2015江苏高考数学试卷(评分标准+标准答案)

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2015年江苏高考数学试卷带详解

2015年江苏高考数学试卷带详解

2015江苏高考理科数学试卷一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题..卡相应...位置..上.. 1. (15江苏高考)已知集合{}1,2,3A =,{}2,4,5B =,则集合A B 中元素的个数为_____.【参考答案】5【测量目标】集合并集及其运算. 【试题分析】{1,2,3,4,5}A B =,A B ∴中的元素个数为5.2. (15江苏高考)已知一组数据4, 6, 5, 8, 7, 6,那么这组数据的平均数为_____. 【参考答案】6【测量目标】平均数的计算. 【试题分析】1(465876)66x =+++++=,∴这组数的平均数为6.3. (15江苏高考)设复数z 满足234i z =+(i 是虚数单位),则z 的模为_____. 【参考答案】5【测量目标】复数的基本运算. 【试题分析】2z =222345z =+=,5z ∴=.4. (15江苏高考)根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S 为_____.第4题图【参考答案】7【测量目标】流程图.【试题分析】 (1)1S =,18I =<,23S S =+=,34I I =+=; (2)48I =<,25S S =+=,37I I =+=;(3)78I =<,27S S =+=,310I I =+=; (4)8I >,print S ,S =7; ∴输出的结果S 为7.5. (15江苏高考)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球. 从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为_____.【参考答案】56【测量目标】随机事件与概率. 【试题分析】 从中随机一次摸出2只球的所有可能出现的结果为:(白,红),(白,黄1), (白,黄2),(红,黄1),(红,黄2),(黄1,黄2)总共有6种可能,显然2只球颜色不同有5种可能. 56P ∴=. 6. (15江苏高考)已知向量()2,1=a ,()1,2=-b ,若(9,8)(,)m n m n +=-∈R a b ,则m n -的值为_____. 【参考答案】-3【测量目标】平面向量的坐标运算.【试题分析】 m n +a b (2,2)m n m n =+-(9,8)=-,29,28.m n m n +=⎧⎨-=-⎩∴,得25m n =⎧⎨=⎩,3m n ∴-=-.7. (15江苏高考)不等式224x x-<的解集为_____.【参考答案】(1,2)- 【测量目标】解不等式. 【试题分析】224xx-<,即2222xx-<22x x ∴-<,得12x -<<,∴解集为(1,2)-.8. (15江苏高考)已知tan 2α=-,1tan()7αβ+=,则tan β的值为_____. 【参考答案】3【测量目标】两角和与差的正切公式. 【试题分析】tan tan()βαβα=+-tan()tan 1tan()tan αβααβα+-=++127311(2)7+==+-.tan 3β∴=.9. (15江苏高考)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个,若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为_____. 【参考答案【测量目标】圆柱、圆锥的体积计算. 【试题分析】221196=54+28=33V ⋅⋅⋅⋅⋅总πππ,设新的底面半径为r ,则有:+=V V V 锥柱总,2211968433r r ∴⋅⋅+⋅⋅⋅=πππ,解得r =10. (15江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中,以点()1,0为圆心且与直线210()mx y m m ---=∈R 相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为_____.【参考答案】()2212x y -+=【测量目标】直线与圆的位置关系,圆的标准方程. 【试题分析】圆心到切线210mx y m ---=的距离为r,r ∴====2,∴最大的半径,∴半径最大圆的标准方程为()2212x y -+=.11. (15江苏高考)设数列{}n a 满足11a =,且11n n a a n +-=+*()n ∈N ,则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前10项的和为_____. 【参考答案】2011【测量目标】数列的通项和性质. 【试题分析】11n n a a n +-=+,即1n n a a n -=+,又11a =,1(1)1232n n n n a a n n -+∴=+==++++=, 1112()1n a n n ∴=-+前10项的和为101ii a ==∑1111112(1)22331011-+-+-+-12(1)11=-=2011. 12. (15江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中,P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点.若点P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立,则实数c 的最大值为______.【参考答案】2【测量目标】双曲线的几何性质.【试题分析】设p 点坐标为()00,x y ,则点P 到直线10x y -+=的距离d=001x y =-+,又p 在双曲线上,即()()22000000 1.x y x y x y -=-+= 从而00001x y x y -=+.∴d=00112x y ⋅++22,dc ∴.13. (15江苏高考)已知函数()ln f x x =,20,01,()42, 1.x g x x x <⎧⎪=⎨-->⎪⎩则方程()()1f x g x +=实根的个数为_____.【参考答案】4【测量目标】方程的根.【试题分析】根据题意ln ,01,()ln , 1.x x f x x x -<⎧=⎨>⎩,220,01,()2,12,6, 2.x g x x x x x <⎧⎪=-<⎨⎪->⎩22ln ,01,()()ln 2,12,ln 6, 2.x x f x g x x x x x x x ⎧-<<⎪⎪+=+-⎨⎪+->⎪⎩分情况讨论:当01x <时,()()1f x g x +=有1个解1x e=,∴此时有一个根.当12x<时,()()f x g x +单调递增,且(1)(1)1f g +=,(2)(2)2ln 21f g +=->,∴此时有一个根.当2x >时,()()f x g x +先减后增,且(2)(2)2ln 21f g +=->,(2.3)(2.3)1f g +<,∴此时()()f x g x +与1y =有两个交点,即()()1f x g x +=有两个根.综上,方程()()1f x g x +=的实根共有4个.14.(15江苏高考)设向量(cos ,sin cos )666k k k k =+πππa (0,1,2,,12)k =,则1110()k k k +=∑a a 的值为_____. 【参考答案】【测量目标】向量的乘积运算和数列的求和. 【试题分析】(cos,sin cos )666k k k +⋅πππ(1)(1)(1)(cos ,sin cos )666k k k ++++πππ(1)(1)(1)cos cos sin sin cos sin 666666k k k k k k +++=⋅+⋅+⋅ππππππ(1)(1)sin cos cos cos 6666k k k k +++⋅+⋅ππππ(1)coscos 66k k +=ππ(1)(1)sin sin cos cos 6666k k k k ++⎡⎤+⋅+⋅⎢⎥⎣⎦ππππ (1)(1)cos sin sin cos 6666k k k k ++⎡⎤+⋅+⋅⎢⎥⎣⎦ππππ (1)coscos cos sin()66636k k k +=⋅+++πππππ. 1110()k k k +=∴⋅=∑a a 111111000(1)cos cos cos sin()66636k k k k k k ===+⋅+++∑∑∑πππππ.11(1)coscos 66k k k =+⋅=∑ππsin()36k +ππ以1111,1,,,1,2222---为周期循环,110sin()0.36k k =+=∑ππ110cos6k ==∑π,1110()0k k k +=∴⋅==∑a a . 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (15江苏高考)(本小题满分14分)在ABC △中,已知2AB =,3AC =,60A =. (1)求BC 的长;(2)求sin 2C 的值.【测量目标】(1)余弦定理的应用; (2)正弦定理的应用.【试题解析】(1)由余弦定理知,2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅14922372=+-⨯⨯⨯=,所以BC =(2)由正弦定理知,sin sin AB BC CA =,所以21sin sin 7AB C A BC =⋅==. 因为AB BC <,所以C为锐角,则cos C ===. 故sin 2C 2sin cosC C =⋅2777=⨯=.16. (15江苏高考)(本小题满分14分)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,已知AC BC ⊥,1BC CC =.设1AB 的中点为D .11B C BC E =.求证:(1)DE ∥平面11AAC C ;(2)11BC AB ⊥.第16题图【测量目标】(1)线面平行的判定;(2)线线垂直的判定和性质.【试题解析】证明:(1)由题意知,E 为1B C 的中点,又D 为1AB 的中点,因此//DE AC . 又因为DE ⊄平面11AAC C ,AC ⊂平面11AAC C ,所以DE //平面11AAC C . (2)因为棱柱111ABC A B C -是直三棱柱,所以1CC ⊥平面ABC .因为AC ⊂ 平面ABC ,所以1AC CC ⊥.又因为AC BC ⊥,1CC ⊂平面11BCC B ,BC ⊂ 平面11BCC B ,1BCCC C =,所以AC ⊥平面11BCC B .又因为1BC ⊂平面11BCC B ,所以1BC AC ⊥.因为1BC CC =,所以矩形11BCC B 是正方形,因此11BC B C ⊥. 因为1,AC B C ⊂平面1B AC ,1AC B C C =,所以1BC ⊥平面1B AC .又因为1AB ⊂平面1B AC ,所以11BC AB ⊥. 17.(15江苏高考)(本小题满分14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路.记两条相互垂直的公路为1l ,2l ,山区边界曲线为C .计划修建的公路为l . 如图所示,,M N 为C 的两个端点,测得点M 到1l ,2l 的距离分别为5千米和40千米,点N 到1l ,2l 的距离分别为20千米和2. 5千米.以2l ,1l 所在的直线分别为,x y 轴,建立平面直角坐标系xOy . 假设曲线C 符合函数2ay x b=+ (其中,a b 为常数)模型.(1)求,a b 的值;(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点,P 的横坐标为t .①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ,并写出其定义域; ②当t 为何值时,公路l 的长度最短?求出最短长度.第17题图【测量目标】(1)利用导数研究函数的极值和单调性; (2)直线与曲线的位置关系.【试题解析】 (1)由题意知,点,M N 的坐标分别为()5,40,()20,2.5.将其分别代入2a y xb =+,得40,25 2.5.400aba b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩解得1000,0.a b =⎧⎨=⎩ (2)①由(1)知,21000y x=(520)x ,则点P 的坐标为21000(,)t t,设在点P 处的切线l 交,x y 轴分别于,A B 点,32000y x '=-,则l 的方程为2310002000()y x t t t-=--,由此得3(,0)2t A ,23000(0,)B t .故22233000()()()2t f t t =+62434102t t⨯=+[]5,20t ∈. ②设624410()g t t t ⨯=+,则651610()2g t t t⨯'=-.令()0g t '=.解得102t = 当(5,102t ∈时,()0g t '<,()g t 是减函数;当()102,20t ∈时,()0g t '>,()g t 是增函数. 从而,当102t =()g t 有极小值,也是最小值,所以min ()300g t =,此时min ()f t =.答:当t =l的长度最短,最短长度为. 18. (15江苏高考)(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的离心率为2,且右焦点F 到左准线l 的距离为3.(1)求椭圆的标准方程;(2)过F 的直线与椭圆交于,A B 两点,线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于,P C ,若2PC AB =,求直线AB 的方程.【测量目标】(1)椭圆的标准方程;(2)直线与椭圆的位置关系.【试题解析】(1)由题意,得2c a =且23a c c+=.解得a =1c =,则1b =. 所以椭圆的标准方程为2212x y +=. (2)当AB x ⊥轴时,AB =又3CP =,不合题意.当AB 与x 轴不垂直时,设直线AB的方程为(1)y k x =-,11(,)A x y ,22(,)B x y ,将AB 的方程代入椭圆方程,得()()2222124210k xk x k +-+-=,则1,2x =.C 的坐标为2222(,)1212k k k k -++,且AB ==22)12k k +=+.若0k =,则线段AB 的垂直平分线为y 轴,与左准线平行,不合题意.从而0k ≠,故直线PC 的方程为22212()1212k k y x k k k +=--++,则P 点的坐标 2252(2,)(1+2)k k k +-,从而(()2223112k PC k k+=+.因为2PC AB =,所以(())222223111212k k kk k++=++,解得 1.k =±此时直线AB 方程为1y x =-或1y x =-+.19. (15江苏高考)(本小题满分16分) 已知函数32()f x x ax b =++ (,)a b ∈R (1)试讨论()f x 的单调性;(2)若b c a =-(实数c 是与a 无关的常数),当函数()f x 有三个不同的零点时,a 的取值范围恰好是()33,3(1,)(,)22-∞-+∞,求c 的值. 【测量目标】(1)利用导数研究函数的单调性;(2)函数的零点.【试题解析】(1)2()32f x x ax '=+,令()0f x '=,解得10x =,223ax =-. 当0a =时,因为()230(0)f x x x '=>≠,所以函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增;当0a >时,()2(,)0,3a x ∈-∞-+∞时,()0f x '>,2(,0)3ax ∈-时,()0f x '<.所以函数()f x 在2(,)3a -∞-,()0,+∞上单调递增,在2(,0)3a-上单调递减; 当0a <时,()2,0(,)3a x ∈-∞-+∞时,()0f x '>,2(0,)3ax ∈-时,()0f x '<.所以函数()f x 在(),0-∞,2(,)3a -+∞上单调递增,在2(0,)3a-上单调递减.(2)由(1)知,函数()f x 的两个极值为(0)f b =,324()327a f ab -=+,则函数()f x 有三个零点等价于324(0)()()0327a f f b a b ⋅-=+<,从而30,40.27a a b >⎧⎪⎨-<<⎪⎩或30,40.27a b a <⎧⎪⎨<<-⎪⎩又b c a =-,所以当0a >时,34027a a c -+>或当0a <时,34027a a c -+<.设34()27g a a a c =-+.因为函数()f x 有三个零点时,a 的取值范围恰好是()33,3(1,)(,)22-∞-+∞,则在(),3-∞-上()0g a <,且在33(1,)(,)22+∞上()0g a >均恒成立.从而(3)10g c -=-且3()102g c =-因此1c =.此时,32()1f x x ax a =++-2(1)(1)1x x a x a ⎡⎤=++-+-⎣⎦,因函数有三个零点,则2(1)10x a x a +-+-=有两个异于1-的不等实根,所以()2214(1)230a a a a ∆=---=+->,且()21(1)10a a ---+-≠,解得()33,3(1,)(,)22a ∈-∞-+∞.综上 1c =.20. (15江苏高考)(本小题满分16分)设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为(0)d d ≠的等差数列.(1)证明:31242,222a a a a,,依次构成等比数列; (2)是否存在1,a d ,使得2341234,,,a a a a 依次构成等比数列?并说明理由;(3)是否存在1,a d 及正整数,n k ,使得231234,,,n n k n k n ka a a a +++依次构成等比数列?并说明理由.【测量目标】(1)等比数列的判定;(2)等差数列、等比数列的性质; (3)等差、等比数列的性质.【试题解析】(1)证明:因为112222n n n n a a a da ++-== (1,2,3)n =是同一个常数,所以31242,222a a a a,,依次构成等比数列. (2)令1a d a +=,则1234,,,a a a a 分别为,,,2a d a a d a d -++(,2,0)a d a d d >>-≠. 假设存在1,a d ,使得2341234,,,a a a a 依次构成等比数列,则43()()a a d a d =-+,且()624(2)a d a a d +=+.令d t a=,则31(1)(1)t t =-+,且()()64112t t +=+ 1(1,0)2t t -<<≠ ,化简得32220()t t +-=*,且21t t =+.将21t t =+代入()*式,2(1)2(1)2313410t t t t t t t t +++-=+=++=+=,则14t =-,显然14t =-不是上面方程的解.矛盾,所以假设不成立.因此不存在1,a d ,使得2341234,,,a a a a 依次构成等比数列.(3)假设存在1,a d 及正整数,n k ,使得231234,,,n n k n k n ka a a a +++依次构成等比数列.则22()111(2)()n n k n k a a d a d +++=+,且32(2)111()(3)(2)n k n k n k a d a d a d +++++=+.分别在两个等式的两边同除以2()1n k a +及()221n k a +,并令1d t a =1(,0)3t t >-≠,则22()(12)(1)n k n k t t +++=+,且32(2)(1)(13)(12)n k n kn k t t t +++++=+.将上述两个等式两边取对数,得()()()()2ln 122ln 1n k t n k t ++=++ ,且()ln(1)(3)ln(13)2(2)ln(12)n k t n k t n k t +++++=++.化简得[][]2ln(12)ln(1)2ln(1)ln(12)k t t n t t +-+=+-+,且[][]3ln(13)ln(1)3ln(1)ln(13)k t t n t t +-+=+-+.再将这两式相除,化简得ln(13)ln(12)3ln(12)ln(1)4ln(13)ln(1)t t t t t t +++++=++ . ()** 令()4ln(13)ln(1)ln(13)ln(12)3ln(12)ln(1)g t t t t t t t =++-++-++,则2222(13)ln(13)3(12)ln(12)3(1)ln(1+)()(1)(12)(13)t t t t t t g t t t t ⎡⎤++-++++⎣⎦'=+++.令222()(13)ln(13)3(12)ln(12)3(1)ln(1+)t t t t t t t ϕ=++-++++,则[]()6(13)ln(13)2(12)ln(12)(1)ln(1)t t t t t t t ϕ'=++-+++++.令()1()t t ϕϕ'=,则[]1()63ln(13)4ln(12)ln(1)t t t t ϕ'=+-+++.令()21()t t ϕϕ'=.则212()0(1)(12)(13)t t t t ϕ'=>+++.由12(0)(0)(0)(0)0g ϕϕϕ====,2()0t ϕ'>知21(),(),(),()t t t g t ϕϕϕ在1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭和()0,+∞上均单调.故()g t 只有唯一零点0t =.即方程()**只有唯一解0t =,故假设不成立.所以不存在1,a d 及正整数,n k ,使得231234,,,n n k n k n ka a a a +++依次构成等比数列.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两小题........,并在相应的答题区域内..........作答...若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A .[选修4-1:几何证明选讲](15江苏高考)(本小题满分10分)如图,在ABC △中,AB AC =,ABC △的外接圆O 的弦AE 交BC 于点D .求证:ABD AEB △∽△.第21题-A 图【测量目标】三角形相似的判定和弧长与圆周角、弦长的相互关系.【试题解析】证明:因为AB AC =,所以ABD C ∠=∠.又因为C E ∠=∠,所以ABD E ∠=∠,又BAE ∠为公共角,可知ABD AEB △∽△. B.[选修4-2:矩阵与变换] (15江苏高考)(本小题满分10分)已知,x y ∈R .向量11⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α是矩阵10x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的属于特征值2-的一个特征向量,求矩阵A 以及它的另一个特征值.【测量目标】矩阵的特征值与特征向量之间相互关系. 【试题解析】由已知,得=2αα-A ,即1112012x x y y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,则122x y -=-⎧⎨=⎩即,所以矩阵1120-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A .从而矩阵A 的特征多项式()(2)(1)f λλλ=+-.所以矩阵A 的另一个特征值为1.C.[选修4-4:坐标系与参数方程] (15江苏高考)(本小题满分10分)已知圆C的极坐标方程为2sin()404ρθπ--=,求圆C 的半径.【测量目标】极坐标与直角坐标之间的相互转化.【试题解析】以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ,以极轴为x 轴的正半轴,建立直角坐标系xOy .圆C的极坐标方程为2(sin cos )4022ρθθ--=.化简,得22sin 2cos 40ρρθρθ+--=.则圆C 的直角坐标方程为222240x y x y +-+-=.即()()22116x y -++=,所以圆C. D.[选修4-5:不等式选讲] (15江苏高考)(本小题满分10分) 解不等式232x x ++.【测量目标】解含绝对值的不等式.【试题解析】解:原不等式可化为3232x x ⎧<-⎪⎨⎪--⎩或32332x x ⎧-⎪⎨⎪+⎩解得x5-或13x-.综上,原不等式的解集是1|53x xx⎧⎫--⎨⎬⎩⎭或.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (15江苏高考) (本小题满分10分)如图(1),在四棱锥P ABCD -中,已知PA ⊥平面ABCD ,且四边形ABCD 为直角梯形,2ABC BAD π∠=∠=,2PA AD ==,1AB BC ==. (1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值; (2)点Q 是线段BP 上的动点.当直线CQ 与DP 所成的角最小时,求线段BQ 的长.第22题图(1【测量目标】(1)两平面所成二面角的余弦值; (2)两直线所成角的大小.【试题解析】以{},,AB AD AP 为正交基底建立如图(2)所示的空间直角坐标系A xyz -,则各点的坐标为(1,0,0)B ,(1,1,0)C ,(0,2,0)D ,(0,0,2)P .第22题图(2)(1)因为AD ⊥平面PAB .所以AD 是平面PAB 的一个法向量,(0,2,0)AD =.因为(1,1,2)PC =-,(0,2,2)PD =-.设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =m ,则0PC ⋅=m ,0PD ⋅=m ,即20,220.x y z y z +-=⎧⎨-=⎩令1y =,解得1z =,1x =.所以(1,1,1)=m 是平面PCD 的一个法向量. 从而cos ,AD <>m AD AD ⋅=mm=PAB 与平面PCD 所成的二面角的余弦值为3. (2)因为(1,0,2)BP =-,设(,0,2)BQ BP λλλ==- ()01λ,又()0,1,0CB =-,则CQ CB BQ =+(),1,2λλ=--,又()0,2,2DP =-,从而cos ,CQ DP <>CQ DP CQ DP⋅==.设12t λ+=,[]1,3t ∈,则2cos ,CQ DP <>=2225109t t t -+2215209()99t =-+910.当且仅当95t =.即25λ=时,cos ,CQ DP <>的最大值为.因为cos y x =在(0,)2π上是减函数,此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值.又因为BP ==255BQ BP ==. 23. (15江苏高考)(本小题满分10分) 已知集合{}1,2,3X =,{}1,2,3,,n Y n =()n *∈N ,设{(,)|n S a b a =整除b 或b 整除,a ,}n a X b Y ∈∈令()f n 表示集合n S 所含元素的个数.(1)写出(6)f 的值; (2)当6n时,写出()f n 的表达式,并用数学归纳法证明.【测量目标】(1)集合的基本性质;(2)数学归纳法的运用. 【试题解析】(1)(6)13f =.(2)当6n时,2(),6,23112(+),6+1,2322(),62,23()12(),63,2312(),64,23122(),6+523n n n n t n n n n t n n n n t f n t n n n n t n n n n t n n n n t *⎧+++=⎪⎪--⎪++=⎪⎪-⎪+++=+⎪=∈⎨-⎪+++=+⎪⎪-⎪+++=+⎪⎪--+++=⎪⎩N (). 下面用数学归纳法证明: ①当6n =时,66(6)6+2++=1323f =,结论成立; ②假设(6)n k k=时结论成立,那么1n k =+时,1k S +在k S 的基础上新增加的元素在()1,1k +,()2,1k +,()3,1k +中产生,分以下情形讨论:1)若16k t +=,则6(1)5k t =-+,此时有12(1)()32323k k f k f k k --+=+=++++ 11(1)223k k k ++=++++,结论成立; 2)若161k t +=+,则6k t =,此时有(1)()12123k kf k f k k +=+=++++ (1)1(1)1(1)223k k k +-+-=++++,结论成立; 3)若162k t +=+.则6+1k t =,此时有11(1)()22223k k f k f k k --+=+=++++ (1)(1)2(1)223k k k ++-=++++,结论成立; 4)若163k t +=+.则6+2k t =,此时有2(1)()22223k k f k f k k -+=+=++++ ()()11112+23k k k +-+=+++,结论成立;5)若164k t +=+.则6+3k t =,此时有1(1)()22223k kf k f k k -+=+=++++ ()()()11112+23k k k ++-=+++,结论成立;6)若165k t +=+.则6+4k t =,此时有1(1)()12123k k f k f k k -+=+=++++。

