一个Hardy—Hilbert型不等式的加强
Hilbert型不等式的改进与推广
Hilbert型不等式的改进与推广
Hilbert不等式(包括积分型和离散型)是分析学中的重要不等式.本文通过引入适当权函数的方法,对积分型和半离散型Hilbert不等式进行一些改进、推广,证明了常数因子是最佳的,并给出了它们的等价式和一些特殊结果.还考虑了强的H(?)lder不等式在Hardy-Hilbert型不等式改进中的应用.全文组织如下:第一章:介绍全文的研究目的、背景、方法和结果.第二章:应用转换公式,权函数的方法和实分析技巧,建立一个具有最佳常数因子的核含对数函数、多维的且含有几个参数的Hilbert型积分不等式.给出了其等价式与相应逆式.还考虑了其算子表示和齐次与非齐次核的一些特殊结果.第三章:应用权函数和
Hermite-Hadamard不等式,建立一个带有最佳常数因子的半离散逆向的Mulholland型不等式.并考虑了它的带有多参数齐次核的最佳推广式及等价式.第四章:通过引入权函数,应用实分析的方法,对具有准齐次核的Hardy-Hilbert 型不等式做了改进,从而建立了一些新的不等式.。
关于Hardy-Hilbert不等式的一种推广
关于Hardy-Hilbert 不等式的一种推广隆建军（攀枝花市大河中学，四川 攀枝花617061）摘 要：引入1λ、2λ和α，运用权系数的方法，建立一个推广的、具有最佳常数因子的Hardy-Hilbert 不等式，作为应用，建立它的一个推广的等价式.所得结果改进和推广了最近文献的一些相应结果.关键词：Hardy-Hilbert 不等式；权函数；Holder 不等式. 中图分类号:O178 1 引言设0,≥n n b a )(N n ∈,1>p ，111=+q p .若∞<<∑∞=00n pn a ,∞<<∑∞=00n qn b ,则有∑∑∞=∞=++001m n n m n m b a )sin(p ππ<p n p n a 10)(∑∞=qn q n b 10)(∑∞=， （1.1） 这里，常数)sin(p ππ是最佳值]1[.称（1）为Hardy-Hilbert 不等式.它是分析学及其应用领域的重要不等式]2[.其等价形式是∑∑∞=∞=++00)1(n pm m n m a p p ])sin([ππ<∑∞=0n pna， （1.2）这里，常数p p ])[ππ仍是最佳值.不等式（1）和（2）在分析学中有重要的应用]2[，近年来，得到了许多优秀的结果(见文[3-7])，YANG Bi-cheng 在文[8]中引入参数λ及β函数，给出（1）如下加强形式:当2},min{2≤<-λq p 时，有()∑∑∞=∞=++001m n nm n m b a λ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+<q q p p B 2,2λλp n p n a n 101)(∑∞=-λq n q n b n 101)(∑∞=-λ， （1.3） 这里，常数因子⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+q q p p B 2,2λλ（),(v u B 是β函数）是最佳值. 本文的任务是引入参数1λ、2λ和α建立下面二重级数： ()()[]∑∑∞=∞=+++00211212m n nm n m b a αλλ.的具有最佳常数因子的不等式.所得结论推广了（1.1）、（1.2）、（1.3）和文[9]的结论.为此，需要用到β函数()q p ,β的如下表示公式]10[：()()())0,0(11,,01>>+==⎰∞+-+q p du u u p q q p pqp ββ. 2 主要结论及其证明 定理1 设,0,0,0,111,121>>>=+>λλαqp p 1210,10,0,0αλαλ<-<<-<≥≥sq rp r s ，sq rp 21λλ+2121λαλλλ-+=，0,0≥≥n m b a ，()∞<+<∑∞=-+01)(120m p mq p s a m ,()∞<+<∑∞=-+01)(120n q n q p r b n ,则有()()[]()()()qn q n q p r pm p m q p s n m n m b n a m s r C n m b a 101)(101)(,,001212,12122121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<+++∑∑∑∑∞=-+∞=-+∞=∞=αλλλλ.（2.1） 其中()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=211211,,1,121,21λλβλλαλλrp sq s r C p q 是最佳常数因子. 其等价形式为： ()()()[]()()∑∑∑∞=-+∞=∞=--++<⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++01)(,,0011)(12,1212122121m pmq p s n pmmqq p r a m s r C n m a n αλλαλλ.（2.2）其中()pp q rp sq s r C ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211211,,1,121,21λλβλλαλλ是最佳常数因子.证明：（1）证明不等式（2.1），定义权系数：()()()[]()()∑∞=+++++=0,,121212121,,2121m rp sp n m n m m s r αλλαλλω, ()()()[]()()∑∞=+++++=0,,121212121,,2121m sqrq m n n m n s r αλλαλλω.由Holder 不等式有： ()()[]∑∑∞=∞=+++00211212n m n m n m b a λλ()()[]()()()()[]()()∑∑∞=∞=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++=0012121212121212122121n m sr qnr s pmm n n m b n m n m a λλλλ()()[]()()()()[]()()qn m sq rq qn pn m rp sp p m m n n m b n m n m a 10010012121212121212122121⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++≤∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=αλλαλλ()()qn q n pn p m b n s r a m s r 10,,10,,,,,,2121⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑∑∞=∞=αλλαλλωω. （2.3） 而()()()[]()()()()[]()()⎰∑∞∞=+++++<+++++=00,,121212121121212121,,212121dx x m x m n m n m m s r rpsp m rp sp αλλαλλαλλω. 令()()()dt t m dx m x t 112221121221,1212-+=++=λλλλλ，则有： ()()()[]()()∑∞=+++++=0,,121212121,,2121m rpsp n m n m m s r αλλαλλω ()()⎰∞---+-++<011)()1(2221221111221dt t t m rpr s p λαλλλαλλλ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=-+-22)()1(21,1122121221λαλβλλλλαλλrp rp m r s p . （2.4） 由条件212121λαλλλλλ-+=+sq rp ，得 1211λλαsqrp-=--，1)()()1(21221-+=-+-q p s r s p λλλαλλ.把上面结果代入（2.4），得 ()<m s r ,,,,21αλλω()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-+211)(21,11221λλβλrp sq m q p s . （2.5） 同理可得：()<n s r ,,,,21αλλω()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-+211)(11,11221λλβλrp sq n q p r . （2.6） 将()m s r ,,,,21αλλω和()n s r ,,,,21αλλω代入（2.3）式得： ()()[]()()()qn q n q p r pm p m q p s n m n m b n a m s r C n m b a 101)(101)(,,001212,12122121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<+++∑∑∑∑∞=-+∞=-+∞=∞=αλλαλλ.(2) 证明()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=211211,,1,121,21λλβλλαλλrp sq s r C p q 是最佳常数因子.设ε为任意小的正数，()()qq p r m pq p s m n b m a ελελ21)()(12,12-+--+-+=+=，则()()∑∑∞=+∞=-++=+0101)(112112m m p mq p s m a m ελ，()()∑∑∞=+∞=-++=+0101)(212112n n qn q p r n b n ελ. 又因为()()()()σσσσσσ1112111211121121101110101+=++<++=+<+=⎰∑∑⎰∞+∞=+∞=+∞+dx x k k dx x k k . 故，当+→0σ时，有()()qn q n q p r pm p m q p s b n a m 101)(101)(1212⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑∞=-+∞=-+qp o o 1211)1(21)1(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=ελελ())1(1211211o q p +=λλ.