人教A版高中必修二试题4.2.1直线与圆的位置关系.docx
高中数学(人教版必修2)配套练习 ：4.2.1直线与圆的位置关系(含答案)
§4.2 直线、圆的位置关系4.2.1 直线与圆的位置关系一、基础过关1．直线3x ＋4y ＋12＝0与圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝9的位置关系是( )A ．过圆心B ．相切C ．相离D ．相交2．直线l 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0平分，且与直线x ＋2y ＝0垂直，则直线l 的方程为( )A ．y ＝2xB ．y ＝2x －2C ．y ＝12x ＋32D ．y ＝12x －323．若圆C 半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝14．若直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交，则点P (a ，b )的位置是( )A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．都有可能5．过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P 、Q ，则线段PQ 的长为________． 6．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被该圆所截得的弦长为22，则圆C 的标准方程为____________．7．已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的方程． 8．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0.问是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB 满足：以AB 为直径的圆经过原点． 二、能力提升9．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为 ( )A ．1B ．2 2 C.7D ．310．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线l ：x ＋y ＋1＝0的距离为2的点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．由动点P 向圆x 2＋y 2＝1引两条切线P A 、PB ，切点分别为A 、B ，且∠APB ＝60°，则动点P 的轨迹方程为__________________．12．已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点．(1)求四边形P ACB 面积的最小值；(2)直线上是否存在点P ，使∠BP A ＝60°，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明 理由． 三、探究与拓展13．圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R )．(1)证明：不论m取什么数，直线l与圆C恒交于两点；(2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求此时m的值．答案1．D2．A3．A4．B5．46．(x －3)2＋y 2＝47．解 设圆心坐标为(3m ，m )，∵圆C 和y 轴相切，得圆的半径为3|m |，∴圆心到直线y ＝x 的距离为|2m |2＝2|m |.由半径、弦心距的关系得9m 2＝7＋2m 2，∴m ＝±1.∴所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.8．解 假设存在且设l 为：y ＝x ＋m ，圆C 化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心C (1，－2)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋my ＋2＝－(x －1)得AB 的中点N 的坐标N (－m ＋12，m －12)，由于以AB 为直径的圆过原点，所以|AN |＝|ON |. 又|AN |＝|CA |2－|CN |2＝9－(m ＋3)22，|ON |＝(－m ＋12)2＋(m －12)2.所以9－(3＋m )22＝⎝⎛⎭⎫－m ＋122＋⎝⎛⎭⎫m －122，解得m ＝1或m ＝－4.所以存在直线l ，方程为x －y ＋1＝0和x －y －4＝0，并可以检验，这时l 与圆是相交于两点的． 9．C 10．C 11．x 2＋y 2＝412．解 (1)如图，连接PC ，由P 点在直线3x ＋4y ＋8＝0上，可设P 点坐标为(x ，－2－34x )．圆的方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，所以S 四边形P ACB ＝2S △P AC ＝2×12×|AP |×|AC |＝|AP |.因为|AP |2＝|PC |2－|CA |2＝|PC |2－1，所以当|PC |2最小时，|AP |最小．因为|PC |2＝(1－x )2＋(1＋2＋34x )2＝(54x ＋1)2＋9.所以当x ＝－45时，|PC |2min ＝9. 所以|AP |min ＝9－1＝2 2.即四边形P ACB 面积的最小值为2 2. (2)假设直线上存在点P 满足题意． 因为∠APB ＝60°，|AC |＝1， 所以|PC |＝2.设P (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋(y －1)2＝4，3x ＋4y ＋8＝0.整理可得25x 2＋40x ＋96＝0，所以Δ＝402－4×25×96<0.所以这样的点P 是不存在的．13．(1)证明 ∵直线l 的方程可化为(2x ＋y －7)m ＋(x ＋y －4)＝0(m ∈R )．∴l 过⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7＝0x ＋y －4＝0的交点M (3,1)．又∵M 到圆心C (1,2)的距离为d ＝(3－1)2＋(1－2)2＝5<5， ∴点M (3,1)在圆内，∴过点M (3,1)的直线l 与圆C 恒交于两点．(2)解 ∵过点M (3,1)的所有弦中，弦心距d ≤5，弦心距、半弦长和半径r 构成直角三角形，∴当d 2＝5时，半弦长的平方的最小值为25－5＝20. ∴弦长AB 的最小值|AB |min ＝4 5.此时，k CM ＝－12，k l ＝－2m ＋1m ＋1.∵l ⊥CM ，∴12·2m ＋1m ＋1＝－1，解得m ＝－34.∴当m ＝－34时，取到最短弦长为4 5.。
高中人教A版数学必修二教师用书第4章 4.2.1 直线与圆的位置关系 Word版含答案
直线、圆的位置关系 直线与圆的位置关系．理解直线与圆的三种位置关系．(重点)．会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．(重点)．能解决直线与圆位置关系的综合问题．(易错点、难点)教材整理 直线与圆的位置关系的判定阅读教材～“练习”以上部分，完成下列问题．直线与圆的位置关系的判定代数法：由(\\(＋＋＝,(－(＋－(＝))消元得到一元二次方程的判别式Δ直线＋－＝与圆＋＝的位置关系是( )．相交 ．相切．相离．无法判断【解析】 圆心()到直线＋－＝的距离＝＝，又圆＋＝的半径＝，∴＝，故直线与圆相切．【答案】已知直线方程－－－＝，圆的方程＋－－＋＝.当为何值时，直线与圆：()有两个公共点；()只有一个公共点；()没有公共点．【精彩点拨】可联立方程组，由方程组解的个数判断，也可求出圆心到直线的距离，通过与半径比较判断．【自主解答】法一：将直线－－－＝代入圆的方程，化简、整理得，(＋)－(＋＋)＋＋＋＝.∵Δ＝(＋)，∴当Δ＞，即＞或＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当Δ＝，即＝或＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当Δ＜，即－＜＜时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．法二：已知圆的方程可化为(－)＋(－)＝，即圆心为()，半径＝.圆心()到直线－－－＝的距离＝＝.当＜，即＞或＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当＝，即＝或＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当＞，即－＜＜时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．直线与圆的位置关系的判断方法．几何法：由圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系判断．．代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．．直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．。
人教版高中数学必修二4.2.1直线与圆的位置关系2
为30km的圆形区域. 已知港口位于台风中
心正北40km处， 如果这艘轮船不
y 港口
改变航线，那么
它是否会受到台
风的影响？
O
轮船 x
小 结：
设直线l：Ax＋By＋C＝0， 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
圆心C到直线l的距离为
小 结：
设直线l：Ax＋By＋C＝0， 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
2. 看直线与圆组成的方程组有无实数解:
有解，则直线与圆有公共点： 有一组解，则直线与圆相切； 有两组解，则直线与圆相交；
小 结：
1. 利用直线与圆的位置直观特征导出几 何判定： 比较圆心到直线的距离d与圆的半径r.
2. 看直线与圆组成的方程组有无实数解:
有解，则直线与圆有公共点： 有一组解，则直线与圆相切； 有两组解，则直线与圆相交；
课后作业
1. 阅读教材P.126到P.128； 2. 《课后限时检测》二十五 .
小 结：
1. 利用直线与圆的位置直观特征导出几 何判定： 比较圆心到直线的距离d与圆的半径r.
小 结：
1. 利用直线与圆的位置直观特征导出几 何判定： 比较圆心到直线的距离d与圆的半径r.
2. 看直线与圆组成的方程组有无实数解:
小 结：
1. 利用直线与圆的位置直观特征导出几 何判定： 比较圆心到直线的距离d与圆的半径r.
无解，则直线与圆相离.
例2.直线y＝x与圆x2＋(y－1)2＝r2相切， 求r的值.
例3. 已知过点M(－3, －3)的直线l被圆x2＋y2
＋4y－21＝0所截得的弦长为
求直线l的
方程.
练习.
例4. 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，
人教A版高中数学必修2：4.2.1 直线与圆的位置关系(11)
4.2.1 直线与圆的位置关系
1
当直线遇到圆，它们会发生什么“ ”呢？ 问题1、请你回忆初中平面几何知识，直线与圆有哪些位置
关系？我们是怎么判断的？ 直线与圆有三种位置关系：
相离
相切
相交
直线与圆的位置关系的判定方法：
直线l：Ax+By+C=0 圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
(1)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系
4
例题讲解：
例1、已知直线l：3x y 6 0,圆C：x2 y2 2y 4 0
（1）判断直线l与圆C的位置关系 法一： 法二：
（2）若直线l与圆C的交点为A,B，求弦长|AB|. 法一： 法二：
（3）存在与直线l垂直的直线m，与圆C的相交点于 点E,F，且|EF|=|AB|，求直线m的方程.
