2013年湖北省黄冈市武穴市产石佛寺中学五校联考八年级(上)数学竞赛试卷和解析答案

2013年湖北省黄冈市武穴市产石佛寺中学五校联考八年级（上）数学竞赛试卷一、选择题．（共5小题，每题5分，共计25分）1．（5分）计算：1+5+52+53+…+599+5100=（）A．5101﹣1 B．5100﹣1 C．D．2．（5分）五位朋友a、b、c、d、e在公园聚会，见面时握手致意问候．已知：a握了4次，b握了1次，c握了3次，d握了2次．到目前为止，e握了（）次．A．1 B．2 C．3 D．43．（5分）用三种边长相等地正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形地边数为x，y，z，则++地值为（）A．1 B．C．D．4．（5分）如图，长方形ABCD中，△ABP地面积为a，△CDQ地面积为b，则阴影四边形地面积等于（）A．a+b B．a﹣b C． D．无法确定5．（5分）如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB地角平分线交于点O，则∠BOC=90°+∠A=×180°+∠A．如图2，在△ABC中，∠ABC，∠ACB地两条三等分角线分别对应交于O1，O2，则∠BO1C=×180°+∠A，∠BO2C=×180°+∠A．根据以上阅读理解，你能猜想（n等分时，内部有n﹣1个点）（用n地代数式表C=（）示）∠BO n﹣1A．×180°+∠A B．×180°+∠AC．×180°+∠A D．×180°+∠A二、填空题．（共5小题，每题5分，共计25分）6．（5分）小张和小李分别从A、B两地同时出发，相向而行，第一次在距A地5千米处相遇，继续往前走到各地（B、A）后又立即返回，第二次在距B地4千米处两人再次相遇，则A、B两地地距离是千米．7．（5分）已知y=|x﹣a|+|x﹣30|+|x﹣a﹣30|，其中0＜a＜30，a≤x≤30，那么y地最小值为．8．（5分）周长为30，各边互不相等且都是整数地三角形共有个．9．（5分）如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成地，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠α地度数为度．10．（5分）N=31001+71002+131003，则N地个位数字是．三、解答题．（共5小题，共计50分）11．（8分）k、b为何值时，方程组（1）有惟一一组解；（2）无解；（3）有无穷多组解？12．（10分）在△ABC中，AB=BC，BC上地中线AD将这个三角形地周长分成15和12两部分，求这个三角形地三边长．13．（12分）某单位欲购买A、B两种电器．根据预算，共需资金15750元．购买一件A种电器和两件B种电器共需资金2300元；购买两件A种电器和一件B 种电器共需资金2050元．（1）购买一件A种电器和一件B种电器所需地资金分别是多少元？（2）若该单位购买A种电器不超过5件，则可购买B种电器至少有多少件？（3）为节省开支，该单位只购买A、B两种电器共6件，并知道获政府补贴资金不少于700元；自己出资金不超过4000元；其中政府对A、B两种电器补贴资金分别为每件100元和150元．请你通过计算求出有几种购买方案？14．（10分）一队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车地旅客人数相等．起初每辆汽车乘了22人，结果剩下1人未上车；如果有一辆汽车空着开走，那么所有旅客正好能平均分乘到其他各车上．已知每辆汽车最多只能容纳32人，求起初有多少辆汽车？有多少名旅客？15．（10分）如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°地等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN=60°．试探究BM、MN、CN之间地数量关系，并给出证明．2013年湖北省黄冈市武穴市产石佛寺中学五校联考八年级（上）数学竞赛试卷参考答案与试题解析一、选择题．（共5小题，每题5分，共计25分）1．（5分）计算：1+5+52+53+…+599+5100=（）A．5101﹣1 B．5100﹣1 C．D．【解答】解：设S=1+5+52+…+599+5100，①所以5S=5+52+53+…+5100+5101．②②﹣①得4S=5101﹣1，则S=．故选C．2．（5分）五位朋友a、b、c、d、e在公园聚会，见面时握手致意问候．已知：a握了4次，b握了1次，c握了3次，d握了2次．到目前为止，e握了（）次．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：根据题意：a→bced，b→a，c→ade，d→ac，总上可知e→ac，∴e握了2次，故选B．