（2.7）()()[]()()[]∑∑∑∑∞=∞=++++∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=+++00)()(00212121121121*********n m qq p r pq p s n m n m n m n m n m b a ελελαλλαλλ()()[]⎰⎰∞∞++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++++>0)()(212112112112121dxdy y x y x qq p r pq p s ελελαλλ()()[]⎰⎰∞∞++++⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=00)()(221112112121121dx dy y y x x qq p r pq p s ελαλλελ ()()()⎰⎰∞∞+---+++=12111121211112121dx dt t t x x qrpλελαελλ()()⎰⎰∞∞---+++=1112211112121dx dt t t x qrpελαελλ()()()⎰⎰∞+---+++-12111121211112121dx dt t t x x qrpλελαελλ.又由()()()()⎰⎰⎰⎰∞+---∞+---++<++01211101211111212112111121dx dt t x dx dt t t x x qrpx qrpλλελελαελ221121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=q rp ελλ)0()1(211+→=σλo . ()()+∞---→+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+⎰0)1(1,11121112σλλβελαo rp sq dt t t qrp.由以上计算结果有：()()[]⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-->+++∑∑∞=∞=)1(21)1(1,121211212121120021o o rp sq n m b a n m nm λλλβελλαλλ ())1(11,1212121o rp sq -⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=λλβλλ. （2.8） 若（2.1）中的常数不是最佳的，则存在常数()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=<211211,,1,121,21λλβλλαλλrp sq s r C K p q ，用常数K 取代()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=211211,,1,121,21λλβλλαλλrp sq s r C p q 后（2.1）式仍然成立. 由（2.7）和（2.8）得()q p K o rp sq 121121211)1(11,121λλλλβλλ<-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--.即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--≥2112111,121λλβλλrp sq K p q .这与⎪⎪⎭⎫⎝⎛--<2112111,121λλβλλrp sq K p q 矛盾. 故（2.1）式中的常数是最佳的. （3）证明不等式（2.2）及其等价性令()()()()[]qp k m m qq p r n n m a n k b ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++++=∑=--+011)(21121212λλ,当k 充分大时，利用（2.1）有 ()∑=-++<kn q n q p r k b n 01)()(120()()[]()()[]∑∑==--+-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++=kn pkm mqq q p r q p r n m a n n 0011)(1)(2112121212αλλ ()()()()∑∑==--+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++++=km pk m m qq p r n m a n 0011)(21121212αλλ ()()()[]()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++++=∑∑∑===--+k m mkm qp k m m qq p r n m a n m a n 00011)(21211212121212αλλαλλ ()()[]()()()qkn qn q p r pkm p m q p s k n km n m k b n a m s r C n m k b a 101)(101)(,,00)(1212,1212)(2121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<+++=∑∑∑∑=-+=-+==αλλλλ.由此得到：()()()pkm p m q p s pkn q n q p r a m s r C k b n 101)(,,101)(12,)(1221⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑=-+=-+αλλ.即()()()[]()()∑∑∑=-+==--++<⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++k m p mq p s kn pkmm qq p r a m s r C n m a n 01)(,,0011)(12,1212122121αλλαλλ.令+∞→k ，可知()+∞<∞+<∑∞=-+01)()(120n q n q p r b n ，于是再由（2.1）有()()()[]()()[]∑∑∑∞==--+-+∞=-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++=∞+<0011)(1)(01)(2112121212)(120n pkm mqq q p r q p r n qn q p r n m a n n b n αλλ ()()[]∑∑∞=∞=+++∞=00211212)(n m n m n m b a αλλ()()()qn qn q p r pm p m q p s b n a m s r C 101)(101)(,,)(1212,21⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<∑∑∞=-+∞=-+αλλ.由此得：()()()[]()()∑∑∑∞=-+∞=∞=--++<⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++01)(,,0011)(12,1212122121m p mq p s n pmm qq p r a m s r C n m a n αλλαλλ.故，不等式（2.2）成立. 又由Holder 不等式有：()()[]()()()()()∑∑∑∑∞=-+∞=+-∞=∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++++=+++01)(0)(1001212121212122121n n q q p r m mq q p r n m nm b n n m a n n m b a αλλαλλ()()()()()q n q n q p r pn pm m q q p r b n n m a n 101)(10011)(1212121221⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++++≤∑∑∑∞=-+∞=∞=--+αλλ. (2.9)在（2.9）式中利用（2.2）式得：()()[]()()()qn q n q p r pm p m q p s n m nm b n a m s r C n m b a 101)(101)(,,001212,12122121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+<+++∑∑∑∑∞=-+∞=-+∞=∞=αλλλλ. 故不等式（2.1）和（2.2）是等价的.若不等式（2.2）的常数因子()s r C ,,,21αλλ不是最佳的，则由（2.9）得到的常数因子()s r C ,,,21αλλ也不是最佳的，这与前面已经证明过的()s r C ,,,21αλλ是（2.1）的最佳常数因子矛盾.故()s r C ,,,21αλλ是（ 2.2）的常数因子.证毕.注 在（2.1）和（2.2）式中令1=α，λλλ==21可得到与文[9]相关的结论. 在（2.1）和（2.2）式中令常数2==q p ，可得： 推论1设,0,0,021>>>λλα12220,220,0,0αλαλ<-<<-<≥≥s r r s ，()2121212λαλλλλλ-+=+s r ，0,0≥≥n m b a ，()∞<+<∑∞=-0214120m ms a m ,()∞<+<∑∞=-0214120n n r b n ,则有 ()()[]()()()2102120214,,001212,12122121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅+<+++∑∑∑∑∞=-∞=-∞=∞=n nr m m s n m n m b n a m s r C n m b a αλλαλλ.（2.10） 其中()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2121,,22,2221,21λλβλλαλλr s s r C 是最佳常数因子. 其等价形式为：()()()[]()()∑∑∑∞=-∞=∞=-+<⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++0214,,0204112,1212122121m ms n mm r a m s r C n m a n αλλαλλ.（2.11）其中()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=21221,,22,2241,21λλβλλαλλr s s r C 是最佳常数因子. 