2015年江苏高考数学试题及答案

2015年江苏高考数学试题及答案

2015江苏高考数学试题及答案一、填空题1.已知集合{}123A =,,,{}245B =,,,则集合A B U 中元素的个数为_______.2.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为________.3.设复数z 满足234z i =+(i 是虚数单位),则z 的模为_______.4.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S 为________.5. 袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为________.6.已知向量()21a =r ,,()2a =-r 1,,若()()98ma nb mn R +=-∈r r,,则m-n 的值为______.7.不等式224x x-<的解集为________.8.已知tan 2α=-,()1tan 7αβ+=,则tan β的值为_______. 9.现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。

若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个,则新的底面半径为 。

10.在平面直角坐标系xOy 中,以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 。

11.数列}{n a 满足11=a ,且11+=-+n a a n n (*N n ∈),则数列}1{na 的前10项和为 。

12.在平面直角坐标系xOy 中,P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。

若点P 到直线01=+-y x 的距离对c 恒成立,则是实数c 的最大值为 。

13.已知函数|ln |)(x x f =,⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ,则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 。

14.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos Λ=+=k k k k a k πππ,则∑=+⋅121)(k k k a a 的值为 。

2015年江苏省高考数学试卷答案与解析

2015年江苏省高考数学试卷答案与解析

2015年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70分)1.(5分)(2015•江苏)已知集合A={1,2,3},B={2,4,5},则集合A∪B中元素的个数为 5 .考点:并集及其运算.专题:集合.分析:求出A∪B,再明确元素个数解答:解:集合A={1,2,3},B={2,4,5},则A∪B={1,2,3,4,5};所以A∪B中元素的个数为5;故答案为:5点评:题考查了集合的并集的运算,根据定义解答,注意元素不重复即可,属于基础题2.(5分)(2015•江苏)已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为 6 .考点:众数、中位数、平均数.专题:概率与统计.分析:直接求解数据的平均数即可.解答:解:数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为:=6.故答案为:6.点评:本题考查数据的均值的求法,基本知识的考查.3.(5分)(2015•江苏)设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则z的模为.考点:复数求模.专题:数系的扩充和复数.分析:直接利用复数的模的求解法则,化简求解即可.解答:解:复数z满足z2=3+4i,可得|z||z|=|3+4i|==5,∴|z|=.故答案为:.点评:本题考查复数的模的求法,注意复数的模的运算法则的应用,考查计算能力.4.(5分)(2015•江苏)根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S为7 .考点:伪代码.专题:图表型;算法和程序框图.分析:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的I,S的值,当I=10时不满足条件I<8,退出循环,输出S的值为7.解答:解:模拟执行程序,可得S=1,I=1满足条件I<8,S=3,I=4满足条件I<8,S=5,I=7满足条件I<8,S=7,I=10不满足条件I<8,退出循环,输出S的值为7.故答案为:7.点评:本题主要考查了循环结构的程序,正确判断退出循环的条件是解题的关键,属于基础题.5.(5分)(2015•江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球、1只红球、2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为.考点:古典概型及其概率计算公式.专题:概率与统计.分析:根据题意,把4个小球分别编号,用列举法求出基本事件数,计算对应的概率即可.解解:根据题意,记白球为A,红球为B,黄球为C1、C2,则答:一次取出2只球,基本事件为AB、AC、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种,1其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种;所以所求的概率是P=.故答案为:.点本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题,是基础题目.评:6.(5分)(2015•江苏)已知向量=(2,1),=(1,﹣2),若m+n=(9,﹣8)(m,n∈R),则m﹣n的值为﹣3 .平面向量的基本定理及其意义.考点:专平面向量及应用.题:直接利用向量的坐标运算,求解即可.分析:解解:向量=(2,1),=(1,﹣2),若m+n=(9,﹣8)答:可得,解得m=2,n=5,∴m﹣n=﹣3.故答案为:﹣3.本题考查向量的坐标运算,向量相等条件的应用,考查计算能力.点评:7.(5分)(2015•江苏)不等式2<4的解集为(﹣1,2).考指、对数不等式的解法.点:函数的性质及应用;不等式的解法及应用.专题:分利用指数函数的单调性转化为x2﹣x<2,求解即可.析:解解;∵2<4,答:∴x2﹣x<2,即x2﹣x﹣2<0,解得:﹣1<x<2故答案为:(﹣1,2)点本题考查了指数函数的性质,二次不等式的求解,属于简单的综合题目,难度评:不大.8.(5分)(2015•江苏)已知tanα=﹣2,tan(α+β)=,则tanβ的值为 3 .考点:两角和与差的正切函数.专题:三角函数的求值.分析:直接利用两角和的正切函数,求解即可.解答:解:tanα=﹣2,tan(α+β)=,可知tan(α+β)==,即=,解得tanβ=3.故答案为:3.点评:本题考查两角和的正切函数,基本知识的考查.9.(5分)(2015•江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个,若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为.考点:棱柱、棱锥、棱台的体积.专题:计算题;空间位置关系与距离.分析:由题意求出原来圆柱和圆锥的体积,设出新的圆柱和圆锥的底面半径r,求出体积,由前后体积相等列式求得r.解答:解:由题意可知,原来圆锥和圆柱的体积和为:.设新圆锥和圆柱的底面半径为r,则新圆锥和圆柱的体积和为:.∴,解得:.故答案为:.点评:本题考查了圆柱与圆锥的体积公式,是基础的计算题.10.(5分)(2015•江苏)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx ﹣y﹣2m﹣1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为(x﹣1)2+y2=2 .考点:圆的标准方程;圆的切线方程.专题:计算题;直线与圆.分析:求出圆心到直线的距离d的最大值,即可求出所求圆的标准方程.解答:解:圆心到直线的距离d==≤,∴m=1时,圆的半径最大为,∴所求圆的标准方程为(x﹣1)2+y2=2.故答案为:(x﹣1)2+y2=2.点评:本题考查所圆的标准方程,考查点到直线的距离公式,考查学生的计算能力,比较基础.11.(5分)(2015•江苏)设数列{a n}满足a1=1,且a n+1﹣a n=n+1(n∈N*),则数列{}的前10项的和为.考点:数列的求和;数列递推式.专题:等差数列与等比数列.分析:数列{a n}满足a1=1,且a n+1﹣a n=n+1(n∈N*),利用“累加求和”可得a n=.再利用“裂项求和”即可得出.解答:解:∵数列{a n}满足a1=1,且a n+1﹣a n=n+1(n∈N*),∴当n≥2时,a n=(a n﹣a n﹣1)+…+(a2﹣a1)+a1=+n+…+2+1=.当n=1时,上式也成立,∴a n=.∴=2.∴数列{}的前n项的和S n===.∴数列{}的前10项的和为.故答案为:.点评:本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.12.(5分)(2015•江苏)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点,若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为.考点:双曲线的简单性质.专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0,c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离.解答:解:由题意,双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0,因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立,所以c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离,即.故答案为:.点评:本题考查双曲线的性质,考查学生的计算能力,比较基础.13.(5分)(2015•江苏)已知函数f(x)=|lnx|,g(x)=,则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为 4 .考点:根的存在性及根的个数判断.专题:综合题;函数的性质及应用.分析::由|f(x)+g(x)|=1可得g(x)=﹣f(x)±1,分别作出函数的图象,即可得出结论.解答:解:由|f(x)+g(x)|=1可得g(x)=﹣f(x)±1.g(x)与h(x)=﹣f(x)+1的图象如图所示,图象有两个交点;g (x )与φ(x )=﹣f (x )﹣1的图象如图所示,图象有两个交点;所以方程|f (x )+g (x )|=1实根的个数为4.故答案为:4. 点评: 本题考查求方程|f (x )+g (x )|=1实根的个数,考查数形结合的数学思想,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.14.(5分)(2015•江苏)设向量=(cos,sin+cos)(k=0,1,2,…,12),则(a k •a k+1)的值为 .考点:数列的求和.专题:等差数列与等比数列;平面向量及应用. 分析:利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出. 解解:答:=+=++++=++=++,∴(a k•a k+1)=+++++++…+ ++++++…+=+0+0=.故答案为:9.点评:本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.二、解答题(本大题共6小题,共计90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(14分)(2015•江苏)在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.(1)求BC的长;(2)求sin2C的值.考点:余弦定理的应用;二倍角的正弦.专题:解三角形.分析:(1)直接利用余弦定理求解即可.(2)利用正弦定理求出C的正弦函数值,然后利用二倍角公式求解即可.解答:解:(1)由余弦定理可得:BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7,所以BC=.(2)由正弦定理可得:,则sinC===,∵AB<BC,∴C为锐角,则cosC===.因此sin2C=2sinCcosC=2×=.点评:本题考查余弦定理的应用,正弦定理的应用,二倍角的三角函数,注意角的范围的解题的关键.16.(14分)(2015•江苏)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1,设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E.求证:(1)DE∥平面AA1C1C;(2)BC1⊥AB1.考点:直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的性质.专题:证明题;空间位置关系与距离.分析:(1)根据中位线定理得DE∥AC,即证DE∥平面AA1C1C;(2)先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC,即证AC⊥CC1;再证明AC⊥平面BCC1B1,即证BC1⊥AC;最后证明BC1⊥平面B1AC,即可证出BC1⊥AB1.解答:证明:(1)根据题意,得;E为B1C的中点,D为AB1的中点,所以DE∥AC;又因为DE⊄平面AA1C1C,AC⊂平面AA1C1C,所以DE∥平面AA1C1C;(2)因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥平面ABC,因为AC⊂平面ABC,所以AC⊥CC1;又因为AC⊥BC,CC1⊂平面BCC1B1,BC⊂平面BCC1B1,BC∩CC1=C,所以AC⊥平面BCC1B1;又因为BC1⊂平面平面BCC1B1,所以BC1⊥AC;因为BC=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形,所以BC1⊥平面B1AC;又因为AB1⊂平面B1AC,所以BC1⊥AB1.点评:本题考查了直线与直线,直线与平面以及平面与平面的位置关系,也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题,是基础题目.17.(14分)(2015•江苏)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=(其中a,b为常数)模型.(1)求a,b的值;(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;②当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.考点:函数与方程的综合运用.专题:综合题;导数的综合应用.分析:(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5),将其分别代入y=,建立方程组,即可求a,b的值;(2)①求出切线l的方程,可得A,B的坐标,即可写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;②设g(t)=,利用导数,确定单调性,即可求出当t为何值时,公路l的长度最短,并求出最短长度.解答:解:(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5),将其分别代入y=,得,解得,(2)①由(1)y=(5≤x≤20),P(t,),∴y′=﹣,∴切线l的方程为y﹣=﹣(x﹣t)设在点P处的切线l交x,y轴分别于A,B点,则A(,0),B(0,),∴f(t)==,t∈[5,20];②设g(t)=,则g′(t)=2t﹣=0,解得t=10,t∈(5,10)时,g′(t)<0,g(t)是减函数;t∈(10,20)时,g′(t)>0,g(t)是增函数,从而t=10时,函数g(t)有极小值也是最小值,∴g(t)min=300,∴f(t)min=15,答:t=10时,公路l的长度最短,最短长度为15千米.点评:本题考查利用数学知识解决实际问题,考查导数知识的综合运用,确定函数关系,正确求导是关键.18.(16分)(2015•江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程;(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.专题:直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:(1)运用离心率公式和准线方程,可得a,c的方程,解得a,c,再由a,b,c的关系,可得b,进而得到椭圆方程;(2)讨论直线AB的斜率不存在和存在,设出直线方程,代入椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,以及两直线垂直的条件和中点坐标公式,即可得到所求直线的方程.解答:解:(1)由题意可得,e==,且c+=3,解得c=1,a=,则b=1,即有椭圆方程为+y2=1;(2)当AB⊥x轴,AB=,CP=3,不合题意;当AB与x轴不垂直,设直线AB:y=k(x﹣1),A(x1,y1),B(x2,y2),将AB方程代入椭圆方程可得(1+2k2)x2﹣4k2x+2(k2﹣1)=0,则x1+x2=,x1x2=,则C(,),且|AB|=•=,若k=0,则AB的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不合题意;则k≠0,故PC:y+=﹣(x﹣),P(﹣2,),从而|PC|=,由|PC|=2|AB|,可得=,解得k=±1,此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1.点评:本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率和方程的运用,联立直线方程,运用韦达定理和弦长公式,同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用,属于中档题.19.(16分)(2015•江苏)已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R).(1)试讨论f(x)的单调性;(2)若b=c﹣a(实数c是与a无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a 的取值范围恰好是(﹣∞,﹣3)∪(1,)∪(,+∞),求c的值.考点:利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理.专题:综合题;导数的综合应用.分析:(1)求导数,分类讨论,利用导数的正负,即可得出f(x)的单调性;(2)由(1)知,函数f(x)的两个极值为f(0)=b,f(﹣)=+b,则函数f(x)有三个不同的零点等价于f(0)f(﹣)=b(+b)<0,进一步转化为a>0时,﹣a+c>0或a<0时,﹣a+c<0.设g(a)=﹣a+c,利用条件即可求c的值.解答:解:(1)∵f(x)=x3+ax2+b,∴f′(x)=3x2+2ax,令f′(x)=0,可得x=0或﹣.a=0时,f′(x)>0,∴f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增;a>0时,x∈(﹣∞,﹣)∪(0,+∞)时,f′(x)>0,x∈(﹣,0)时,f′(x)<0,∴函数f(x)在(﹣∞,﹣),(0,+∞)上单调递增,在(﹣,0)上单调递减;a<0时,x∈(﹣∞,0)∪(﹣,+∞)时,f′(x)>0,x∈(0,﹣)时,f′(x)<0,∴函数f(x)在(﹣∞,0),(﹣,+∞)上单调递增,在(0,﹣)上单调递减;(2)由(1)知,函数f(x)的两个极值为f(0)=b,f(﹣)=+b,则函数f(x)有三个不同的零点等价于f(0)f(﹣)=b(+b)<0,∵b=c﹣a,∴a>0时,﹣a+c>0或a<0时,﹣a+c<0.设g(a)=﹣a+c,∵函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(﹣∞,﹣3)∪(1,)∪(,+∞),∴在(﹣∞,﹣3)上,g(a)<0且在(1,)∪(,+∞)上g(a)>0均恒成立,∴g(﹣3)=c﹣1≤0,且g()=c﹣1≥0,∴c=1,此时f(x)=x3+ax2+1﹣a=(x+1)[x2+(a﹣1)x+1﹣a],∵函数有三个零点,∴x2+(a﹣1)x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根,∴△=(a﹣1)2﹣4(1﹣a)>0,且(﹣1)2﹣(a﹣1)+1﹣a≠0,解得a∈(﹣∞,﹣3)∪(1,)∪(,+∞),综上c=1.点评:本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性,考查函数的零点,考查分类讨论的数学思想,难度大.20.(16分)(2015•江苏)设a1,a2,a3.a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列.(1)证明:2,2,2,2依次构成等比数列;(2)是否存在a1,d,使得a1,a22,a33,a44依次构成等比数列?并说明理由;(3)是否存在a1,d及正整数n,k,使得a1n,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k依次构成等比数列?并说明理由.考点:等比关系的确定;等比数列的性质.专题:等差数列与等比数列.分析:(1)根据等比数列和等差数列的定义即可证明;(2)利用反证法,假设存在a1,d使得a1,a22,a33,a44依次构成等比数列,推出矛盾,否定假设,得到结论;(3)利用反证法,假设存在a1,d及正整数n,k,使得a1n,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k 依次构成等比数列,得到a1n(a1+2d)n+2k=(a1+2d)2(n+k),且(a1+d)n+k(a1+3d)n+3k=(a1+2d)2(n+2k),利用等式以及对数的性质化简整理得到ln(1+3t)ln(1+2t)+3ln (1+2t)ln(1+t)=4ln(1+3t)ln(1+t),(**),多次构造函数,多次求导,利用零点存在定理,推出假设不成立.解答:解:(1)证明:∵==2d,(n=1,2,3,)是同一个常数,∴2,2,2,2依次构成等比数列;(2)令a1+d=a,则a1,a2,a3,a4分别为a﹣d,a,a+d,a+2d(a>d,a>﹣2d,d≠0)假设存在a1,d使得a1,a22,a33,a44依次构成等比数列,则a4=(a﹣d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4,令t=,则1=(1﹣t)(1+t)3,且(1+t)6=(1+2t)4,(﹣<t<1,t≠0),化简得t3+2t2﹣2=0(*),且t2=t+1,将t2=t+1代入(*)式,t(t+1)+2(t+1)﹣2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0,则t=﹣,显然t=﹣不是上面方程的解,矛盾,所以假设不成立,因此不存在a1,d,使得a1,a22,a33,a44依次构成等比数列.(3)假设存在a1,d及正整数n,k,使得a1n,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k依次构成等比数列,则a1n(a1+2d)n+2k=(a1+2d)2(n+k),且(a1+d)n+k(a1+3d)n+3k=(a1+2d)2(n+2k),分别在两个等式的两边同除以=a12(n+k),a12(n+2k),并令t=,(t>,t≠0),则(1+2t)n+2k=(1+t)2(n+k),且(1+t)n+k(1+3t)n+3k=(1+2t)2(n+2k),将上述两个等式取对数,得(n+2k)ln(1+2t)=2(n+k)ln(1+t),且(n+k)ln(1+t)+(n+3k)ln(1+3t)=2(n+2k)ln(1+2t),化简得,2k[ln(1+2t)﹣ln(1+t)]=n[2ln(1+t)﹣ln(1+2t)],且3k[ln(1+3t)﹣ln(1+t)]=n[3ln(1+t)﹣ln(1+3t)],再将这两式相除,化简得,ln(1+3t)ln(1+2t)+3ln(1+2t)ln(1+t)=4ln(1+3t)ln(1+t),(**)令g(t)=4ln(1+3t)ln(1+t)﹣ln(1+3t)ln(1+2t)+3ln(1+2t)ln(1+t),则g′(t)=[(1+3t)2ln(1+3t)﹣3(1+2t)2ln(1+2t)+3(1+t)2ln(1+t)],令φ(t)=(1+3t)2ln(1+3t)﹣3(1+2t)2ln(1+2t)+3(1+t)2ln(1+t),则φ′(t)=6[(1+3t)ln(1+3t)﹣2(1+2t)ln(1+2t)+3(1+t)ln(1+t)],令φ1(t)=φ′(t),则φ1′(t)=6[3ln(1+3t)﹣4ln(1+2t)+ln(1+t)],令φ2(t)=φ1′(t),则φ2′(t)=>0,由g(0)=φ(0)=φ1(0)=φ2(0)=0,φ2′(t)>0,知g(t),φ(t),φ1(t),φ2(t)在(﹣,0)和(0,+∞)上均单调,故g(t)只有唯一的零点t=0,即方程(**)只有唯一解t=0,故假设不成立,所以不存在a1,d及正整数n,k,使得a1n,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k依次构成等比数列.点评:本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质,函数与方程等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力,属于难题.三、附加题(本大题包括选做题和必做题两部分)【选做题】本题包括21-24题,请选定其中两小题作答,若多做,则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1:几何证明选讲】21.(10分)(2015•江苏)如图,在△ABC中,AB=AC,△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D.求证:△ABD∽△AEB.考点:相似三角形的判定.专题:推理和证明.分析:直接利用已知条件,推出两个三角形的三个角对应相等,即可证明三角形相似.解答:证明:∵AB=AC,∴∠ABD=∠C,又∵∠C=∠E,∴∠ABD=∠E,又∠BAE是公共角,可知:△ABD∽△AEB.点评:本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识,考查逻辑推理能力.【选修4-2:矩阵与变换】22.(10分)(2015•江苏)已知x,y∈R,向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量,求矩阵A以及它的另一个特征值.考点:特征值与特征向量的计算.专题:矩阵和变换.分析:利用A=﹣2,可得A=,通过令矩阵A的特征多项式为0即得结论.解答:解:由已知,可得A=﹣2,即==,则,即,∴矩阵A=,从而矩阵A的特征多项式f(λ)=(λ+2)(λ﹣1),∴矩阵A的另一个特征值为1.点评:本题考查求矩阵及其特征值,注意解题方法的积累,属于中档题.【选修4-4:坐标系与参数方程】23.(2015•江苏)已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin(θ﹣)﹣4=0,求圆C 的半径.考点:简单曲线的极坐标方程.专题:计算题;坐标系和参数方程.分析:先根据x=ρcosθ,y=ρsinθ,求出圆的直角坐标方程,求出半径.解答:解:圆的极坐标方程为ρ2+2ρsin(θ﹣)﹣4=0,可得ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0,化为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y﹣4=0,化为标准方程为(x﹣1)2+(y+1)2=6,圆的半径r=.点评:本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,以及求点的极坐标的方法,关键是利用公式x=ρcosθ,y=ρsinθ,比较基础,[选修4-5:不等式选讲】24.(2015•江苏)解不等式x+|2x+3|≥2.考点:绝对值不等式的解法.专题:不等式.分析:思路1(公式法):利用|f(x)|≥g(x)⇔f(x)≥g(x),或f(x)≤﹣g(x);思路2(零点分段法):对x的值分“x≥”“x<”进行讨论求解.解答:解法1:x+|2x+3|≥2变形为|2x+3|≥2﹣x,得2x+3≥2﹣x,或2x+3≥﹣(2﹣x),即x≥,或x≤﹣5,即原不等式的解集为{x|x≥,或x≤﹣5}.解法2:令|2x+3|=0,得x=.①当x≥时,原不等式化为x+(2x+3)≥2,即x≥,所以x≥;②x<时,原不等式化为x﹣(2x+3)≥2,即x≤﹣5,所以x≤﹣5.综上,原不等式的解集为{x|x≥,或x≤﹣5}.点评:本题考查了含绝对值不等式的解法.本解答给出的两种方法是常见的方法,不管用哪种方法,其目的是去绝对值符号.若含有一个绝对值符号,利用公式法要快捷一些,其套路为:|f(x)|≥g(x)⇔f(x)≥g(x),或f(x)≤﹣g(x);|f (x)|≤g(x)⇔﹣g(x)≤f(x)≤g(x).可简记为:大于号取两边,小于号取中间.使用零点分段法时,应注意:同一类中取交集,类与类之间取并集.【必做题】每题10分,共计20分,解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25.(10分)(2015•江苏)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=,PA=AD=2,AB=BC=1.(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值;(2)点Q是线段BP上的动点,当直线CQ与DP所成的角最小时,求线段BQ的长.考点:二面角的平面角及求法;点、线、面间的距离计算.专题:空间位置关系与距离;空间角.分析:以A为坐标原点,以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz.(1)所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值,计算即可;(2)利用换元法可得cos2<,>≤,结合函数y=cosx在(0,)上的单调性,计算即得结论.解答:解:以A为坐标原点,以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz如图,由题可知B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).(1)∵AD⊥平面PAB,∴=(0,2,0),是平面PAB的一个法向量,∵=(1,1,﹣2),=(0,2,﹣2),设平面PCD的法向量为=(x,y,z),由,得,取y=1,得=(1,1,1),∴cos<,>==,∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为;(2)∵=(﹣1,0,2),设=λ=(﹣λ,0,2λ)(0≤λ≤1),又=(0,﹣1,0),则=+=(﹣λ,﹣1,2λ),又=(0,﹣2,2),从而cos<,>==,设1+2λ=t,t∈[1,3],则cos2<,>==≤,当且仅当t=,即λ=时,|cos<,>|的最大值为,因为y=cosx在(0,)上是减函数,此时直线CQ与DP所成角取得最小值.又∵BP==,∴BQ=BP=.点评:本题考查求二面角的三角函数值,考查用空间向量解决问题的能力,注意解题方法的积累,属于中档题.26.(10分)(2015•江苏)已知集合X={1,2,3},Y n={1,2,3,…,n)(n∈N*),设S n={(a,b)|a整除b或整除a,a∈X,B∈Y n},令f(n)表示集合S n所含元素的个数.(1)写出f(6)的值;(2)当n≥6时,写出f(n)的表达式,并用数学归纳法证明.数学归纳法.考点:综合题;点列、递归数列与数学归纳法.专题:分(1)f(6)=6+2++=13;析:(2)根据数学归纳法的证明步骤,分类讨论,即可证明结论.解解:(1)f(6)=6+2++=13;答:(2)当n≥6时,f(n)=.下面用数学归纳法证明:①n=6时,f(6)=6+2++=13,结论成立;②假设n=k(k≥6)时,结论成立,那么n=k+1时,S k+1在S k的基础上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生,分以下情形讨论:1)若k+1=6t,则k=6(t﹣1)+5,此时有f(k+1)=f(k)+3=(k+1)+2++,结论成立;2)若k+1=6t+1,则k=6t+1,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2+++1=(k+1)+2++,结论成立;3)若k+1=6t+2,则k=6t+1,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2=(k+1)+2++,结论成立;4)若k+1=6t+3,则k=6t+2,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2=(k+1)重庆万州区教育事业单位考试资料 页脚内容21 +2++,结论成立;5)若k+1=6t+4,则k=6t+3,此时有f (k+1)=f (k )+2=k+2+++2=(k+1)+2++,结论成立;6)若k+1=6t+5,则k=6t+4,此时有f (k+1)=f (k )+2=k+2+++2=(k+1)+2++,结论成立. 综上所述,结论对满足n≥6的自然数n 均成立. 点评:本题考查数学归纳法,考查学生分析解决问题的能力,正确归纳是关键.。