判断：
aA bB C
d
A2 B2
d>r
直线与圆相离
d=r
直线与圆相切
d<r
直线与圆相交 3
(2) 利用直线与圆的公共点的个数进行判断：
设方程组(AxxaB)2y
C (y
0 b)
2
r2
的解的个数为n
△<0 △=0 △>0
n=0
直线与圆相离
n=1
直线与圆相切
n=2
直线与圆相交
5
（1）通过直线与圆的位置关系的判断，
你
？
（2）判断直线与圆的位置关系有 方
法？它们的 是什么？
（3）如何求出直线与圆的
？
X
高中数学必修二人教A版练习：4.2.1直线与圆的位置关系含解析.doc
4.2 直线、圆的位置关系4.2.1 直线与圆的位置关系【选题明细表】1.(2018·云南昆明模拟)已知直线l:y=x+m与圆C:x2+(y-3)2=6相交于A,B两点,若|AB|=2,则实数m的值等于( C )(A)-7或-1 (B)1或7(C)-1或7 (D)-7或1解析:圆心(0,3)到直线l的距离d==,故+2=6,解得:m=-1或m=7,故选C.2.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴相切,则该圆的标准方程是( B )(A)(x-3)2+(y-)2=1(B)(x-2)2+(y-1)2=1(C)(x-1)2+(y-3)2=1(D)(x-)2+(y-1)2=1解析:设圆心为(a,1),由已知得d==1,由a>0,所以a=2.3.(2018·江西新余高一期末)曲线y=1+与直线kx-y-2k+4=0有两个交点时,实数k取值范围是( A )(A)(,) (B)(,)(C)(,) (D)(0,)解析:曲线y=1+,因为x∈[-2,2],y=1+≥1,所以x2+(y-1)2=4,表示圆心为M(0,1),半径r=2的圆的上半部分.直线y=k(x-2)+4表示过定点P(2,4)的直线,当直线与圆相切时,由圆心到直线kx-y+4-2k=0的距离d==2,解得k=.当直线经过点B(-2,1)时,直线PB的斜率为k=.所以要使直线与曲线有两个不同的公共点,则必有<k≤.即实数k的取值范围是(,).4.(2018·河北承德期末)已知直线l:y=kx+2(k∈R),圆M:(x-1)2+y2=6,圆N:x2+(y+1)2=9,则( D )(A)l必与圆M相切,l不可能与圆N相交(B)l必与圆M相交,l不可能与圆N相切(C)l必与圆M相切,l不可能与圆N相切(D)l必与圆M相交,l不可能与圆N相离解析:因为直线l:y=kx+2(k∈R)过点(0,2),(0,2)在圆M:(x-1)2+y2=6内,所以直线l必与圆M相交,因为(0,2)在圆N:x2+(y+1)2=9上,所以l不可能与圆N相离.故选D.5.(2018·湖南益阳高一期末)若PQ是圆x2+y2=9的弦,PQ的中点是A(1,2),则直线PQ的方程是( B )(A)x+2y-3=0 (B)x+2y-5=0(C)2x-y+4=0 (D)2x-y=0解析:设圆的圆心是O,由题意知,直线PQ过点A(1,2),且和直线OA垂直,故其方程为y-2=-(x-1),整理得x+2y-5=0.故选B.6.(2018·湖南岳阳模拟)已知圆C:x2+(y-3)2=4,过A(-1,0)的直线l 与圆C相交于P,Q两点.若|PQ|=2,则直线l的方程为. 解析:当直线l与x轴垂直时,易知x=-1符合题意;当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+1),由|PQ|=2,则圆心C(0,3)到直线l的距离d==1,解得k=,此时直线l的方程为y=(x+1).故所求直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0.答案:x=-1或4x-3y+4=07.(2018·山东枣庄二模)已知圆M与直线x-y=0及x-y+4=0都相切,圆心在直线y=-x+2上,则圆M的标准方程为.解析:圆心在y=-x+2上,设圆心为(a,2-a),因为圆C与直线x-y=0及x-y+4=0都相切,所以圆心到直线x-y=0的距离等于圆心到直线x-y+4=0的距离,即=,解得a=0,所以圆心坐标为(0,2),r==,圆C的标准方程为x2+(y-2)2=2.答案:x2+(y-2)2=28.已知圆C的方程为(x-1)2+y2=9,求过M(-2,4)的圆C的切线方程. 解:因为r=3,圆心C(1,0)到点M(-2,4)的距离d=5>r,所以点M(-2,4)在圆C外,切线有两条.(1)当切线的斜率存在时,设过点M(-2,4)的圆C的切线方程为y-4=k(x+2),即kx-y+2k+4=0.由圆心C(1,0)到切线的距离等于半径3,得=3.解得k=-,代入切线方程得7x+24y-82=0.(2)当切线的斜率不存在时,圆心C(1,0)到直线x=-2的距离等于半径3,所以x=-2也是圆C的切线方程.综上(1)(2),所求圆C的切线方程为x+2=0或7x+24y-82=0.9.若直线ax+by-3=0和圆x2+y2+4x-1=0相切于点P(-1,2),则ab的值为( C )(A)-3 (B)-2 (C)2 (D)3解析:圆的标准方程为(x+2)2+y2=5,直线与圆相切,则圆心到直线距离为,所以=,整理得a2-12a+5b2-9=0且直线过P(-1,2),代入得2b-a-3=0,两式联立,得a=1,b=2,所以ab=2,故选C.10.(2018·宁夏中卫市二模)已知从圆C:(x+1)2+(y-2)2=2外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,则当|PM|取最小值时点P的坐标为.解析:如图所示,圆心C(-1,2),半径r=.因为|PM|=|PO|,所以|PO|2+r2=|PC|2(C为圆心,r为圆的半径),所以++2=(x1+1)2+(y1-2)2,即2x1-4y1+3=0.要使|PM|最小,只要|PO|最小即可.当直线PO垂直于直线2x-4y+3=0时,即直线PO的方程为2x+y=0时,|PM|最小,此时P点即为两直线的交点,得P点坐标(-,).答案:(-,)11.已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B 两点,且△ABC为等边三角形,则实数a= .解析:依题意,圆C的半径是2,圆心C(1,a)到直线ax+y-2=0的距离等于×2=,于是有=,即a2-8a+1=0,解得a=4±.答案:4±12.(2018·河南平顶山高一期末)设有一条光线从P(-2,4)射出,并且经x轴上一点Q(2,0)反射.(1)求入射光线和反射光线所在的直线方程(分别记为l1,l2);(2)设动直线l:x=my-2,当点M(0,-6)到l的距离最大时,求l,l1,l2所围成的三角形的内切圆(即圆心在三角形内,并且与三角形的三边相切的圆)的方程.解:(1)因为k PQ=-,所以l1:y=-(x-2),因为l1,l2关于x轴对称,所以l2:y=(x-2).(2)因为l恒过点N(-2,0),当MN⊥l时,M到l的距离最大,因为k MN=-,所以m=,所以l的方程为x=y-2,设所求方程为(x-2)2+(y-t)2=r2,所以r==,得t=2,所以所求方程为(x-2)2+(y-2)2=1.13.(2018·兰州二十七中高二上期末)已知半径为5的圆的圆心在x 轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线4x+3y-29=0相切.(1)求圆的方程;(2)设直线ax-y+5=0与圆相交于A,B两点,求实数a的取值范围;(3)在(2)的条件下,是否存在实数a,使得过点P(-2,4)的直线l垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.解:(1)设圆心为M(m,0)(m∈Z),由于圆与直线4x+3y-29=0相切且半径为5,所以=5,即|4m-29|=25.因为m为整数,故m=1.故所求的圆的方程是(x-1)2+y2=25.(2)直线ax-y+5=0,即y=ax+5,代入圆的方程消去y整理,得(a2+1)x2+2(5a-1)x+1=0.由于直线ax-y+5=0交圆于A,B两点,故Δ=4(5a-1)2-4(a2+1)>0,即12a2-5a>0,解得a<0或a>.所以实数a的取值范围是(-∞,0)∪(,+∞).(3)设符合条件的实数a存在,由(2)得a≠0,则直线l的斜率为-,l的方程为y=-(x+2)+4,即x+ay+2-4a=0.由于l垂直平分弦AB,故圆心M(1,0)必在l上, 所以1+0+2-4a=0,解得a=.由于∈(,+∞),故存在实数a=,使得过点P(-2,4)的直线l垂直平分弦AB.。
人教新课标A版高一数学《必修2》4.2.1 直线与圆的位置关系
典例精讲：题型二：直线与圆相切问题 解析:
典例精讲：题型二：直线与圆相切问题 解析:
典例精讲：题型二：直线与圆相切问题
2＋y2＝13上， (1) 解法 3 ： ∵ ( － 3,2) 在圆 x 解析: ∴切线方程为－3x＋2y＝13.
即3x－2y＋13＝0.
典例精讲：题型二：直线与圆相切问题 解析:
谢谢大家！
典例精讲：题型二：直线与圆相切问题 解析:
题后反思： (1)由于过某一定点的直线有两类：斜率存在，斜率不存在，
故过某一点做圆的切线，求切线方程时要分情况讨论．
(2)求切线一般有三种方法：①设切点坐标用切线公式：过圆
(x－a)2＋ (y－b)2＝ r2上一点(x0，y0) 的切线方程为 (x－a)(x0－a) ＋
【提示】
相交、相切、相离
探究点1
直线和圆的位置关系
【问题1】如果直线与圆相交，它们的公共点有几个？如果是相切 或相离又是如何呢？
【提示】
相交2个、相切1个、相离0个
探究点1
直线和圆的位置关系
r d d
r
r d
【提示】
相交⇔d<r；相切⇔d=r；相离⇔d>r
探究点1
直线和圆的位置关系
【提示】
相交⇔方程有2个不同实数解⇔ Δ>0；
(y0 － b)(y － b) ＝ r2 ；②设切线方程，用判别式法；③设切线方程，
用圆心到切线的距离等于半径，但要注意斜率不存在的情况．
典例精讲：题型三：弦长问题 例3 过点P(4，－4)的直线l被圆C:x2+y2－2x－4y－20=0截得的弦AB 的长度为8，求直线l的方程. 分析:设出直线l的方程，由圆心到直线的距离d与圆的半径及半弦长
高一数学人教版A版必修二：4.2.1 直线与圆的位置关系
得 b＝±2 5.
解析答案
类型三 弦长问题 例3 (1)过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点.若直线l 的倾斜角为135°，则弦AB的长为________.
解析答案
(2) 圆心为C(2 ，－1) ，截直线 y＝x－1 的弦长为 2 2 的圆的方程为 __(_x－__2_)_2_＋__(y_＋__1_)_2_＝__4______. 解析 设圆的半径为r，由条件，得
|2＋1－1| 圆心到直线 y＝x－1 的距离为 d＝ 2 ＝ 2. 又直线 y＝x－1 被圆截得的弦长为 2 2， 即半弦长为 2， 所以r2＝2＋2＝4，r＝2， 所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.
解析答案
(3)直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交于A、B两点，截得的 弦长为4 5 ，求l的方程.
位置关系 公共点个数
相交 相切 相离 2个 1个 0个
判 几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|
A2＋B2 定
方 法
代数法： Ax＋By＋C＝0， 由 x－a2＋y－b2＝r2
消元得到一元二次方程的判别式Δ
_d_<_r_ _d_＝__r _Δ_>_0_ Δ_＝__0_
_d_>_r_ Δ__<_0_
解析答案
(2)求由下列条件确定的圆x2＋y2＝4的切线方程： ①经过点 P(－ 2， 2)；
解 ∵(－ 2)2＋( 2)2＝4， ∴点P在圆x2＋y2＝4上，
∴切线方程为－ 2x＋ 2y＝4， 即 x－y＋2 2＝0.
②切线斜率为2.
解 设圆的切线方程为y＝2x＋b，即2x－y＋b＝0，
由圆心到切线的距离为半径，可得： 22＋|b|－12＝2 故所求切线方程为 2x－y±2 5＝0.
人教A版高中数学必修二第4章 4.2 4.2.1 直线与圆的位置关系
(3)当 d>r，即 |k1＋＋5k|2>1⇒k>－152时，直线与圆相离．
1－1.求实数 b 的范围，使直线 y＝x＋b 和圆 x2＋y2＝2： (1)相交；(2)相切；(3)相离． 解法一：由圆 x2＋y2＝2 得圆心为(0,0)，半径为 2. (1)相交⇔d＝0＋10＋＋1b＝b2<r＝ 2， 解得－2<b<2. (2)相切⇔d＝0＋10＋＋1b＝b2＝r＝ 2， 解得 b＝－2 或 b＝2. (3)相离⇔d＝0＋10＋＋1b＝b2>r＝ 2， 综上得 b<－2 或 b>2.
x1－x22＋y1－y22＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2.
3－1.(2010 年四川)直线 x－2y＋5＝0 与圆 x2＋y2＝8 相交于 A、B 两点，则|AB|＝_2____3.
解析：圆心为(0,0)，半径为 2 2，圆心到直线 x－2y＋5＝ 0 的距离为 d＝ |102＋＋0＋－52|2＝ 5，由|A2B|2＋( 5)2＝(2 2)2，得 |AB|＝2 3.
重点 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种，即相交、相切和相离，判定 的方法有两种： (1)代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根 据解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即Δ＞0，则相交； 若有两组相同的实数解，即Δ＝0，则相切；若无实数解，即Δ ＜0，则相离； (2)几何法：由圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小来判断， 若 d＜r，直线与圆相交；若d＝r，直线与圆相切；若 d＞r，直 线与圆相离．
解法三：设切点为(x0，y0)，则所求切线方程为 x0x＋y0y＝ 25，将坐标(1，－7)代入后得 x0－7y0＝25，
由xx002－ ＋7y20y＝0＝2525 ，解得xy00＝ ＝－ 4 3 或xy00＝ ＝－ －34 . 故所求切线方程为 4x－3y－25＝0 或 3x＋4y＋25＝0.