在（2.10）和（2.11）式中令常数λλλ==21，可得：推论2 设,0,0>>λααλαλ220,220,0,0<-<<-<≥≥s r r s ，()αλ-=+22s r ，0,0≥≥n m b a ，()∞<+<∑∞=-0214120m ms a m ,()∞<+<∑∞=-0214120n n r b n ,则有()()[]()()()2102120214,001212,1212⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅+<+++∑∑∑∑∞=-∞=-∞=∞=n nr m m s n m nm b n a m s r C n m b a αλαλλ.其中()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=λλβλαλ22,2221,,r s s r C 是最佳常数因子. 其等价形式为：()()()[]()()∑∑∑∞=-∞=∞=-+<⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++0214,0204112,121212m ms n mm r a m s r C n m a n αλαλλ.其中()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=λλβλαλ22,2241,22,r s s r C 是最佳常数因子. 显然，本文定理是现有文献结论的推广和统一. 参考文献：[1]Hardy G H, Littlewood J E, Polya G . Inequalities[M].Cambridge Univ Press,1952.[2]Mitrinovic D S, Pecaric J E, Fink A M. Inequalities Involving Functions and Their Intergrals and Derivatives[M].Kluwer Academic Publishers, Boston,1991.[3]杨必成.关于Hardy-Hilbert 不等式的多参数的推广[J].广东教育学院学报,2003,23(2):1-6.[4]杨必成.关于Hilbert 不等式的一个推广应用[J].信阳师范学院学报(自然科学版),2004,17(2):154-158. [5]隆建军.关于Hardy-Hilbert 不等式的多参数推广[J].贵州师范学院学报,2011,27(12):6-9.[6]隆建军,杨厚学.关于Hardy-Hilbert 不等式的一个加强及应用[J].云南民族大学学报(自然科学版),2012,33(2):22-26.[7]杨必成.一个对偶的Hardy-Hilbert 不等式[J].数学研究与评论,2007,27(4):773-780.[8]隆建军,杨厚学.Hardy-Hilbert 不等式一个新的改进[J].云南民族大学学报(自然科学版),2012,21(3):197-201.[9]杨必成.一个对偶的Hardy-Hilbert 不等式及其推广[J].数学进展,2006,35(1):102-108. [10]王竹溪,郭敦仁.特殊函数论[M].北京:科学出版社,1979.A Kind of Generalized Hardy-Hilbert InequationLONG Jian-jun(DaHe Middle School of Panzhihua,Sichuan panzhihua 617061,China)Abstract:In this paper,by introducing parameters 1λ、2λand α,and the method of the weight coefficient,we give a new extension and a best constant factor of Hardy-Hilbert's inequality.As its applications,we build its extended equivalent form.The results presented in this paper improve and unify some recent results in this field.Key words : Hardy-Hilbert inequality;weight function;Holder inequality该文发表于全国科技核心期刊《贵州示范大学学报》（自然科学版），2013年6月第6期第8-10页.。
较为精密的Hardy-Hilbert不等式的一个加强
ｌ ｎ２一ｙ
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这 里 ， ｙ＝０５ ７ Ｅ ｌｒ ．７ １ 是 ｕｅ 常数 。
第 ３ 卷第 ４期 ３
２１ ０ ２年 ７ 月
Ｖ１３Ｎ ． ｏ ３ ｏ ． ４
Ｊｌ． ０ ２ ｕｙ ２ １
井 冈山大 学学报 （ 自然科 学 版）
Ｊｕｎ ｌｏ ｉｇ ａ ｇ ｈ ｎ Ｕ ｉｅｓ ｙ（ ｔ ａ ｃ ｎ ｅ ｏ ｒａ ｆＪ ｇ ｎ ｓａ ｎｖ ｒｉ Ｎａ ｒｌＳ ｉ ｃ） ｎ ｔ ｕ ｅ
≥０， ｏ＜
ｐ 。 ＜ｏ ，
这里，
ｓ１ ｉ Ｉ
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０ ＜∑ ＜ ：，， ∞ ０） 则 １
不 等 式 ，特 别地 ， 当 ＝１ ，称 之 为“ 精密 ” 时 较 的 Ｈａｄ－ ｌｅｔ 等 式【。Ｈａｄ － ｌｅｔ 等 式在 分 ｒｙＨｉ ｒ 不 ｂ １ ］ ｒｙＨｉ ｒ 不 ｂ 析 学 中有 着重 要 的应用 。一直 以来都有 专 家 、学者 对 其进 行 加强 、推 广和 改进 【 】 ２。 １９ ９ １年 ，徐 利 治首 倡权 系数 方 法【，对 （ ） １ １ 在 ＝０Ｐ＝ｑ：２的 情 形 作 改 进 ， 得 到 加 强 的 ．
、 －，
（ （ 十 （ ｌ （ 厂 三。 ／） ６ ） 厂一 （ ） ＜ ） ） ０
引理 ２ 设， ． Ｎ， ＞１ ∈ 下列权系数不等式成立：
●
● 一ｐ
１ ●●●● ●●● ＿ ］
Hardy-Hilbert不等式一个新的改进
’
是 最佳 值．本 文 的 目的是 在 已有文 献 的基 础上 ， 引进 参 数 与 函数对上 式做 进
步 的改进 ， 立如 下形 式 的不 等 式 ： 建
收 稿 日期 ：０ ９０ —０ ２ ０ —５２
基金项 目： 国家 自然科学基金资助项 目（ ０ ７ ００ ６６４２） 作者简介 ： 赵玉中（ ９ ４ ）男 ，江苏淮安人．硕 士。 １８一 ． 研究方 向为微分 方程 的稳定性 、 积分不 等式． － ｉ ｚｚｄ ５ ０ ６ ．ｏｌ Ｅ ｍａｌ ｙｌｑ ２ ＠１ ３ ｃｉ． ： ３ ＊通讯作者 （ ｍ砷蚰ｄｌ ｕｈ ｒ ： ｃｏ ｉｇａ ｔｏ ）郭继 峰， 博士 ， Ｉ 男， 剐教授． － ｉ ｇ ｏ ２５ ｔｃ．ｄ ．ｎ Ｅ ｍａｌ ｕ １ １＠ｑｅｈ ｅ ｕ ｅ ． ：
含参数的Hardy—Hilbert型积分不等式的加强
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２１ ０ ０年
ｏ Ｊ （ （ 出＜ｏ ＜ 卜 ） ｏ ｆ 、 ０ ，
式 （ 取等号当且仅 当／ 和ｇ 线性相关 ， ５） 事实上式 （ ５）
０Ｊ ＜ ｆ ０
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中 成 且 存ｃｆｆ￣ 等 立 仅 在使＇ ：ｇ ， 号 当 当 。 ｇ Ｃ－ ｑＩ ］ ；
Ａ ｂ ｔ ａ ｔ： Ｓ ｍ ｅａ ａ ｃ ｍ ｅ ｔ ａ ｄ — ｌ ｅ ｔ ｎ ｅ ｒ ｌ ｎ ｑ ａｉｙａ ｅｏ ｔｉ ｅ ｙ ｍ ｅ ｎｓｏ ｒ ｖ ｄ ｏ ｌ ｅ ’ｓ ｓｒ ｃ ｏ ｄｖ ｎ ｅ ｎ Ｈ ｒ ｙ Ｈｉｂ ｒ ’Ｓｉ ｔｇ ａ ｅ ｕ ｌｔ ｒ ｂ ａｎ ｄ ｂ ａ ｆｉ ｏｆ ｉ ｍｐ ｏ ｅ ｆＨＯｄ ｒ ｉ ｅ ｕａｉ ｎ ｅ ｉ ｅ ｕ ｌｔｅ ｒ ｓａ ｌｓ ｅ ｎ ｑ ｌｔ ａ ｄ ｎ ｗ ｎ ｑ ａｉｉｓａｅｅ ｔｂ ｉｈ ｄ． ｙ
Ｋ ｅ ｗｏｒ ｓ ： Ｈ ａｄ — ｌ ｒ’ ｐ ｎ ｅ ａ ｑ ａｉｙ； ＨＯ ｄ ｒ Ｓｉ ｅ ｕ ｌ ｙ；Ｗ ｅｇ ｔ ｕｎ ｔｏ ｙ ｄ ｒ ｙ Ｈｉ ｂｅｔ Ｓｔ ｅｉ ｔｇｒｌｉ ｕ ｌ ｙ ｎｅ ｔ ｌ ｅ ’ ｎ ｑ ａ ｉ ｔ ｉ ｈ ｃｉ ｎ； ｆ ｆ ｎ ｔｏ ｕ ｃ ｎ ｉ
ｒ
＜
（Ｊｌ ）Ｊ１ ） （ 。 ） ，。 ） ｛ 一 ， ）ｘ （ ｛一
・ ）
（ ２ ）
Ｔ Ｌ ＂
这里常数 因子
（ ｛ｇ ） ｘ Ｓｑ ） ０（ －
这常因 （ 里数
式 ：设 ｐ＞１ ＋ １ ， １ ＝ｌ
， ，
， 最 半 佳
容易算 出厂 ＝ｑｇ 。
一个较为精确的Hardy-Hilbert型不等式
本文 引入 独立参 数 ， 应用权 系 数 的方 法 及 实分 析 技 巧 ， 建 立一 个 式 （ ６ ）的较 为 精 确 、 具 有最 佳 常 数 因子
∑ 一 算 子 表示式 、 的推 广式 ， 还考 虑 了等价 逆 式及 特殊 形式 ． ｍ 式、 引 理
如无特别声 明， 本文下设 ： ≠０ ， １ ， １＋１—１０＜
，
，
≤ １ （ 一 １ ， ２ ）， ＋ ２ 一 ａ，
（ １ ） 一１Ｂ（ Ｉ ￣ １
＿
，
Ｐ
ｑ
∑ 警 ） ， ｛ ｝ ： 一 ｌ ， ｛ ｖ ｝ 为 正 数 列 ， 卢 ∈ ［ － ０ ／ ￣ 百 ∈ ［ ０ ， ］ ，
一
一
∑ 一 卢 ， 一∑ ｖ 一 ，
则
有 如
Ｆ
（ ２）
设｛ ｝ ： ： ， ｛ ｖ ｝ ； 为正 数列， Ｕ 一∑ ，
＝ １
一
∑ ， ， 则 有如 下式（ １ ） 的 推 广 式（ 在［ ２ ］ ， 定理３ ２ １ 中，
置换 … １ ／ ｑ ａ ， １ ｂ 为 ａ ， ｂ ） ：
第３ ５卷
第 ５期
广 东 第 二 师 范 学 院 学 报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｇｕ ａ ｎ ｇ ｄ ｏ ｎ ｇ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｅｄ ｕ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ
Ｖ ｏ１ １ ５
Ｂ （ ： 一 Ｊ 。 者 ｔ ｕ － ￣ ｄ ｔ ＞ Ｏ ） ・
当 口一 一１ ， ＝ ＝ ： ， 一 时， 式（ ４ ）变为 式 （ １ ） ． ２ ０ ０ ９— ２ ０ １ １ 年， 杨在 专著 ［ ５ — ６ ］中系统论 述 了引人 参量
关于一个权系数的Hardy-Hilbert型不等式
Received:
April 28, 2004
author
§ Correspondence
224
∞ ∞
J. Weijian, G. Mingzhe, G. Xuemei
∞ 1/ p ∞ 1/ q
π am bn ≤ m+n sin π / p m=1 n=1 and
2−λ pq .