2015年江苏高考数学试卷及参考答案清晰版

2015年江苏高考数学试卷及参考答案清晰版

数学Ⅰ试题参考答案一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分,共计70分.1.22.63.4.75. 566.-37.8.3{}x x<︱-1<2(或(-1,2))10. 11. 13.4 14. 22(1)2x y -+=2011二、解答题15.本小题主要考查余弦定理、正弦定理,同角三角函数关系与二倍角公式,考查运算求解能力.满分14分。

解:(1)由余弦定理知,,2221C C 2C cos 4922372B =AB +A -AB⋅A ⋅A =+-⨯⨯⨯=则.()()()()()()()()()()222213ln 13312ln 1231ln 111213t t t t t t g t t t t ⎡⎤++-+++++⎣⎦'=+++令,()()()()()()()22213ln 13312ln 1231ln 1t t t t t t t ϕ=++-+++++则.()()()()()()()613ln 13212ln 121ln 1t t t t t t t ϕ'=++-+++++⎡⎤⎣⎦令,则.()()1t t ϕϕ'=()()()()163ln 134ln 12ln 1t t t t ϕ'=+-+++⎡⎤⎣⎦令,则.()()21t t ϕϕ'=()()()()212011213t t t t ϕ'=>+++由,,()()()()1200000g ϕϕϕ====()20t ϕ'>知,,,在和上均单调.()2t ϕ()1t ϕ()t ϕ()g t 1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭()0,+∞故只有唯一零点,即方程()只有唯一解,故假设不成立.()g t 0t =**0t =所以不存在,及正整数,,使得,,,依次构成等比数列.1a d n k 1n a 2n k a +23n k a +34n k a +数学Ⅱ(附加题)参考答案21.[选做题]A .(选修4—1:几何证明选讲)本小题主要考查圆的基本性质和相似三角形等基础知识,考查推理论证能力.满分10分。

(完整版)2015年江苏省高考数学试卷答案与解析

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2015年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70分)1. (5分)(2015?江苏)已知集合A={1,2,3},B={2,4,5},则集合A U B中元素的个数为5 .考点:并集及其运算.专题:集合.分析:求出A U B,再明确元素个数解答:解:集合A={1 , 2, 3} , B={2 , 4, 5},则A U B={1 , 2, 3, 4, 5};所以A U B中元素的个数为5;故答案为:5点评:题考查了集合的并集的运算,根据定义解答,注意元素不重复即可,属于基础题2. (5分)(2015?江苏)已知一组数据4, 6, 5, 8, 7, 6,那么这组数据的平均数为6考点:众数、中位数、平均数. 专题:概率与统计.分析:直接求解数据的平均数即可.解答:解:数据4, 6, 5, 8, 7, 6, 那么这组数据的平均数为:'=6.| 6 |故答案为:6.点评:本题考查数据的均值的求法,基本知识的考查.3. (5分)(2015?江苏)设复数z满足z2=3+4i (i是虚数单位),则z的模为—仃考点:复数求模.专题:数系的扩充和复数.分析:直接利用复数的模的求解法则,化简求解即可.解答:解:复数z满足z2=3+4i,可得|z||z|=|3+4i|=二.:_=5,••• |z|=,厂故答案为:.口.点评:本题考查复数的模的求法,注意复数的模的运算法则的应用,考查计算能力.4. (5分)(2015?江苏)根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S为7考点:伪代码.专题:图表型;算法和程序框图.分析:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的I ,S的值,当1=10时不满足条件I v 8, 退出循环,输出S的值为7.解答:解:模拟执行程序,可得S=1 , I=1满足条件I v8,S=3,I=4满足条件I v8,S=5,I=7满足条件I v8,S=7,I=10不满足条件I v 8,退出循环,输出S的值为7.故答案为:7.点评:本题主要考查了循环结构的程序,正确判断退出循环的条件是解题的关键,属于基础题.5. (5分)(2015?江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球、1只红球、2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为—考点:古典概型及其概率计算公式.专题:概率与统计.分析:根据题意,把4个小球分别编号,用列举法求出基本事件数,计算对应的概率即可. 解答:解:根据题意,记白球为A,红球为B,黄球为C1、C2,则一次取出2只球,基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种,其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC 2、BC1、BC2共5种;所以所求的概率是卩二.故答案为:上.点评:本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题,是基础题目.6. ( 5 分)(2015?江苏)已知向量3= (2, 1), b| = (1, - 2),若nb= ( 9,- 8) ( m, n €R),贝U m - n的值为 -3 考点:平面向量的基本定理及其意义. 专题:平面向量及应用.分析:直接利用向量的坐标运算,求解即可.解答:农宀曰-1 - 卄f r解:向量 3= (2,1) , b =( 1,— 2),右 m 右+nb= (9, - 8)可得卜於口一9 ,解得m=2 , n=5,[阳 _ 2n= _ 8 /• m - n= — 3. 故答案为:-3.点评:本题考查向量的坐标运算,向量相等条件的应用,考查计算能力.考点:指、对数不等式的解法.专题:函数的性质及应用;不等式的解法及应用.分析:利用指数函数的单调性转化为 X 2- x < 2,求解即可. 解答:■■解;•/ 2 套 K < 4,/• x 2 - x < 2, 即 X 2- X - 2< 0, 解得:-1 < x < 2 故答案为:(-1, 2)点评:本题考查了指数函数的性质,二次不等式的求解,属于简单的综合题目,难度不大.解得 tan 3=3. 故答案为:3.本题考查两角和的正切函数,基本知识的考查.9. ( 5分)(2015?江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为 5,高为4的圆锥和底面半径为 2, 高为8的圆柱各一个,若将它们重新制作成总体积与高均保持不变, 但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为 _ ' _.考点:棱柱、棱锥、棱台的体积.7. ( 5分)(2015?江苏)不等式(-1, 2)& ( 5分)(2015?江苏)已知tan a = - 2, tan ( a + ®=■,贝U tan 3的值为考点:两角和与差的正切函数. 专题:三角函数的求值.分析: 解答:直接利用两角和的正切函数, 解:tan a = - 2, tan ( a + 3)求解即可.刁,可知 tan (3)=tan 。

