即0<x 2<1.当1－a >0时，若0<a <1，则不等式①的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，b 1＋a ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－a ，＋∞，不符合题意． 若－1<a <0，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，b 1－a ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1＋a ，＋∞，不符合题意．[来源:学科网ZXXK]当1－a <0时，即a >1时，需x 1＝b1－a <－2，a ＋1>b >－2(1－a )，∴a <3.综上，1<a <3.故选C. 答案：C5．已知a ＝(－1，－2)，b ＝(1，λ)．若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞) D ．(2，＋∞)解析：∵〈a ，b 〉为钝角，∴a ·b <0，即有λ>－12.又当λ＝2时，a与b 反向．故选C.答案：C6．对任意两实数a ，b 定义运算“*”如下，a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )，b (a >b )，)则函数f (x )＝log 12(3x －2)*log 2x 的值域为( )A ．(－∞，0]B ．[log 223，0]C ．[log 223，＋∞)D ．R解析：根据题目给出的情境，得f (x )＝log 12(3x －2)*log 2x ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫13x －2*log 2x ＝⎩⎨⎧log 213x －2 (x ≥1)，log 2x (0<x <1).)由于y ＝log 2x 的图象在定义域上为增函数，可得f (x )的值域为(－∞，0]．故选A.答案：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．7．若函数f (x )＝4x ＋a ·2x ＋a ＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，则实数a 的取值范围为________．解析：设2x ＝t (t >0)，则函数可化为g (t )＝t 2＋at ＋a ＋1，t ∈(0，＋∞)，函数f (x )在(－∞，＋∞)上存在零点，等价于函数g (t )在(0，＋∞)上有零点．(1)当函数g (t )在(0，＋∞)上存在两个零点时，实数a 应满足[来源:]⎩⎨⎧Δ＝a 2－4(a ＋1)≥0，－a2>0，g (0)＝a ＋1>0，解得－1<a ≤2－2 2.(2)当函数g (t )在(0，＋∞)上存在一个零点，另一个零点在(－∞，0)时，实数a 应满足g (0)＝a ＋1<0，解得a <－1.(3)当函数g (t )的一个零点是0时，g (0)＝a ＋1，a ＝－1，此时可求得函数g (t )的另一个零点是1，符合题目要求．综合(1)(2)(3)知a 的取值范围是a ≤2－2 2.答案：a ≤2－2 28．连掷两次骰子得到的点数为m 和n ，记向量a ＝(m ，n )，与向量b ＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈(0，π2]的概率是________．解析：∵m >0，n >0，∴a ＝(m ，n )与b ＝(1，－1)不可能同向． ∴夹角θ≠0.∴θ∈(0，π2]⇔a ·b ≥0，∴m ≥n .当m ＝6时，n ＝6,5,4,3,2,1； 当m ＝5时，n ＝5,4,3,2,1； 当m ＝4时，n ＝4,3,2,1； 当m ＝3时，n ＝3,2,1； 当m ＝2时，n ＝2,1； 当m ＝1时，n ＝1；∴概率是6＋5＋4＋3＋2＋16×6＝712.答案：712[来源:学|科|网Z|X|X|K]9．当点M (x ，y )在如图所示的△ABC 内(含边界)运动时，目标函数z ＝kx ＋y 取得最大值的一个最优解为(1,2)．则实数k 的取值范围是________．解析：如图，延长BC 交y 轴于点D ，目标函数z ＝kx ＋y 中z 的几何意义是直线kx ＋y －z ＝0在y 轴上的截距，由题意得当此直线经过点C (1,2)时，z 取得最大值，显然此时直线kx ＋y －z ＝0与y 轴的交点应该在点A 和点D 之间，而k AC ＝2－11－0＝1，k BD ＝k BC ＝2－01－3＝－1，直线kx ＋y －z ＝0的斜率为－k ，所以－1≤－k ≤1，解得k ∈[－1,1]．答案：[－1,1]10．设F 1、F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|值为________．解析：若∠PF 2F 1＝90°， 则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2. ∵|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝2 5. 解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43.∴|PF 1||PF 2|＝72.若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2. 解得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2.∴|PF 1||PF 2| 2.综上，|PF 1||PF 2|＝72或2.答案：72或2三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．(12分)已知a >0，且a ≠1，数列{a n }的前n 项和为S n ，它满足条件a n －1S n ＝1－1a.