We therefore have Ψ
2−λ pq
= 0, i.e. Φ′
∞ n=1 1 , (z +n)2
2−λ pq
= 0. It is known from
the paper [21] that ψ ′ (z ) = ζ (2, z ) =
where ζ is the Riemann zeta
1. Introduction Let {an } and {bn } be two sequences of nonnegative real numbers,
∞ 1 p
+
and p > 1. If
n=k
ap n < +∞ and
∞ n=k
1 q
=1
bq n < +∞ ( k = 0, 1 ), then
Γ(m)Γ(n) Γ(m+n) ,
where Γ (z ) is the gamma
1 I 1/ p I 1/ q , Γ (λ) p q
226
J. Weijian, G. Mingzhe, G. Xuemei
where Ir = Γ (1 − rs) Γ (λ − (1 − rs)), r = p, q . Taking the derivative of Φ (s), we have Φ′ (s) = −Φ (s) Ψ (s), where Ψ (s) = ′ (z ) ψ (1 − ps) − ψ (λ − (1 − ps)) + ψ (1 − qs) − ψ (λ − (1 − qs)) , here ψ (z ) = Γ Γ(z ) is the psi function. We choose thus s such that 1 − ps = λ − (1 − qs), so that 1 1 −λ 1 − qs = λ − (1 − ps), hence s = 2 p+q . Since that p + q = 1, it follows that s=
Hardy-Hilbert重级数定理的一个改进
数 学 理 论 与 应 用
Ｍ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ ＣＡＬ ＴＨＥＯＲ￣ ＡＮＤ ＡＰＰＬＩ ＣＡＴＩ ＯＮＳ
ＶｏＩ２ ＿ ７Ｎｏ １ ．
Ｍ ａ． ２ ０ ｒ ０ ７
Ｈａｄ －Ｈｉ ｅｔ ｒｙ ｌ ｒ 重级 数定 理 的一 个 改进 。 ｂ
２ ８
数 学理 论 与 应 用
第 ２ 卷 ７
进行 了研 究 （ ［］． 文 的 目的是利 用矩 阵理论 和 Ｂ ｒｏ ｌ 不 等式 以及 Ｈｏｄｒ 等式建 立 见 ２ ）本 ｅｎｕｌ ｉ ｌ 不 ｅ 重级 数型 Ｈａｄ ｒｙ— Ｈｉ ｅｔ ｌ ｒ 不等式 的一个新 的改进 ， ｂ 它不 同于文 ［］所列 文献 的各种 结果． ２ 设 Ｅ是 一个 内积空 间 ，ｎ ６ 表示 向量 ａ与 ｂ 内积 ， （ ，） 的 向量 ｚ的模用 Ｉ ｌ表示 ， ｌ ｌ Ｉ ｌ ｚ 即 ｌ ｌ
Ａｂｓ ｒ ｃ Ａ ｔ ｅ ｔａ ｔ ｓ ｒ ｎｇｔ ｎ ｄ ｒ ｓ ｔｏｆＨ ｏ ｄｅ ’ ｎｅ ｈｅ ｅ ｅ ｕｌ ｌ ｒＳ ｉ ｑｕａｉｙ ｉ ｔａ ｎ ｄ ｂｙ ｍ ｅ ｓ ｏ ｈｅｐｏ ｉｉ ｅ ｉ ｔ ｎ ｓ ｈｅ ｌｔ ｓ ａ ｔ ｉ ｅ ａｎ ｆｔ ｓｔｖｅ ｄ ｆｎｉｅ ｅ ｓｏｆｔ
ｉ ｅ ａ ｉｙ． ｎ ｑｕ ｌｔ
１ 引 言 和 引 理
设｛ ｝ ６ 是 非负的 数 ． 果∑ｎ＜＋ｏ且∑６＜ 。 ｎ 和｛｝ 两个 实 序列 如 。 ： ＋ｏ， 那么
Ｈ＝ １ Ｈ＝ １
ａ ｎ≤ ｍ ｂ
ｓｎ － ｉ
｛ ∑ ｛
ｐ １
｝ ÷
－
（． ） １ １
Ｈａｄ －Ｈｉ ｅｔ 级 数 定 理 的一 个 改 进 ． 别 ， ｐ ｒｙ ｌ ｒ重 ｂ 特 当 ＝２时 ， 到 了经 典 的 Ｈ ｌｅｔ 级数 定理 的 一 个很 强 的 结 得 ｉ ｒ重 ｂ
关于Hardy-Hilbert不等式的一个加强及应用
井 冈山大学 学报（ 自然科 学版） ． — ● 一 一 Ｓ／ 厂 ｎ／ 、 ●ｐ 、 ． ， 万一
∑ ∑
。 ∑
．． ．． ．．． ．． ．．． ．．． ，． 。．。 ．． ．．
１９ ９ ７年 ，杨 必 成 和 高 明哲 得 到 如下 权 系 数 估 一 ¨ 计 ［ ８ 】 ．
２ Ｓ ｈ ｏ ｏ Ｍａ ａ ｅ ｌ ｔ ｎ Ｅ ｏ ｏ ｓ Ｓｃ ｕ ｎＵ ｅｉ ｆ ｃｅ ｃ ＆ Ｅ ｇｎ ｅｉｇ Ｚ ｇ ｎ ， ｉｈ ａ ４ ３ ０ ， ｈｎ ） ・ ｃ ｏ ｌ ｆ ｎ ｇ ｎ Ｂ ｄ ｃ ｎ ｍｉ ｉｈ ａ ｍｖ ｒｙｏ Ｓ ｉ ｅ ｅ ａ ｔ ｔ ｎ ｎ ｉｅｒ ， ｉ ｇ Ｓｃ ｕ ｎ６ ０ ０ Ｃ ａ ｎ ｏ ｉ
ｍ 薹’，＜ ｌ ＝ｎ） １（ — ＼ ， 『Ｈ ｌ ； ｌ Ｃ
ｎｐ
∑
若 ０
＜
文 章编 号：１７ —０ ５２ １）２ ０ ２ － ５ ６４８ ８（０ ２０ － ０ ２ ０
∑ 口
ｐ ｎ
关于 Ｈ ｒｙＨ ｌｅｔ ａｄ ． ｉ ｒ不等式的一个加 强及应 用 ｂ
０
＜
● 隆建军 ，杨厚学 ２
（． 花市 大河 中学 ，四川 ，攀枝 花 １ 攀枝 ６７６ ； ．四川理 工学 院经济 与管理 学院 ，四 川， 自贡 ６３ ０ ） １０ １２ ４ ０ ０
ｏＮＡ Ｔ Ｓ ＲＥＮＧＴ ＮＥ ＨＥ Ｄ ＨＡＲＤＹ ＨＩ ＥＲ ＳＩ ＱＵ Ｉ Ｙ ． ＿ ＬＢ Ｔ’ ＮＥ ＡＬ Ｔ ＡＮＤ Ｉ ＴＳ
Ａ ＰＰＬＩ ＣＡＴＩ ｏＮ
Ｌ ＮＧ Ｊ ｎ ｕ ＡＮＧ Ｈ ｕｘ ｅ Ｏ ａ － ｎ ，Ｙ ｉ ｊ ｏ －ｕ
（．ａｅＭｉｄｅ ｃｏｌ ｆ ａｚｉｕ， ａｚｉｕ， ｉ ｕｎ １０ １ ｈｎ； １ ｈ ｄ ｌＳｈ ｏｏ Ｐ ｎｈ ａＰ ｎｈｈａ Ｓｅ ａ ７ ６， ｉａ Ｄ ｈ ｈ ６ Ｃ
带参数双级数Hardy-Hilbert型不等式的改进
：
１ 以 ｝｛ ｝ ， ， 为非 负 实数列 ，使得０ ｛ ∑以 ｏ ０ ∑ ｏ ： ｏ ：ｏ，则有： ；
ｎ ｊ ＝
Ｐ ｑ
鲁 ｍ＋ ｎ
（） １
这里 ，常 数 因子 — 一 是最佳值 ，（） ｓ（ ｐ ｉ￣ ） ｎ／ １ 式称为 Ｈ ｒｙＨ ｂｒ不等式． ａ 。ｉ ｔ ｄ ｅ 它在数学分析及其他数学分支中有极其 重要 的应 用．近 年来 ， 多 文献 对 Ｈａｄ－ ｌｅｔ 等式 作 了有 益 的推广 和 改进 ，如在 文献 ［］ 很 ｒｙＨｉ ｒ不 ｂ １中给 出了一个 带参数 的 Ｈａｄ— ｉｅｔ ｒｙＨｂｒ型不等 式 ：
（，） ｌｌｌｌ（一 易 ＜ｌｌｌｌ １ ） 口ｐ易 其 ， ＝ （ｃ Ｓ ） 中 （ 日） ，） ，一 （ｃ
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ａｎｉ ｒ ｖ ｍｅ ｔ ｆ ｒ ｄ — ｌｅ ’ ｉ ｅ ａ ｉ ｔ ａ ａ ｔｒ ａ ｅｏ ｔ ｉ ｅ ｙ ｍｅ ｎ ｆ ｈ ｒ ｅ ｉ ｇｏ ｓｒ ｃ ： ｍｐ ｏ ｅ ｎ ｏ Ｈａ ｙ Ｈｉ ｒ Ｓ ｎ ｑｕ ｌ ｙ ｗｉ ｐ ｍｅ ｅ ｓｃ ｎ ｂ ｂ ａ ｎ ｄ ｂ ａ ｓ ｓ ａｐ ｎ ｎ ｆ ｂｔ ｔ ｈ ｒ ｏ ａ
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第 ３ 卷第 １ ４ 期
２０ ０ ８ห้องสมุดไป่ตู้ ２月
湖南 农 业 大学 学报 （ 自然科 学 版）
Ｊｕ ｎ ｌ ｆ ｎ ｎＡｇｉｕｔｒｌ ｎｖ ｒｉ Ｎａｕａ Ｓ ｉｎ ｅ） ｏ ｒａ ｏ Ｈｕ ａ ｒｃ ｌ ａ ｉｅｓ ｙ（ ｔｒｌ ｃｅ ｃ ｓ ｕ Ｕ ｔ
￣（－ ）ｔ ｚａ－
＜
Ｐ ＋ 一 ２ ｑ＋ 一 ２
— — — — — — — — — 一
— — — — — — — — — — —
一个改进的Hardy-Hilbert不等式
第 ６期
王卫 宏 ， ： 个改进 的 Ｈａｄ — ｌｅｔ 等式 等 一 ｒｙＨｉ ｒ 不 ｂ
９ ３
本文通 过估 算权 系数 ， （ ） 对 １ 做进 一 步 的改进 ． 为此 ， 用到 下述 改进 的 Ｅ ｌｒＭａ ｌｕｉ 式 ： 要 ｕｅ— ｃａ ｒ ｎ公 若
厂 （＞， ）ｏ ［× 厂（） （ ｏ， ） ’（出 ｃ ｏ 厂十 ， ｏ。 ㈩× ｏ—， ，，ｊ ｘ ＜。 ） ｌ ＜ ∈ ， ， ｃ一 ｒ １ ３ ） × （ ｃ ） 。 ２ ｆ ，
１ 引
言
，
∑一
ｐ Ｈ
口
、ｌ，
设 ＞ １ ｌ 一 １ 口 ， 。， ， ＋ｌ ， ６≥ 。＜
ｑ
一
●
ｎ＜ ｃ ， × 。＜ ３
６ ＜ ｃ ， … ： × 则 ３
，－Ｉ、
一 ｐ
Ｅ ｍ ＋ ． ｌ Ｅ ＋
，
∑一
ｓ （／ ｉ ￣ｐ ｎ
、ｌ，
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第 ６期
Байду номын сангаас