2015年 江苏高考数学真题完整解析版

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2015²江苏卷(数学)1.A1[2015·江苏卷] 已知集合A ={1,2,3},B ={2,4,5},则集合A ∪B 中元素的个数为________.1.5 [解析] 因为A ∪B ={1,2,3,4,5},所以A ∪B 中元素的个数为5. 2.I2[2015·江苏卷] 已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为________.2.6 [解析] x =16³(4+6+5+8+7+6)=6.3.L4[2015·江苏卷] 设复数z 满足z 2=3+4i(i 是虚数单位),则z 的模为________. 3.5 [解析] 因为z 2=3+4i ,所以|z 2|=|z |2=|3+4i|=9+16=5,所以|z |= 5. 4.L2[2015·江苏卷] 根据如图1-1所示的伪代码,可知输出的结果S 为________.S ←1I ←1While I<8 S ←S +2 I ←I +3 End While Print S图1-14.7 [解析] 第一次循环得S =1+2=3,I =1+3=4<8;第二次循环得S =3+2=5,I =4+3=7<8;第三次循环得S =5+2=7,I =7+3=10>8,退出循环,故输出的S =7.5.K2[2015·江苏卷] 袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球.从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为________.5.56[解析] 方法一:以1表示白球,以2表示红球,以3,4表示2只黄球,则随机摸出2只球的所有基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6个,2只球颜色不同的基本事件有5个,故所求概率P =56.方法二:2只球颜色不同的对立事件是2只球颜色相同,有1种情况,故所求概率P =1-16=56. 6.F2[2015·江苏卷] 已知向量a =(2,1),b =(1,-2),若m a +n b =(9,-8)(m ,n ∈R ),则m -n 的值为________.6.-3 [解析] 因为m a +n b =(2m +n ,m -2n )=(9,-8),所以⎩⎪⎨⎪⎧2m +n =9,m -2n =-8,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =2,n =5,故m -n =-3. 7.E3[2015·江苏卷] 不等式2x 2-x <4的解集为________.7.{x |-1<x <2}(或(-1,2)) [解析] 因为2x 2-x <4=22,所以x 2-x <2,解得-1<x <2,故不等式的解集为(-1,2).8.C5[2015·江苏卷] 已知tan α=-2,tan(α+β)=17,则tan β的值为________.8.3 [解析] 因为β=(α+β)-α,所以tan β=tan[(α+β)-α]=tan (α+β)-tan α1+tan (α+β)tan α=17+21-27=3.9.G7[2015·江苏卷] 现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为________.9.7 [解析] 设新的底面半径为r ,则13π³52³4+π³22³8=13πr 2³4+πr 2³8 ,即283πr 2=1003π+32π,解得r =7. 10.H4[2015·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线mx -y -2m -1=0(m ∈R )相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为________.10.(x -1)2+y 2=2 [解析] 由直线mx -y -2m -1=0得m (x -2)-(y +1)=0,故直线过点(2,-1).当切线与过(1,0),(2,-1)两点的直线垂直时,圆的半径最大,此时有r =1+1=2,故所求圆的标准方程为(x -1)2+y 2=2.11.D4[2015·江苏卷] 设数列{a n }满足a 1=1,且a n +1-a n =n +1(n ∈N *),则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________.11.2011[解析] 因为a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 2-a 1)+a 1=n +(n -1)+…+2+1=n (n +1)2,所以1a n =2n (n +1)=2⎝⎛⎭⎫1n -1n +1,故∑n =110 1a n =2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1-12+⎝⎛⎭⎫12-13+…+⎝⎛⎭⎫110-111=2011. 12.H6、H10[2015·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中,P 为双曲线x 2-y 2=1右支上的一个动点.若点P 到直线x -y +1=0的距离大于c 恒成立,则实数c 的最大值为________.12.22[解析] 不妨设点P (x 0,x 20-1)(x 0≥1),则点P 到直线x -y +1=0的距离d =||x 0-x 20-1+12.令u (x )=x -x 2-1=1x +x 2-1,则u (x )是单调递减函数,且u (x )>0.当x →+∞时,u (x )→0,所以d >22,故c max =22. 13.B8、B9[2015·江苏卷] 已知函数f (x )=|ln x |,g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧0,0<x ≤1,|x 2-4|-2,x >1,则方程|f (x )+g (x )|=1实根的个数为________.13.4 [解析] 当0<x ≤1时,由||f (x )+g (x )=1得||ln x =1,解得x =1e或x =e(舍去).当x >1时,由||f (x )+g (x )=1得||ln x =3-||x 2-4或||ln x =1-||x 2-4.分别在同一个坐标系中作出函数y =||ln x 与y =3-||x 2-4的图像(如图1)和函数y =||ln x 与y =1-||x 2-4的图像(如图2).图1图2当x >1时,它们分别有1个、2个交点,故x >1时,方程有3个实根. 综上,方程||f (x )+g (x )=1共有4个不同的实根.14.C7、F3[2015·江苏卷] 设向量a k =⎝⎛⎭⎫cos k π6,sin k π6+cos k π6(k =0,1,2,…,12),则k =011(a k ²a k +1)的值为________.14.93 [解析] 因为a k ²a k +1=cosk π6cos (k +1)π6+⎝⎛⎭⎫sin k π6+cos k π6⎣⎡⎦⎤sin (k +1)π6+cos (k +1)π6=2cos k π6cos (k +1)π6+sin k π6sin (k +1)π6+sin k π6cos (k +1)π6+cos k π6sin(k +1)π6=cos k π6cos (k +1)π6+cos π6+sin (2k +1)π6=12cos (2k +1)π6+sin (2k +1)π6+334, 所以k =011(a k ²a k +1)=12³334+12k =011c os (2k +1)π6+k =011s in (2k +1)π6=9 3.15.C8[2015·江苏卷] 在△ABC 中,已知AB =2,AC =3,A =60°.(1)求BC 的长; (2)求sin 2C 的值.15.解:(1)由余弦定理知,BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cos A =4+9-2³2³3³12=7,所以BC =7.(2)由正弦定理知,AB sin C =BC sin A ,所以sin C =AB BC ²sin A =2sin 60°7=217. 因为AB <BC ,所以C 为锐角,则cos C =1-sin 2C =1-37=277. 因此sin 2C =2sin C ²cos C =2³217³277=437. 16.G4、G5[2015·江苏卷] 如图1-2,在直三棱柱ABC - A 1B 1C 1中,已知AC ⊥BC ,BC=CC 1,设AB 1的中点为D ,B 1C ∩BC 1=E .求证:(1)DE ∥平面AA 1C 1C ; (2)BC 1⊥AB 1.图1-216.证明:(1)由题意知,E 为B 1C 的中点, 又D 为AB 1的中点,因此DE ∥AC .又因为DE ⊄平面AA 1C 1C ,AC ⊂平面AA 1C 1C , 所以DE ∥平面AA 1C 1C . (2)因为三棱柱ABC - A 1B 1C 1是直三棱柱,所以CC 1⊥平面ABC .因为AC ⊂平面ABC ,所以AC ⊥CC 1. 又因为AC ⊥BC ,CC 1⊂平面BCC 1B 1, BC ⊂平面BCC 1B 1,BC ∩CC 1=C , 所以AC ⊥平面BCC 1B 1.又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1,所以BC 1⊥AC .因为BC =CC 1,所以矩形BCC 1B 1是正方形,因此BC 1⊥B 1C .因为AC ,B 1C ⊂平面B 1AC ,AC ∩B 1C =C ,所以BC 1⊥平面B 1AC . 又因为AB 1⊂平面B 1AC ,所以BC 1⊥AB 1. 17.B10、B11[2015·江苏卷] 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路.记两条相互垂直的公路为l 1,l 2,山区边界曲线为C ,计划修建的公路为l .如图1-3所示,M ,N 为C 的两个端点,测得点M 到l 1,l 2的距离分别为5千米和40千米,点N 到l 1,l 2的距离分别为20千米和2.5千米.以l 2,l 1所在的直线分别为x ,y 轴,建立平面直角坐标系xOy .假设曲线C 符合函数y =ax 2+b(其中a ,b 为常数)模型.(1)求a ,b 的值.(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点,P 的横坐标为t .①请写出公路l 长度的函数解析式f (t ),并写出其定义域. ②当t 为何值时,公路l 的长度最短?求出最短长度.图1-317.解:(1)由题意知,点M ,N 的坐标分别为(5,40),(20,2.5). 将其分别代入y =ax 2+b,得⎩⎨⎧a25+b=40,a400+b =2.5,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1000,b =0.(2)①由(1)知,y =1000x 2(5≤x ≤20),则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫t ,1000t 2. 设点P 处的切线l 交x ,y 轴分别于A ,B 点,y ′=-2000x 3,则l 的方程为y -1000t 2=-2000t 3(x -t ),由此得A ⎝⎛⎭⎫3t 2,0,B ⎝⎛⎭⎫0,3000t 2. 故f (t )=⎝⎛⎭⎫3t 22+⎝⎛⎭⎫3000t 22=32t 2+4³106t4,t ∈[5,20].②设g (t )=t 2+4³106t 4,则g ′(t )=2t -16³106t 5.令g ′(t )=0,解得t =10 2.当t ∈[5,102)时,g ′(t )<0,g (t )是减函数;当t ∈(102,20]时,g ′(t )>0,g (t )是增函数.从而,当t =102时,函数g (t )有极小值,也是最小值,所以g (t )min =300,此时f (t )min=15 3.故当t =102时,公路l 的长度最短,最短长度为153千米.18.H5、H10[2015·江苏卷] 如图1-4,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22,且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1)求椭圆的标准方程;(2)过F 的直线与椭圆交于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ,C ,若PC =2AB ,求直线AB 的方程.图1-418.解:(1)由题意,得c a =22,且c +a 2c =3,解得a =2,c =1,则b =1, 所以椭圆的标准方程为x 22+y 2=1.(2)当AB ⊥x 轴时,AB =2,又CP =3,不合题意.当AB 与x 轴不垂直时,设直线AB 的方程为y =k (x -1),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),将直线AB 的方程代入椭圆方程,得(1+2k 2)x 2-4k 2x +2(k 2-1)=0,则x 1,2=2k 2±2(1+k 2)1+2k 2,C点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21+2k 2,-k 1+2k 2,且AB =(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2=(1+k 2)(x 2-x 1)2= 22(1+k 2)1+2k 2.若k =0,则线段AB 的垂直平分线为y 轴,与左准线平行,不合题意,从而k ≠0,故直线PC 的方程为y +k 1+2k 2=-1k ⎝⎛⎭⎫x -2k 21+2k 2,则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫-2,5k 2+2k (1+2k 2),从而PC =2(3k 2+1)1+k 2|k |(1+2k 2).因为PC =2AB ,所以2(3k 2+1)1+k 2|k |(1+2k 2)=42(1+k 2)1+2k 2,解得k =±1,此时直线AB 的方程为y =x -1或y =-x +1. 19.B9、B12[2015·江苏卷] 已知函数f (x )=x 3+ax 2+b (a ,b ∈R ). (1)试讨论f (x )的单调性;(2)若b =c -a (实数c 是与a 无关的常数),当函数f (x )有三个不同的零点时,a 的取值范围恰好是(-∞,-3)∪⎝⎛⎭⎫1,32∪⎝⎛⎭⎫32,+∞,求c 的值. 19.解:(1)f ′(x )=3x 2+2ax ,令f ′(x )=0,解得x 1=0,x 2=-2a3.当a =0时,因为f ′(x )=3x 2≥0,所以函数f (x )在(-∞,+∞)上单调递增;当a >0时,若x ∈⎝⎛⎭⎫-∞,-2a 3∪(0,+∞),则f ′(x )>0,若x ∈⎝⎛⎭⎫-2a3,0,则f ′(x )<0, 所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫-∞,-2a 3,(0,+∞)上单调递增,在⎝⎛⎭⎫-2a3,0上单调递减; 当a <0时,若x ∈(-∞,0)∪⎝⎛⎭⎫-2a 3,+∞,则f ′(x )>0,若x ∈⎝⎛⎭⎫0,-2a3,则f ′(x )<0, 所以函数f (x )在(-∞,0),⎝⎛⎭⎫-2a 3,+∞上单调递增,在⎝⎛⎭⎫0,-2a3上单调递减. (2)由(1)知,函数f (x )的两个极值分别为f (0)=b ,f ⎝⎛⎭⎫-2a 3=427a 3+b ,则函数f (x )有三个零点等价于f (0)·f ⎝⎛⎭⎫-2a 3=b ⎝⎛⎭⎫427a 3+b <0,从而 ⎩⎪⎨⎪⎧a >0,-427a 3<b <0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0,0<b <-427a 3. 又b =c -a ,所以当a >0时,427a 3-a +c >0或当a <0时,427a 3-a +c <0.设g (a )=427a 3-a +c .因为函数f (x )有三个零点时,a 的取值范围恰好是(-∞,-3)∪⎝⎛⎭⎫1,32∪⎝⎛⎭⎫32,+∞,所以在(-∞,-3)上g (a )<0,且在⎝⎛⎭⎫1,32∪⎝⎛⎭⎫32,+∞上g (a )>0均恒成立, 从而g (-3)=c -1≤0,且g ⎝⎛⎭⎫32=c -1≥0,因此c =1.此时,f (x )=x 3+ax 2+1-a =(x +1)[x 2+(a -1)x +1-a ].因为函数f (x )有三个零点,所以x 2+(a -1)x +1-a =0有两个异于-1的不等实根, 所以Δ=(a -1)2-4(1-a )=a 2+2a -3>0, 且(-1)2-(a -1)+1-a ≠0,解得a ∈(-∞,-3)∪⎝⎛⎭⎫1,32∪⎝⎛⎭⎫32,+∞. 综上,c =1.20.D2、D3、D5[2015·江苏卷] 设a 1,a 2,a 3,a 4是各项为正数且公差为d (d ≠0)的等差数列.(1)证明:2a 1,2a 2,2a 3,2a 4依次构成等比数列.(2)是否存在a 1,d ,使得a 1,a 22,a 33,a 44依次构成等比数列?并说明理由.(3)是否存在a 1,d 及正整数n ,k ,使得a n 1,a n +k 2,a n +2k3,a n +3k 4依次构成等比数列?并说明理由.20.解:(1)证明:因为2a n +12a n=2a n +1-a n =2d (n =1,2,3)是同一个常数,所以2a 1,2a 2,2a 3,2a 4依次构成等比数列.(2)令a 1+d =a ,则a 1,a 2,a 3,a 4分别为a -d ,a ,a +d ,a +2d (a >d ,a >-2d ,d ≠0).假设存在a 1,d ,使得a 1,a 22,a 33,a 44依次构成等比数列,则a 4=(a -d )(a +d )3,且(a +d )6=a 2(a +2d )4.令t =da ,则1=(1-t )(1+t )3,且(1+t )6=(1+2t )4⎝⎛⎭⎫-12<t <1,t ≠0, 化简得t 3+2t 2-2=0(*),且t 2=t +1.将t 2=t +1代入(*)式,得t (t +1)+2(t +1)-2=t 2+3t =t +1+3t =4t +1=0,则t =-14.显然t =-14不是上面方程的解,矛盾,所以假设不成立,因此不存在a 1,d ,使得a 1,a 22,a 33,a 44依次构成等比数列.(3)假设存在a 1,d 及正整数n ,k ,使得a n 1,a n +k 2,a n +2k3,a n +3k 4依次构成等比数列, 则a n 1(a 1+2d )n +2k=(a 1+d )2(n +k ), 且(a 1+d )n +k (a 1+3d )n +3k =(a 1+2d )2(n +2k ).分别在两个等式的两边同除以a 2(n +k )1及a 2(n +2k )1,并令t =da 1⎝⎛⎭⎫t >-13,t ≠0, 则(1+2t )n +2k =(1+t )2(n +k ),且(1+t )n +k (1+3t )n +3k =(1+2t )2(n +2k ).将上述两个等式两边取对数,得(n +2k )ln(1+2t )=2(n +k )ln(1+t ),且(n +k )ln(1+t )+(n +3k )ln(1+3t )=2(n +2k )ln(1+2t ),化简得2k [ln(1+2t )-ln(1+t )]=n [2ln(1+t )-ln(1+2t )],且k [3ln(1+3t )+ln(1+t )-4ln(1+2t )]=n [2ln(1+2t )-ln(1+t )-ln(1+3t )]. 再将这两式相除,化简得ln(1+3t )ln(1+2t )+3ln(1+2t )ln(1+t )=4ln(1+3t )ln(1+t )(**).