高中数学必修二(人教A版)练习4.2.1 直线与圆的位置关系 Word版含答案
．直线与圆的位置关系一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．直线＋－＝与圆＋＝的位置关系为( )．相切．相交．相离．相离或相切．过圆＋＝上的一点(，)的圆的切线方程是( )．＋－＝－＝．＋＝．－－＝．圆心坐标为(，－)的圆在直线－－＝上截得的弦长为，那么这个圆的方程为( ) ．(－)＋(＋)＝．(－)＋(＋)＝．(－)＋(＋)＝．(－)＋(＋)＝．圆＋－－＝内，过点(，)的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为( )．．．．．若直线＋－＝和圆＋＋－＝相切于点(－，)，则的值为( )．－．－．．．过坐标原点且与圆＋－＋＋＝相切的直线的方程为( )．＝－或＝．＝或＝－．＝－或＝－．＝或＝．过点(，)的直线将圆(－)＋＝分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的方程为( )．－＋＝．＋－＝．＋－＝．－＋＝二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分)．若直线＝＋与圆(－)＋(－)＝有两个不同的交点，则的取值范围是．．直线＋－＝被圆＋＝所截得的弦长是．．设直线＋＋＝与圆＋－＋＝相交于，两点，为坐标原点，且⊥，则的值为．．一条光线从点(，)射出，经轴反射，与圆(＋)＋(－)＝相切，则反射光线所在直线的方程是．三、解答题(本大题共小题，共分)．(分)已知圆的方程为(－)＋(＋－)＝.()求圆心的轨迹方程；()当最小时，求圆的一般方程．(为坐标原点)．(分)已知圆的方程为(－)＋(－)＝，点坐标为(，)，求过点的圆的切线方程以及切线长．．(分)过点(，)作圆＋＋－－＝的弦，其中弦长为整数的有条．．(分)已知圆过点(，－)，(，)，且圆心在直线＋＋＝上．()求圆的方程．()问是否存在满足以下两个条件的直线：①直线斜率为；②直线被圆所截得的弦为，以为直径的圆过原点．若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，请说明理由．．直线、圆的位置关系．直线与圆的位置关系．[解析] ∵圆心到直线的距离＝＝>，∴直线与圆相离．．[解析]过圆心与点(，)的直线的斜率为，所以过点(，)的圆的切线方程的斜率为－，所以切线方程为－＝－，即＋－＝.．[解析]圆心到直线的距离＝＝.＝＋()＝，∴＝.∴圆的方程为(－)＋(＋)＝.．[解析]由题意可知，圆的圆心坐标为(，)，半径为，且点(，)位于该圆内，故过点(，)的最短弦长＝＝(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点(，)的最长弦长等于该圆的直径，即＝，且⊥，因此四边形的面积等于·＝××＝.．[解析]圆＋＋－＝化为标准方程为(＋)＋＝，圆心坐标为(－，)．因为直线＋－＝和圆＋＋－＝相切于点(－，)，所以解得＝，＝，所以的值为.．[解析] 易知直线的斜率存在，故不妨设直线方程为＝，即－＝.∵圆的方程可化为(－)＋(＋)＝，∴圆心为(，－)，半径为.依题意有＝，解得＝－或＝，∴所求直线的方程为＝－或＝.．[解析]易知直线的斜率存在，故不妨设直线的方程为－＝(－)，即－＋－＝，所以圆心(，)到直线的距离＝＝，则当＝时，＝，此时对应的劣弧所对的圆心角最小，即直线的方程为－＋＝.[解析] 依题意有<，解得<<，∴的取值范围是.．[解析] 圆心到直线的距离＝＝，所以直线＋－＝被圆＋＝所截得的弦长＝＝.．－[解析]∵圆＋－＋＝经过原点，且⊥，∴是圆的直径，∴圆心(，－)在直线＋＋＝上，∴－＋＝，解得＝－.．＋＋＝或＋＋＝[解析]依题意得，点关于轴的对称点′(，－)在反射光线所在的直线上，故可设反射光线所在直线。
高中数学人教新课标A版必修2 第四章 圆与方程 4.2.1直线与圆的位置关系
高中数学人教新课标A版必修2 第四章圆与方程 4.2.1直线与圆的位置关系选择题直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是（）A.相离B.相交C.相切D.不确定【答案】B【解析】当a＝0时，直线y＝0显然与该圆相交；当a≠0时，圆心（0,0）到直线ax－y＋2a＝0的距离d＝（半径），也与该圆相交．故答案为：B。
分a为零和a不为零两种情况来讨论。
选择题已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为（）A.x2＋y2－2x－3＝0B.x2＋y2＋4x＝0C.x2＋y2＋2x－3＝0D.x2＋y2－4x＝0【答案】D【解析】设圆心为（a,0）（a＞0），则即a＝2，∴圆C的方程为（x－2）2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.故答案为：D。
由直线与圆相切的性质可以求出圆的方程。
选择题圆心坐标为（2，－1）的圆在直线x－y－1＝0上截得的弦长为，那么这个圆的方程为（）A.（x－2）2＋（y＋1）2＝4B.（x－2）2＋（y＋1）2＝2C.（x－2）2＋（y＋1）2＝8D.（x－2）2＋（y＋1）2＝16【答案】A【解析】圆心到直线的距离，圆的半径，∴圆的方程为（x－2）2＋（y＋1）2＝4.所以答案是：A。
选择题已知点A是圆C：x2＋y2＋ax＋4y＋10＝0上任意一点，点A关于直线x＋2y－1＝0的对称点也在圆C上，则实数a的值为（）A.10B.－10C.－4D.4【答案】B【解析】通过配方可得圆C的标准方程为（x＋）2＋（y＋2）2＝，由题意，可知直线x＋2y－1＝0过圆心C（－，－2），∴－－4－1＝0，∴a＝－10.又a＝－10时，＞0，∴a的值为－10，所以答案是：B.【考点精析】解答此题的关键在于理解圆的标准方程的相关知识，掌握圆的标准方程：；圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，以及对圆的一般方程的理解，了解圆的一般方程的特点：(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．②没有xy这样的二次项；(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了；(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显．选择题已知直线x＋7y＝10把圆x2＋y2＝4分成两段弧，这两段弧长之差的绝对值等于（）A.B.C.πD.2π【答案】D【解析】圆x2＋y2＝4的圆心为O（0,0），半径r＝2，设直线x ＋7y＝10与圆x2＋y2＝4交于M，N两点，圆心O到直线x＋7y＝10的距离d＝，过点O作OP⊥MN于P，则|MN|＝2 .在△MNO中，|OM|2＋|ON|2＝2r2＝8＝|MN|2 ，则∠MON＝90°，这两段弧长之差的绝对值等于.所以答案是：D。
21人教版高中a版数学同步必修2模块练习题--4.2.1 直线与圆的位置关系(可编辑word)
4.2 直线、圆的位置关系4.2.1 直线与圆的位置关系基础过关练题组一直线与圆的位置关系的判定1.(2019陕西高考模拟)若直线l:ax+by=1与圆C:x2+y2=1无交点,则点P(b,a)与圆C的位置关系是( )A.点在圆上B.点在圆外C.点在圆内D.不能确定2.(2019河南商丘九校联考高一(上)期末)对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是( )A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心3.(2018吉林松原高一期末)点M(x0,y0)在圆x2+y2=R2外,则直线x0x+y0y=R2与圆的位置关系是( )A.相切B.相交C.相离D.不确定4.对于任意实数k,直线(3k+2)x-ky-2=0与圆x2+y2-2x-2y-3=0的位置关系是.题组二直线与圆相切的有关问题5.已知直线ax+by+c=0(abc≠0)与圆x2+y2=1相切,则三条边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不存在6.(2019湖南高一期末)已知圆C的圆心在x轴上,半径长为2,且与直线x-√3y+2=0相切,则圆C的方程为( )A.(x-2)2+y2=4B.(x+2)2+y2=4或(x-6)2+y2=4C.(x-1)2+y2=4D.(x-2)2+y2=4或(x+6)2+y2=47.(2019吉林东北师大附中高一期末)已知圆C与直线x-y=0和直线x-y-4=0都相切,且圆心C在直线x+y=0上,则圆C的方程是( )A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=2C.(x+1)2+(y-1)2=4D.(x-1)2+(y+1)2=48.(2019广东高一期末)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=( )A.2B.4√2C.6D.2√109.(2019湖南浏阳一中高二期末)若直线l:x-y+t=0与圆C:x2+y2-12x-16y+96=0相切,则实数t的值为.题组三直线与圆相交的有关问题10.(2019甘肃天水一中高一上学期期末)点P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程为( )A.x+y-1=0B.2x+y-3=0C.x-y-3=0D.2x-y-5=011.直线x+7y-5=0截圆x2+y2=1所得的两段弧长之差的绝对值是( )A.π4B.π2C.πD.3π212.直线y=k(x+2)被圆x2+y2=4截得的弦长为2√3,则直线的倾斜角为( )A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°13.已知点A(1,a),圆O:x2+y2=4.(1)若过点A的圆O的切线只有一条,求实数a的值及切线方程;(2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆O截得的弦长为2√3,求实数a 的值.14.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R).(1)求证:直线l恒过定点;(2)判断直线l与圆C的位置关系;(3)当m=0时,求直线l被圆C截得的弦长.能力提升练一、选择题1.(2020湖北荆州中学高二期末,★★☆)过点P(4,2)作圆x2+y2=4的两条切线,切点分别为A、B,O为坐标原点,则△AOB的外接圆方程为( )A.(x-2)2+(y-1)2=5B.(x+2)2+(y+1)2=20C.(x-4)2+(y-2)2=5D.(x+4)2+(y+2)2=202.(2019江西吉安一中高二月考,★★☆)与直线x-y-4=0和圆x2+y2+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的方程是( )A.(x+1)2+(y+1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=4C.(x-1)2+(y+1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=43.(2019湖南衡阳市一中高一期末,★★☆)若实数x,y满足x2+y2=3,则yx-2的取值范围是( )A.(-√3,√3)B.(-∞,-√3)∪(√3,+∞)C.[-√3,√3]D.(-∞,-√3]∪[√3,+∞)4.(2019天津红桥期末,★★☆)若直线l:ax+y+2a=0被圆C:x2+(y-4)2=4所截得的弦长为2√2,则a的值为( )A.-7或-1B.7或1C.7或-1D.-7或15.(2018吉林松原高一期末,★★☆)已知点M(a,b)(ab≠0)是圆x2+y2=r2(r>0)内一点,直线g是以M为中点的弦所在的直线,直线l的方程为ax+by+r2=0,则( )A.l∥g,且l与圆相离B.l⊥g,且l与圆相切C.l∥g,且l与圆相交D.l⊥g,且l与圆相离6.(★★☆)直线y=kx交曲线y=√-x2+4x-3于P、Q两点,O为原点,P在线段OQ上,若|OP|=2|PQ|,则k的值为( )A.15B.√35C.√55D.√757.(2019江西临川第一中学高三上学期期末,★★☆)已知圆x2+y2-4x-5=0的弦AB 的中点为Q(1,1),直线AB交x轴于点P,则|PA|·|PB|=()A.4B.5C.6D.8二、填空题8.(2019湖北沙市中学上学期期末,★★☆)已知圆C:(x-2)2+y2=4,直线l1:y=√3x 和l2:y=kx-1被圆C所截得的弦的长度之比为1∶2,则k的值为.9.(★★☆)已知方程x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0表示圆,其中a∈R,且a≠1,则无论a 取不为1的任何实数,上述圆恒过的定点坐标是.10.(2018豫南九校高一期末,★★☆)已知集合A={(x,y)|(x-1)2+(y+2)2=6},B={(x,y)|2x+y-5=0},则集合A∩B的子集个数为.11.(2018陕西西安一中期末,★★☆)已知圆x2+y2=4,则圆上到直线3x-4y+5=0的距离为1的点的个数为.三、解答题12.(2019天津高一期末,★★☆)已知圆C:x2+y2-2x-4y-20=0.(1)求圆C关于直线x-2y-2=0对称的圆D的标准方程;(2)过点P(4,-4)的直线l被圆C截得的弦长为8,求直线l的方程;(3)当k取何值时,直线m:kx-y+3k+1=0与圆C相交的弦长最短,并求出最短弦长.13.(2019河北高一月考,★★☆)已知圆M:(x+a)2+(y-a)2=r2的圆心M在直线y=x 上,且直线3x+4y-15=0与圆M相切.