3．（5分）用三种边长相等地正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形地边数为x，y，z，则++地值为（）A．1 B．C．D．【解答】解：由题意知，这3种多边形地3个内角之和为360度，已知正多边形地边数为x 、y 、z ，那么这三个多边形地内角和可表示为：++=360，两边都除以180得：1﹣+1﹣+1﹣=2，两边都除以2得，++=．故选C ．4．（5分）如图，长方形ABCD 中，△ABP 地面积为a ，△CDQ 地面积为b ，则阴影四边形地面积等于（ ）A ．a +bB ．a ﹣bC ．D ．无法确定【解答】解：∵△BEC 地高与矩形ABCD 地AB 边相等∴S △BEC =S 矩形ABCD ，又有S △ABF +S △CDF =S 矩形ABCD ，∴有S △ABF +S △CDF =S △BEC ，等式左边=S △APB +S △BPF +S △CDQ +S △CFQ ，等式右边=S △BFP +S △CFQ +S 阴影部分两边都减去S △BFP +S △CFQ ，则有S 阴影部分=S △APB +S △CDQ =a +b ．故选A ．5．（5分）如图1，在△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 地角平分线交于点O ，则∠BOC=90°+∠A=×180°+∠A ．如图2，在△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 地两条三等分角线分别对应交于O 1，O 2，则∠BO 1C=×180°+∠A ，∠BO 2C=×180°+∠A ．根据以上阅读理解，你能猜想（n等分时，内部有n﹣1个点）（用n地代数式表示）∠BO nC=（）﹣1A．×180°+∠A B．×180°+∠AC．×180°+∠A D．×180°+∠A【解答】解：n=1时，∠BO nC=180°﹣∠A；﹣1n=2时，∠BO n﹣1C=180°﹣（180°﹣∠A）=180°+∠A；n=3时，∠BO n﹣1C=180°﹣（180°﹣∠A）=180°+∠A；…C=×180°+∠A．所以当n=n时，∠BO n﹣1故答案选D．二、填空题．（共5小题，每题5分，共计25分）6．（5分）小张和小李分别从A、B两地同时出发，相向而行，第一次在距A地5千米处相遇，继续往前走到各地（B、A）后又立即返回，第二次在距B地4千米处两人再次相遇，则A、B两地地距离是11千米．【解答】解：∵2人每走完一个全程，小张都要走5千米，∴再次相遇时，两人走完3个全程，总路程为3×5=15千米，∴A、B两地地距离是15﹣4=11千米，故答案为11．7．（5分）已知y=|x﹣a|+|x﹣30|+|x﹣a﹣30|，其中0＜a＜30，a≤x≤30，那么y地最小值为30．【解答】解：∵a≤x≤30，∴x﹣a≥0，x﹣30≤0，∵0＜a＜30，∴a+30＞30，∴x﹣（a+30）＜0，∴y=|x﹣a|+|x﹣30|+|x﹣a﹣30|=x﹣a+30﹣x+a+30﹣x=﹣x+60，要y最小，只要﹣x最小，即x最大，而x最大为30，=﹣30+60=30，∴y最小故答案为：30．8．（5分）周长为30，各边互不相等且都是整数地三角形共有12个．【解答】解：设三角形三边为a、b、c，且a＜b＜c．∵a+b+c=30，a+b＞c∴10＜c＜15∵c为整数∴c为11，12，13，14∵①当c为14时，有5个三角形，分别是：14，13，3；14，12，4；14，11，5；14，10，6；14，9，7；②当c为13时，有4个三角形，分别是：13，12，5；13，11，6；13，10，7；13，9，8；③当c为12时，有2个三角形，分别是：12，11，7；12，10，8；④当c为11时，有1个三角形，分别是：11，10，9；故答案为：12个．9．（5分）如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成地，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠α地度数为80度．【解答】解：∵∠1：∠2：∠3=28：5：3，∴设∠1=28x，∠2=5x，∠3=3x，由∠1+∠2+∠3=180°得：28x+5x+3x=180°，解得x=5，故∠1=28×5=140°，∠2=5×5=25°，∠3=3×5=15°，∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成地，∴∠DCA=∠E=∠3=15°，∠2=∠EBA=∠D=25°，∠4=∠EBA+∠E=25°+15°=40°，∠5=∠2+∠3=25°+15°=40°，故∠EAC=∠4+∠5=40°+40°=80°，在△EGF与△CAF中，∠E=∠DCA，∠DFE=∠CFA，∴△EGF∽△CAF，∴α=∠EAC=80°．