令g (t )=4ln(1+3t )ln(1+t )-ln(1+3t )ln(1+2t )-3ln(1+2t )ln(1+t ),则g ′(t )=2[(1+3t )2ln (1+3t )-3(1+2t )2ln (1+2t )+3(1+t )2ln (1+t )](1+t )(1+2t )(1+3t ).令φ(t )=(1+3t )2ln(1+3t )-3(1+2t )2ln(1+2t )+3(1+t )2ln(1+t ), 则φ′(t )=6[(1+3t )ln(1+3t )-2(1+2t )ln(1+2t )+(1+t )ln(1+t )]. 令φ1(t )=φ′(t ),则φ′1(t )=6[3ln(1+3t )-4ln(1+2t )+ln(1+t )]. 令φ2(t )=φ′1(t ),则φ′2(t )=12(1+t )(1+2t )(1+3t )>0.由g (0)=φ(0)=φ1(0)=φ2(0)=0,φ′2(t )>0,知φ2(t ),φ1(t ),φ(t ),g (t )在⎝⎛⎭⎫-13,0和(0,+∞)上均单调. 故g (t )只有唯一零点t =0,即方程(**)只有唯一解t =0,故假设不成立,所以不存在a 1,d 及正整数n ,k ,使得a n 1,a n +k 2,a n +2k3,a n +3k 4依次构成等比数列. 21.N1[2015·江苏卷] A .[选修4-1:几何证明选讲]如图1-5,在△ABC 中,AB =AC ,△ABC 的外接圆⊙O 的弦AE 交BC 于点D .求证:△ABD ∽△AEB .图1-5N2B .[选修4-2:矩阵与变换]已知x ,y ∈R ,向量α=⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-1是矩阵A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0的属于特征值-2的一个特征向量,求矩阵A 以及它的另一个特征值.N3C .[选修4-4:坐标系与参数方程]已知圆C 的极坐标方程为ρ2+22ρsin ⎝⎛⎭⎫θ-π4-4=0,求圆C 的半径.N4D.[选修4-5:不等式选讲]解不等式x +|2x +3|≥2.21.A.证明:因为AB =AC ,所以∠ABD =∠C . 又因为∠C =∠E ,所以∠ABD =∠E , 又∠BAE 为公共角,所以△ABD ∽△AEB .B .解:由已知,得Aα=-2α,即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤x -1 y =⎣⎢⎡⎦⎥⎤-22,则⎩⎪⎨⎪⎧x -1=-2,y =2,即⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =2,所以矩阵A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1120. 从而矩阵A 的特征多项式f (λ)=(λ+2)(λ-1), 所以矩阵A 的另一个特征值为1.C .解:以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ,以极轴为x 轴的正半轴,建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2+22ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ-22cos θ-4=0,化简得ρ2+2ρsin θ-2ρcos θ-4=0,则圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2x +2y -4=0, 即(x -1)2+(y +1)2=6,所以圆C 的半径为 6.D .解:原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x <-32,-x -3≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥-32,3x +3≥2,解得x ≤-5或x ≥-13.综上,原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤-5或x ≥-13. 22.G11、G12[2015·江苏卷] 如图1-6,在四棱锥P - ABCD 中,已知P A ⊥平面ABCD ,且四边形ABCD 为直角梯形,∠ABC =∠BAD =π2,P A =AD =2,AB =BC =1.(1)求平面P AB 与平面PCD 所成二面角的余弦值;(2)点Q 是线段BP 上的动点,当直线CQ 与DP 所成的角最小时,求线段BQ 的长.图1-622.解:以{AB →,AD →,AP →}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A - xyz ,则各点的坐标为B (1,0,0),C (1,1,0),D (0,2,0),P (0,0,2).(1)因为AD ⊥平面P AB ,所以AD →是平面P AB 的一个法向量,AD →=(0,2,0). 因为PC →=(1,1,-2),PD →=(0,2,-2), 设平面PCD 的一个法向量为m =(x ,y ,z ), 所以m ·PC →=0,m ·PD →=0,即⎩⎪⎨⎪⎧x +y -2z =0,2y -2z =0.令y =1,解得z =1,x =1, 所以m =(1,1,1)是平面PCD 的一个法向量. 从而cos 〈AD →,m 〉=AD →·m |AD →||m |=33,所以平面P AB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为33. (2)由BP →=(-1,0,2),可设BQ →=λBP →=(-λ,0,2λ)(0≤λ≤1),又CB →=(0,-1,0),所以CQ →=CB →+BQ →=(-λ,-1,2λ),又DP →=(0,-2,2),从而cos 〈CQ →,DP →〉=CQ →²DP →|CQ →||DP →|=1+2λ10λ2+2 . 设1+2λ=t ,t ∈[1,3],则cos 2〈CQ →,DP →〉=2t 25t 2-10t +9=29⎝⎛⎭⎫1t -592+209≤910, 当且仅当t =95,即λ=25时,|cos 〈CQ →,DP →〉|取得最大值为31010. 因为y =cos x 在⎝⎛⎭⎫0,π2上是减函数,所以此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值. 又因为BP =12+22=5,所以BQ =25BP =255. 23.M3[2015·江苏卷] 已知集合X ={1,2,3},Y n ={1,2,3,…,n }(n ∈N *),设S n ={(a ,b )|a 整除b 或b 整除a ,a ∈X ,b ∈Y n }.令f (n )表示集合S n 所含元素的个数.(1)写出f (6)的值;(2)当n ≥6时,写出f (n )的表达式,并用数学归纳法证明.23.解:(1)f (6)=13.(2)当n ≥6时,f (n )=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧n +2+⎝⎛⎭⎫n 2+n 3,n =6t ,n +2+⎝⎛⎭⎫n -12+n -13,n =6t +1,n +2+⎝⎛⎭⎫n 2+n -23,n =6t +2,n +2+⎝⎛⎭⎫n -12+n 3,n =6t +3,n +2+⎝⎛⎭⎫n 2+n -13,n =6t +4,n +2+⎝⎛⎭⎫n -12+n -23,n =6t +5(t ∈N *). 下面用数学归纳法证明:①当n =6时,f (6)=6+2+62+63=13,结论成立. ②假设n =k (k ≥6)时结论成立,那么n =k +1时,f (k +1)在f (k )的基础上新增加的元素在(1,k +1),(2,k +1),(3,k +1)中产生,分以下情形讨论:(i)若k +1=6t ,则k =6(t -1)+5,此时有f (k +1)=f (k )+3=k +2+k -12+k -23+3 =(k +1)+2+k +12+k +13,结论成立; (ii)若k +1=6t +1,则k =6t ,此时有f (k +1)=f (k )+1=k +2+k 2+k 3+1=(k +1)+2+(k +1)-12+(k +1)-13,结论成立; (iii)若k +1=6t +2,则k =6t +1,此时有f (k +1)=f (k )+2=k +2+k -12+k -13+2 =(k +1)+2+k +12+(k +1)-23,结论成立; (iv)若k +1=6t +3,则k =6t +2,此时有f (k +1)=f (k )+2=k +2+k 2+k -23+2 =(k +1)+2+(k +1)-12+k +13,结论成立; (v)若k +1=6t +4,则k =6t +3,此时有f (k +1)=f (k )+2=k +2+k -12+k 3+2 =(k +1)+2+k +12+(k +1)-13,结论成立; (vi)若k +1=6t +5,则k =6t +4,此时有f (k +1)=f (k )+1=k +2+k 2+k -13+1 =(k +1)+2+(k +1)-12+(k +1)-23,结论成立. 综上所述,结论对满足n ≥6的自然数n 均成立.。

2015年江苏高考数学试题及答案完整版.doc

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江苏一、填空题1.已知集合{}123A =,,,{}245B =,,,则集合AB 中元素的个数为_______.2.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为________.3.设复数z 满足234z i =+(i 是虚数单位),则z 的模为_______.4.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S 为________.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为________.已知向量()21a =,,()2a =-1,,若()()98ma nb mn R +=-∈,,则m-n 的值为______. 不等式224x x-<的解集为________.已知tan 2α=-,()1tan 7αβ+=,则tan β的值为_______. 现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。

若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个,则新的底面半径为 。

10.在平面直角坐标系xOy 中,以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 。

11.数列}{n a 满足11=a ,且11+=-+n a a n n (*N n ∈),则数列}1{na 的前10项和为 。

12.在平面直角坐标系xOy 中,P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。

若点P 到直线01=+-y x 的距离对c 恒成立,则是实数c 的最大值为 。

13.已知函数|ln |)(x x f =,⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ,则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 。

14.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos =+=k k k k a k πππ,则∑=+⋅121)(k k ka a的值为 。

2015年江苏高考数学真题及答案

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绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I 参考公式: 圆柱的体积公式:sh V =圆柱,其中s 为圆柱的表面积,h 为高.圆锥的体积公式:sh V 31=圆锥,其中s 为圆锥的底面积,h 为高.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 请把答案填写在答题卡...相应位置上...... 1. 已知集合{}3,2,1=A ,{}5,4,2=B ,则集合B A Y 中元素的个数为▲ .2. 已知一组数据4, 6, 5, 8, 7, 6,则这组数据的平均数为▲ .3. 设复数z 满足i z 432+=(i 是虚数单位),则z 的模为 ▲ .4. 根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S 为 ▲ .5. 袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄 球. 从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为 ▲ .6. 已知向量a =)1,2(,b=)2,1(-, 若ma +nb =)8,9(-(R n m ∈,), n m -的值为 ▲ .7. 不等式422<-x x 的解集为 ▲ .8. 已知2tan -=α,71)tan(=+βα,则βtan 的值为 ▲ .9. 现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个. 若将它们重新制作成总体积和高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为 ▲ .10. 在平面直角坐标系x O y 中,以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 ▲ .11. 设数列{}n a 满足11=a ,且11+=-+n a a n n (*N n ∈), 则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1前10项的和为 ▲ .12. 在平面直角坐标系x O y 中,P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点,若点P 到直线01=+-y x 的距离大于c 恒成立,则实数c 的最大值为 ▲ .13. 已知函数x x f ln )(=,⎪⎩⎪⎨⎧>--≤<=,1,24,10,0)(2x x x x g ,则方程1)()(=+x g x f 实根的个数为 ▲ .14. 设向量a k =(6cos 6sin ,6cos πππk k k +),(12,,2,1,0Λ=k ),则∑=+⋅111)(k k k a a 的值为▲ .二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内........作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)在ABC ∆中,已知ο60,3,2===A AC AB . (1)求BC 的长; (2)求C 2sin 的值. 16.(本题满分14分)如图,在直三棱柱111C B A ABC -中,已知BC AC ⊥,1CC BC =,设1AB 的中点为D ,E BC C B =11I .求证:(1)C C AA DE 11//平面; (2)11AB BC ⊥. 17.(本小题满分14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为12l l ,,山区边界曲线为C ,计划修建的公路为l ,如图所示,M ,N 为C 的两个端点,测得点MBDABC到12l l ,的距离分别为5千米和40千米,点N 到12l l ,的距离分别为20千米和2.5千米,以12l l ,所在的直线分别为x ,y 轴,建立平面直角坐标系xOy ,假设曲线C 符合函数2ay x b=+ (其中a ,b 为常数)模型. (1)求a ,b 的值;(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点,P ①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ,并写出其定义域; ②当t 为何值时,公路l 的长度最短?求出最短长度. 18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为2,且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1)求椭圆的标准方程;(2)过F 的直线与椭圆交于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ,C ,若PC =2AB ,求直线AB 的方程. M Nl 2l 1y CPl已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++=. (1)试讨论)(x f 的单调性;(2)若a c b -=(实数c 是a 与无关的常数),当函数)(x f 有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是),23()23,1()3,(+∞--∞Y Y ,求c 的值.20.(本小题满分16分)设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列 (1)证明:31242,2,2,2a a a a 依次成等比数列;(2)是否存在1,a d ,使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列,并说明理由;(3)是否存在1,a d 及正整数,n k ,使得k n k n k n n a a a a 342321,,,+++依次成等比数列,并说 明理由.2015年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学II21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两题......,并在相应的答题区域内作答............,若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.(选修4—1:几何证明选讲)如图,在ABC ∆中,AC AB =,ABC ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D 求证:ABD ∆∽AEB ∆B .(选修4—2:矩阵与变换)已知R y x ∈,,向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α是矩阵⎢⎣⎡⎥⎦⎤=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量,矩阵A 以及它的另一个特征值.C .(选修4—4:坐标系与参数方程)已知圆C的极坐标方程为2sin()404πρθ+--=,求圆C 的半径.D.(选修4—5:不等式选讲) 解不等式|23|3x x ++≥【必做题】第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题....卡.的指定区域.....E(第21——A内.. 22.(本小题满分10分)如图,在四棱锥P ABCD -中,已知PA ⊥平面ABCD ,且四边形ABCD 为直角梯 形,2ABC BAD π∠=∠=,2,1PA AD AB BC ====(1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值;(2)点Q 是线段BP 上的动点,当直线CQ 与DP 所成角最小时,求线段BQ 的长23.(本小题满分10分)已知集合{}3,2,1=X ,{})(,,3,2,1*N n n Y n ∈=Λ,{,),(a b b a b a S n 整除或整除=}n Y b X a ∈∈,,令()f n 表示集合n S 所含元素的个数.(1)写出(6)f 的值;(2)当6n ≥时,写出()f n 的表达式,并用数学归纳法证明. 2020-2-8P A BCDQ。