(1)求圆M的方程;(2)设圆M与x轴交于A,B两点,点P在圆M内,且|PM|2=|PA|·|PB|.记直线PA,PB 的斜率分别为k1,k2,求k1k2的取值范围.答案全解全析 基础过关练1.C 若直线l:ax+by=1与圆C:x 2+y 2=1无交点,则√a 2+b2>1,即a 2+b 2<1, ∴点P(b,a)在圆C 内部.故选C.2.C 对任意的实数k,直线y=kx+1恒过点(0,1),且斜率存在,∵(0,1)在圆x 2+y 2=2内,∴对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x 2+y 2=2的位置关系一定是相交但直线不过圆心,故选C.3.B ∵点M(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=R 2外,∴x 02+y 02>R 2,∴圆心(0,0)到直线x 0x+y 0y=R 2的距离d=2√x 0+y 0<R,∴直线x 0x+y 0y=R 2与圆相交.故选B. 4.答案 相交解析 解法一:将直线方程(3k+2)x-ky-2=0化为(3x-y)k+2x-2=0,令3x-y=0,2x-2=0,解得x=1,y=3,则直线恒过点(1,3),又12+32-2×1-2×3-3=-1<0,所以点(1,3)在圆内,所以直线与圆相交. 解法二:将圆的方程化为(x-1)2+(y-1)2=5,可知圆的半径长为√5,圆心(1,1)到直线的距离d=√(3k+2)+(-k )≤√k 2=2<√5,所以直线与圆相交.5.B 由题意知√a 2+b 2=1,则|c|=√a 2+b 2,即c 2=a 2+b 2,故三条边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形是直角三角形.6.D 设圆心坐标为(a,0),因为圆与直线x-√3y+2=0相切,所以由点到直线的距离公式可得|a+2|2=2,解得a=2或a=-6.因此圆C 的方程为(x-2)2+y 2=4或(x+6)2+y 2=4.7.B ∵圆心在直线x+y=0上,∴可设圆心为(a,-a),设所求圆的方程为(x-a)2+(y+a)2=r 2,则由题意,得√2=√2=r,解得a=1,r=√2.∴所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.故选B.8.C 圆C 的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4,圆心为C(2,1),半径长r=2,由直线l 是圆C 的对称轴,知直线l 过点C,所以2+a×1-1=0,即a=-1,所以A(-4,-1),于是|AC|2=40,所以|AB|=√|AC |2-22=√40-4=6.故选C.9.答案 2±2√2解析 圆C 的标准方程为(x-6)2+(y-8)2=4,圆心C 的坐标为(6,8),半径长为2,由于直线l 与圆C 相切,则圆心C 到直线l 的距离等于半径长,即√2=2,即|t-2|=2√2,解得t=2±2√2.10.C 因为AB 是圆(x-1)2+y 2=25的弦,设圆心为C,则C(1,0),根据题意易知AB⊥CP, 因此,AB 的斜率k=-1k CP=-10+11-2=1,可得直线AB 的方程为y+1=x-2,化简,得x-y-3=0,故选C. 11.C 圆心(0,0)到直线的距离d=√12+72=√22.又圆的半径长r=1,所以直线x+7y-5=0被圆x 2+y 2=1截得的弦长为2√12-(√22)2=√2,所以直线截圆所得的劣弧所对的圆心角大小为90°,所以劣弧是整个圆周的14,所以直线截圆所得的两段弧长之差的绝对值为整个圆周长的一半,即12×2πr=π.12.C 由题意,知圆x 2+y 2=4的圆心为(0,0),半径长为2,∵直线y=k(x+2)被圆x 2+y 2=4截得的弦长为2√3,∴圆心到直线的距离d=√4-(√3)2=1,又∵圆心到直线的距离d=√k 2+1,∴k=±√33,∴直线的倾斜角为30°或150°.故选C.13.解析 (1)由于过点A 的圆O 的切线只有一条,故点A 在圆上, 所以12+a 2=4,所以a=±√3.当a=√3时,A(1,√3),此时切线方程为x+√3y-4=0; 当a=-√3时,A(1,-√3),此时切线方程为x-√3y-4=0.(2)设直线方程为x+y=b,因为直线过点A(1,a),所以1+a=b,即a=b-1.① 又圆心到直线的距离d=√2,所以(√2)2+(2√32)2=4,②由①②得{a =√2-1,b =√2或{a =-√2-1,b =-√2.所以a=√2-1或a=-√2-1.14.解析 (1)证明:直线l 的方程可化为(2x+y-7)m+x+y-4=0.因为m∈R, 所以{2x +y -7=0,x +y -4=0,解得{x =3,y =1.所以直线l 恒过定点A(3,1).(2)圆心C(1,2),|AC|=√(3-1)2+(1-2)2=√5<5,所以点A 在圆C 内.从而直线l 与圆C 相交(无论m 为何实数). (3)当m=0时,直线l 的方程为x+y-4=0,圆心C(1,2)到直线l 的距离d=√12+12=√22.所以此时直线l 被圆C 截得的弦长为2√25-12=7√2.能力提升练一、选择题1.A 由题意知,OA⊥PA,OB⊥PB,∴四边形AOBP 有一组对角都等于90°,∴四边形AOBP 的四个顶点在同一圆上,此圆的直径是线段OP,线段OP 的中点为(2,1),|OP|=2√5,∴四边形AOBP 的外接圆方程为(x-2)2+(y-1)2=5,∴△AOB 外接圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.故选A.2.C 圆x 2+y 2+2x-2y=0的圆心为(-1,1),半径长为√2,过圆心(-1,1)与直线x-y-4=0垂直的直线方程为x+y=0,易知所求圆的圆心在此直线上,又圆心(-1,1)到直线x-y-4=0的距离为√2=3√2,则所求圆的半径长为√2,设所求圆的圆心为(a,b),且圆心在直线x-y-4=0的左上方,则√2=√2,且a+b=0,解得a=1,b=-1(a=3,b=-3舍去),故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=2,故选C.3.C 如图,设过P(2,0)的直线的斜率为k,则直线方程为y=k(x-2),即kx-y-2k=0,由坐标原点O(0,0)到直线kx-y-2k=0的距离等于√3,得√k 2+1=√3,解得k=±√3,故yx -2的取值范围是[-√3,√3].故选C.4.A 圆心(0,4)到直线l 的距离d=√a 2+1=√4-(√2)2=√2,解得a=-7或a=-1,故选A.5.A 因为点M 在圆内,所以a 2+b 2<r 2.所以圆心(0,0)到直线l 的距离d=2√a 2+b 2>r,所以直线l 与圆相离.易知OM⊥g,所以直线g 的方程为y-b=-a b(x-a),即ax+by-a 2-b 2=0,所以l∥g.6.D ∵y=√-x 2+4x -3,∴(x -2)2+y 2=1(1≤x≤3,y≥0),设圆心C 到直线y=kx 的距离为d,过C 作CM⊥直线y=kx,垂足为M,∵|OP|=2|PQ|,∴|OM|=5|PM|,即√22-d 2=5√1-d 2,∴d 2=78,从而78=(√k 2+1)2,∴k 2=725,∵y≥0,∴k≥0,∴k=√75,故选D.7.B x 2+y 2-4x-5=0可化为(x-2)2+y 2=9,所以圆x 2+y 2-4x-5=0的圆心坐标为C(2,0),半径长为3, 设它与x 轴的交点分别为M,N,不妨设|MO|=1,|NO|=5. 因为弦AB 的中点为Q(1,1),所以QC⊥AB, 因为k QC =1-01-2=-1,所以k AB =1,所以直线AB 的方程为y-1=x-1,即y=x, 所以点P 的坐标为(0,0),它与原点重合.由圆的相交弦定理可得|MO|·|NO|=|PA|·|PB|, 所以|PA|·|PB|=5,故选B.二、填空题 8.答案 12解析 圆C:(x-2)2+y 2=4的圆心为(2,0),半径长为2,圆心到直线l 1:y=√3x 的距离为√3,l 1被圆C 所截得的弦的长度为2√22-3=2,圆心到l 2的距离为√k 2+1,l 2被圆C 所截得的弦的长度为2√4-(√k 2+1)2,结合l 1,l 2被圆C所截得的弦的长度之比为1∶2, 可得2√4-(√k 2+1)2=2×2,解得k=12.9.答案 (1,1)解析 由已知得x 2+y 2-4y+2+2a(y-x)=0,它表示过圆x 2+y 2-4y+2=0与直线y-x=0交点的圆. 由{x 2+y 2-4y +2=0,y -x =0解得{x =1,y =1,即定点坐标为(1,1).10.答案 4解析 由题意知A∩B 中的元素为圆与直线的交点,因为圆心(1,-2)到直线2x+y-5=0的距离d=√22+12=√5<√6,所以直线与圆相交,故集合A∩B 中有2个元素.故集合A∩B 的子集个数为4.11.答案 3解析 圆x 2+y 2=4的圆心为(0,0),半径长为2,圆心(0,0)到直线3x-4y+5=0的距离d=√32+(-4)=1,故圆上到直线3x-4y+5=0的距离为1的点的个数为3.三、解答题12.解析 由题意,知圆C:x 2+y 2-2x-4y-20=0的圆心坐标为C(1,2),半径长r=5.(1)设D(m,n),因为圆心C 与点D 关于直线x-2y-2=0对称,所以{1+m2-2×2+n 2-2=0,n -2m -1=-2,解得{m =3,n =-2,则D(3,-2),半径长r=5, 所以圆D 的标准方程为(x-3)2+(y+2)2=25.(2)设点C 到直线l 的距离为d(d>0),则2√r 2-d 2=8,解得d=3.①当直线l 的斜率不存在时,直线方程为x=4,满足题意;②当直线l 的斜率存在时,设直线方程为y+4=k(x-4),则d=√k 2+1=3,解得k=-34, 所以直线l 的方程为3x+4y+4=0.综上,直线l 的方程为x=4或3x+4y+4=0 .(3)直线m:kx-y+3k+1=0可化为y-1=k(x+3),所以直线m 过定点M(-3,1),当CM⊥m 时,弦长最短,又由k CM =14,可得k=-4, 此时最短弦长为2√r 2-|CM |2=4√2. 13.解析 (1)因为圆M 的圆心M(-a,a)在直线y=x 上,所以a=-a,即a=0,因为直线3x+4y-15=0与圆M 相切,所以r=√32+42=3, 故圆M 的方程为x 2+y 2=9.(2)由(1)知,圆心M(0,0),不妨设A(-3,0),B(3,0).设P(x,y),因为点P 在圆M 内,所以x 2+y 2<9.因为|PM|2=|PA|·|PB|,所以x 2+y 2=√(x +3)2+y 2·√(x -3)2+y 2,所以2x 2-2y 2=9,则2y 2=2x 2-9.因为直线PA,PB 的斜率分别为k 1,k 2,所以k 1=y x+3,k 2=y x -3,则k 1k 2=y 2x 2-9=2x 2-92x 2-18=1+92x 2-18.因为{2x 2-2y 2=9,x 2+y 2<9,所以92≤x 2<274, 所以-29<12x 2-18≤-19,则-1<1+9≤0.2x2-18故k1k2的取值范围为(-1,0].。
人教A版高中必修二试题圆的方程及直线与圆的位置关系.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作圆的方程及直线与圆的位置关系典题探究例1．若直线l ：ax ＋by ＝1与圆C ：x 2＋y 2＝1有两个不同交点，则点P (a ，b )与圆C 的位置关系是 ( )A ．点在圆上B ．点在圆内C ．点在圆外D ．不能确定 答案：C例2．已知动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，则直线l 与圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)的位置关系是________．例3．已知直线l 1：ax ＋y ＋2a ＝0，直线l 2：ax －y ＋3a ＝0.若l 1⊥l 2，则a ＝________.例4．点P (a,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离等于4，且在不等式2x ＋y ＜4表示的平面区域内，则P 点的坐标为__________．演练方阵A 档（巩固专练）1. 过点P (1,2)，且方向向量v ＝(－1,1)的直线的方程为 ( )A ．x －y －3＝0B ．x ＋y ＋3＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝02．将直线l 1：y ＝2x 绕原点逆时针旋转60°得直线l 2，则直线l 2到直线l 3：x ＋2y －3＝0的角为 ( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°3．设A 、B 为x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为 ( )A ．2x ＋y －7＝0B ．2x －y －1＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．x ＋y －5＝04．过两点(－1,1)和(0,3)的直线在x 轴上的截距为( )A ．－32 B.32C ．3D ．－35．直线x ＋a 2y ＋6＝0和(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0无公共点，则a 的值是 ( ) A ．3 B ．0 C ．－1 D ．0或－16．两直线2x －my ＋4＝0和2mx ＋3y －6＝0的交点在第二象限，则m 的取值范围是( )A ．－32≤m ≤2B ．－32＜m ＜2C ．－32≤m ＜2D ．－32＜m ≤27．