2015江苏省高考数学19题别解

2015江苏省高考数学19题别解

山石

2015江苏省高考数学19题：

已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++=。 （1）试讨论)(x f 的单调性；

（II ）若a c b -=（实数c 是与a 无关的常数），当函数)(x f 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是),2

3()23,1()3,(+∞--∞ ，求c 的值。

（1）略。

（II ）解法一：由（1）知，函数)(x h 的两个极值为a c f -=)0(，a c a a f -+=-

3

274)32( 因为函数)(x f 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是),2

3

()23,1()3,(+∞--∞

记=)(a h a c a -+3

27

4 ①当∈a )23,1(时，由（1）知，函数)(x f 递增区间为⎪⎭

⎫ ⎝⎛

-∞-32,a ，()+∞,0，函数)(x f 递减

区间为⎪⎭

⎫

⎝⎛-0,32a ，

从而有0)0(-a f ，即a c <且02743>-+a c a 在∈a )23,1(恒成立。因∈a )23,1(=')(a h 01942<-a ，故函数)(a h 在)23,1(上为减函数，有)2

3

()(h a h ≥,因

0)(>a h 在∈a )23,1(恒成立，得0)2

3

(≥h ，解得1≥c ，又a c <在∈a )23,1(恒成立，得1≤c ，所

以1=c 。

②当∈a ),23(+∞时，由（1）知，函数)(x f 递增区间为⎪⎭

⎫ ⎝⎛

-∞-32,a ，()+∞,0，函数)(x f 递

减区间为⎪⎭

⎫

⎝⎛-0,32a ，从而有0)0(-a f ，即a c <且

02743>-+a c a 在∈a ),23(+∞恒成立。因∈a ),23(+∞=')(a h 01942>-a ，故函数)(a h 在),2

3

(+∞上为增函数，

有)23()(h a h >,因0)(>a h 在∈a ),23(+∞恒成立，得0)2

3

(≥h ，解得1≥c ，又a c <在∈a ),23(+∞恒

成立，得23≤c ，所以2

3

1≤≤c 。

③当∈a )3,(--∞时，由（1）知，函数)(x f 递增区间为()0,∞-，⎪⎭

⎫

⎝⎛+∞-,32a ，函数)

(x f 递减区间为⎪⎭

⎫ ⎝⎛

-32,0a ，从而有0)0(>f ，且0)32(<-a f ，即a c >且

02743<-+a c a 在

∈a )3,(--∞恒成立。因∈a )3,(--∞=')(a h 019

4

2>-a ，故函数)(a h 在)3,(--∞上为增函数，

有)3()(h a h <，因0)(在∈a )

3,(--∞恒成立，得3-≥c ，所以13≤≤-c 。

综上，1=c

解法二：因为函数)(x f 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是),2

3()23,1()3,(+∞--∞

可知1=a ，

2

3

，3-时，函数)(x f 没有三个不同的零点。 （1）当=a 2

3时，23

23)(23-

++=c x x x f 由

（1）知，函数)(x f 递增区间为()1,-∞-，()+∞,0，函数)(x f 递减区间为()0,1-，函数)(x f 没有三个不同的零点。从而有0)0(≥f ，或0)1(≤-f ，

得1≤c 或2

3

≥c

（2）当=a 1时，1)(23-++=c x x x f 由（1）知，函数)(x f 递增区间为⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-∞-32,，()+∞,0，

函数)(x f 递减区间为⎪⎭

⎫

⎝⎛-0,32，因函数)(x f 没有三个不同的零点。从而有0)0(≥f ，或

0)32(≤-f ，得1≥c 或27

23≤c

（3）当=a -3时，33)(23++-=c x x x f 由（1）知，函数)(x f 递增区间为()0,∞-，()+∞,2，函数)(x f 递减区间为()2,0，因函数)(x f 没有三个不同的零点。从而有0)0(≤f ，或0)2(≥f ，得1≥c 或3-≤c

综上当1=a ，23，3-时，函数)(x f 没有三个不同的零点。所以得1=c 或3-≤c 或2

3≥c 下面证明当3-≤c 或2

3

≥c 时，不合题意。

若23≥c 时，当∈a )23,1(，由（1）知，函数)(x f 递增区间为⎪⎭

⎫ ⎝⎛-∞-32,a ，()+∞,0，

函数)(x f 递减区间为⎪⎭

⎫

⎝⎛-0,32a ，有)(x f 有极小值a c f -=)0(，因23≥c 时，∈a )23,1(，有0)0(>f ，

函数)(x f 有一个零点。从而23

≥c 不合题意。

若3-≤c 时，当∈a )23,1(，由（1）知，函数)(x f 递增区间为⎪⎭

⎫ ⎝⎛

-∞-32,a ，()+∞,0，函数

)(x f 递减区间为⎪⎭

⎫

⎝⎛-0,32a ，有)(x f 有极大值)32(a f -，记=)(a h )32(a f -=a c a -+3274，

因∈a )23,1(，有=')(a h 01942<-a ，故函数)(a h 在)2

3

,1(上为减函数，有0)1()(<

)(x f 有一个零点。从而3-≤c 不合题意。

当1=c 时，函数()(

)

a x a x x a ax x x f -+-++=-++=1)1(11)(2

23

设(

)a x a x x g -+-+=1)1()(2

，(

)

01)1(2

=-+-+a x a x 有两个异于-1的不等实根，所以