【精品】2019高考数学文一轮分层演练：第4章三角函数与解三角形第7讲

一、选择题

1.两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )

A ．北偏东10°

B ．北偏西10°

C ．南偏东80°

D ．南偏西80°

解析：选D.由条件及题图可知，∠A ＝∠B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.

2．已知A 、B 两地间的距离为10 km ，B 、C 两地间的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地间的距离为( )

A ．10 km

B ．10 3 km

C ．10 5 km

D ．107 km

解析：选D.如图所示，由余弦定理可得：

AC 2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，

所以AC ＝107(km)．

3. 如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角∠CAD 等于( )

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．75°

解析：选B.依题意可得AD ＝2010 m ，AC ＝30 5 m ，又CD ＝50 m ，所以在△ACD 中，由余弦定理得

cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 2

2AC ·AD

＝（305）2＋（2010）2－502

2×305×2010＝ 6 0006 0002＝22

， 又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.

4. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )

A ．8 km/h

B ．6 2 km/h

C ．234 km/h

D ．10 km/h

解析：选B.设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意

知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫110v 2＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫110×22＋12－2×110×2×1×45

，解得v ＝6 2. 5．一个大型喷水池的中央有一个强大的喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )

A ．50 m

B ．100 m

C ．120 m

D ．150 m

解析：选A.设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB

＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋

50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.

6．(2018·江西联考)某位居民站在离地20 m 高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60°，小高层底部的俯角为45°，那么这栋小高层的高度为( )

A ．20⎝

⎛⎭⎪⎫1＋33m B ．20(1＋3)m C ．10(2＋6)m D ．20(2＋6)m

解析：选B.如图，设AB 为阳台的高度，CD 为小高层的高度，AE 为水平线．由题意知AB ＝20 m ，∠DAE ＝45°，∠CAE ＝60°，故DE ＝20 m ，CE ＝203m.所以CD ＝20(1＋3)m.故选B.

二、填空题

7.如图所示，一艘海轮从A 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B 处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C 处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分．

解析：由已知得∠ACB ＝45°，∠B ＝60°，由正弦定理得AC sin B ＝AB sin ∠ACB

，所以AC ＝AB ·sin B sin ∠ACB ＝20×sin 60°sin 45°＝106，所以海轮航行的速度为10630＝63

(海里/分)． 答案：63

8.(2018·河南调研)如图，在山底测得山顶仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为________米．

解析：由题图知∠BAS ＝45°－30°＝15°，∠ABS ＝45°－15°＝30°，所以∠ASB

＝135°，在△ABS 中，由正弦定理可得 1 000sin 30°＝AB sin 135°

，所以AB ＝1 0002，所以BC ＝AB

2

＝1 000. 答案：1 000

9．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和

60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.

解析：如图，OM ＝AO tan 45°＝30(m)，

ON ＝AO tan 30°＝33

×30＝103(m)， 在△MON 中，由余弦定理得，MN ＝ 900＋300－2×30×103×32 ＝300＝103(m)．

答案：10 3

10．(2018·福州综合质量检测)在距离塔底分别为80 m ，160 m ，240 m 的同一水平面上的A ，B ，C 处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为________m.

解析：设塔高为h m ，依题意得，tan α＝h 80，tan β＝h 160，tan γ＝h 240

.因为α＋β＋γ＝90°，所以tan(α＋β)tan γ＝tan(90°－γ)tan γ＝sin （90°－γ）sin γcos （90°－γ）cos γ＝cos γsin γsin γcos γ＝1，所以tan α＋tan β1－tan αtan β

·tan γ＝1，所以h 80＋h

1601－h 80·h 160

·h

240＝1，解得h ＝80，所以塔高为80 m. 答案：80

三、解答题

11.如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．