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0，(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为 ( )A ．－5B ．1C ．2D ．38．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为( )A. 3 B ．2 C. 6 D ．2 39．与直线x －y －4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －2y ＝0都相切的半径最小的圆的方程是 ( )A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －1)2＋(y ＋1)＝410．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为原点，则实数a 的值为 ( )A ．2B ．－2C ．2或－2 D.6或－ 6B 档（提升精练）1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A ．(2,3) B ．(－2,3) C ．(－2，－3) D ．(2，－3)2．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则圆C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆3．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝14．圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( ) A ．2 B ．1＋ 2 C ．2＋22D ．1＋2 25．若点P(1,1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x ＋2y －3＝0 D ．2x －y －1＝0[答案] D[解析] 圆心C(3,0)，k CP ＝－12，由k CP ·k MN ＝－1，得k MN ＝2，所以MN 所在直线方程是2x －y －1＝0，故选D.6．圆心在曲线y ＝3x (x>0)上，且与直线3x ＋4y ＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －3)2＝(185)2B ．(x －3)2＋(y －1)2＝(165)2C ．(x －2)2＋(y －32)2＝9D ．(x －3)2＋(y －3)2＝97．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A(1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．8．已知点M(1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________．9．已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________．10．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A(3,5)，求：(1)过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连结OA ，OC ，求△AOC 的面积S.C 档（跨越导练）1.已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆中过点M(3,5)的最长弦、最短弦分别为AC 、BD ，则以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 62．以抛物线y 2＝20x 的焦点为圆心，且与双曲线x 216－y29＝1的两渐近线都相切的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－20x ＋64＝0 B ．x 2＋y 2－20x ＋36＝0 C ．x 2＋y 2－10x ＋16＝0 D ．x 2＋y 2－10x ＋9＝03．已知A 、B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB|＝6，若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C(1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________．4．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为__________．5.圆C 的半径为1，圆心在第一象限，与y 轴相切，与x 轴相交于A 、B ，|AB|＝3，则该圆的标准方程是________．6．已知以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2t (t∈R，t≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M 、N ，若|OM|＝|ON|，求圆C 的方程． 7. 求经过7x ＋8y ＝38及3x －2y ＝0的交点且在两坐标轴上截得的截距相等的直线方程．8.已知直线l 经过点P (3,1)，且被两平行直线l 1；x ＋y ＋1＝0和l 2：x ＋y ＋6＝0截得的线段之长为5，求直线l 的方程.9．设圆上的点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，求圆的方程．10.已知m ∈R，直线l ：mx －(m 2＋1)y ＝4m 和圆C ：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋16＝0.(1)求直线l 斜率的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？圆的方程及直线与圆的位置关系参考答案典题探究例1解析：直线l ：ax ＋by ＝1与圆C ：x 2＋y 2＝1有两个不同交点，则1a 2＋b2＜1，a 2＋b 2＞1，点P (a ，b )在圆C 外部，故选C.例2．答案：相交解析：动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，即圆心(2,1)在直线上，又圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ，即x 2＋y 2＝9，且22＋12＜9，(2,1)在圆O 内，则直线l 与圆O ： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)的位置关系是相交，故填相交．例3．答案：±1解析：∵l 1⊥l 2，∴kl 1·kl 2＝－1，即(－a )·a ＝－1，∴a ＝±1.例4．答案：(－3,3)解析：因|4a －9＋1|5＝4，∴a ＝7，a ＝－3.当a ＝7时，不满足2x ＋y ＜4(舍去)，∴a ＝－3.演练方阵A 档（巩固专练）1、答案：C解析：方向向量为v ＝(－1,1)，则直线的斜率为－1，直线方程为y －2＝－(x －1)即x ＋y －3＝0，故选C.2、答案：A解析：记直线l 1的斜率为k 1，直线l 3的斜率为k 3，注意到k 1k 3＝－1，l 1⊥l 3，依题意画出示意图，结合图形分析可知，直线l 2到直线l 3的角是30°，选A.3、答案：D解析：因k PA ＝1，则k PB ＝－1，又A (－1,0)，点P 的横坐标为2，则B (5,0)，直线PB 的方程为x ＋y －5＝0，故选D.4、答案：A解析：由两点式，得y －31－3＝x －0－1－0，即2x －y ＋3＝0，令y ＝0，得x ＝－32，即在x 轴上的截距为－32.5、答案：D解析：当a ＝0时，两直线方程分别为x ＋6＝0和x ＝0，显然无公共点；当a ≠0时，－1a2＝－a －23a，∴a ＝－1或a ＝3.而当a ＝3时，两直线重合，∴a ＝0或－1. 6、答案：B解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －my ＋4＝0，2mx ＋3y －6＝0，解得两直线的交点坐标为(3m －6m 2＋3，4m ＋6m 2＋3)，由交点在第二象限知横坐标为负、纵坐标为正，故3m －6m 2＋3＜0且4m ＋6m 2＋3＞0⇒－32＜m ＜2.7、答案：D解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0所围成的区域如图所示．∵其面积为2，∴|AC |＝4，∴C 的坐标为(1,4)，代入ax －y ＋1＝0， 得a ＝3.故选D.8、答案：D解析：∵直线的方程为y ＝3x ，圆心为(0,2)，半径r ＝2.由点到直线的距离公式得弦心距等于1，从而所求弦长等于222－12＝2 3.故选D. 9、答案：C解析：圆x 2＋y 2＋2x －2y ＝0的圆心为(－1,1)，半径为2，过圆心(－1,1)与直线x －y －4＝0垂直的直线方程为x ＋y ＝0，所求的圆的圆心在此直线上，排除A 、B ，圆心(－1,1)到直线x －y －4＝0的距离为62＝32，则所求的圆的半径为2，故选C.10、答案：C 解析：由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|得|OA →＋OB →|2＝|OA →－OB →|2，OA →·OB →＝0，OA →⊥OB →，三角形AOB 为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为2，即|a |2＝2，a ＝±2，故选C.B 档（提升精练）1. [答案] D[解析] 将一般式化为标准式(x －2)2＋(y ＋3)2＝13. ∴圆心坐标为(2，－3)． 2. [答案] A[解析] 动圆圆心C 到定点(0,3)的距离与到定直线y ＝－1的距离相等，符合抛物线的定义，故选A.3. [答案] A[解析] 设圆心坐标为(0，b)，则由题意知－2＋b －2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1. 4. [答案] B[解析] 圆的方程化为标准形式：(x －1)2＋(y －1)2＝1， 圆心(1,1)到直线x －y －2＝0的距离d ＝|1－1－2|2＝2，所求距离的最大值为2＋1，故选B.5. [解析] 圆心C(3,0)，k CP ＝－12，由k CP ·k MN ＝－1，得k MN ＝2，所以MN 所在直线方程是2x －y －1＝0，故选D.6. [答案] C[解析] 设圆心坐标为(a ，3a)(a>0)，则圆心到直线3x ＋4y ＋3＝0的距离d ＝|3a ＋12a ＋3|5＝35(a ＋4a ＋1)≥35(4＋1)＝3，等号当且仅当a ＝2时成立．此时圆心坐标为(2，32)，半径为3，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －32)2＝9.7. [答案]254[解析] ∵点A(1,2)在⊙O ：x 2＋y 2＝5上， ∴过A 的切线方程为x ＋2y ＝5， 令x ＝0得，y ＝52，令y ＝0得，x ＝5，∴三角形面积为S ＝12×52×5＝254.8. [答案] x ＋y －1＝0[解析] 过点M 的最短的弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C(2,1)， ∵k CM ＝1－02－1＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－1(x －1)，即x ＋y －1＝0.9. [答案] (x ＋2)2＋y 2＝210. [解析] (1)⊙C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1.当切线的斜率不存在时，过点A 的直线方程为x ＝3，C(2,3)到直线的距离为1，满足条件．当k 存在时，设直线方程为y －5＝k(x －3)， 即kx －y ＋5－3k ＝0，由直线与圆相切得， |－k ＋2|k 2＋1＝1，∴k ＝34.∴直线方程为x ＝3或y ＝34x ＋114.(2)|AO|＝9＋25＝34， 直线OA ：5x －3y ＝0， 点C 到直线OA 的距离d ＝134， S ＝12·d·|AO|＝12.C 档（跨越导练）C 组答案 1、[答案] B[解析] 圆的方程：(x －3)2＋(y －4)2＝25， ∴半径r ＝5，圆心到最短弦BD 的距离d ＝1， ∴最短弦长|BD|＝46， 又最长弦长|AC|＝2r ＝10，∴四边形的面积S ＝12×|AC|×|BD|＝20 6.2、[答案] C[解析] 抛物线的焦点坐标是(5,0)，双曲线的渐近线方程是3x±4y＝0，点(5,0)到直线3x±4y＝0的距离d ＝3即为所求圆的半径．故所求圆的方程为(x －5)2＋y 2＝9，即x 2＋y 2－10x ＋16＝0，故选C.3、[答案] (x －1)2＋(y ＋1)2＝9[解析] ∵M 是以AB 为直径的圆的圆心，|AB|＝6， ∴半径为3，又⊙M 经过点C ，∴|CM|＝12|AB|＝3，∴点M 的轨迹方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝9.4、[答案] (x ＋1)2＋y 2＝2[解析] 在直线方程x －y ＋1＝0中，令y ＝0得，x ＝－1，∴圆心坐标为(－1,0)， 由点到直线的距离公式得圆的半径 R ＝|－1＋0＋3|2＝2，∴圆的标准方程为(x ＋1)＋y 2＝2.5、[答案] (x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1[解析] 如下图设圆心C(a ，b)，由条件知a ＝1，取弦AB 中点D ，则CD ＝AC 2－AD 2＝12－⎝⎛⎭⎪⎫322＝12，即b ＝12，∴圆方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1.6、[解析] (1)证明：∵圆C 过原点O ，∴OC 2＝t 2＋4t2. 