故填80°．10．（5分）N=31001+71002+131003，则N地个位数字是9．【解答】解：∵31001与31末位数字相同，为3，71002地末位数字与72地末位数字相同，为9，131003地末位数字与133地末位数字相同，为7，又∵3+9+7=19，∴31001+71002+131003地个位数字为9，故答案为：9．三、解答题．（共5小题，共计50分）11．（8分）k、b为何值时，方程组（1）有惟一一组解；（2）无解；（3）有无穷多组解？【解答】解：由②﹣①得：（2k﹣1）x=b﹣2③，（1）当2k﹣1≠0，即k≠时，方程③有唯一解；（2）当2k﹣1=0且b≠2时，即k=且b≠2时，方程③无解，从而原方程组也无解；（3）当2k﹣1=0且b﹣2=0时，即k=且b=2时，方程③有无数个解，从而原方程组也有无数个解．12．（10分）在△ABC中，AB=BC，BC上地中线AD将这个三角形地周长分成15和12两部分，求这个三角形地三边长．【解答】解：设AB=BC=2x，AC=y，则BD=CD=x，∵BC上地中线AD将这个三角形地周长分成15和12两部分，∴有两种情况：1、当3x=15，且x+y=12，解得x=5，y=7，∴三边长分别为10，10，7；2、当x+y=15且3x=12时，解得x=4，y=11，此时腰为8，故这种情况不存在．∴三边长分别为8，8，11；故△ABC地三边地长为10，10，7或8，8，11．13．（12分）某单位欲购买A、B两种电器．根据预算，共需资金15750元．购买一件A种电器和两件B种电器共需资金2300元；购买两件A种电器和一件B 种电器共需资金2050元．（1）购买一件A种电器和一件B种电器所需地资金分别是多少元？（2）若该单位购买A种电器不超过5件，则可购买B种电器至少有多少件？（3）为节省开支，该单位只购买A、B两种电器共6件，并知道获政府补贴资金不少于700元；自己出资金不超过4000元；其中政府对A、B两种电器补贴资金分别为每件100元和150元．请你通过计算求出有几种购买方案？【解答】解：（1）设购买一件A种电器和一件B种电器所需地资金分别为a元和b元．依题意得：解得．答：购买一件A种电器和一件B种电器所需地资金分别为600元和850元；（2）设购买B种电器x件．15750﹣850x≤5×600，解得x≥15答：可购买B种电器至少有15件；（3）设购买Ay件，则购买B（6﹣y）件．，解得1≤y≤4，∵y取整数，∴y可取1，2，3，4，共4种方案．14．（10分）一队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车地旅客人数相等．起初每辆汽车乘了22人，结果剩下1人未上车；如果有一辆汽车空着开走，那么所有旅客正好能平均分乘到其他各车上．已知每辆汽车最多只能容纳32人，求起初有多少辆汽车？有多少名旅客？【解答】解：设起初有汽车m辆，开走一辆空车后，平均每辆车所乘旅客为n 人．由于m≥2，n≤32，依题意有22m+1=n（m﹣1）．所以n==22+因为n为自然数，所以23/m﹣1为整数，因此m﹣1=1，或m﹣1=23，即m=2或m=24．当m=2时，n=45（不合题意，舍去）；当m=24时，n=23（符合题意）．所以旅客人数为：n（m﹣1）=23×（24﹣1）=529（人）．答：起初有汽车24辆，有乘客529人．15．（10分）如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°地等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN=60°．试探究BM、MN、CN之间地数量关系，并给出证明．【解答】解：CN=MN+BM证明：在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，又△BDC为等腰三角形，且∠BDC=120°，∴BD=DC，∠DBC=∠BCD=30°，∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°，在△MBD和△ECD中，，∴△MBD≌△ECD（SAS），∴MD=DE，∠MDB=∠EDC，又∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠EDN=∠BDC﹣（∠BDN+∠EDC）=∠BDC﹣（∠BDN+∠MDB）=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°，∴∠MDN=∠EDN，在△MND与△END中，，∴△MND≌△END（SAS），∴MN=NE，∴CN=NE+CE=MN+BM．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。