王卫 宏 ， ： 个 改进 的 Ｈａｄ — ｌｅｔ 等 一 ｒ ｙＨｉ ｒ 不等 式 ｂ
９ ５
∑
∑一 薹 ＜薹 一 塞 ［ （
证 由 Ｈ６ｄ ｒ １ｅ 不等式 ， 有
（ 一 １ Ｏ）
・
．
㈩
证 设 （ ） ｘ－
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］ ”１， －） ｔ￣ －
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・ ） ｊ ・ （ ÷ ’ 南
Ｊ ｊ ’ Ｙ １ ｏ ＋ ‘ ．
一
薹 ＿（ ） 一 干 【 ÷ ＜
Hardy-Hilbert不等式一个新的改进
Hardy-Hilbert 不等式一个新的改进隆建军（攀枝花市大河中学，四川 攀枝花617061）摘要：通过给出如下形式的权系数的估计式 ()qpm qn n p m n n m n q 1111251821sin 1,-∞=+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛+=∑ππω，N n qp q ∈=+>,111,1， 从而得到Hardy-Hilbert 不等式的一个新的改进形式.所得结果改进和推广了最近文献的一些相应结果.关键词：Hardy-Hilbert 不等式；权系数；Holder 不等式 中图分类号：O178 1 引言设0,≥n n b a )(N n ∈,1>p ，111=+q p .若∞<<∑∞=10n p n a ,∞<<∑∞=10n q n b ,则有 ∑∑∞=∞=+11m n m n nm b a )sin(p ππ<pn p n a 11)(∑∞=n q n b 11)(∑∞=， （1）这里，常数)p ππ是最佳值]1[，其等价形式是∑∑∞=∞=+11)(n pm m nm a p p ])sin([ππ<∑∞=1n pna，（2）这里，常数p p ])[ππ仍是最佳值.称（1）为Hardy-Hilbert 不等式，它是分析学及其应用领域的重要不等式.近年来有许多专家、学者对其进行研究，得到了许多优秀的结果]62[-.1991年，徐利治和郭永康得到如下权系数估计]7[：()1,s i n 1,1111-=+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛+=-∞=∑p nn p m n n m n q p qppm qηηππω（3）从而给出了Hardy-Hilbert 不等式的一个加强形式：qn q n pq pn p n q p m n n m b n n q p a n n p p n m b a 11111111111sin 1sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--⎪⎪⎭⎫⎝⎛<+∑∑∑∑∞=-∞=-∞=∞=ππππ （4）1997年，杨必成和高明哲得到如下权系数估计]8[： ()pm qnC p m n n m n q 1111sin 1,--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛+=∑∞=ππω（5）给出新的Hardy-Hilbert 不等式的一个加强形式：qn q n q pn p n p m n n m b n C p a n C p n m b a 111111111sin 1sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<+∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=ππππ （6）其中C 是欧拉常数.1998年，杨必成和L.Debnath 得到如下权系数估计]9[： ()qpm qnn p m n n m n q 111121s i n 1,-∞=+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛+=∑ππω（7）从而得到如下的Hardy-Hilbert 不等式的一个新的加强形式：qn q n pq pn p n qp m n n m b n n p a n n p n m b a 111111111121sin 21sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛<+∑∑∑∑∞=-∞=-∞=∞=ππππ （8）2005年，吕中学得到如下权系数估计]10[： ()qpm qnabn p m n n m n q 11111sin 1,-∞=+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛+=∑ππω（9）从而得到Hardy-Hilbert 不等式的一个新的推广与改进：qn q n p q pn p n q p m n n m b n abn ab p a n abn ab p n m b a 111111111112sin 12sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<+∑∑∑∑∞=-∞=-∞=∞=ππππ （10）其中e ab b a ≤<>>0,0,0.其等价形式为：∑∑∑∞=--∞=∞=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛+11111112sin sin n pn q p p m p n m a n abn ab p p n m a ππππ （11）本文通过改进和推广文献[7-10]的结果，从而给出（1）式和（2）式一个新的改进形式. 2 引理引理2.1]9[ 设N n qp p ∈=+>,111,1，则 ()pn n np g p f p n q 1)()(s i n ,+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<ππω （12）这里),(n q ω与（3）式定义相同，且 32)31(31121)1(1121)(n p pn n p p p p f n ++++++=， （13） 32212712121127)21(21121)(nn n n p pn p g n -+--+--= （14） 引理 2.2]8[ 设)(x f 为[)+∞,1的四阶连续可微函数，若0)1(''',0)()4(<≥f x f ，0)(lim )(lim )(==∞→∞→x i x x f x f ，)3,2,1(=i 且∑∞=1)(m m f 及⎰∞1)(dx x f 收敛，则)1('121)1(21)()(11f f dx x f m f m -+≤⎰∑∞∞= （16）引理2.3 ]9[ 设N n p ∈>,1，则 32112121)()(nn p g p f n n -->+ （17）引理2.4 设N n qp p ∈=+>,111,1，则 ()qpn n p n q 11251821sin ,-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<ππω（18）()pqn n p n p 11251821sin ,-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<ππω（19）证明：当3≥n 时， ⎪⎭⎫ ⎝⎛+--n n n 259121121213⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=3225111509150292121n n n n （20） 下证322511150915029n n n ---015054150929323>---=n n n n（21）（21）式等价于当3≥n 时，054150929)(23>---=n n n n ϕ()01983>=∴ϕ又()1501887'2--=n n n ϕ，()05793'>=ϕ， ()18174''-=n n ϕ，()05043''>=ϕ，()0174'''>=n ϕ.从而当3≥n 时，()()()0,0',0''>>>n n n ϕϕϕ.