设圆C 的方程是(x －t)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t ；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，∴S △OAB ＝12|OA|·|OB|＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ×|2t|＝4，即△OAB 的面积为定值． (2)∵|OM|＝|ON|，|CM|＝|CN|， ∴OC 垂直平分线段MN. ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12.∴直线OC 的方程是y ＝12x.∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95> 5.圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， ∴t＝－2不符合题意，舍去． ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.7、解析：易得交点坐标为(2,3)设所求直线为7x ＋8y －38＋λ(3x －2y )＝0， 即(7＋3λ)x ＋(8－2λ)y －38＝0，令x ＝0，y ＝388－2λ，令y ＝0，x ＝387＋3λ，由已知，388－2λ＝387＋3λ，∴λ＝15，即所求直线方程为x ＋y －5＝0.又直线方程不含直线3x －2y ＝0，而当直线过原点时，在两轴上的截距也相等，故3x －2y ＝0亦为所求．8、分析一：如图，利用点斜式方程，分别与l 1、l 2联立，求得两交点A 、B 的坐标(用k 表示)，再利用|AB |＝5可求出k 的值，从而求得l 的方程.解析：解法一：若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝3，此时与l 1、l 2的交点分别为A ′(3，－4)或B ′(3，－9)，截得的线段AB 的长|AB |＝|－4＋9|＝5，符合题意.若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝k (x －3)＋1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3)＋1，x ＋y ＋1＝0，得 A (3k －2k ＋1，－4k －1k ＋1)． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －3)＋1，x ＋y ＋6＝0，得 B (3k －7k ＋1，－9k －1k ＋1)． 由|AB |＝5.得(3k －2k ＋1－3k －7k ＋1)2＋(－4k －1k ＋1＋9k －1k ＋1)2＝52. 解之，得k ＝0，直线方程为y ＝1.综上可知，所求l 的方程为x ＝3或y ＝1.9、解析：设所求圆的圆心为(a ，b )，半径为r ，∵点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点A ′仍在这个圆上，∴圆心(a ，b )在直线x ＋2y ＝0上，∴a ＋2b ＝0， ①(2－a )2＋(3－b )2＝r 2. ②又直线x －y ＋1＝0截圆所得的弦长为22，∴r 2－(a －b ＋12)2＝(2)2 ③ 解由方程①、②、③组成的方程组得：⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－3，a ＝6，r 2＝52.或⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－7，a ＝14，r 2＝244，∴所求圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244.10、解析：(1)直线l 的方程可化为y ＝m m 2＋1x －4m m 2＋1， 直线l 的斜率k ＝mm 2＋1，因为|m |≤12(m 2＋1)， 所以|k |＝|m |m 2＋1≤12，当且仅当|m |＝1时等号成立． 所以，斜率k 的取值范围是[－12，12]．(2)不能．由(1)知l 的方程为y ＝k (x －4)，其中|k |≤12.圆C 的圆心为C (4，－2)，半径r ＝2.圆心C 到直线l 的距离d ＝21＋k 2. 由|k |≤12，得d ≥45＞1，即d ＞r 2. 从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于2π3. 所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧．。
人教A版数学必修二第四章第三课时同步练习4.2.1直线与圆的位置关系
§4.2.1直线与圆的位置关系1. 圆8)2()1(22=+++y x 上与直线01=++y x 的距离等于2的点共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3 个D ．4个2. 圆222210x y x y +--+=上的点到直线2=-y x 的距离的最大值是（ ）A.2B. 1．2+1+3. 过圆0422=+-+my x y x 上一点)1,1(P 的圆的切线方程为（ ）A.032=-+y xB. 012=--y xC. 012=--y xD. 012=+-y x4. 已知点),(b a P )0(≠ab 是圆O ：222r y x =+内一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，若直线n 的方程为2r by ax =+，则（ ）A ．m ∥n 且n 与圆O 相离B ．m ∥n 且n 与圆O 相交C ．m 与n 重合且n 与圆O 相离D ．m ⊥n 且n 与圆O 相离5. 过圆224x y +=上一点的圆的切线方程________________．6. 自点(2,2)A 作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线l ,切线l 的方程为_______________．7. 从圆22(1)(1)1x y -+-=外一点(2,3)P 向圆引切线，切线长是________．8．已知圆222x y +=，与该圆相切且在x 轴和y 轴上的截距的绝对值相等的直线l 的方程_____________________．9．若直线y x b =+与y =b 的取值范围____________． 10．已知圆C 的圆心与点P (2,1)-关于直线1+=x y 对称，直线01143=-+y x 与圆C 相交于A 、B 两点，且6AB =，则圆C 的方程为 _____ ．11. 求直线4340x y +=和圆22100x y +=的公共点坐标，并判断它们的位置关系．12. 自点(1,4)A -作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线l ,求切线l 的方程．13. 求直线0x +=被圆224x y +=截得的弦长．14. 已知圆22(2)(3)1x y -+-=，求与该圆相切且在x 轴和y 轴上的截距相等的直线l 的方程.15. 若直线y x b =+与x =恰有一个公共点，求实数b 的取值范围.参考答案解析1. C2.B3. D4. A5.答案：4x =． 6. 答案：2y =．7. 答案：2． 8．答案：2y x =±或2y x =-±．9．答案：2b ≤< 10．答案：18)1(22=++y x11. 分析：直线方程和圆的方程联立方程组即可【解】直线4340x y +=和圆22100x y +=的公共点坐标就是方程组224340100x y x y +=⎧⎨+=⎩的解． 解这个方程组，得1110,0,x y =⎧⎨=⎩2214,548.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以公共点坐标为1448(10,0),(,)55． 直线4340x y +=和圆22100x y +=有两个公共点，所以直线和圆相交．12.【解】法1：当直线l 垂直于x 轴时，直线:1l x =-与圆相离，不满足条件 当直线l 不垂直于x 轴时，可设直线l 的方程为4(1),y k x -=+即(4)0kx y k -++=如图，因为直线与圆相切，所以圆心(2,3)到直线l 的距离等于圆的半径，1=解得0k =或34k =-． 因此，所求直线l 的方程是4y =或34130x y +-=法2：当直线l 垂直于x 轴时，直线:1l x =-与圆相离，不满足条件．当直线l 不垂直于x 轴时，可设直线l 的方程为4(1),y k x -=+由于直线l 与圆相切，所以方程组224(1),(2)(3)1y k x x y -=+⎧⎨-+-=⎩仅有一组解． 由方程组消去y ，得关于x 的一元二次方程2222(1)(224)240k x k k x k k +++-+++=，因为一元二次方程有两个相等实根，所以判别式2222(224)4(1)(24)0k k k k k ∆=+--+++=解得0k =或34k =-因此，所求直线l 的方程是4y =或34130x y +-=．点评:该题用待定系数法先设直线方程，应注意直线的斜率是否存在的问题．本题给出了两种解法，可以看到用“几何法”来解题运算量要小的多．13. 分析： 可利用圆心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的性质解题【解】法1:如图，设直线0x +=与圆224x y +=交于,A B 两点，弦AB 的中点为M ，则OM AB ⊥（O 为坐标原点），所以OM ==所以2AB AM ==2=．法2:直线0x +=和圆224x y +=的公共点坐标就是方程组220,4x x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩的解解得111,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩220,2.x y =⎧⎨=⎩所以公共点坐标为(直线0x +=被圆224x y +=2=14. 【解】由题意设切线l 与x 轴和y 轴的截距为a ，b ，则a b =①0a ≠时，设l 的方程为1x y a a+=，即0x y a +-=， 因为直线和圆相切，所以圆心(2,3)到直线l 的距离等于圆的半径，故1,=解得5a =+5a =所以l的方程为(50x y +-=或(50x y +-=②0a =时，设l 的方程为y kx =，即0kx y -=1=，解得63k +=或63k -= 所以l的方程为30x y -=或30x y -=综上所述：l的方程为(50x y +-=或(50x y +-=或30x y -=或30x y -=.点评:本题较为复杂，要讨论的情况比较多，解题过程中要注重分析．15.分析：由题意x =可化为224x y +=(0)x ≥表示一个右半圆，如图所示，对于y x b =+当b 变化时所得的直线是互相平行的，由图可知1l 与半圆有一个交点 2l 与半圆正好有两个交点，所以位于1l 和2l 之间的直线都与半圆只有一个交点，另外3l 与半圆相切也符合题意【解】由题意x =224x y +=(0)x ≥表示一个右半圆，如图所示直线1l 的方程为：2y x =+，直线2l 的方程为：2y x =-，因为直线3l 与半圆相切，2=，解得b =所以直线3l 的方程为：y x =-由图可知位于1l 和2l 之间的直线都与半圆只有一个交点，且3l 与半圆相切，所以实数b 的取值范围为：22b -≤≤或b =点评:本题应用数形结合的方法去解题．思维点拔：在解决直线与圆的位置关系的问题时，我们通常采用“几何法”．例如，求与圆相切的直线方程时，先用待定系数法设出直线方程，然后根据d r =即可求得．这种数形结合的思想贯穿了整个章节．。
【数学】4.2.1 直线与圆的位置关系(人教A版必修2)1
Y
O
X
d>r
0
△﹤0 △=0
y
d=r 1
2
M
※直线与圆相交 d<r
△﹥0
A O x
练习：
判定直线L：3x +4y－12=0 与圆C：(x-3)2 + (y-2)2=4的位置关系
代数法： 3x +4y－12=0 (x-3)2 + (y-2)2=4 消去y得：25x2-120x+96=0 =1202-100×96=4800>0 所以方程组有两解， 直线L与圆C相交 几何法： 圆心C（3，2）到直线L的距离
小结：
1.圆的弦心距、半径、弦长的一半构成一个直角 三角形，在求圆的弦长时要利用到；
2.求圆的切线方程时，一般是利用圆心到切线的 距离等于圆的半径。 3.经过圆外一点作圆的切线有两条，特别要注意 是否有斜率不存在的直线
a)x y 1 0与圆x 2 y 2 - 2x 0 3.若直线(1 相切,则 a的值为(D)
A 1或-1 B 2或-2 C
2
1
D -1
(y - 1) 2 5的切线 4.过圆上点(2，1)的圆(x - 3) X+2y=0 方程是____________。
5、M(3.0)是圆x2+y2-8x-2y+10=0内一点，则过点M
d=
| 3 3 4 2 12 | 1
32 4 2
因为r=2,d<r
所以直线L与圆C相交
比较：几何法比代数法运算量少，简便。
例1: 在圆（x+1） 2 +(y+2) 2 ＝8上到直 线ｘ+ｙ+１=０的距离为 2的点有 3 _____个.
