初二数学经典动点问题

初二数学经典动点问题
1、在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，
AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm。

动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向B 以3cm/s的速度运动。

P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为t秒。

1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？
2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？
3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？
2、在△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于点E。

1）试说明EO=FO；
2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；
3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△XXX的形状并证明你的结论。

3、在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm。

点M从点A开始，沿边AD向点D运动，速度为1cm/s；点N从点C开始，沿边CB向点B运动，
速度为2cm/s。

点M、N分别从点A、C出发，当其中一点到
达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒。

1）当t为何值时，四边形MNCD是平行四边形？
2）当t为何值时，四边形MNCD是等腰梯形？
4、在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时
运动。

当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止。

已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x/2 cm。

1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边
（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；
2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平
行四边形；
3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如
果能，求x的值；如果不能，请说明理由。

5、直线y=- 34x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止。

点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O⇒B⇒A运动。

1）直接写出A、B两点的坐标。

1、在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=14cm，AD=18cm，BC=21cm。

点P从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点
Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动。

设移动时间
为t秒。

求S与t之间的函数关系式。

设点Q运动时间为t（秒），则点P的运动时间为t+3（秒），因为AD=18，所以点P的坐标为（0，18+t），点Q
的坐标为（21-2t，0），点B的坐标为（21，0）。

连接PB、PA、QC，可以得到△PAB和△QBC，它们的底边分别为14
和21-2t，高均为18+t，所以它们的面积分别为7(18+t)和(21-
2t)(18+t)。

因此，△XXX的面积S为：
S = △OAB+△QBC-△OPB-△OPQ
7(18+t)+(21-2t)(18+t)-14(18+t)-1/2(21-2t)(18+t)
36t-1/2t^2
因此，S与t之间的函数关系式为S=36t-1/2t^2.
当S=485时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、
Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标。

将S=36t-1/2t^2=485带入得到t=17或t=19.因为点P从A
开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，所以当t=17时，点P的
坐标为（0，35），当t=19时，点P的坐标为（0，37）。

当t=17时，点Q的坐标为（21-2×17，0）=(-13,0)。

因此，以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标为（-13,35）。

当t=19时，点Q的坐标为（21-2×19，0）=(-17,0)。

因此，以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标为（-17,37）。

2、如图2，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为。

根据三角不等式，有XXX。

当点N在AC的中点时，
DN+MN=1，此时XXX取得最小值。

3、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过
点C，且AD⊥XXX于D，BE⊥XXX于E。

1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；
当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，如下图所示：
因为AC=BC，所以∠XXX∠CBA，∠CAD=∠CBD，因
此△ADC和△CEB的两个锐角分别相等，且∠ADC=∠CEB，所以△ADC≌△CEB。

因为AD⊥XXX，BE⊥XXX，所以∠ADM=∠BEM=90°，因此四边形ADME是一个矩形，所以DE=AM。

又因为
△ACM和△BCM相似，所以AM/AC=AC/CM，即
AM=AC^2/CM=BC^2/CM=BC^2/2CD，因此
DE=AM=BC^2/2CD=AD+BE。

2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：
DE=AD-BE；
当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，如下图所示：
因为AC=BC，所以∠XXX∠CBA，∠CAD=∠CBD，因
此△ADC和△CEB的两个锐角分别相等，且∠ADC=∠CEB，所以△ADC≌△CEB。

因为AD⊥XXX，BE⊥XXX，所以∠ADM=∠BEM=90°，因此四边形ADME是一个矩形，所以DE=AM。

又因为
△ACM和△BCM相似，所以AM/AC=AC/CM，即
AM=AC^2/CM=BC^2/CM=BC^2/2CD，因此
DE=AM=BC^2/2CD=AD-BE。

3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。

当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，如下图所示：
因为AC=BC，所以∠XXX∠CBA，∠CAD=∠CBD，因
此△ADC和△CEB的两个锐角分别相等，且∠ADC=∠CEB，所以△ADC≌△CEB。