因此由（20）式和（21）式，有21259121121213>⎪⎭⎫ ⎝⎛+--n n n ，nn n 252121121213+>--∴（22）由引理1和引理3结合（22）式，得()qpn n p n q 11251821sin ,-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<ππω， 3≥n（23）当1=n 时，由（5）式，有 ()251821sin 11sin ,+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<p C p n q ππππω （24）当2=n 时，由57721.0<C ，都()()p qpC1112122518221-<+- ()()()q ppp C p n q 11122518221sin 21sin ,-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<∴ππππω（25）由（23）~（25）得（18）式成立，交换q 为p ，加之⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛q p ππππsin sin ，得(19)式成立.引理证毕.3 主要结论及其证明定理3.1 设111,1=+>q p p ，0,0≥≥n n b a ，+∞<<+∞<<∑∑∞=∞=110,0n p n n pn b a ，则qn q n pq pn p n qp m n n m b n n p a n n p n m b a 1111111111251821sin 251821sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<+∑∑∑∑∞=-∞=-∞=∞=ππππ（26）证明：由Holder 不等式，得()()∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+11111111m n pq q npq p m m n n m n m n m b n m n m a n m b aqm n pqn pm n qpn n m n m b n m n m a 11111111⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤∑∑∑∑∞=∞=∞=∞= qm q n n ppm p n n qb n m n m a n m n m 1111111111⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑∑∑∑∞=∞=∞=∞= ()()qm q n pm p n b n p a n q 1111,,⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑∑∞=∞=ωω 因此，将引理4中的(18)和(19)式代入上式，即得：qn q n pq pn p n qp m n n m b n n p a n n p n m b a 1111111111251821sin 251821sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<+∑∑∑∑∞=-∞=-∞=∞=ππππ. 定理1证毕.作为应用我们建立(26)式一个等价形式：定理3.2 设111,1=+>q p p ，0≥n a ，+∞<<∑∞=10n p n a ，则∑∑∑∞=--∞=∞=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛+111111251821sin sin n p n qp p m p n n a n n p p n m a ππππ 证明：由()⎪⎪⎭⎫⎝⎛<p n q ππωsin ,和Holder 不等式，得()()∑∑∞=∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+1111111n pq q pq p nn n m n n m m n n m a n m a qn ppn p n qm n n m a m n n m 11111111⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤∑∑∞=∞=(){}q pn p n qn p a m n n m 1111,1ω⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑∞=qpn p n qp a m n n m 1111sin 1⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+<∑∞=ππ.由(18)式和以上所得，有∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛+111111sin m n pn qqpm pn n a m n n m p n m a ππ ∑∑∞=∞=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11111sin n p nm q p a m n n m p ππ()∑∞=-⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,sin n pnp an q p ωππ∑∞=--⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<1111251821sin sin n p n q p p a n n p p ππππ 所以，定理2成立.定理证毕. 评注：显然引理4中的（18）、（19）式比(3)、(5)、(7)、(9)更加精确，所以本文结论也比(4)、(6)、(8)、(10)、(11)更加精确.进而定理1和定理2是(1)和(2)的推广和改进，. 参考文献：[1] Hardy G H, Littlewood J E, Polya G. Inequalities[M].Cambridge Univ Press,1952. [2]董大校.Hardy-Hilbert 重级数不等式的推广[J].云南师范大学学报(自然科学版)，2000，20(2):9-13.[3]杨必成.关于一个推广的Hardy-Hilbert 不等式[J].数学年刊，2002,23A(2):247-254.[4]洪勇.Hardy-Hilbert 重级数不等式的推广与改进[J].数学的实践与认识，2002，32(5):849-855.[5]杨必成.一个推广的具有最佳常数的Hardy-Hilbert 不等式[J].数学年刊，2000,21A(4):401-408.[6]洪勇.关于Hardy-Hilbert 不等式的新推广[J].南昌大学学报(理学版)，2005,29(6):566-570.[7]Xu L C,Gau Y K.Note on Hardy-Riesz's extension of Hilbert's inequality[J].Chin Quar J math,1991,6(1):75-77.[8]杨必成,高明哲.关于Hardy-Hilbert 不等式的一个最佳常数[J].数学进展,1996,29(2):159-164.[9]Yang B C,Debnath L.On new strengthened Hardy-Hilbert inequality[J].Internat JMath Sci,1998,21(2):403-408.[10]吕中学.Hardy-Hilbert 不等式一个新的推广与改进[J].数学的实践与认识,2005,35(5):142-145A New Improvement of Hardy-HilbertInequalityLONG Jian-jun(DaHe Middle School of Panzhihua,Sichuan panzhihua 617061,China)Abstract :A new inequality for the weight coefficient ω(q ，n) in the form is proved ()qp m qnn p m n n m n q 1111251821sin 1,-∞=+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛+=∑ππω，N n qp q ∈=+>,111,1， And a new generalization and improvement of Hardy-Hilbert inequality is obtained.The results presented in this paper improve and unify some recent results in this field.Key words : Hardy-Hilbert inequality ;weight coefficient;Holder inequality该文发表于全国科技核心期刊《云南民族大学学报》（自然科学版），2012年5月第三期第197-201页。
一个推广的Hardy—Hilbert型不等式