2017-2018学年高中人教A版数学必修二教师用书：第4章
4.2 直线、圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系1．理解直线与圆的三种位置关系．(重点)2．会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．(重点) 3．能解决直线与圆位置关系的综合问题．(易错点、难点)教材整理 直线与圆的位置关系的判定阅读教材P 126～P 128“练习”以上部分，完成下列问题． 直线与圆的位置关系的判定代数法：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0x －a 2＋y －b2＝r2消元得到一元二次方程的判别式Δ直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．无法判断【解析】 圆心(0,0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝|－5|32＋42＝1，又圆x 2＋y 2＝1的半径r ＝1，∴d ＝r ，故直线与圆相切．【答案】 B已知直线方程mx －y －m －1＝0，圆的方程x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0.当m 为何值时，直线与圆：(1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点．【精彩点拨】 可联立方程组，由方程组解的个数判断，也可求出圆心到直线的距离，通过与半径比较判断．【自主解答】 法一：将直线mx －y －m －1＝0代入圆的方程，化简、整理得，(1＋m 2)x 2－2(m 2＋2m ＋2)x ＋m 2＋4m ＋4＝0.∵Δ＝4m (3m ＋4)，∴当Δ＞0，即m ＞0或m ＜－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当Δ＝0，即m ＝0或m ＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当Δ＜0，即－43＜m ＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．法二：已知圆的方程可化为(x －2)2＋(y －1)2＝4， 即圆心为(2,1)，半径r ＝2.圆心(2,1)到直线mx －y －m －1＝0的距离d ＝|2m －1－m －1|1＋m 2＝|m －2|1＋m2. 当d ＜2，即m ＞0或m ＜－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当d ＝2，即m ＝0或m ＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当d ＞2，即－43＜m ＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．直线与圆的位置关系的判断方法1．几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断． 2．代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．3．直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．1．已知圆C 的方程是(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l 的方程为y ＝x ＋m ，求：当m 为何值时，(1)直线平分圆； (2)直线与圆相切； (3)直线与圆有两个公共点．【解】 (1)因为直线平分圆，所以圆心(1,1)在直线y ＝x ＋m 上，故有m ＝0. (2)因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，所以d ＝|1－1＋m |12＋12＝|m |2＝2，m ＝±22，即m ＝±22时，直线l 与圆相切． (3)直线与圆有两公共点，d ＜r ，即|m |2＜2，所以－22＜m ＜22时有两个公共点．. 【精彩点拨】 利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线斜率，进而求出切线方程． 【自主解答】 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1， 所以点A 在圆外．(1)若所求切线的斜率存在，设切线斜率为k ， 则切线方程为y ＋3＝k (x －4)．因为圆心C (3,1)到切线的距离等于半径，半径为1， 所以|3k －1－3－4k |k 2＋1＝1，即|k ＋4|＝k 2＋1， 所以k 2＋8k ＋16＝k 2＋1，解得k ＝－158.所以切线方程为y ＋3＝－158(x －4)，即15x ＋8y －36＝0. (2)若直线斜率不存在，圆心C (3,1)到直线x ＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x ＝4. 综上，所求切线方程为15x ＋8y －36＝0或x ＝4.过一点的圆的切线方程的求法1．当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程．2．若点在圆外时，过这点的切线有两条，但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在．2．求过点(1，－7)且与圆x 2＋y 2＝25相切的直线方程．【解】 由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k ，则切线方程为y ＋7＝k (x －1)， 即kx －y －k －7＝0.∴|－k －7|k 2＋1＝5，解得k ＝43或k ＝－34.∴所求切线方程为y ＋7＝43(x－1)或y ＋7＝－34(x －1)，即4x －3y －25＝0或3x ＋4y ＋25＝0.探究1 已知直线【提示】 将直线方程与圆的方程联立解出交点坐标，再利用|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12求弦长．探究2 若直线与圆相交、圆的半径为r 、圆心到直线的距离为d ，如何求弦长？ 【提示】 通过半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形，如图所示，求得弦长l ＝2r 2－d 2.求直线l ：3x ＋y －6＝0被圆C ：x 2＋y 2－2y －4＝0截得的弦长．【精彩点拨】 本题可以考虑利用弦心距，半弦长和半径构成的直角三角形求解．若交点坐标易求，则可以联立解方程组，求出交点坐标，利用两点间的距离公式求解．【自主解答】 法一 圆C ：x 2＋y 2－2y －4＝0可化为x 2＋(y －1)2＝5， 其圆心坐标为(0,1)，半径r ＝ 5.点(0,1)到直线l 的距离为d ＝|3×0＋1－6|32＋12＝102， l ＝2r 2－d 2＝10，所以截得的弦长为10.法二 设直线l 与圆C 交于A 、B 两点．由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6＝0，x 2＋y 2－2y －4＝0，得交点A (1,3)，B (2,0)， 所以弦AB 的长为|AB |＝－12＋－2＝10.求弦长常用的三种方法1．利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 之间的关系r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22解题．2．利用交点坐标若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长． 3．利用弦长公式设直线l ：y ＝kx ＋b ，与圆的两交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2].3．直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．4 6【解析】 圆的方程可化为C ：(x －1)2＋(y －2)2＝5，其圆心为C (1,2)，半径r ＝ 5. 如图所示，取弦AB 的中点P ，连接CP ，则CP ⊥AB ，圆心C 到直线AB 的距离d ＝|CP |＝|1＋4－5＋5|12＋22＝1.在Rt △ACP 中，|AP |＝r 2－d 2＝2，故直线被圆截得的弦长|AB |＝4.【答案】 C1．直线3x ＋4y ＋12＝0与圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝9的位置关系是( ) A ．过圆心 B ．相切C ．相离D ．相交但不过圆心【解析】 圆心(1，－1)到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离d ＝|3×1＋－＋12|32＋42＝115＜r . 【答案】 D2．已知直线ax ＋by ＋c ＝0(ab ≠0)与圆x 2＋y 2＝1相切，则三边长分别为|a |，|b |，|c |的三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不存在【解析】 由题意知，|c |a 2＋b2＝1，∴a 2＋b 2＝c 2，因此三角形为直角三角形． 【答案】 B3．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为____________________．【解析】 令y ＝0得x ＝－1，所以直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0)．因为直线x ＋y ＋3＝0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r ＝|－1＋0＋3|2＝2，所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2. 【答案】 (x ＋1)2＋y 2＝24．过点P (－1,2)且与圆C ：x 2＋y 2＝5相切的直线方程是________. 【解析】 点P (－1,2)是圆x 2＋y 2＝5上的点，圆心为C (0,0)， 则k PC ＝2－1＝－2，所以k ＝12，y －2＝12(x ＋1)．故所求切线方程是x －2y ＋5＝0.【答案】 x －2y ＋5＝05．过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，求直线l 的方程．【解】 由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为k .设直线l 的方程为y ＋2＝k (x ＋1)．又圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为(1,1)，半径为1，所以圆心到直线的距离d ＝|2k －1－2|1＋k2＝12－⎝⎛⎭⎪⎫222＝22. 解得k ＝1或177.所以直线l 的方程为y ＋2＝x ＋1或y ＋2＝177(x ＋1)，即x －y －1＝0或17x －7y ＋3＝0.。
人教版数学高一-人教A版必修2练习 4.2.1 直线与圆的位置关系
4．2.1直线与圆的位置关系基础梳理直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断如下表所示：练习1：直线x＋y＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是相交．练习2：(1)直线x＋y＝0与圆x2＋y2＝2联立求解知其解为(1，－1)或(－1，1)，故直线与圆的位置关系为相交．(2)直线x＋y＝2与圆x2＋y2＝2联立求解知其解为(1，1)．故直线与圆的位置关系为相切．►思考应用如何求直线被圆所截得的弦长？解析：①应用圆中直角三角形：半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 具有的关系：r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22. ②利用弦长公式：设直线l ：y ＝kx ＋b ，与圆两交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2].自测自评1．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是(B )A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离解析：圆心(0，0)到直线的距离为|1|12＋12＝12<1，且(0，0)不在直线y ＝x ＋1上，故选B .2．下列说法中正确的是(D )A ．若直线与圆有两个交点，则直线与圆相切B ．与半径垂直的直线与圆相切C ．过半径外端的直线与圆相切D ．过圆心且与切线垂直的直线过切点解析：A 为相交，B 、C 中的直线有无数条．3．直线y ＝x －1上的点到圆x 2＋y 2＋4x －2y ＋4＝0的最近距离为(C )A ．2 2B .2－1C ．22－1D ．14．已知直线x ＝a(a>0)和圆(x －1)2＋y 2＝4相切，那么a 的值是(C )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：∵|a －1|＝2，又a>0，∴a ＝3.5．经过点M(2，1)作圆x 2＋y 2＝5的切线，则切线方程为(C )A .2x ＋y －5＝0B .2x ＋y ＋5＝0C ．2x ＋y －5＝0D ．2x ＋y ＋5＝0解析：设过点M 的圆的切线上任一点的坐标为(x ，y)，∵点M(2，1)在圆x 2＋y 2＝5上，∴y －1x －2·1－02－0＝－1，即2x ＋y －5＝0.题型一 判断直线与圆的位置关系题型二 圆的切线方程题型三 直线与圆相交的问题题型四 直线与圆有关最值问题基础达标1．若PQ 是圆x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是(1，2)，则直线PQ 的方程是(B )A ．x ＋2y －3＝0B ．x ＋2y －5＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＝0解析：结合圆的几何性质知直线PQ 过点A (1，2)，且和直线OA垂直，故其方程为：y －2＝－12(x －1)，整理得x ＋2y －5＝0. 2．已知点A (－2，0)，B (0，2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最大值是(D )A ．6B ．8C ．3－ 2D ．3＋ 2解析：直线AB 的方程是x －2＋y 2＝1，∣AB ∣＝22，则当△ABC 面积最大时，边AB 上的高即点C 到直线AB 的距离d 取最大值．又圆心M (1，0)，半径r ＝1，点M 到直线的距离为322，由圆的几何性质得d 的最大值是322＋1，所以△ABC 面积的最大值是12×22·⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋1＝3＋ 2. 3．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程是(D)A ．x ＋3y －2＝0B ．x ＋3y －4＝0C．x－3y＋4＝0 D．x－3y＋2＝0解析：圆心为C(2，0)，则直线CP的斜率为3－01－2＝－3，又切线与直线CP垂直，故切线斜率为33，由点斜式得切线方程：y－3＝33(x－1)即x－3y＋2＝0.4．过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(A)A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝05．已知圆C的方程为：x2＋y2＝4.(1)求过点P(1，2)且与圆C相切的直线l的方程；(2)直线l过点P(1，2)，且与圆C交于A、B两点，若|AB|＝23，求直线l的方程．解析：(1)显然直线l的斜率存在，设切线方程为y－2＝k(x－1)，则由|2－k|k2＋1＝2得k1＝0，k2＝－43，故所求的切线方程为y＝2或4x＋3y－10＝0.