【真题】2015年江苏省高考数学试题(含附加题+答案)

【真题】2015年江苏省高考数学试题(含附加题+答案)

2015年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学Ⅰ参考公式:棱锥的体积13V Sh =,其中S 为底面积,h 为高.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.........1.已知集合{}123A =,,,{}245B =,,,则集合A B 中元素的个数为▲.2.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为▲.3.设复数z 满足234z i =+(i 是虚数单位),则z 的模为▲.4.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S 为▲.5.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为▲.6.已知向量()21a = ,,()2a =- 1,,若()()98ma nb mn R +=-∈,,则m-n 的值为▲.7.不等式224x x-<的解集为▲.8.已知tan 2α=-,()1tan 7αβ+=,则tan β的值为▲.9.现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。

若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个,则新的底面半径为▲.10.在平面直角坐标系xOy 中,以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为▲.注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求:1.本试卷共4页,均为非选择题(第1题~第20题,共20题)。

本卷满分为160分。

考试时间为120分钟。

考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。

2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4.作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答,在其它位置作答一律无效。

2015江苏省高考数学试题(卷)与答案解析Word版

2015江苏省高考数学试题(卷)与答案解析Word版

2015年江苏省高考数学试卷一、填空题1.已知集合{}123A =,,,{}245B =,,,则集合AB 中元素的个数为_______.2.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为________.3.设复数z 满足234z i =+(i 是虚数单位),则z 的模为_______.4.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S 为________.5.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为________.6.已知向量()21a =,,()2a =-1,,若()()98ma nb mn R +=-∈,,则m-n 的值为______.7.不等式224x x-<的解集为________.8.已知tan 2α=-,()1tan 7αβ+=,则tan β的值为_______. 9.现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。

若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个,则新的底面半径为 。

10.在平面直角坐标系xOy 中,以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 。

11.数列}{n a 满足11=a ,且11+=-+n a a n n (*N n ∈),则数列}1{na 的前10项和为 。

12.在平面直角坐标系xOy 中,P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。

若点P 到直线01=+-y x 的距离对c 恒成立,则是实数c 的最大值为 。

13.已知函数|ln |)(x x f =,⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ,则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 。

14.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos =+=k k k k a k πππ,则∑=+⋅121)(k k ka a的值为 。

江苏数学高考试卷含答案和解析

江苏数学高考试卷含答案和解析

2015年江苏数学高考试卷一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70分)1.(5分)(2015•江苏)已知集合A={1,2,3},B={2,4,5},则集合A∪B中元素的个数为.2.(5分)(2015•江苏)已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为.3.(5分)(2015•江苏)设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则z的模为.4.(5分)(2015•江苏)根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S 为.5.(5分)(2015•江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球、1只红球、2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为.6.(5分)(2015•江苏)已知向量=(2,1),=(1,﹣2),若m +n =(9,﹣8)(m ,n ∈R ),则m ﹣n 的值为.7.(5分)(2015•江苏)不等式2<4的解集为.8.(5分)(2015•江苏)已知tanα=﹣2,tan (α+β)=,则tanβ的值为.9.(5分)(2015•江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个,若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为.10.(5分)(2015•江苏)在平面直角坐标系xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线mx ﹣y ﹣2m ﹣1=0(m ∈R )相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.11.(5分)(2015•江苏)设数列{a n }满足a 1=1,且a n+1﹣a n =n+1(n ∈N *),则数列{}的前10项的和为.12.(5分)(2015•江苏)在平面直角坐标系xOy 中,P 为双曲线x 2﹣y 2=1右支上的一个动点,若点P 到直线x ﹣y+1=0的距离大于c 恒成立,则实数c 的最大值为.13.(5分)(2015•江苏)已知函数f (x )=|lnx|,g (x )=,则方程|f (x )+g (x )|=1实根的个数为.14.(5分)(2015•江苏)设向量=(cos ,sin +cos )(k=0,1,2,…,12),则(a k •a k+1)的值为.二、解答题(本大题共6小题,共计90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(14分)(2015•江苏)在△ABC 中,已知AB=2,AC=3,A=60°. (1)求BC 的长; (2)求sin2C 的值.16.(14分)(2015•江苏)如图,在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中,已知AC⊥BC,BC=CC 1,设AB 1的中点为D ,B 1C∩BC 1=E . 求证:(1)DE∥平面AA 1C 1C ;(2)BC 1⊥AB 1.17.(14分)(2015•江苏)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l 1,l 2,山区边界曲线为C ,计划修建的公路为l ,如图所示,M ,N 为C 的两个端点,测得点M 到l 1,l 2的距离分别为5千米和40千米,点N 到l 1,l 2的距离分别为20千米和2.5千米,以l 2,l 1在的直线分别为x ,y 轴,建立平面直角坐标系xOy ,假设曲线C 符合函数y=(其中a ,b为常数)模型. (1)求a ,b 的值;(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点,P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t ),并写出其定义域; ②当t 为何值时,公路l 的长度最短?求出最短长度.18.(16分)(2015•江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程;(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.19.(16分)(2015•江苏)已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R).(1)试讨论f(x)的单调性;(2)若b=c﹣a(实数c是与a无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(﹣∞,﹣3)∪(1,)∪(,+∞),求c的值.20.(16分)(2015•江苏)设a 1,a 2,a 3.a 4是各项为正数且公差为d (d ≠0)的等差数列. (1)证明:2,2,2,2依次构成等比数列;(2)是否存在a 1,d ,使得a 1,a 22,a 33,a 44依次构成等比数列?并说明理由;(3)是否存在a 1,d 及正整数n ,k ,使得a 1n ,a 2n+k ,a 3n+2k ,a 4n+3k 依次构成等比数列?并说明理由.三、附加题(本大题包括选做题和必做题两部分)【选做题】本题包括21-24题,请选定其中两小题作答,若多做,则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1:几何证明选讲】21.(10分)(2015•江苏)如图,在△ABC 中,AB=AC ,△ABC 的外接圆⊙O 的弦AE 交BC 于点D . 求证:△ABD∽△AEB.【选修4-2:矩阵与变换】22.(10分)(2015•江苏)已知x,y∈R,向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量,求矩阵A以及它的另一个特征值.【选修4-4:坐标系与参数方程】23.(2015•江苏)已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin(θ﹣)﹣4=0,求圆C的半径.[选修4-5:不等式选讲】24.(2015•江苏)解不等式x+|2x+3|≥2.【必做题】每题10分,共计20分,解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25.(10分)(2015•江苏)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=,PA=AD=2,AB=BC=1.(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值;(2)点Q是线段BP上的动点,当直线CQ与DP所成的角最小时,求线段BQ的长.26.(10分)(2015•江苏)已知集合X={1,2,3},Y n ={1,2,3,…,n )(n ∈N *),设S n ={(a ,b )|a 整除b 或整除a ,a ∈X ,B ∈Y n },令f (n )表示集合S n 所含元素的个数. (1)写出f (6)的值;(2)当n≥6时,写出f (n )的表达式,并用数学归纳法证明.2015年江苏数学高考试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70分)1.(5分)考点:并集及其运算.专题:集合.分析:求出A∪B,再明确元素个数解答:解:集合A={1,2,3},B={2,4,5},则A∪B={1,2,3,4,5};所以A∪B中元素的个数为5;故答案为:5点评:题考查了集合的并集的运算,根据定义解答,注意元素不重复即可,属于基础题2.(5分)考点:众数、中位数、平均数.专题:概率与统计.分直接求解数据的平均数即可.析:解答:解:数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为:=6.故答案为:6.点评:本题考查数据的均值的求法,基本知识的考查.3.(5分)考点:复数求模.专题:数系的扩充和复数.分析:直接利用复数的模的求解法则,化简求解即可.解答:解:复数z满足z2=3+4i,可得|z||z|=|3+4i|==5,∴|z|=.故答案为:.点评:本题考查复数的模的求法,注意复数的模的运算法则的应用,考查计算能力.4.(5分)考点:伪代码.专题:图表型;算法和程序框图.分析:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的I,S的值,当I=10时不满足条件I<8,退出循环,输出S的值为7.解答:解:模拟执行程序,可得S=1,I=1满足条件I<8,S=3,I=4满足条件I<8,S=5,I=7满足条件I<8,S=7,I=10不满足条件I<8,退出循环,输出S的值为7.故答案为:7.点评:本题主要考查循环结构的程序,正确判断退出循环的条件是解题的关键,属于基础题.5.(5分)考点:古典概型及其概率计算公式.专题:概率与统计.分析:根据题意,把4个小球分别编号,用列举法求出基本事件数,计算对应的概率即可.解答:解:根据题意,记白球为A,红球为B,黄球为C1、C2,则一次取出2只球,基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种,其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种;所以所求的概率是P=.故答案为:.点评:本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题,是基础题目.6.(5分)考点:平面向量的基本定理及其意义.专题:平面向量及应用.分析:直接利用向量的坐标运算,求解即可.解答:解:向量=(2,1),=(1,﹣2),若m+n=(9,﹣8)可得,解得m=2,n=5,∴m﹣n=﹣3.故答案为:﹣3.点评:本题考查向量的坐标运算,向量相等条件的应用,考查计算能力.7.(5分)考点:指、对数不等式的解法.专题:函数的性质及应用;不等式的解法及应用.分析:利用指数函数的单调性转化为x2﹣x<2,求解即可.解答:解;∵2<4,∴x2﹣x<2,即x2﹣x﹣2<0,解得:﹣1<x<2故答案为:(﹣1,2)点评:本题考查了指数函数的性质,二次不等式的求解,属于简单的综合题目,难度不大.8.(5分)考两角和与差的正切函数.点:专题:三角函数的求值.分析:直接利用两角和的正切函数,求解即可.解答:解:tanα=﹣2,tan(α+β)=,可知tan(α+β)==,即=,解得tanβ=3.故答案为:3.点评:本题考查两角和的正切函数,基本知识的考查.9.(5分)考点:棱柱、棱锥、棱台的体积.专题:计算题;空间位置关系与距离.分析:由题意求出原来圆柱和圆锥的体积,设出新的圆柱和圆锥的底面半径r,求出体积,由前后体积相等列式求得r.解答:解:由题意可知,原来圆锥和圆柱的体积和为:.设新圆锥和圆柱的底面半径为r,则新圆锥和圆柱的体积和为:.∴,解得:.故答案为:.点评:本题考查了圆柱与圆锥的体积公式,是基础的计算题.10.(5分)考点:圆的标准方程;圆的切线方程.专题:计算题;直线与圆.分析:求出圆心到直线的距离d的最大值,即可求出所求圆的标准方程.解答:解:圆心到直线的距离d==≤,∴m=1时,圆的半径最大为,∴所求圆的标准方程为(x﹣1)2+y2=2.故答案为:(x﹣1)2+y2=2.点评:本题考查所圆的标准方程,考查点到直线的距离公式,考查学生的计算能力,比较基础.11.(5分)考点:数列的求和;数列递推式.专题:等差数列与等比数列.分析:数列{an}满足a1=1,且an+1﹣an=n+1(n∈N*),利用“累加求和”可得an=.再利用“裂项求和”即可得出.解答:解:∵数列{an}满足a1=1,且an+1﹣an=n+1(n∈N*),∴当n≥2时,an=(an﹣an﹣1)+…+(a2﹣a1)+a1=+n+…+2+1=.当n=1时,上式也成立,∴an=.∴=2.∴数列{}的前n项的和Sn===.∴数列{}的前10项的和为.故答案为:.点评:本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.12.(5分)考点:双曲线的简单性质.专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0,c的最大值为直线x ﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离.解答:解:由题意,双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0,因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立,所以c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离,即.故答案为:.点评:本题考查双曲线的性质,考查学生的计算能力,比较基础.13.(5分)考点:根的存在性及根的个数判断.专题:综合题;函数的性质及应用.分析::由|f(x)+g(x)|=1可得g(x)=﹣f(x)±1,分别作出函数的图象,即可得出结论.解答:解:由|f(x)+g(x)|=1可得g(x)=﹣f(x)±1.g(x)与h(x)=﹣f(x)+1的图象如图所示,图象有两个交点;g(x)与φ(x)=﹣f(x)﹣1的图象如图所示,图象有两个交点;所以方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为4.故答案为:4.点评:本题考查求方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数,考查数形结合的数学思想,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.14.(5分)考点:数列的求和.专题:等差数列与等比数列;平面向量及应用.分析:利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出.解答: 解:=+=++++=++ =++,∴(a k •a k+1)=+++++++…+++++++…+=+0+0 =.故答案为:9.点评: 本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.二、解答题(本大题共6小题,共计90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(14分)考点:余弦定理的应用;二倍角的正弦.专题:解三角形.分析:(1)直接利用余弦定理求解即可.(2)利用正弦定理求出C的正弦函数值,然后利用二倍角公式求解即可.解答:解:(1)由余弦定理可得:BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7,所以BC=.(2)由正弦定理可得:,则sinC===,∵AB<BC,∴C为锐角,则cosC===.因此sin2C=2sinCcosC=2×=.点评:本题考查余弦定理的应用,正弦定理的应用,二倍角的三角函数,注意角的范围的解题的关键.16.(14分)考点:直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的性质.专题:证明题;空间位置关系与距离.分析:(1)根据中位线定理得DE∥AC,即证DE∥平面AA1C1C;(2)先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC,即证AC⊥CC1;再证明AC⊥平面BCC1B1,即证BC1⊥AC;最后证明BC1⊥平面B1AC,即可证出BC1⊥AB1.解答:证明:(1)根据题意,得;E为B1C的中点,D为AB1的中点,所以DE∥AC;又因为DE⊄平面AA1C1C,AC⊂平面AA1C1C,所以DE∥平面AA1C1C;(2)因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥平面ABC,因为AC⊂平面ABC,所以AC⊥CC1;又因为AC⊥BC,CC1⊂平面BCC1B1,BC⊂平面BCC1B1,BC∩CC1=C,所以AC⊥平面BCC1B1;又因为BC1⊂平面平面BCC1B1,所以BC1⊥AC;因为BC=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形,所以BC 1⊥平面B 1AC ; 又因为AB 1⊂平面B 1AC , 所以BC 1⊥AB 1. 点评: 本题考查了直线与直线,直线与平面以及平面与平面的位置关系,也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题,是基础题目. 17.(14分) 考点: 函数与方程的综合运用.专题: 综合题;导数的综合应用.分析: (1)由题意知,点M ,N 的坐标分别为(5,40),(20,2.5),将其分别代入y=,建立方程组,即可求a ,b 的值;(2)①求出切线l 的方程,可得A ,B 的坐标,即可写出公路l 长度的函数解析式f (t ),并写出其定义域; ②设g (t )=,利用导数,确定单调性,即可求出当t为何值时,公路l 的长度最短,并求出最短长度. 解答:解:(1)由题意知,点M ,N 的坐标分别为(5,40),(20,2.5),将其分别代入y=,得,解得,(2)①由(1)y=(5≤x≤20),P (t ,),∴y′=﹣,∴切线l的方程为y﹣=﹣(x﹣t)设在点P处的切线l交x,y轴分别于A,B点,则A(,0),B(0,),∴f(t)==,t∈[5,20];②设g(t)=,则g′(t)=2t﹣=0,解得t=10,t∈(5,10)时,g′(t)<0,g(t)是减函数;t∈(10,20)时,g′(t)>0,g(t)是增函数,从而t=10时,函数g(t)有极小值也是最小值,∴g(t)min=300,∴f(t)min=15,答:t=10时,公路l的长度最短,最短长度为15千米.点评:本题考查利用数学知识解决实际问题,考查导数知识的综合运用,确定函数关系,正确求导是关键.18.(16分)考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.专题:直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:(1)运用离心率公式和准线方程,可得a,c的方程,解得a,c,再由a,b,c的关系,可得b,进而得到椭圆方程;(2)讨论直线AB的斜率不存在和存在,设出直线方程,代入椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,以及两直线垂直的条件和中点坐标公式,即可得到所求直线的方程.解答:解:(1)由题意可得,e==,且c+=3,解得c=1,a=,则b=1,即有椭圆方程为+y 2=1;(2)当AB⊥x轴,AB=,CP=3,不合题意;当AB与x轴不垂直,设直线AB:y=k (x﹣1),A(x1,y1),B(x2,y2),将AB方程代入椭圆方程可得(1+2k2)x2﹣4k2x+2(k2﹣1)=0,则x1+x2=,x1x2=,则C(,),且|AB|=•=,若k=0,则AB的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不合题意;则k≠0,故PC:y+=﹣(x﹣),P(﹣2,),从而|PC|=,由|PC|=2|AB|,可得=,解得k=±1,此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1.点评: 本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率和方程的运用,联立直线方程,运用韦达定理和弦长公式,同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用,属于中档题. 19.(16分)考点:利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理. 专题:综合题;导数的综合应用. 分析: (1)求导数,分类讨论,利用导数的正负,即可得出f (x )的单调性;(2)由(1)知,函数f (x )的两个极值为f (0)=b ,f (﹣)=+b ,则函数f (x )有三个不同的零点等价于f (0)f (﹣)=b (+b )<0,进一步转化为a >0时,﹣a+c >0或a <0时,﹣a+c <0.设g (a )=﹣a+c ,利用条件即可求c 的值.解答: 解:(1)∵f(x )=x 3+ax 2+b , ∴f′(x )=3x 2+2ax ,令f′(x )=0,可得x=0或﹣.a=0时,f′(x )>0,∴f(x )在(﹣∞,+∞)上单调递增; a >0时,x ∈(﹣∞,﹣)∪(0,+∞)时,f′(x )>0,x ∈(﹣,0)时,f′(x )<0,∴函数f (x )在(﹣∞,﹣),(0,+∞)上单调递增,在(﹣,0)上单调递减;a <0时,x ∈(﹣∞,0)∪(﹣,+∞)时,f′(x )>0,x ∈(0,﹣)时,f′(x )<0,∴函数f (x )在(﹣∞,0),(﹣,+∞)上单调递增,在(0,﹣)上单调递减;(2)由(1)知,函数f (x )的两个极值为f (0)=b ,f (﹣)=+b ,则函数f (x )有三个不同的零点等价于f (0)f (﹣)=b (+b )<0,∵b=c﹣a , ∴a>0时,﹣a+c >0或a <0时,﹣a+c <0.设g (a )=﹣a+c ,∵函数f (x )有三个不同的零点时,a 的取值范围恰好是(﹣∞,﹣3)∪(1,)∪(,+∞),∴在(﹣∞,﹣3)上,g (a )<0且在(1,)∪(,+∞)上g (a )>0均恒成立,∴g(﹣3)=c ﹣1≤0,且g ()=c ﹣1≥0, ∴c=1,此时f (x )=x 3+ax 2+1﹣a=(x+1)[x 2+(a ﹣1)x+1﹣a ], ∵函数有三个零点,∴x 2+(a ﹣1)x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根, ∴△=(a ﹣1)2﹣4(1﹣a )>0,且(﹣1)2﹣(a ﹣1)+1﹣a≠0,解得a ∈(﹣∞,﹣3)∪(1,)∪(,+∞), 综上c=1.点评: 本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性,考查函数的零点,考查分类讨论的数学思想,难度大.20.(16分) 考点: 等比关系的确定;等比数列的性质.专题: 等差数列与等比数列.分析: (1)根据等比数列和等差数列的定义即可证明;(2)利用反证法,假设存在a 1,d 使得a 1,a 22,a 33,a 44依次构成等比数列,推出矛盾,否定假设,得到结论;(3)利用反证法,假设存在a 1,d 及正整数n ,k ,使得a 1n ,a 2n+k ,a 3n+2k ,a 4n+3k 依次构成等比数列,得到a 1n (a 1+2d )n+2k =(a 1+2d )2(n+k ),且(a 1+d )n+k (a 1+3d )n+3k =(a 1+2d )2(n+2k ),利用等式以及对数的性质化简整理得到ln (1+3t )ln (1+2t )+3ln (1+2t )ln (1+t )=4ln (1+3t )ln (1+t ),(**),多次构造函数,多次求导,利用零点存在定理,推出假设不成立. 解答:解:(1)证明:∵==2d ,(n=1,2,3,)是同一个常数,∴2,2,2,2依次构成等比数列;(2)令a 1+d=a ,则a 1,a 2,a 3,a 4分别为a ﹣d ,a ,a+d ,a+2d (a >d ,a >﹣2d ,d≠0)假设存在a 1,d 使得a 1,a 22,a 33,a 44依次构成等比数列, 则a 4=(a ﹣d )(a+d )3,且(a+d )6=a 2(a+2d )4, 令t=,则1=(1﹣t )(1+t )3,且(1+t )6=(1+2t )4,(﹣<t <1,t≠0),化简得t 3+2t 2﹣2=0(*),且t 2=t+1,将t 2=t+1代入(*)式, t (t+1)+2(t+1)﹣2=t 2+3t=t+1+3t=4t+1=0,则t=﹣, 显然t=﹣不是上面方程的解,矛盾,所以假设不成立, 因此不存在a 1,d ,使得a 1,a 22,a 33,a 44依次构成等比数列. (3)假设存在a 1,d 及正整数n ,k ,使得a 1n ,a 2n+k ,a 3n+2k ,a 4n+3k 依次构成等比数列,则a 1n (a 1+2d )n+2k =(a 1+2d )2(n+k ),且(a 1+d )n+k (a 1+3d )n+3k=(a 1+2d )2(n+2k ),分别在两个等式的两边同除以=a 12(n+k ),a 12(n+2k ),并令t=,(t>,t≠0),则(1+2t )n+2k =(1+t )2(n+k ),且(1+t )n+k (1+3t )n+3k =(1+2t )2(n+2k ),将上述两个等式取对数,得(n+2k )ln (1+2t )=2(n+k )ln (1+t ), 且(n+k )ln (1+t )+(n+3k )ln (1+3t )=2(n+2k )ln (1+2t ), 化简得,2k[ln (1+2t )﹣ln (1+t )]=n[2ln (1+t )﹣ln (1+2t )], 且3k[ln (1+3t )﹣ln (1+t )]=n[3ln (1+t )﹣ln (1+3t )], 再将这两式相除,化简得,ln (1+3t )ln (1+2t )+3ln (1+2t )ln (1+t )=4ln (1+3t )ln (1+t ),(**)令g (t )=4ln (1+3t )ln (1+t )﹣ln (1+3t )ln (1+2t )+3ln (1+2t )ln (1+t ), 则g′(t )=[(1+3t )2ln (1+3t )﹣3(1+2t )2ln (1+2t )+3(1+t )2ln (1+t )],令φ(t )=(1+3t )2ln (1+3t )﹣3(1+2t )2ln (1+2t )+3(1+t )2ln (1+t ),则φ′(t )=6[(1+3t )ln (1+3t )﹣2(1+2t )ln (1+2t )+3(1+t )ln (1+t )],令φ1(t )=φ′(t ),则φ1′(t )=6[3ln (1+3t )﹣4ln (1+2t )+ln (1+t )],令φ2(t )=φ1′(t ),则φ2′(t )=>0,由g (0)=φ(0)=φ1(0)=φ2(0)=0,φ2′(t )>0, 知g (t ),φ(t ),φ1(t ),φ2(t )在(﹣,0)和(0,+∞)上均单调,故g (t )只有唯一的零点t=0,即方程(**)只有唯一解t=0,故假设不成立,所以不存在a 1,d 及正整数n ,k ,使得a 1n ,a 2n+k ,a 3n+2k ,a 4n+3k 依次构成等比数列. 点评: 本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质,函数与方程等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力,属于难题.三、附加题(本大题包括选做题和必做题两部分)【选做题】本题包括21-24题,请选定其中两小题作答,若多做,则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1:几何证明选讲】 21.(10分) 考点: 相似三角形的判定.专题: 推理和证明.分直接利用已知条件,推出两个三角形的三个角对应相等,即可证析:明三角形相似.解答:证明:∵AB=AC,∴∠ABD=∠C,又∵∠C=∠E,∴∠ABD=∠E,又∠BAE是公共角,可知:△ABD∽△AEB.点评:本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识,考查逻辑推理能力.【选修4-2:矩阵与变换】22.(10分)考点:特征值与特征向量的计算.专题:矩阵和变换.分析:利用A=﹣2,可得A=,通过令矩阵A的特征多项式为0即得结论.解答:解:由已知,可得A=﹣2,即==,则,即,∴矩阵A=,从而矩阵A的特征多项式f(λ)=(λ+2)(λ﹣1),∴矩阵A的另一个特征值为1.点本题考查求矩阵及其特征值,注意解题方法的积累,属于中档题.【选修4-4:坐标系与参数方程】23.(2015•江苏)考点:简单曲线的极坐标方程.专题:计算题;坐标系和参数方程.分析:先根据x=ρcosθ,y=ρsinθ,求出圆的直角坐标方程,求出半径.解答:解:圆的极坐标方程为ρ2+2ρsin(θ﹣)﹣4=0,可得ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0,化为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y﹣4=0,化为标准方程为(x﹣1)2+(y+1)2=6,圆的半径r=.点评:本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,以及求点的极坐标的方法,关键是利用公式x=ρcosθ,y=ρsinθ,比较基础,[选修4-5:不等式选讲】24.(2015•江苏)考绝对值不等式的解法.专题:不等式.分析:思路1(公式法):利用|f(x)|≥g(x)⇔f(x)≥g(x),或f(x)≤﹣g(x);思路2(零点分段法):对x的值分“x≥”“x<”进行讨论求解.解答:解法1:x+|2x+3|≥2变形为|2x+3|≥2﹣x,得2x+3≥2﹣x,或2x+3≥﹣(2﹣x),即x≥,或x≤﹣5,即原不等式的解集为{x|x≥,或x≤﹣5}.解法2:令|2x+3|=0,得x=.①当x≥时,原不等式化为x+(2x+3)≥2,即x≥,所以x≥;②x<时,原不等式化为x﹣(2x+3)≥2,即x≤﹣5,所以x≤﹣5.综上,原不等式的解集为{x|x≥,或x≤﹣5}.点评:本题考查了含绝对值不等式的解法.本解答给出的两种方法是常见的方法,不管用哪种方法,其目的是去绝对值符号.若含有一个绝对值符号,利用公式法要快捷一些,其套路为:|f(x)|≥g (x)⇔f(x)≥g(x),或f(x)≤﹣g(x);|f(x)|≤g(x)⇔﹣g(x)≤f(x)≤g(x).可简记为:大于号取两边,小于号取中间.使用零点分段法时,应注意:同一类中取交集,类与类之间取并集.【必做题】每题10分,共计20分,解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25.(10分)(考点:二面角的平面角及求法;点、线、面间的距离计算.专题:空间位置关系与距离;空间角.分析:以A为坐标原点,以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz.(1)所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值,计算即可;(2)利用换元法可得cos2<,>≤,结合函数y=cosx 在(0,)上的单调性,计算即得结论.解答:解:以A为坐标原点,以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz如图,由题可知B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).(1)∵AD⊥平面PAB,∴=(0,2,0),是平面PAB的一个法向量,∵=(1,1,﹣2),=(0,2,﹣2),设平面PCD的法向量为=(x,y,z),由,得,取y=1,得=(1,1,1),∴cos<,>==,∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为;(2)∵=(﹣1,0,2),设=λ=(﹣λ,0,2λ)(0≤λ≤1),又=(0,﹣1,0),则=+=(﹣λ,﹣1,2λ),又=(0,﹣2,2),从而cos<,>==,设1+2λ=t,t∈[1,3],则cos 2<,>==≤,当且仅当t=,即λ=时,|cos<,>|的最大值为,因为y=cosx在(0,)上是减函数,此时直线CQ与DP所成角取得最小值.又∵BP==,∴BQ=BP=.点本题考查求二面角的三角函数值,考查用空间向量解决问题的能评:力,注意解题方法的积累,属于中档题.26.(10分)考点:数学归纳法.专题:综合题;点列、递归数列与数学归纳法.分析:(1)f(6)=6+2++=13;(2)根据数学归纳法的证明步骤,分类讨论,即可证明结论.解答:解:(1)f(6)=6+2++=13;(2)当n≥6时,f(n)=.下面用数学归纳法证明:①n=6时,f(6)=6+2++=13,结论成立;②假设n=k(k≥6)时,结论成立,那么n=k+1时,Sk+1在Sk的基础上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生,分以下情形讨论:1)若k+1=6t,则k=6(t﹣1)+5,此时有f(k+1)=f(k)+3=(k+1)+2++,结论成立;2)若k+1=6t+1,则k=6t+1,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2+++1=(k+1)+2++,结论成立;3)若k+1=6t+2,则k=6t+1,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2=(k+1)+2++,结论成立;4)若k+1=6t+3,则k=6t+2,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2=(k+1)+2++,结论成立;5)若k+1=6t+4,则k=6t+3,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2=(k+1)+2++,结论成立;6)若k+1=6t+5,则k=6t+4,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2=(k+1)+2++,结论成立.综上所述,结论对满足n≥6的自然数n均成立.点评:本题考查数学归纳法,考查学生分析解决问题的能力,正确归纳是关键.。