因为AD⊥XXX，BE⊥XXX，所以∠ADM=∠BEM=90°，因此四边形ADME是一个矩形，所以DE=AM。

又因为
△ACM和△BCM相似，所以AM/AC=AC/CM，即
AM=AC^2/CM=BC^2/CM=BC^2/2CD，因此
DE=AM=BC^2/2CD。

因为AC=BC，所以△ABC是等腰直角三角形，因此
AD=BD=AB/√2=10/√2，BE=CE=BC/√2=7/√2.因此，
DE=BC^2/2CD=49/CD，AD=10/√2，BE=7/√2.
因此，XXX(10√2)、DE/BE=49/(7√2)，因此
DE^2=AD×BE×49/2，即DE^2=245/2，所以DE=7√(5/2)。

因此，DE、AD、BE满足DE^2=AD×BE×49/2，即它们具有等量关系。

4、如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点。

1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点
运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动。

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
当点Q的运动速度与点P的运动速度相等时，它们的速
度均为3cm/s，经过1秒后，点P到达D点，点Q到达A点，因此△BPD和△CQP的底边均为8厘米，高均为6厘米，因
此它们的面积相等，即△BPD≌△CQP。

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q
的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
当点Q的运动速度为6cm/s时，它们的速度比为2:1，经
过2秒后，点P到达D点，点Q到达A点，此时△BPD和
△CQP的底边均为8厘米，高均为6厘米，因此它们的面积
相等，即△BPD≌△CQP。

2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的
运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求
经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
点Q的速度为6cm/s，点C到A的距离为10厘米，因此
点Q从C到A需要的时间为10/6秒。

点P的速度为3cm/s，点B到C的距离为8厘米，因此点
P从B到C需要的时间为8/3秒。

因此，点Q从C到A的时间为10/6秒，点P从B到C的时间为8/3秒，它们的时间之和为（10/6+8/3）秒=2秒。

因此，点P和点Q在△XXX的边BC上相遇，相遇点为
D点。

5、如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合。

1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；
如下图所示，连接AE、AF、BF、CE、CF、DE。

因为ABCD是菱形，所以AD=BC=4，∠BAD=120°，因
此△ABD是等边三角形，所以BD=4.
因为△AEF是正三角形，所以AE=EF=FA=4，因此
△AEF是等边三角形。

因为AE=FA=4，所以∠EAF=60°，因此∠BAF=∠BAD-∠EAF=60°，因此△ABF是等边三角形，所以BF=4.
因为ABCD是菱形，所以∠ACB=∠BCD=60°，因此
△BCD是等边三角形，所以CD=4.
因为ABCD是菱形，所以∠ADB=∠BDC=60°，因此
△ADB和△BDC是等腰三角形，所以AD=BD=CD=4.
因为AE=4，所以∠AEB=∠AED=60°，所以四边形ABED是一个圆形，所以∠EAB=∠EDB=30°，因此
∠XXX∠BCD-∠BCF=60°-30°=30°，因此△FCD是等腰三角形，所以CF=CD=4.
因此，BE=BD-DE=4-CE=CF。

因此，不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF。

当点E、F在线段BC和CD上滑动时，我们需要分别探讨四边形AECF和三角形CEF的面积是否会发生变化。

如果它们的面积不会发生变化，我们需要求出这个固定值；如果会发生变化，我们需要求出最大或最小值。

首先，我们来看四边形AECF。

当点E、F在BC、CD上滑动时，四边形AECF的面积会发生变化。

我们需要求出它的最大或最小值。

接下来，我们来看三角形CEF。

同样地，当点E、F在BC、CD上滑动时，三角形CEF的面积也会发生变化。

我们需要求出它的最大或最小值。

在求解过程中，我们可以利用几何知识和数学方法来进行推导和计算。

最终得到的结果可以帮助我们更好地理解和应用几何知识。