・ ２ ・
广 东 第 二 师 范 学 院 学 报
第３ ５ 卷
（ １ ）的 对 偶 形 式 ：
（ ∑ｒ ｔ ｑ － ２ ６ ： ） 寺 ．
２ ０ ０ ９～ ２ ０ １ １ 年， 杨 在专著 ［ ５ — ６ ］中系统论 述 了引入 参 量 的 、 离 散 的 Ｈｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 型不 等式 理论 ． ∑ 一
ｒ∞ １
Ｂ （ 一 Ｊ 。 卉 ｔ ｕ － １ ｄ ＞ Ｏ ） ・
当 ａ— 一 １ ， 一 ， 。 一 时， 式（ ３ ） 变 为式 （ １ ） ； 当 ａ— 一 １ ， 一１
ｑ Ｐ
， 一 一
（ ４ ）
１时
，
Ｐ
ｑ
式（ ３ ）变 为 如 下 式
∑
及
以
坍
㈦
㈩
（ ８ ）
（ ９ ）
则有 如下 不等式 ：
６ ∈ Ｎ； ∞。 （ ２ ， ｍ ）＜ 是 （ １ ） （ ｍ ０＜ ２ ≤ １ ， ｌ ＞ ０ ） ，
西 （ Ｉ ， ）＜ 点 。 （ １ ） （ Ｅ Ｎ； ０＜ ｌ≤ １ ， ２＞ ０ ） ． ｐLeabharlann 、，一 ∑
一
设｛ ｝ 一 ， ｛ ｖ ｝ ： 为 正数 列， Ｕ ＝∑ ， Ｖ 一∑ Ｖ ， 则 有如 下式（ １ ） 的 推广式（ 在［ ２ ］ ， 定 理３ ２ １ 中，
ｉ ＝ １ Ｊ＝ １
置 换
ｎ ， ｖ ｂ 为 ａ ， ｂ ） ：
＋ 一 ａ， ａ ， ｂ ≥ ０ ， ０
ｂ ： ＜ ∞， 则有如下不等式 ：
＿ （ ＋ ） ＜ ｏ Ｂ（ ， ） ｆ 一 ａ ａ （ ３）
这里 ， 常数 因子 Ｂ（ ， ）是最 佳值 ， Ｂ（ 甜， ）为如下 ｂ 。 ｔ ａ函数 ［ ］
关于Hardy-Hilbert不等式的一种新改进
关于Hardy-Hilbert不等式的一种新改进贺乐平;高明哲【摘要】研究了带参数的Hardy-Hilbert型不等式,利用加强的H(o)lder's不等式对Hardy-Hilbert不等式作了改进,建立了一些新的不等式.【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》【年(卷),期】2008(024)001【总页数】6页(P91-96)【关键词】Hatdy-Hilbert不等式;H(o)lder不等式;权函数;β函数.【作者】贺乐平;高明哲【作者单位】吉首大学数学与计算机科学学院,湖南,吉首,416000;吉首大学师范学院数学与计算机科学系,湖南,吉首,416000【正文语种】中文【中图分类】O178本文的目的是对文[1-2]中的已推广的Hardy-Hilbert型不等式作进一步的改进,从而得到一些新的不等式.为方便起见,我们先介绍一些符号为方便起见,我们再引入一些符号通过简单计算可知,当p=q=2时,不等式(20)即为不等式(*),因此,不等式(17)和(20)都是不等式(*)推广.【相关文献】[1]Gao Mingzhe,Tan Li,Debnath L.Some Improvements on Hilbert’s Integral Inequality[J].J.Math.Anal. Appl.,1999,229:682-689．[2]杨必成.一个推广的Hardy-Hilbert不等式[J].数学年刊:A辑,2002,23(2):247-254.[3]He Leping,Gao Mingzhe,Wei Shangrong.A note on Hilbert’sinequality[J].Mathematical Inequalities& Applications,2003,6(2):283-288.[4]He Leping,Jia weijian,Gao Mingzhe.A Hardy-Hilbert’s type inequality with gamma function and its applications[J].Integral Transforms and Special Functions,2006,17(5):355-363.[5]杨乔顺,高明哲.Hardy-Hilbert积分不等式的一个新推广及其应用[J].纯粹数学与应用数学,2005,21(1):91-98.。
关于P=7的Hardy不等式的一个加强改进
关于P=7的Hardy不等式的一个加强改进
赵利彬
【期刊名称】《佳木斯大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2009(027)005
【摘要】著名的英国数学家Hardy,证明了Hardy不等式对于任意的P存在着最佳常数(pp-1)p.之后,有许多学者对其进行了进一步的研究.近年来也有不少学者给出了P为某个定值时的加强改进.本文将给出P=7时,Hardy不等式的一个加强改进.
【总页数】4页(P788-790,796)
【作者】赵利彬
【作者单位】闽江学院数学系,福建,福州,350108
【正文语种】中文
【中图分类】O178
【相关文献】
1.p=5的Hardy不等式的一个加强改进 [J], 隆建军
2.p=3的Hardy不等式的一个加强改进 [J], 罗健英
3.对偶形式的Hardy不等式的加强改进 [J], 黄启亮;杨必成
4.关于p=3/2的Hardy不等式的一个加强改进 [J], 黄启亮
5.具有一个导函数的Hardy-Hilbert型积分不等式 [J], 辛冬梅;杨必成;闫志来因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
p=5的Hardy不等式的一个加强改进
p=5的Hardy不等式的一个加强改进
隆建军
【期刊名称】《荆楚学刊》
【年(卷),期】2005(006)005
【摘要】对p=5的Hardy不等式,建立如下的加强不等式
∞∑n=1(1/nn∑k=1ak)5＜(5/4)5∞∑n=1(1-
1/(5n4/5)/2+0.625+1/(5n4/5)3+5(n4/5)2/24an5其中an≥0(n∈N),0＜
∞∑n=1an5＜∞
【总页数】3页(P11-13)
【作者】隆建军
【作者单位】西昌学院,数理系,四川,西昌,615022
【正文语种】中文
【中图分类】O171
【相关文献】
1.p=3的Hardy不等式的一个加强改进 [J], 罗健英
2.对偶形式的Hardy不等式的加强改进 [J], 黄启亮;杨必成
3.关于p=3/2的Hardy不等式的一个加强改进 [J], 黄启亮
4.关于P=7的Hardy不等式的一个加强改进 [J], 赵利彬
5.具有一个导函数的Hardy-Hilbert型积分不等式 [J], 辛冬梅;杨必成;闫志来因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
对偶形式的Hardy不等式的加强改进
对偶形式的Hardy不等式的加强改进
黄启亮;杨必成
【期刊名称】《数学杂志》
【年(卷),期】2005(025)003
【摘要】对p＞1的对偶形式的Hardy不等式,采用权系数的方法,建立一个联系正实轴上Riemann-ζ函数的加强不等式.
【总页数】5页(P307-311)
【作者】黄启亮;杨必成
【作者单位】广东教育学院数学系,广东,广州,510310;广东教育学院数学系,广东,广州,510310
【正文语种】中文
【中图分类】O178
【相关文献】
1.p=5的Hardy不等式的一个加强改进 [J], 隆建军
2.p=3的Hardy不等式的一个加强改进 [J], 罗健英
3.带参数的对偶Hardy-Hilbert型不等式的改进 [J], 尚小舟;王文杰;贺乐平
4.关于p=3/2的Hardy不等式的一个加强改进 [J], 黄启亮
5.关于P=7的Hardy不等式的一个加强改进 [J], 赵利彬
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关于p=3／2的Hardy不等式的改进
关于p=3／2的Hardy不等式的改进
黄银珠;何灯
【期刊名称】《汕头大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2012(027)003
【摘要】本文对Hardy不等式的加强式进行探讨，通过对P=3／2的权系数进行估计，建立了一个Hardy不等式的加强式，所得系数为最佳．%An improvement on Hardy＇s inequality is discussed. In estimation the weight coefficient （p = 3/2）, an improvement on Hardy＇s inequality is made and the coefficient is shown to be optimal.