(完整word版)2015年江苏数学高考试卷含答案和解析,推荐文档

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2015年江苏数学高考试卷一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70分)1.(5分)(2015•江苏)已知集合A={1,2,3},B={2,4,5},则集合A∪B中元素的个数为.2.(5分)(2015•江苏)已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为.3.(5分)(2015•江苏)设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则z的模为.4.(5分)(2015•江苏)根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S为.5.(5分)(2015•江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球、1只红球、2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为.6.(5分)(2015•江苏)已知向量=(2,1),=(1,﹣2),若m+n=(9,﹣8)(m,n∈R),则m﹣n的值为.7.(5分)(2015•江苏)不等式2<4的解集为.8.(5分)(2015•江苏)已知tanα=﹣2,tan(α+β)=,则tanβ的值为.9.(5分)(2015•江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个,若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为.10.(5分)(2015•江苏)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx﹣y ﹣2m﹣1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.11.(5分)(2015•江苏)设数列{a n}满足a1=1,且a n+1﹣a n=n+1(n∈N*),则数列{}的前10项的和为.12.(5分)(2015•江苏)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点,若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为.13.(5分)(2015•江苏)已知函数f(x)=|lnx|,g(x)=,则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为.14.(5分)(2015•江苏)设向量=(cos,sin+cos)(k=0,1,2,…,12),则(a k•a k+1)的值为.二、解答题(本大题共6小题,共计90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(14分)(2015•江苏)在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.(1)求BC的长;(2)求sin2C的值.16.(14分)(2015•江苏)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1,设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E.求证:(1)DE∥平面AA1C1C;(2)BC1⊥AB1.17.(14分)(2015•江苏)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=(其中a,b为常数)模型.(1)求a,b的值;(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;②当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.18.(16分)(2015•江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程;(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.19.(16分)(2015•江苏)已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R).(1)试讨论f(x)的单调性;(2)若b=c﹣a(实数c是与a无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(﹣∞,﹣3)∪(1,)∪(,+∞),求c的值.20.(16分)(2015•江苏)设a1,a2,a3.a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列.(1)证明:2,2,2,2依次构成等比数列;(2)是否存在a1,d,使得a1,a22,a33,a44依次构成等比数列?并说明理由;(3)是否存在a1,d及正整数n,k,使得a1n,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k依次构成等比数列?并说明理由.三、附加题(本大题包括选做题和必做题两部分)【选做题】本题包括21-24题,请选定其中两小题作答,若多做,则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1:几何证明选讲】21.(10分)(2015•江苏)如图,在△ABC中,AB=AC,△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D.求证:△ABD∽△AEB.【选修4-2:矩阵与变换】22.(10分)(2015•江苏)已知x,y∈R,向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量,求矩阵A以及它的另一个特征值.【选修4-4:坐标系与参数方程】23.(2015•江苏)已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin(θ﹣)﹣4=0,求圆C的半径.[选修4-5:不等式选讲】24.(2015•江苏)解不等式x+|2x+3|≥2.【必做题】每题10分,共计20分,解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25.(10分)(2015•江苏)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=,PA=AD=2,AB=BC=1.(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值;(2)点Q是线段BP上的动点,当直线CQ与DP所成的角最小时,求线段BQ的长.26.(10分)(2015•江苏)已知集合X={1,2,3},Y n={1,2,3,…,n)(n∈N*),设S n={(a,b)|a整除b或整除a,a∈X,B∈Y n},令f(n)表示集合S n所含元素的个数.(1)写出f(6)的值;(2)当n≥6时,写出f(n)的表达式,并用数学归纳法证明.2015年江苏数学高考试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70分)1.(5分)考点:并集及其运算.专题:集合.分析:求出A∪B,再明确元素个数解答:解:集合A={1,2,3},B={2,4,5},则A∪B={1,2,3,4,5};所以A∪B中元素的个数为5;故答案为:5点评:题考查了集合的并集的运算,根据定义解答,注意元素不重复即可,属于基础题2.(5分)考点:众数、中位数、平均数.专题:概率与统计.分析:直接求解数据的平均数即可.解答:解:数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为:=6.故答案为:6.点评:本题考查数据的均值的求法,基本知识的考查.3.(5分)考点:复数求模.专题:数系的扩充和复数.分析:直接利用复数的模的求解法则,化简求解即可.解答:解:复数z满足z2=3+4i,可得|z||z|=|3+4i|==5,∴|z|=.故答案为:.点评:本题考查复数的模的求法,注意复数的模的运算法则的应用,考查计算能力.4.(5分)考点:伪代码.专题:图表型;算法和程序框图.分析:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的I,S的值,当I=10时不满足条件I<8,退出循环,输出S的值为7.解答:解:模拟执行程序,可得S=1,I=1满足条件I<8,S=3,I=4满足条件I<8,S=5,I=7满足条件I<8,S=7,I=10不满足条件I<8,退出循环,输出S的值为7.故答案为:7.点评:本题主要考查循环结构的程序,正确判断退出循环的条件是解题的关键,属于基础题.5.(5分)考点:古典概型及其概率计算公式.专题:概率与统计.分析:根据题意,把4个小球分别编号,用列举法求出基本事件数,计算对应的概率即可.解答:解:根据题意,记白球为A,红球为B,黄球为C1、C2,则一次取出2只球,基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种,其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种;所以所求的概率是P=.故答案为:.点评:本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题,是基础题目.6.(5分)考点:平面向量的基本定理及其意义.专题:平面向量及应用.分析:直接利用向量的坐标运算,求解即可.解答:解:向量=(2,1),=(1,﹣2),若m+n=(9,﹣8)可得,解得m=2,n=5,∴m﹣n=﹣3.故答案为:﹣3.点评:本题考查向量的坐标运算,向量相等条件的应用,考查计算能力.7.(5分)考点:指、对数不等式的解法.专题:函数的性质及应用;不等式的解法及应用.分析:利用指数函数的单调性转化为x2﹣x<2,求解即可.解答:解;∵2<4,∴x2﹣x<2,即x2﹣x﹣2<0,解得:﹣1<x<2故答案为:(﹣1,2)点评:本题考查了指数函数的性质,二次不等式的求解,属于简单的综合题目,难度不大.8.(5分)考点:两角和与差的正切函数.专题:三角函数的求值.分析:直接利用两角和的正切函数,求解即可.解答:解:tanα=﹣2,tan(α+β)=,可知tan(α+β)==,即=,解得tanβ=3.故答案为:3.点评:本题考查两角和的正切函数,基本知识的考查.9.(5分)考点:棱柱、棱锥、棱台的体积.专题:计算题;空间位置关系与距离.分析:由题意求出原来圆柱和圆锥的体积,设出新的圆柱和圆锥的底面半径r,求出体积,由前后体积相等列式求得r.解答:解:由题意可知,原来圆锥和圆柱的体积和为:.设新圆锥和圆柱的底面半径为r,则新圆锥和圆柱的体积和为:.∴,解得:.故答案为:.点评:本题考查了圆柱与圆锥的体积公式,是基础的计算题.10.(5分)考点:圆的标准方程;圆的切线方程.专题:计算题;直线与圆.分析:求出圆心到直线的距离d的最大值,即可求出所求圆的标准方程.解答:解:圆心到直线的距离d==≤,∴m=1时,圆的半径最大为,∴所求圆的标准方程为(x﹣1)2+y2=2.故答案为:(x﹣1)2+y2=2.点评:本题考查所圆的标准方程,考查点到直线的距离公式,考查学生的计算能力,比较基础.11.(5分)考点:数列的求和;数列递推式.专题:等差数列与等比数列.分析:数列{a n}满足a1=1,且a n+1﹣a n=n+1(n∈N*),利用“累加求和”可得a n=.再利用“裂项求和”即可得出.解答:解:∵数列{a n}满足a1=1,且a n+1﹣a n=n+1(n∈N*),∴当n≥2时,a n=(a n﹣a n﹣1)+…+(a2﹣a1)+a1=+n+…+2+1=.当n=1时,上式也成立,∴a n=.∴=2.∴数列{}的前n项的和S n===.∴数列{}的前10项的和为.故答案为:.点评:本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.12.(5分)考点:双曲线的简单性质.专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0,c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离.解答:解:由题意,双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0,因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立,所以c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离,即.故答案为:.点评:本题考查双曲线的性质,考查学生的计算能力,比较基础.13.(5分)考点:根的存在性及根的个数判断.专题:综合题;函数的性质及应用.分析::由|f(x)+g(x)|=1可得g(x)=﹣f(x)±1,分别作出函数的图象,即可得出结论.解答:解:由|f(x)+g(x)|=1可得g(x)=﹣f(x)±1.g(x)与h(x)=﹣f(x)+1的图象如图所示,图象有两个交点;g(x)与φ(x)=﹣f(x)﹣1的图象如图所示,图象有两个交点;所以方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为4.故答案为:4.点评:本题考查求方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数,考查数形结合的数学思想,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.14.(5分)考点:数列的求和.专题:等差数列与等比数列;平面向量及应用.分析:利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出.解答:解:=+=++++=++=++,∴(a k•a k+1)=+++++++…+++++++…+=+0+0=.故答案为:9.点评:本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.二、解答题(本大题共6小题,共计90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(14分)考点:余弦定理的应用;二倍角的正弦.专题:解三角形.分析:(1)直接利用余弦定理求解即可.(2)利用正弦定理求出C的正弦函数值,然后利用二倍角公式求解即可.解答:解:(1)由余弦定理可得:BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7,所以BC=.(2)由正弦定理可得:,则sinC===,∵AB<BC,∴C为锐角,则cosC===.因此sin2C=2sinCcosC=2×=.点评:本题考查余弦定理的应用,正弦定理的应用,二倍角的三角函数,注意角的范围的解题的关键.16.(14分)考点:直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的性质.专题:证明题;空间位置关系与距离.分析:(1)根据中位线定理得DE∥AC,即证DE∥平面AA1C1C;(2)先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC,即证AC⊥CC1;再证明AC⊥平面BCC1B1,即证BC1⊥AC;最后证明BC1⊥平面B1AC,即可证出BC1⊥AB1.解答:证明:(1)根据题意,得;E为B1C的中点,D为AB1的中点,所以DE∥AC;又因为DE⊄平面AA1C1C,AC⊂平面AA1C1C,所以DE∥平面AA1C1C;(2)因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥平面ABC,因为AC⊂平面ABC,所以AC⊥CC1;又因为AC⊥BC,CC1⊂平面BCC1B1,BC⊂平面BCC1B1,BC∩CC1=C,所以AC⊥平面BCC1B1;又因为BC1⊂平面平面BCC1B1,所以BC1⊥AC;因为BC=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形,所以BC1⊥平面B1AC;又因为AB1⊂平面B1AC,所以BC1⊥AB1.点评:本题考查了直线与直线,直线与平面以及平面与平面的位置关系,也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题,是基础题目.17.(14分)考点:函数与方程的综合运用.专题:综合题;导数的综合应用.分析:(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5),将其分别代入y=,建立方程组,即可求a,b的值;(2)①求出切线l的方程,可得A,B的坐标,即可写出公路l长度的函数解析式f (t),并写出其定义域;②设g(t)=,利用导数,确定单调性,即可求出当t为何值时,公路l的长度最短,并求出最短长度.解答:解:(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5),将其分别代入y=,得,解得,(2)①由(1)y=(5≤x≤20),P(t,),∴y′=﹣,∴切线l的方程为y﹣=﹣(x﹣t)设在点P处的切线l交x,y轴分别于A,B点,则A(,0),B(0,),∴f(t)==,t∈[5,20];②设g(t)=,则g′(t)=2t﹣=0,解得t=10,t∈(5,10)时,g′(t)<0,g(t)是减函数;t∈(10,20)时,g′(t)>0,g(t)是增函数,从而t=10时,函数g(t)有极小值也是最小值,∴g(t)min=300,∴f(t)min=15,答:t=10时,公路l的长度最短,最短长度为15千米.点评:本题考查利用数学知识解决实际问题,考查导数知识的综合运用,确定函数关系,正确求导是关键.18.(16分)考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.专题:直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:(1)运用离心率公式和准线方程,可得a,c的方程,解得a,c,再由a,b,c的关系,可得b,进而得到椭圆方程;(2)讨论直线AB的斜率不存在和存在,设出直线方程,代入椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,以及两直线垂直的条件和中点坐标公式,即可得到所求直线的方程.解答:解:(1)由题意可得,e==,且c+=3,解得c=1,a=,则b=1,即有椭圆方程为+y2=1;(2)当AB⊥x轴,AB=,CP=3,不合题意;当AB与x轴不垂直,设直线AB:y=k(x﹣1),A(x1,y1),B(x2,y2),将AB方程代入椭圆方程可得(1+2k2)x2﹣4k2x+2(k2﹣1)=0,则x1+x2=,x1x2=,则C(,),且|AB|=•=,若k=0,则AB的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不合题意;则k≠0,故PC:y+=﹣(x﹣),P(﹣2,),从而|PC|=,由|PC|=2|AB|,可得=,解得k=±1,此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1.点评:本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率和方程的运用,联立直线方程,运用韦达定理和弦长公式,同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用,属于中档题.19.(16分)考点:利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理.专题:综合题;导数的综合应用.分析:(1)求导数,分类讨论,利用导数的正负,即可得出f(x)的单调性;(2)由(1)知,函数f(x)的两个极值为f(0)=b,f(﹣)=+b,则函数f(x)有三个不同的零点等价于f(0)f(﹣)=b(+b)<0,进一步转化为a>0时,﹣a+c>0或a<0时,﹣a+c<0.设g(a)=﹣a+c,利用条件即可求c的值.解答:解:(1)∵f(x)=x3+ax2+b,∴f′(x)=3x2+2ax,令f′(x)=0,可得x=0或﹣.a=0时,f′(x)>0,∴f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增;a>0时,x∈(﹣∞,﹣)∪(0,+∞)时,f′(x)>0,x∈(﹣,0)时,f′(x)<0,∴函数f(x)在(﹣∞,﹣),(0,+∞)上单调递增,在(﹣,0)上单调递减;a<0时,x∈(﹣∞,0)∪(﹣,+∞)时,f′(x)>0,x∈(0,﹣)时,f′(x)<0,∴函数f(x)在(﹣∞,0),(﹣,+∞)上单调递增,在(0,﹣)上单调递减;(2)由(1)知,函数f(x)的两个极值为f(0)=b,f(﹣)=+b,则函数f(x)有三个不同的零点等价于f(0)f(﹣)=b(+b)<0,∵b=c﹣a,∴a>0时,﹣a+c>0或a<0时,﹣a+c<0.设g(a)=﹣a+c,∵函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(﹣∞,﹣3)∪(1,)∪(,+∞),∴在(﹣∞,﹣3)上,g(a)<0且在(1,)∪(,+∞)上g(a)>0均恒成立,∴g(﹣3)=c﹣1≤0,且g()=c﹣1≥0,∴c=1,此时f(x)=x3+ax2+1﹣a=(x+1)[x2+(a﹣1)x+1﹣a],∵函数有三个零点,∴x2+(a﹣1)x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根,∴△=(a﹣1)2﹣4(1﹣a)>0,且(﹣1)2﹣(a﹣1)+1﹣a≠0,解得a∈(﹣∞,﹣3)∪(1,)∪(,+∞),综上c=1.点评:本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性,考查函数的零点,考查分类讨论的数学思想,难度大.20.(16分)考点:等比关系的确定;等比数列的性质.专题:等差数列与等比数列.分析:(1)根据等比数列和等差数列的定义即可证明;(2)利用反证法,假设存在a1,d使得a1,a22,a33,a44依次构成等比数列,推出矛盾,否定假设,得到结论;(3)利用反证法,假设存在a1,d及正整数n,k,使得a1n,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k依次构成等比数列,得到a1n(a1+2d)n+2k=(a1+2d)2(n+k),且(a1+d)n+k(a1+3d)n+3k=(a1+2d)2(n+2k),利用等式以及对数的性质化简整理得到ln(1+3t)ln(1+2t)+3ln (1+2t)ln(1+t)=4ln(1+3t)ln(1+t),(**),多次构造函数,多次求导,利用零点存在定理,推出假设不成立.解答:解:(1)证明:∵==2d,(n=1,2,3,)是同一个常数,∴2,2,2,2依次构成等比数列;(2)令a1+d=a,则a1,a2,a3,a4分别为a﹣d,a,a+d,a+2d(a>d,a>﹣2d,d≠0)假设存在a1,d使得a1,a22,a33,a44依次构成等比数列,则a4=(a﹣d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4,令t=,则1=(1﹣t)(1+t)3,且(1+t)6=(1+2t)4,(﹣<t<1,t≠0),化简得t3+2t2﹣2=0(*),且t2=t+1,将t2=t+1代入(*)式,t(t+1)+2(t+1)﹣2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0,则t=﹣,显然t=﹣不是上面方程的解,矛盾,所以假设不成立,因此不存在a1,d,使得a1,a22,a33,a44依次构成等比数列.(3)假设存在a1,d及正整数n,k,使得a1n,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k依次构成等比数列,则a1n(a1+2d)n+2k=(a1+2d)2(n+k),且(a1+d)n+k(a1+3d)n+3k=(a1+2d)2(n+2k),分别在两个等式的两边同除以=a12(n+k),a12(n+2k),并令t=,(t>,t≠0),则(1+2t)n+2k=(1+t)2(n+k),且(1+t)n+k(1+3t)n+3k=(1+2t)2(n+2k),将上述两个等式取对数,得(n+2k)ln(1+2t)=2(n+k)ln(1+t),且(n+k)ln(1+t)+(n+3k)ln(1+3t)=2(n+2k)ln(1+2t),化简得,2k[ln(1+2t)﹣ln(1+t)]=n[2ln(1+t)﹣ln(1+2t)],且3k[ln(1+3t)﹣ln(1+t)]=n[3ln(1+t)﹣ln(1+3t)],再将这两式相除,化简得,ln(1+3t)ln(1+2t)+3ln(1+2t)ln(1+t)=4ln(1+3t)ln(1+t),(**)令g(t)=4ln(1+3t)ln(1+t)﹣ln(1+3t)ln(1+2t)+3ln(1+2t)ln(1+t),则g′(t)=[(1+3t)2ln(1+3t)﹣3(1+2t)2ln(1+2t)+3(1+t)2ln(1+t)],令φ(t)=(1+3t)2ln(1+3t)﹣3(1+2t)2ln(1+2t)+3(1+t)2ln(1+t),则φ′(t)=6[(1+3t)ln(1+3t)﹣2(1+2t)ln(1+2t)+3(1+t)ln(1+t)],令φ1(t)=φ′(t),则φ1′(t)=6[3ln(1+3t)﹣4ln(1+2t)+ln(1+t)],令φ2(t)=φ1′(t),则φ2′(t)=>0,由g(0)=φ(0)=φ1(0)=φ2(0)=0,φ2′(t)>0,知g(t),φ(t),φ1(t),φ2(t)在(﹣,0)和(0,+∞)上均单调,故g(t)只有唯一的零点t=0,即方程(**)只有唯一解t=0,故假设不成立,所以不存在a1,d及正整数n,k,使得a1n,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k依次构成等比数列.点评:本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质,函数与方程等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力,属于难题.三、附加题(本大题包括选做题和必做题两部分)【选做题】本题包括21-24题,请选定其中两小题作答,若多做,则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1:几何证明选讲】21.(10分)考点:相似三角形的判定.专题:推理和证明.分析:直接利用已知条件,推出两个三角形的三个角对应相等,即可证明三角形相似.解答:证明:∵AB=AC,∴∠ABD=∠C,又∵∠C=∠E,∴∠ABD=∠E,又∠BAE是公共角,可知:△ABD∽△AEB.点评:本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识,考查逻辑推理能力.【选修4-2:矩阵与变换】22.(10分)考点:特征值与特征向量的计算.专题:矩阵和变换.分析:利用A=﹣2,可得A=,通过令矩阵A的特征多项式为0即得结论.解答:解:由已知,可得A=﹣2,即==,则,即,∴矩阵A=,从而矩阵A的特征多项式f(λ)=(λ+2)(λ﹣1),∴矩阵A的另一个特征值为1.点评:本题考查求矩阵及其特征值,注意解题方法的积累,属于中档题.【选修4-4:坐标系与参数方程】23.(2015•江苏)考点:简单曲线的极坐标方程.专题:计算题;坐标系和参数方程.分析:先根据x=ρcosθ,y=ρsinθ,求出圆的直角坐标方程,求出半径.解答:解:圆的极坐标方程为ρ2+2ρsin(θ﹣)﹣4=0,可得ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0,化为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y﹣4=0,化为标准方程为(x﹣1)2+(y+1)2=6,圆的半径r=.点评:本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,以及求点的极坐标的方法,关键是利用公式x=ρcosθ,y=ρsinθ,比较基础,[选修4-5:不等式选讲】24.(2015•江苏)考点:绝对值不等式的解法.专题:不等式.分析:思路1(公式法):利用|f(x)|≥g(x)⇔f(x)≥g(x),或f(x)≤﹣g(x);思路2(零点分段法):对x的值分“x≥”“x<”进行讨论求解.解答:解法1:x+|2x+3|≥2变形为|2x+3|≥2﹣x,得2x+3≥2﹣x,或2x+3≥﹣(2﹣x),即x≥,或x≤﹣5,即原不等式的解集为{x|x≥,或x≤﹣5}.解法2:令|2x+3|=0,得x=.①当x≥时,原不等式化为x+(2x+3)≥2,即x≥,所以x≥;②x<时,原不等式化为x﹣(2x+3)≥2,即x≤﹣5,所以x≤﹣5.综上,原不等式的解集为{x|x≥,或x≤﹣5}.点评:本题考查了含绝对值不等式的解法.本解答给出的两种方法是常见的方法,不管用哪种方法,其目的是去绝对值符号.若含有一个绝对值符号,利用公式法要快捷一些,其套路为:|f(x)|≥g(x)⇔f(x)≥g(x),或f(x)≤﹣g(x);|f(x)|≤g(x)⇔﹣g(x)≤f(x)≤g(x).可简记为:大于号取两边,小于号取中间.使用零点分段法时,应注意:同一类中取交集,类与类之间取并集.【必做题】每题10分,共计20分,解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25.(10分)(考点:二面角的平面角及求法;点、线、面间的距离计算.专题:空间位置关系与距离;空间角.分析:以A为坐标原点,以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz.(1)所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值,计算即可;(2)利用换元法可得cos2<,>≤,结合函数y=cosx在(0,)上的单调性,计算即得结论.解答:解:以A为坐标原点,以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz如图,由题可知B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).(1)∵AD⊥平面PAB,∴=(0,2,0),是平面PAB的一个法向量,∵=(1,1,﹣2),=(0,2,﹣2),设平面PCD的法向量为=(x,y,z),由,得,取y=1,得=(1,1,1),∴cos<,>==,∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为;(2)∵=(﹣1,0,2),设=λ=(﹣λ,0,2λ)(0≤λ≤1),又=(0,﹣1,0),则=+=(﹣λ,﹣1,2λ),又=(0,﹣2,2),从而cos<,>==,设1+2λ=t,t∈[1,3],则cos2<,>==≤,当且仅当t=,即λ=时,|cos<,>|的最大值为,因为y=cosx在(0,)上是减函数,此时直线CQ与DP所成角取得最小值.又∵BP==,∴BQ=BP=.点评:本题考查求二面角的三角函数值,考查用空间向量解决问题的能力,注意解题方法的积累,属于中档题.26.(10分)考点:数学归纳法.专题:综合题;点列、递归数列与数学归纳法.分析:(1)f(6)=6+2++=13;(2)根据数学归纳法的证明步骤,分类讨论,即可证明结论.解答:解:(1)f(6)=6+2++=13;(2)当n≥6时,f(n)=.下面用数学归纳法证明:①n=6时,f(6)=6+2++=13,结论成立;②假设n=k(k≥6)时,结论成立,那么n=k+1时,S k+1在S k的基础上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生,分以下情形讨论:1)若k+1=6t,则k=6(t﹣1)+5,此时有f(k+1)=f(k)+3=(k+1)+2++,结论成立;2)若k+1=6t+1,则k=6t+1,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2+++1=(k+1)+2++,结论成立;3)若k+1=6t+2,则k=6t+1,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2=(k+1)+2++,结论成立;4)若k+1=6t+3,则k=6t+2,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2=(k+1)+2++,结论成立;5)若k+1=6t+4,则k=6t+3,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2=(k+1)+2++,结论成立;6)若k+1=6t+5,则k=6t+4,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2=(k+1)+2++,结论成立.综上所述,结论对满足n≥6的自然数n均成立.点评:本题考查数学归纳法,考查学生分析解决问题的能力,正确归纳是关键.。

2015年江苏高考数学试卷(含附加题)

2015年江苏高考数学试卷(含附加题)
(1)写出 的值;
(2)当 时,写出 的表达式,并用数学归纳法证明。
【答案】.
【解析】
【答案】
【解析】
13.已知函数 , ,则方程 实根的个数为。
【答案】
【解析】
14.设向量 ,则 的值为。
【答案】.
【解析】
二.解答题:本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明.证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为AB=2,AC=3,A=60o
一.填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.设集合A={1,2,3 },B={2,4,5 },则A∪B中元素的个数.
【答案】
【解析】
2.已知一组数据4、6、5、8、7、6,那么这组数的平均数为.
【答案】
【解析】
3.若复数 z 满足z2=3+4i (i是虚数单位),则复数z 的模_________________
【答案】
【解析】
4.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S为___________
s←1
I←1
WhileI<8
s←s+2
I←I+3
End While
Print s
【答案】
【解析】
5.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随
机摸出2只球,则这两只球颜色不同的概率是▲.
A.(几何证明选讲选做题)
A、(本小题满分10分)
如图,在 中, , 的外接圆圆O的弦 交 于点D
求证:
【答案】
【解析】
B.(矩阵与变换选做题)(本小题满分10分)