数列{b n }中，b n ＝a n ·lg a n .(1)求数列{b n }的前n 项和T n ；(2)若对一切n ∈N *，都有b n <b n ＋1，求a 的取值范围．分析：(1)本题从a n －1S n ＝1－1a可以得出S n ，进而由a n 和S n 的关系a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)，S n －S n －1 (n ≥2).)可求出数列{a n }的通项，也就求出了{b n }的通项公式．(2)应注意分a >1和0<a <1讨论．解：(1)a n －1S n ＝1－1a ，∴S n ＝a (a n －1)a －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝a (a 1－1)a －1＝a ；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a (a n －1)a －1－a (a n －1－1)a －1＝a n.∴a n ＝a n (n ∈N *)．此时，b n ＝a n ·lg a n ＝n ·a n lg a . ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝lg a (a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n )．设u n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ，∴(1－a )u n ＝a ＋a 2＋a 3＋…＋a n －na n ＋1＝a (a n－1)a －1－na n ＋1.∴u n ＝na n ＋1a －1－a (a n －1)(a －1)2. ∴T n ＝lg a [n ·a n ＋1a －1－a (a n －1)(a －1)2]． (2)由b n <b n ＋1⇒na n lg a <(n ＋1)a n ＋1lg a . ①当a >1时，由lg a >0，可得a >n n ＋1.∵n n ＋1<1(n ∈N *)，a >1，∴a >n n ＋1对一切n ∈N *都成立，此时a 的范围为a >1.②当0<a <1时，由lg a <0可得n >(n ＋1)a ，即a <n n ＋1，即a <⎝⎛⎭⎪⎫n n ＋1min .∵n n ＋1≥12，∴a <12时，对一切n ∈N *，a <n n ＋1都成立，此时，a的范围为0<a <12.由①②知：对一切n ∈N *，都有b n <b n ＋1的a 的范围是0<a <12或a >1.12．(13分)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)上两点．已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1b ，y 1a ，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2b ，y 2a ，若m ·n ＝0且椭圆的离心率e ＝32，短轴长为2，O 为坐标原点．(1)求椭圆的方程；(2)若直线AB 过椭圆的焦点F (0，c )(c 为半焦距)，求直线AB 的斜率k ；(3)试问△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．分析：(1)由e ＝c a ＝32及b ＝1可求a .(2)设出AB 的直线方程，代入椭圆方程，结合根与系数的关系及条件m ·n ＝0，解出k 值．(3)应分k AB 不存在及k AB 存在两种情况讨论求解．解：(1)∵2b ＝2，∴b ＝1，∴e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32.∴a ＝2，c ＝ 3.椭圆的方程为y 24＋x 2＝1.(2)由题意，设AB 的方程为y ＝kx ＋3，[来源:学科网ZXXK][来源:学#科#网]由⎩⎨⎧y ＝kx ＋3，y 24x 2＝1，整理得(k 2＋4)x 2＋23kx －1＝0.∴x 1＋x 2＝－23k k 2＋4，x 1x 2＝－1k 2＋4由已知m ·n ＝0得：x 1x 2b 2＋y 1y 2a 2＝x 1x 2＋14(kx 1＋3)(kx 2＋3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋k 24x 1x 2＋34k (x 1＋x 2)＋34＝k 2＋44⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＋4＋34k ·－23k k 2＋4＋34＝0.解得k ＝±2. (3)①当直线AB 斜率不存在时，即x 1＝x 2，y 1＝－y 2，由m ·n ＝0得x 21－y 214＝0⇒y 21＝4x 21. 又A (x 1，y 1)在椭圆上，所以x 21＋4x 214＝1，[来源:学&科&网Z&X&X&K]∴|x 1|＝22，|y 1|＝2，S ＝12|x 1||y 1－y 2|＝1＝12|x 1|·2|y 1|＝1，所以三角形面积为定值．②当直线AB 斜率存在时，设AB 的方程为y ＝kx ＋b ，代入y 24＋x 2＝1，得：(k 2＋4)x 2＋2kbx ＋b 2－4＝0.所以x 1＋x 2＝－2kb k 2＋4，x 1x 2＝b 2－4k 2＋4，x 1x 2＋y 1y 24＝0⇔x 1x 2＋(kx 1＋b )(kx 2＋b )4＝0，代入整理得2b 2－k 2＝4，∴S ＝12·|b |1＋k 2|AB |＝12|b |(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝|b |4k 2－4b 2＋16k 2＋4＝4b 22|b |＝1. 所以△ABC 的面积为定值．点评：本题是平面向量与解析几何的交汇题，综合考查了椭圆方程，离心率，定值等知识与方法，当直线位置不确定时，应注意分斜率存在与斜率不存在讨论．[来源:Z&xx&].精品资料。