【总页数】8页(P15-22)
【作者】黄银珠;何灯
【作者单位】长乐华侨中学,福建长乐350200;福清港头中学,福建福清350317【正文语种】中文
【中图分类】O178
【相关文献】
1.Hardy - Hilbert不等式一个新的改进 [J], 隆建军;杨厚学
2.含多参数的Hardy-Hilbert不等式的改进 [J], 聂彩云
3.关于一个Hardy-Hilbert型不等式的改进与推广 [J], 罗静;隆建军
4.关于p=3的Hardy不等式的一个改进 [J], 何灯
5.Hardy-Riesz型二重级数不等式的一种改进 [J], 吴牮;吴德昭
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ｌ ０
汕头大学学报 （ 自然科学版 ）
第２ ８卷
耋 茎 南 ＜ ｛ ［ ４ 一
ＶＯ１ ． ２ ８ ＮＯ ． ４
文章编号 ：１ ０ ０ １ — ４ ２ １ ７ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ４ — ０ ０ ０ ９． ０ ６
一
个Ｈ ａ ｒ ｄ ｙ — Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 型不等式 的加强
隆 建 军
（ 攀枝花市大河 中学 ，四川 攀枝花 ６ １ ７ ０ ６ １ ）
引理 １ ． ２ ｌ ｌ ５ 设ｒ ＞ｌ ， ∈（ ０ ， ∞） ，则 函数 ：
＝ ＋
（ ｆ ） ｄ ｌ ＇
（ ７ ）
１ ＋
ｒ
） 七 （ ＋
） 寿ｄ ｔ
在（ ０ ， ∞） 是严 格递 增 的．
引理 １ ． ３ 设 ｒ ＞１ ，ｎ∈／ ｖ则有下 列权 系数不 等式 成 立 ：
近 年来 得到 了一 些优 秀 的结论 ０ 】 ．
２ ０ ０ ０ 年 ，匡继 昌在文献［ １ １ ］ 中巧用权系数的方法 ，给出（ ２ ） 式 的如下加强式 ：
ｍ Ｚ ｃ ￣Leabharlann ｂ… ＜ｍ
｛ ［ ｐ ｇ － Ｇ （
｛ ｎ ∑ ＝ ｌ ［ ｐ ｇ ＿ Ｇ （ ） 】 ６ ：
（ ６ ）
（ 。 。 ） ＝ｏ （ ｉ ＝１ ， ２ ， …，
５ ） ， 在 （ ６ ） 式 中 ， 令ｎ 一∞ ， 则 有Ｊ （ ￡ ） （ ｔ ） ｄ ｔ ＝ ＿ ／ （ ｍ ） （ ０ ＜ ｓ ＜ １ ） ， 且
㈩＝ 』 ｍ ｆ （ ｔ ＋ － ￣ ２ ｆ （
第 ４期
隆建军 ：一个 Ｈ ａ ｒ ｄ ｙ — Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 型不等式的加强
１ １
：
１ 一
∑㈦
『
＝ 凡
（ ２ ）
这里 ，常数 ７ ｒ ｌ ｓ ｉ ｎ （ Ｔ ｒ ／ ｐ ） 与Ｐ ｑ 都是最佳值Ⅲ．（ １ ） 式称为 Ｈ ａ ｒ ｄ ｙ — Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 不等式 ， （ ２ ） 式称为 Ｈ ａ ｒ ｄ ｙ — Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 型不等式 ，它在分析学中都有着重要 的作用 ，关于（ １ ） 的加强改进和推广 ，
本文 主要 利用 Ｅ ｕ ｌ ｅ ｒ — Ｍａ ｅ ｌ ａ ｕ ｒ ｉ ｎ求 和公 式 和 Ｐ － 级 数求 和 公式 ㈣ 改 进权 系 数 ，求 出一 个较 精确 的权 系数不 等式 ，从 而建立 了 （ ２ ） 式新 的加 强不 等式 ，且 比（ ５ ） 更 加精 确 ．而且 本 文结论 和文献 ［ １ ５ ］ 的主要 结论 没有 强弱之 分 ．
１ 几 个 引 理
引理 １ ． １ 设 ｍ，凡∈Ｎ，凡＞ ｍ， ｆ（ ｘ ） 在（ ０ ， ＋ ∞） 可导 ，则 ：
∑ Ｉ 厂 （ ） ： ｆ ｎ ｌ 厂 （ ） ｄ ｔ ＋ — （ ｍ ） ＋ ） ） ＋ ｆ ｎ （ ） ＿ 厂 （ ￡ ） ｄ ｔ ，
式 中 ，Ｂ ｌ （ ） ＝￡ 一［ 小一 为 一阶 Ｂ ｅ ｒ ｎ ｏ ｕ ｌ ｌ ｉ 函数 ．若 （ ） ＞０ ，
２ ０ １ ３年 １ １月
ＮＯ Ｖ ． ２ ０１ ３
汕 头 大 学学 报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｈ ａ ｎ ｔ ｏ ｕ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
第２ ８卷
第 ４期
南
证明 ：∞（ Ⅲ ） ＝
＝
＜ 一
： ｌ （ ＼ ） ， ｉ ＝ ／ ｝ ＋ ： ｎ ＋ ｌ ＼ （ ） ／ ｝
ｎ
一
专 ，
ｒ ｔ ｌ － 荟 一 ｎ ＋ ，
（ １ ０ ）
其 中
ｒ ２
由引理 １ ． １中的（ ６ ） 和（ ７ ） 式 ，可得
文献 标 识 码 ：Ａ
０ 引 言
设ｐ ＞ １ ， Ｐ ＋ ｑ ＝ １ ， ， ６ ≥０ （ ｎ ∈ Ⅳ ） ， 若０ ＜ ∑口 ： ＜ ∞ ， ０ ＜ ∑６ ： ＜ ∞ ， 则有
＜ 两
向 ， （ 。 ： （ ∑６
ｎ
（ １ ）
＝ ｌ
＜ Ｐ ｑ （ Ｚ ａ ］ ） （ ６ 向 ，
（ ３ ）
其中， Ｇ ｃ ， ｎ ， ： 二
＞ 。 ｃ ， ： ｐ ， ｇ ，当 ｐ：ｇ：２时 ，得至 ｕ ｃ ３ ， 式 的特 殊情 况 ：
收 稿 日期 ：２ ０ １ ３— ０ ４— ２ ８
作者简介 ：隆建军 （ １ ９ ８ １ 一 ） ， 男 ，四川省安岳县人 ，中学二级教师 ，研究方向 ：中学数学教学与解析不等式
摘
要 ：给 出如下形式的权系数的估计 式 ：
） ＝ 南
中 图分 类 号 ：Ｏ １ ７ ８
÷ ＜ 一 音七（ ｒ ＞ ∈ Ⅳ ）
凡
得到一个 Ｈａ ｒ ｄ ｙ — Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 型不等式 的一个新的改进形式．推广和发展 了一些作者近期的结果
关键词 ：Ｅ ｕ ｌ ｅ ｒ － Ｍａ ｃ ｌ ａ ｕ ｒ ｉ ｎ求和公式 ；Ｈ ａ ｒ ｄ ｙ — Ｈｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ 型不等式 ；Ｈｏ ｌ ｄ ｅ ｒ 不等式 ；权 系数
＜
［ ４ 一
） ｝ ，
（ ５ ）
２ ０ ０ ６年 ，黄启 亮在 文献 ［ １ ２ ］ 中给 出（ ４ ） 的一个如 下改 进式 ：
｛ ［ ４ 一 — ０ ［ ４ 一 ］ ６ ） ｝ ，
其 中 ， ０ ＝ ４ 一 （ 手） ＝ １ ． ３ ８ ７ ６ （ （ ） 为Ｒ ｉ ｅ ｍ ａ ｎ ｎ － （ 函 数 ） ．