(2)当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x＝1，l与圆的两个交点坐标为(1，3)和(1，－3)，这两点的距离为23，满足题意；当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k ＋2＝0，设圆心到此直线的距离为d ，则23＝24－d 2，∴d ＝1，∴1＝|－k ＋2|k 2＋1，∴k ＝34， 此时直线方程为3x －4y ＋5＝0， 综上所述，所求直线方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1.巩固提升6. 圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为(A )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝17．若实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，那么y x的最大值为(D) A.12 B.33 C.32D. 3 解析：方程(x －2)2＋y 2＝3的曲线是以A (2，0)为圆心，以3为半径的圆，实数x ，y 是圆上的点P (x ，y )的坐标，而y x是直线OP 的斜率，由下图可知当点P 在第一象限且OP 为圆的切线时，k 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）2＋y 2＝3，y x ＝k ，得(1＋k 2)x 2＋1－4x ＝0， Δ＝12－4k 2＝0，有k ＝±3.∴k 最大即y x最大为 3.故选D. 8．直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝1－x 2有两个公共点，则b 的取值范围是________．解析：曲线为x 2＋y 2＝1(y ≥0)，表示单位圆的上半圆，由数形结合法，知1≤b < 2.答案：1≤b < 29．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R)．(1)求证：直线l 恒过定点；(2)判断直线l 与圆C 的位置关系；(3)当m ＝0时，求直线l 被圆C 截得的弦长．解析：(1)直线l 的方程可化为(2x ＋y －7)m ＋x ＋y －4＝0.∵m ∈R ，∴⎩⎨⎧2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1.∴直线l 恒过定点A (3，1)．(2)圆心C (1，2)，|AC |＝（3－1）2＋（1－2）2＝5<5，∴点A 在圆C 内．从而直线l 与圆C 相交(无论m 为何实数)．(3)当m ＝0时，直线l 的方程为x ＋y －4＝0，圆心C (1，2)到它的距离为d ＝|1＋2－4|12＋12＝12. ∴此时直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝225－12＝7 2.1．判断直线与圆的位置关系主要有以下两种方法．(1)判断直线l 与圆C 的方程组成的方程组的解．有两解时，相交；有一解时，相切；无解时，相离；(2)判断圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系：当d <r时，相交；当d＝r时，相切；当d>r时，相离．2．设切线方程时，若设点斜式一定要注意斜率不存在的情况．3．直线与特殊圆相切，切线的求法．(1)当点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上时，切线方程为x0x＋y0y＝r2；(2)若点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；(3)斜率为k且与圆x2＋y2＝r2相切的切线方程为：y＝kx±r1＋k2；斜率为k且与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2相切的切线方程的求法，可以设切线为y＝kx＋m，然后变成一般式kx－y＋m＝0，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求m.。
2019-2020学年高中数学人教A版必修2作业：4.2.1 直线与圆的位置关系 Word版含解析
姓名，年级：时间：［基础巩固]（25分钟，60分)一、选择题（每小题5分，共25分)1．[2019·衡水检测]直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是( ) A．相切 B．相交但直线不过圆心C．相交且直线过圆心 D．相离解析：∵圆心到直线的距离d＝错误!＝错误!〈1，直线y＝x＋1不过圆心(0,0),∴直线与圆相交但直线不过圆心．答案：B2．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是（)A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0B．2x＋y＋错误!＝0或2x＋y－错误!＝0C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D．2x－y＋错误!＝0或2x－y－错误!＝0解析：设所求直线为2x＋y＋c＝0,则错误!＝错误!，解得c＝±5，故选A.答案：A3．[2019·山东校级检测］直线x－y＋3＝0被圆(x＋2)2＋（y－2)2＝2截得的弦长等于（）A。
错误! B.错误!C．2错误! D。
错误!解析：圆心（－2,2）到直线x－y＋3＝0的距离d＝错误!，圆的半径r ＝2，解直角三角形得，半弦长为错误!,所以弦长等于错误!.答案：D4．过点(2,1）的直线中被圆（x－1）2＋(y＋2)2＝5截得的弦长最大的直线的方程是( )A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋5＝0解析:过点（2,1）的直线中被圆(x－1)2＋（y＋2)2＝5截得的弦长最大的直线经过圆心．由题意得所求直线过点(2,1)和圆心（1，－2），∴其方程为错误!＝错误!，整理得3x－y－5＝0.答案：Akx－y－k－1＝0，因为直线L与圆相切，所以圆心M到直线L的距离d＝r，即错误!＝2，解得k＝错误!.若直线L的斜率不存在,则其方程为x＝1，满足要求．故所求切线方程为21x－20y－41＝0或x＝1.设其中一个切点为A，则在直角三角形PMA中,有|MP|＝错误!，所以切线长｜PA｜＝错误!＝5。
【原创】人教A版必修2：第四章 4.2 4.2.1 直线与圆的位置关系
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(3)求切线长最小值的两种方法 ①(代数法)直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的 变量统一成一个，转化成函数求最值； ②(几何法)把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离 问题．
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[活学活用]
1．以点(2，－1)为圆心，且与直线 3x－4y＋5＝0 相切的圆的方程
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判断直线与圆的位置关系常见的方法： (1)几何法：利用 d 与 r 的关系． (2)代数法：联立方程之后利用 Δ 判断． 上述方法中最常用的是几何法．
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[活学活用]
1．直线 x－ky＋1＝0 与圆 x2＋y2＝1 的位置关系是
()
A．相交
B．相离
C．相交或相切
D．相切
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[活学活用] 1．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x＋2y－3＝0 被圆(x－2)2＋
(y＋1)2＝4 截得的弦长为________．
解析：因为圆心(2，－1)到直线 x＋2y－3＝0 的距离 d＝
|2－2－3|＝ 5
3 ，所以直线 5
x＋2y－3＝0
被圆截得的弦长为
2
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直线与圆位置关系的判断
[典例] (1)已知直线 l：x－2y＋5＝0 与圆 C：(x－7)2＋(y－1)2 ＝36，判断直线 l 与圆 C 的位置关系．
[解] [法一 代数法] 由方程组xx－－27y＋2＋5＝y－0 12＝36， 消去 y 后整理，得 5x2－50x＋61＝0.
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课时提升卷(二十六)
直线与圆的位置关系
（45分钟 100分）
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.(2013·烟台高一检测)直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为( )
A.相切
B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心
D.相离
2.(2013·大连高一检测)已知直线ax-by+c=0(abc≠0)与圆x2+y2=1相切,则三条边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形( )
A.是锐角三角形
B.是直角三角形
C.是钝角三角形
D.不存在
3.(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy中,直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则弦AB的长等于( )
A.
D.1
4.与圆x2+y2-2x-2=0相切,则实数m等于( )
A.--
或或
5.圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
二、填空题(每小题8分,共24分)
6.若直线ax+by=1与☉C：x2+y2=1相交,则点P(a,b)与☉C的位置关系是.
7.(2013·江西高考)若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C 的方程是.
8.直线x-2y-3=0与圆(x-2)2+(y+3)2=9交于E,F两点,则△EOF(O为坐标原点)的面积等于.
三、解答题(9题,10题14分,11题18分)
9.已知圆的方程为x2+y2=4,分别求过下列各点的圆的切线方程.
10.(2013·珠海高二检测)已知,圆C：x2+y2-8y+12=0,直线l：ax+y+2a=0. (1)当a为何值时,直线l与圆C相切.
,求直线l的方程.
(2)当直线l与圆C相交于A,B两点,且AB=
11.(能力挑战题)已知圆C经过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长
为半径小于5.
(1)求圆C的方程.
(2)若直线l∥PQ,且l与圆C交于点A,B,∠AOB=90°,求直线l的方程.
答案解析
1.【解析】选B.因为圆心(0,0)到直线y=x+1的距离为
2
=<1,所以直线
与圆相交,又直线y=x+1不过点(0,0),故选B.
2.【解析】选B.因为直线与圆相切,所以
=1,所以a2+b2=c2,
所以以|a|,|b|,|c|为三边的三角形是直角三角形.
3.【解题指南】解决本小题要先利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距
离,然后利用弦长公式
|AB|=.
【解析】选B.由圆心(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离为d=1,所以
|AB|=
=
4.【解析】选A.圆化为标准方程为(x-1)2+y2=3,
=
所以
m=-
5.【解析】选C.圆的圆心(-1,-2),半径
R=,而圆心到直线x+y+1=0
的距离为.圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0
的点有3个.
【举一反三】若把条件改为“圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为1的点”共有几个?
【解析】有4个.因为圆的圆心(-1,-2),半径
R=,而圆心到直线x+y+1=0的
,则直线的两侧各有两个点.
6.【解析】由已知得
即a 2+b 2>1,从而知P(a,b)在已知圆x 2+y 2=1外.
答案：在圆外
7.【解题指南】设出圆的标准方程,得出圆心坐标和半径的关系,再代入已知点.
【解析】设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2,因为圆C 经过点(0,0)和点(4,0),所以a=2.又圆与直线y=1相切,可得1-b=r,故圆的方程为(x-2)2+(y-b)2=(1-b)2,将
(0,0)代入解得b=32-,r=5
2
,所以圆的方程为(x-2)2+(3y 2+)2=254
. 答案：(x-2)2+(3y 2+)2=254 【变式训练】由直线y=x+1上的一点向圆C ：(x-3)2+y 2=1引切线,则切线长的最小值为 .
【解析】设过直线y=x+1上的点P 作切线,切圆C 于A,则PA 2=PC 2-1,
所以要求切线长的最小值,也就是求PC 的最小值,又(PC)min =
所以(PA)min .
8.【解析】圆心O 1(2,-3)到直线l ：x-2y-3=0则EF==4,O 到l 的距离
故S △EOF =1
2d ·.
9.【解题指南】先判断点在圆上还是在圆外,再选用恰当的方法求切线方程.
【解析】(1)因为
2+12=4,
所以点P在圆C上,从而P是切点.
又过圆心O与点P的直线斜率k OP
3 =,
所以切线的斜率
k=
OP
1
k
-=
故所求切线方程为
y-1=-,
x+y-4=0.
(2)因为42+02>4,所以点Q在圆外,
可设切线方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0.
因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,
=2,所以
k=
3
±.
故所求切线方程为
y=±即x
10.【解析】将圆C的方程x2+y2-8y+12=0配方得标准方程为x2+(y-4)2=4,则此圆的圆心为(0,4),半径为2.
(1)若直线l与圆C相切,
=2.解得a=3
4
-.
(2)过圆心C作CD⊥AB,
则根据题意,
得2222
CD
CD DA AC2,
1
DA AB
2
⎧
=
⎪
⎪⎪
+==
⎨
⎪
⎪==
⎪⎩
得a=-7或-1.
所以直线l的方程是7x-y+14=0和x-y+2=0.
11.【解析】(1)设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
由已知得24D 2E F 20,
D 3
E
F 10,E 4F 48,
⎧-+=-
⎪--=⎨⎪-=⎩
解得D 2,E 0,F 12=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩或D 10,
E 8,
F 4.
=-⎧⎪
=-⎨⎪=⎩
当D 2,
E 0,
F 12
=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩时
当D 10,
E 8,
F 4
=-
⎧⎪=-⎨⎪=⎩时
>5(舍),
所以所求圆的方程为x 2+y 2-2x-12=0.
(2)设l 的方程为x+y+m=0,
由22x y m 0,(x 1)y 13,++=⎧⎨-+=⎩得2x 2+(2m-2)x+m 2
-12=0. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),
则x 1+x 2=1-m,x 1x 2=2m 12
2-.
因为∠AOB=90°,所以x 1x 2+y 1y 2=0,
所以x 1x 2+(x 1+m)(x 2+m)=0,
所以m 2+m-12=0,
所以m=3或-4(均满足Δ>0),
所以l 的方程为x+y+3=0或x+y-4=0.
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