2015年江苏省高考数学试卷答案与解析

2015年江苏省高考数学试卷答案与解析

2015年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70分)1.(5分)(2015•江苏)已知集合A={1,2,3},B={2,4,5},则集合A∪B 中元素的个数为 5 .考点:并集及其运算.专题:集合.分析:求出A∪B,再明确元素个数解答: 解:集合A={1,2,3},B={2,4,5},则A∪B={1,2,3,4,5};所以A∪B 中元素的个数为5;故答案为:5点评: 题考查了集合的并集的运算,根据定义解答,注意元素不重复即可,属于基础题2.(5分)(2015•江苏)已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为 6 .考点: 众数、中位数、平均数.专题:概率与统计.分析:直接求解数据的平均数即可.解答:解:数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为:=6. 故答案为:6.点评:本题考查数据的均值的求法,基本知识的考查.3.(5分)(2015•江苏)设复数z 满足z 2=3+4i (i 是虚数单位),则z 的模为.考点:复数求模.专题:数系的扩充和复数.分析:直接利用复数的模的求解法则,化简求解即可.解答:解:复数z满足z2=3+4i,可得|z||z|=|3+4i|==5,∴|z|=.故答案为:.点评:本题考查复数的模的求法,注意复数的模的运算法则的应用,考查计算能力.4.(5分)(2015•江苏)根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S为7 .考点:伪代码.专题:图表型;算法和程序框图.分析:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的I,S的值,当I=10时不满足条件I<8,退出循环,输出S的值为7.解答: 解:模拟执行程序,可得S=1,I=1满足条件I <8,S=3,I=4满足条件I <8,S=5,I=7满足条件I <8,S=7,I=10不满足条件I <8,退出循环,输出S 的值为7. 故答案为:7.点评: 本题主要考查了循环结构的程序,正确判断退出循环的条件是解题的关键,属于基础题.5.(5分)(2015•江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球、1只红球、2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为 .考点:古典概型及其概率计算公式. 专题:概率与统计.分析: 根据题意,把4个小球分别编号,用列举法求出基本事件数,计算对应的概率即可.解解:根据题意,记白球为A ,红球为B ,黄球为答: C 1、C 2,则一次取出2只球,基本事件为AB 、AC 1、AC 2、BC 1、BC 2、C 1C 2共6种,其中2只球的颜色不同的是AB 、AC 1、AC 2、BC 1、BC 2共5种;所以所求的概率是P=.故答案为:.点评: 本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题,是基础题目.6.(5分)(2015•江苏)已知向量=(2,1),=(1,﹣2),若m +n =(9,﹣8)(m ,n ∈R ),则m ﹣n 的值为 ﹣3 .考点:平面向量的基本定理及其意义. 专题:平面向量及应用.分析:直接利用向量的坐标运算,求解即可.解答: 解:向量=(2,1),=(1,﹣2),若m +n =(9,﹣8)可得,解得m=2,n=5,∴m﹣n=﹣3.故答案为:﹣3.点评: 本题考查向量的坐标运算,向量相等条件的应用,考查计算能力.7.(5分)(2015•江苏)不等式2<4的解集为(﹣1,2) .考点:指、对数不等式的解法.专题:函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 利用指数函数的单调性转化为x 2﹣x <2,求解即可.解答: 解;∵2<4,∴x 2﹣x <2,即x 2﹣x ﹣2<0,解得:﹣1<x <2故答案为:(﹣1,2)点评: 本题考查了指数函数的性质,二次不等式的求解,属于简单的综合题目,难度不大.8.(5分)(2015•江苏)已知tanα=﹣2,tan (α+β)=,则tanβ的值为 3 .考点:两角和与差的正切函数.专题:三角函数的求值.分析:直接利用两角和的正切函数,求解即可.解答: 解:tanα=﹣2,tan (α+β)=,可知tan (α+β)==,即=, 解得tanβ=3.故答案为:3.点评:本题考查两角和的正切函数,基本知识的考查.9.(5分)(2015•江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个,若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为.考点:棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题:计算题;空间位置关系与距离.分析: 由题意求出原来圆柱和圆锥的体积,设出新的圆柱和圆锥的底面半径r ,求出体积,由前后体积相等列式求得r .解答: 解:由题意可知,原来圆锥和圆柱的体积和为:.设新圆锥和圆柱的底面半径为r , 则新圆锥和圆柱的体积和为:. ∴,解得:.故答案为:.点评: 本题考查了圆柱与圆锥的体积公式,是基础的计算题.10.(5分)(2015•江苏)在平面直角坐标系xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线mx ﹣y ﹣2m ﹣1=0(m ∈R )相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 (x ﹣1)2+y 2=2 .考点:圆的标准方程;圆的切线方程. 专题:计算题;直线与圆.分析: 求出圆心到直线的距离d 的最大值,即可求出所求圆的标准方程.解答: 解:圆心到直线的距离d==≤, ∴m=1时,圆的半径最大为,∴所求圆的标准方程为(x ﹣1)2+y 2=2.故答案为:(x ﹣1)2+y 2=2.点评: 本题考查所圆的标准方程,考查点到直线的距离公式,考查学生的计算能力,比较基础.11.(5分)(2015•江苏)设数列{a n }满足a 1=1,且a n+1﹣a n =n+1(n ∈N *),则数列{}的前10项的和为.考数列的求和;数列递推式.点:专题:等差数列与等比数列.分析: 数列{a n }满足a 1=1,且a n+1﹣a n =n+1(n ∈N *),利用“累加求和”可得a n =.再利用“裂项求和”即可得出. 解答: 解:∵数列{a n }满足a 1=1,且a n+1﹣a n =n+1(n ∈N *),∴当n≥2时,a n =(a n ﹣a n ﹣1)+…+(a 2﹣a 1)+a 1=+n+…+2+1=. 当n=1时,上式也成立, ∴a n =. ∴=2. ∴数列{}的前n 项的和S n ===. ∴数列{}的前10项的和为.故答案为:.点评: 本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n 项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.12.(5分)(2015•江苏)在平面直角坐标系xOy 中,P 为双曲线x 2﹣y 2=1右支上的一个动点,若点P 到直线x ﹣y+1=0的距离大于c 恒成立,则实数c 的最大值为 .考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 双曲线x 2﹣y 2=1的渐近线方程为x±y=0,c 的最大值为直线x ﹣y+1=0与直线x ﹣y=0的距离. 解答: 解:由题意,双曲线x 2﹣y 2=1的渐近线方程为x±y=0,因为点P 到直线x ﹣y+1=0的距离大于c 恒成立, 所以c 的最大值为直线x ﹣y+1=0与直线x ﹣y=0的距离,即. 故答案为:.点评: 本题考查双曲线的性质,考查学生的计算能力,比较基础.13.(5分)(2015•江苏)已知函数f (x )=|lnx|,g (x )=,则方程|f (x )+g (x )|=1实根的个数为 4 .考点:根的存在性及根的个数判断. 专题:综合题;函数的性质及应用. 分析: :由|f (x )+g (x )|=1可得g (x )=﹣f (x )±1,分别作出函数的图象,即可得出结论. 解答: 解:由|f (x )+g (x )|=1可得g (x )=﹣f (x )±1.g (x )与h (x )=﹣f (x )+1的图象如图所示,图象有两个交点;g (x )与φ(x )=﹣f (x )﹣1的图象如图所示,图象有两个交点;所以方程|f (x )+g (x )|=1实根的个数为4. 故答案为:4.点评:本题考查求方程|f (x )+g (x )|=1实根的个数,考查数形结合的数学思想,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.14.(5分)(2015•江苏)设向量=(cos ,sin +cos )(k=0,1,2,…,12),则(a k •a k+1)的值为.考点:数列的求和. 专题:等差数列与等比数列;平面向量及应用. 分利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、析: 积化和差公式、三角函数的周期性即可得出. 解答: 解:=+=++++=++ =++,∴(a k •a k+1)=+++++++…+++++++…+=+0+0 =.故答案为:9.点评: 本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.二、解答题(本大题共6小题,共计90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(14分)(2015•江苏)在△ABC 中,已知AB=2,AC=3,A=60°. (1)求BC 的长; (2)求sin2C 的值.考点: 余弦定理的应用;二倍角的正弦.专题:解三角形. 分析: (1)直接利用余弦定理求解即可.(2)利用正弦定理求出C 的正弦函数值,然后利用二倍角公式求解即可.解答: 解:(1)由余弦定理可得:BC 2=AB 2+AC 2﹣2AB•ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7,所以BC=.(2)由正弦定理可得:,则sinC===, ∵AB<BC ,∴C 为锐角, 则cosC===.因此sin2C=2sinCcosC=2×=.点评:本题考查余弦定理的应用,正弦定理的应用,二倍角的三角函数,注意角的范围的解题的关键.16.(14分)(2015•江苏)如图,在直三棱柱ABC ﹣A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1,设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E.求证:(1)DE∥平面AA1C1C;(2)BC1⊥AB1.考点:直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的性质.专题:证明题;空间位置关系与距离.分析:(1)根据中位线定理得DE∥AC,即证DE∥平面AA1C1C;(2)先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC,即证AC⊥CC1;再证明AC⊥平面BCC1B1,即证BC 1⊥AC;最后证明BC 1⊥平面B 1AC ,即可证出BC 1⊥AB 1.解答: 证明:(1)根据题意,得;E 为B 1C 的中点,D 为AB 1的中点,所以DE∥AC;又因为DE ⊄平面AA 1C 1C ,AC ⊂平面AA 1C 1C , 所以DE∥平面AA 1C 1C ;(2)因为棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1是直三棱柱, 所以CC 1⊥平面ABC , 因为AC ⊂平面ABC , 所以AC⊥CC 1; 又因为AC⊥BC, CC 1⊂平面BCC 1B 1, BC ⊂平面BCC 1B 1, BC∩CC 1=C ,所以AC⊥平面BCC 1B 1; 又因为BC 1⊂平面平面BCC 1B 1, 所以BC 1⊥AC;因为BC=CC 1,所以矩形BCC 1B 1是正方形, 所以BC 1⊥平面B 1AC ; 又因为AB 1⊂平面B 1AC , 所以BC 1⊥AB 1.点本题考查了直线与直线,直线与平面以及平面与评:平面的位置关系,也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题,是基础题目.17.(14分)(2015•江苏)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=(其中a,b为常数)模型.(1)求a,b的值;(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;②当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.考点:函数与方程的综合运用. 专题:综合题;导数的综合应用. 分析: (1)由题意知,点M ,N 的坐标分别为(5,40),(20,2.5),将其分别代入y=,建立方程组,即可求a ,b 的值;(2)①求出切线l 的方程,可得A ,B 的坐标,即可写出公路l 长度的函数解析式f (t ),并写出其定义域; ②设g (t )=,利用导数,确定单调性,即可求出当t 为何值时,公路l 的长度最短,并求出最短长度.解答: 解:(1)由题意知,点M ,N 的坐标分别为(5,40),(20,2.5),将其分别代入y=,得,解得,(2)①由(1)y=(5≤x≤20),P (t ,),∴y′=﹣,∴切线l 的方程为y ﹣=﹣(x ﹣t )设在点P 处的切线l 交x ,y 轴分别于A ,B 点,则A (,0),B (0,), ∴f (t )==,t ∈[5,20];②设g (t )=,则g′(t )=2t ﹣=0,解得t=10,t ∈(5,10)时,g′(t )<0,g (t )是减函数;t ∈(10,20)时,g′(t )>0,g (t )是增函数,从而t=10时,函数g (t )有极小值也是最小值,∴g(t )min =300, ∴f(t )min =15,答:t=10时,公路l 的长度最短,最短长度为15千米.点评:本题考查利用数学知识解决实际问题,考查导数知识的综合运用,确定函数关系,正确求导是关键.18.(16分)(2015•江苏)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆+=1(a >b >0)的离心率为,且右焦点F 到左准线l 的距离为3.(1)求椭圆的标准方程;(2)过F 的直线与椭圆交于A,B 两点,线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ,C ,若PC=2AB ,求直线AB 的方程.考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.专题:直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)运用离心率公式和准线方程,可得a ,c 的方程,解得a ,c ,再由a ,b ,c 的关系,可得b ,进而得到椭圆方程;(2)讨论直线AB 的斜率不存在和存在,设出直线方程,代入椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,以及两直线垂直的条件和中点坐标公式,即可得到所求直线的方程.解答: 解:(1)由题意可得,e==,且c+=3,解得c=1,a=,则b=1,即有椭圆方程为+y 2=1;(2)当AB⊥x 轴,AB=,CP=3,不合题意; 当AB 与x 轴不垂直,设直线AB :y=k (x ﹣1),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),将AB 方程代入椭圆方程可得(1+2k 2)x 2﹣4k 2x+2(k 2﹣1)=0, 则x 1+x 2=,x 1x 2=,则C (,),且|AB|=•=, 若k=0,则AB 的垂直平分线为y 轴,与左准线平行,不合题意; 则k≠0,故PC :y+=﹣(x ﹣),P (﹣2,), 从而|PC|=, 由|PC|=2|AB|,可得=,解得k=±1,此时AB 的方程为y=x ﹣1或y=﹣x+1.点本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离评: 心率和方程的运用,联立直线方程,运用韦达定理和弦长公式,同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用,属于中档题.19.(16分)(2015•江苏)已知函数f (x )=x 3+ax 2+b (a ,b ∈R ).(1)试讨论f (x )的单调性;(2)若b=c ﹣a (实数c 是与a 无关的常数),当函数f (x )有三个不同的零点时,a 的取值范围恰好是(﹣∞,﹣3)∪(1,)∪(,+∞),求c 的值.考点: 利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理.专题: 综合题;导数的综合应用.分析: (1)求导数,分类讨论,利用导数的正负,即可得出f (x )的单调性;(2)由(1)知,函数f (x )的两个极值为f (0)=b ,f (﹣)=+b ,则函数f (x )有三个不同的零点等价于f (0)f (﹣)=b (+b )<0,进一步转化为a >0时,﹣a+c >0或a <0时,﹣a+c <0.设g (a )=﹣a+c ,利用条件即可求c 的值.解答: 解:(1)∵f(x )=x 3+ax 2+b , ∴f′(x )=3x 2+2ax ,令f′(x )=0,可得x=0或﹣.a=0时,f′(x )>0,∴f(x )在(﹣∞,+∞)上单调递增;a >0时,x ∈(﹣∞,﹣)∪(0,+∞)时,f′(x )>0,x ∈(﹣,0)时,f′(x )<0,∴函数f (x )在(﹣∞,﹣),(0,+∞)上单调递增,在(﹣,0)上单调递减;a <0时,x ∈(﹣∞,0)∪(﹣,+∞)时,f′(x )>0,x ∈(0,﹣)时,f′(x )<0,∴函数f (x )在(﹣∞,0),(﹣,+∞)上单调递增,在(0,﹣)上单调递减;(2)由(1)知,函数f (x )的两个极值为f (0)=b ,f (﹣)=+b ,则函数f (x )有三个不同的零点等价于f (0)f (﹣)=b (+b )<0,∵b=c﹣a ,∴a>0时,﹣a+c >0或a <0时,﹣a+c<0.设g (a )=﹣a+c ,∵函数f (x )有三个不同的零点时,a 的取值范围恰好是(﹣∞,﹣3)∪(1,)∪(,+∞), ∴在(﹣∞,﹣3)上,g (a )<0且在(1,)∪(,+∞)上g (a )>0均恒成立,∴g(﹣3)=c ﹣1≤0,且g ()=c ﹣1≥0,∴c=1,此时f (x )=x 3+ax 2+1﹣a=(x+1)[x 2+(a ﹣1)x+1﹣a],∵函数有三个零点,∴x 2+(a ﹣1)x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根,∴△=(a ﹣1)2﹣4(1﹣a )>0,且(﹣1)2﹣(a ﹣1)+1﹣a≠0,解得a ∈(﹣∞,﹣3)∪(1,)∪(,+∞), 综上c=1.点评: 本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性,考查函数的零点,考查分类讨论的数学思想,难度大.20.(16分)(2015•江苏)设a 1,a 2,a 3.a 4是各项为正数且公差为d (d≠0)的等差数列.(1)证明:2,2,2,2依次构成等比数列;(2)是否存在a 1,d ,使得a 1,a 22,a 33,a 44依次构成等比数列?并说明理由;(3)是否存在a 1,d 及正整数n ,k ,使得a 1n ,a 2n+k ,a 3n+2k ,a 4n+3k 依次构成等比数列?并说明理由.考点: 等比关系的确定;等比数列的性质.专题:等差数列与等比数列.分析: (1)根据等比数列和等差数列的定义即可证明; (2)利用反证法,假设存在a 1,d 使得a 1,a 22,a 33,a 44依次构成等比数列,推出矛盾,否定假设,得到结论;(3)利用反证法,假设存在a 1,d 及正整数n ,k ,使得a 1n ,a 2n+k ,a 3n+2k ,a 4n+3k 依次构成等比数列,得到a 1n (a 1+2d )n+2k =(a 1+2d )2(n+k ),且(a 1+d )n+k (a 1+3d )n+3k =(a 1+2d )2(n+2k ),利用等式以及对数的性质化简整理得到ln(1+3t )ln (1+2t )+3ln (1+2t )ln (1+t )=4ln (1+3t )ln (1+t ),(**),多次构造函数,多次求导,利用零点存在定理,推出假设不成立.解答: 解:(1)证明:∵==2d ,(n=1,2,3,)是同一个常数,∴2,2,2,2依次构成等比数列;(2)令a 1+d=a ,则a 1,a 2,a 3,a 4分别为a﹣d ,a ,a+d ,a+2d (a >d ,a >﹣2d ,d≠0) 假设存在a 1,d 使得a 1,a 22,a 33,a 44依次构成等比数列,则a 4=(a ﹣d )(a+d )3,且(a+d )6=a 2(a+2d )4,令t=,则1=(1﹣t )(1+t )3,且(1+t )6=(1+2t )4,(﹣<t <1,t≠0),化简得t 3+2t 2﹣2=0(*),且t 2=t+1,将t 2=t+1代入(*)式,t (t+1)+2(t+1)﹣2=t 2+3t=t+1+3t=4t+1=0,则t=﹣,显然t=﹣不是上面方程的解,矛盾,所以假设不成立,因此不存在a 1,d ,使得a 1,a 22,a 33,a 44依次构成等比数列.(3)假设存在a 1,d 及正整数n ,k ,使得a 1n ,a 2n+k ,a 3n+2k ,a 4n+3k 依次构成等比数列,则a1n(a1+2d)n+2k=(a1+2d)2(n+k),且(a1+d)n+k(a1+3d)n+3k=(a1+2d)2(n+2k),分别在两个等式的两边同除以=a12(n+k),a12(n+2k),并令t=,(t>,t≠0),则(1+2t)n+2k=(1+t)2(n+k),且(1+t)n+k (1+3t)n+3k=(1+2t)2(n+2k),将上述两个等式取对数,得(n+2k)ln(1+2t)=2(n+k)ln(1+t),且(n+k)ln(1+t)+(n+3k)ln(1+3t)=2(n+2k)ln(1+2t),化简得,2k[ln(1+2t)﹣ln(1+t)]=n[2ln(1+t)﹣ln(1+2t)],且3k[ln(1+3t)﹣ln(1+t)]=n[3ln(1+t)﹣ln(1+3t)],再将这两式相除,化简得,ln(1+3t)ln(1+2t)+3ln(1+2t)ln(1+t)=4ln(1+3t)ln(1+t),(**)令g(t)=4ln(1+3t)ln(1+t)﹣ln(1+3t)ln(1+2t)+3ln(1+2t)ln(1+t),则g′(t)=[(1+3t)2ln(1+3t)﹣3(1+2t)2ln(1+2t)+3(1+t)2ln(1+t)],令φ(t)=(1+3t)2ln(1+3t)﹣3(1+2t)2ln (1+2t )+3(1+t )2ln (1+t ),则φ′(t )=6[(1+3t )ln (1+3t )﹣2(1+2t )ln (1+2t )+3(1+t )ln (1+t )],令φ1(t )=φ′(t ),则φ1′(t )=6[3ln (1+3t )﹣4ln (1+2t )+ln (1+t )],令φ2(t )=φ1′(t ),则φ2′(t )=>0,由g (0)=φ(0)=φ1(0)=φ2(0)=0,φ2′(t )>0,知g (t ),φ(t ),φ1(t ),φ2(t )在(﹣,0)和(0,+∞)上均单调,故g (t )只有唯一的零点t=0,即方程(**)只有唯一解t=0,故假设不成立,所以不存在a 1,d 及正整数n ,k ,使得a 1n ,a 2n+k ,a 3n+2k ,a 4n+3k 依次构成等比数列.点评:本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质,函数与方程等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力,属于难题.三、附加题(本大题包括选做题和必做题两部分)【选做题】本题包括21-24题,请选定其中两小题作答,若多做,则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1:几何证明选讲】21.(10分)(2015•江苏)如图,在△ABC中,AB=AC,△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D.求证:△ABD∽△AEB.考点:相似三角形的判定.专题:推理和证明.分析:直接利用已知条件,推出两个三角形的三个角对应相等,即可证明三角形相似.解答:证明:∵AB=AC,∴∠ABD=∠C,又∵∠C=∠E,∴∠ABD=∠E,又∠BAE是公共角,可知:△ABD∽△AEB.点评:本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识,考查逻辑推理能力.【选修4-2:矩阵与变换】22.(10分)(2015•江苏)已知x ,y ∈R ,向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量,求矩阵A 以及它的另一个特征值.考点:特征值与特征向量的计算. 专题:矩阵和变换. 分析: 利用A =﹣2,可得A=,通过令矩阵A 的特征多项式为0即得结论.解答:解:由已知,可得A =﹣2,即==, 则,即, ∴矩阵A=, 从而矩阵A 的特征多项式f (λ)=(λ+2)(λ﹣1), ∴矩阵A 的另一个特征值为1.点评: 本题考查求矩阵及其特征值,注意解题方法的积累,属于中档题.【选修4-4:坐标系与参数方程】23.(2015•江苏)已知圆C 的极坐标方程为ρ2+2ρsin(θ﹣)﹣4=0,求圆C 的半径.考点: 简单曲线的极坐标方程.专题:计算题;坐标系和参数方程.分析: 先根据x=ρcosθ,y=ρsinθ,求出圆的直角坐标方程,求出半径.解答: 解:圆的极坐标方程为ρ2+2ρsin(θ﹣)﹣4=0,可得ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0,化为直角坐标方程为x 2+y 2﹣2x+2y ﹣4=0,化为标准方程为(x ﹣1)2+(y+1)2=6,圆的半径r=.点评:本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,以及求点的极坐标的方法,关键是利用公式x=ρcosθ,y=ρsinθ,比较基础,[选修4-5:不等式选讲】24.(2015•江苏)解不等式x+|2x+3|≥2.考点:绝对值不等式的解法.专题:不等式.分析: 思路1(公式法):利用|f (x )|≥g(x )⇔f (x )≥g(x ),或f (x )≤﹣g (x );思路2(零点分段法):对x 的值分“x≥”“x <”进行讨论求解. 解答: 解法1:x+|2x+3|≥2变形为|2x+3|≥2﹣x , 得2x+3≥2﹣x ,或2x+3≥﹣(2﹣x ),即x≥,或x≤﹣5,即原不等式的解集为{x|x≥,或x≤﹣5}.解法2:令|2x+3|=0,得x=. ①当x≥时,原不等式化为x+(2x+3)≥2,即x≥, 所以x≥; ②x<时,原不等式化为x ﹣(2x+3)≥2,即x≤﹣5,所以x≤﹣5.综上,原不等式的解集为{x|x≥,或x≤﹣5}.点评:本题考查了含绝对值不等式的解法.本解答给出的两种方法是常见的方法,不管用哪种方法,其目的是去绝对值符号.若含有一个绝对值符号,利用公式法要快捷一些,其套路为:|f (x )|≥g(x )⇔f (x )≥g(x ),或f (x )≤﹣g (x );|f(x )|≤g(x )⇔﹣g (x )≤f(x )≤g(x ).可简记为:大于号取两边,小于号取中间.使用零点分段法时,应注意:同一类中取交集,类与类之间取并集.【必做题】每题10分,共计20分,解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25.(10分)(2015•江苏)如图,在四棱锥P ﹣ABCD 中,已知PA⊥平面ABCD ,且四边形ABCD 为直角梯形,∠ABC=∠BAD=,PA=AD=2,AB=BC=1.(1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值;(2)点Q 是线段BP 上的动点,当直线CQ 与DP 所成的角最小时,求线段BQ 的长.考点: 二面角的平面角及求法;点、线、面间的距离计算.专题:空间位置关系与距离;空间角.分析: 以A 为坐标原点,以AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建系A ﹣xyz .(1)所求值即为平面PAB 的一个法向量与平面PCD 的法向量的夹角的余弦值的绝对值,计算即可;(2)利用换元法可得cos 2<,>≤,结合函数y=cosx 在(0,)上的单调性,计算即得结论.解答: 解:以A 为坐标原点,以AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建系A ﹣xyz 如图,由题可知B (1,0,0),C (1,1,0),D (0,2,0),P (0,0,2).(1)∵AD⊥平面PAB ,∴=(0,2,0),是平面PAB 的一个法向量,∵=(1,1,﹣2),=(0,2,﹣2),设平面PCD 的法向量为=(x ,y ,z ),由,得,取y=1,得=(1,1,1),∴cos<,>==,∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为;(2)∵=(﹣1,0,2),设=λ=(﹣λ,0,2λ)(0≤λ≤1),又=(0,﹣1,0),则=+=(﹣λ,﹣1,2λ),又=(0,﹣2,2),从而cos<,>==,设1+2λ=t,t∈[1,3],则cos2<,>==≤,当且仅当t=,即λ=时,|cos<,>|的最大值为,因为y=cosx在(0,)上是减函数,此时直线CQ与DP所成角取得最小值.又∵BP==,∴BQ=BP=.点本题考查求二面角的三角函数值,考查用空间向评: 量解决问题的能力,注意解题方法的积累,属于中档题.26.(10分)(2015•江苏)已知集合X={1,2,3},Y n ={1,2,3,…,n )(n ∈N *),设S n ={(a ,b )|a 整除b 或整除a ,a ∈X ,B ∈Y n },令f (n )表示集合S n 所含元素的个数.(1)写出f (6)的值;(2)当n≥6时,写出f (n )的表达式,并用数学归纳法证明.考点:数学归纳法.专题:综合题;点列、递归数列与数学归纳法.分析: (1)f (6)=6+2++=13;(2)根据数学归纳法的证明步骤,分类讨论,即可证明结论.解答:解:(1)f (6)=6+2++=13;(2)当n≥6时,f(n)=.下面用数学归纳法证明:①n=6时,f(6)=6+2++=13,结论成立;②假设n=k(k≥6)时,结论成立,那么n=k+1时,S k+1在S k的基础上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生,分以下情形讨论:1)若k+1=6t,则k=6(t﹣1)+5,此时有f (k+1)=f(k)+3=(k+1)+2++,结论成立;2)若k+1=6t+1,则k=6t+1,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2+++1=(k+1)+2++,结论成立;3)若k+1=6t+2,则k=6t+1,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2=(k+1)+2++,结论成立;4)若k+1=6t+3,则k=6t+2,此时有f (k+1)=f (k )+2=k+2+++2=(k+1)+2++,结论成立;5)若k+1=6t+4,则k=6t+3,此时有f (k+1)=f (k )+2=k+2+++2=(k+1)+2++,结论成立;6)若k+1=6t+5,则k=6t+4,此时有f (k+1)=f (k )+2=k+2+++2=(k+1)+2++,结论成立. 综上所述,结论对满足n≥6的自然数n 均成立. 点评: 本题考查数学归纳法,考查学生分析解决问题的能力,正确归纳是关键.。

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