《建筑制图与识图》第3章

3.2.3 曲面立体表面上点的投影
1．利用曲面投影的积聚性
例3-2 如图（a）所示，已知圆柱体表面上一点A的V面投影。 求点A的H面、W面投影。
3.2.3 曲面立体表面上点的投影
分析与作图： 因圆柱的轴线垂直于H面，故圆柱的水平投影有积聚性，又 因a′可见，表明点A位于圆柱的前半个表面上，因此过a′向下投 影，在圆柱水平投影的前半圆周上得点A的水平投影a。由a，a′ 可求出a″，如图3-9（b）所示。因a′位于V投影对称轴的右侧， 故a″为不可见，A点在圆柱体上的位置如图3-9（c）所示。
3.3.1 截切体
因为立体的形状都不一样，截平面与立体表面的相对位置 也各不相同，由此产生的截交线形状也千差万别，但所有的截交 线都具有以下基本性质：
① 共有性。截交线是截平面与立体表面的共有线，既在截 平面上，又在立体表面上，是截平面与立体表面共有点的集合。
② 封闭性。由于立体表面是有范围的，所以截交线一般是 封闭的平面图形。
第3章 立体的投影
目录
3.1
平面立体
曲面立体
3.2
3.3
截切体和相贯体
组合体
3.4
3.1 平面立体
3.1.1 常见平面立体的投影图
平面立体
3.1.2 平面立体的投影图的绘制
3.1.3 平面立体表面上点和直线的投影
3.1.1 常见平面立体的投影
3.1.1 常见平面立体的投影
3.1.1 常见平面立体的投影
3.1.2 平面立体图的绘制
绘制平面立体的三面投影图，首先要按正确位置将 形体放入三面投影体系中，让形体的表面和棱线与投影 面尽量平行或垂直。
绘制平面体的投影图实际上就是绘制平面体底面和 侧表面的投影，一般先画出反映底面实形的正投影图， 然后再根据投影规律画出其他两个投影。
3.1.2 平面立体图的绘制
3.3.1 截切体
例3-5 求作圆柱体的截交线的投影，如图所示。
3.3.1 截切体
分析与作图： 圆柱体被正垂面截切，截切线是椭圆曲线。截切线的作法如下： ① 先绘制形体三面投影的外轮廓线，然后作出截平面位置的投 影图，如图所示。
3.3.1 截切体
② 取截切线上A，B，C，D（长、短轴端点）4个特殊点， 并求出4个点的三面投影，如左图所示。
3.2 曲面立体
3.2.1 常见曲面立体的投影图
曲面立体 3.2.2 曲面立体投影图的绘制
3.2.3 曲面立体表面上点的投影
3.2.1 常见曲面立体的投影图
3.2.1 常见曲面立体的投影图
3.2.2 曲面立体投影图的绘制
1．圆柱体投影图
（1）选择投影位置 如图（a）所示，将圆柱体立放在三面投影体系中，使上、下 底面平行于H面，圆柱面垂直于H面。 （2）投影分析 H面投影 V面投影 W面投影
（a）
3.2.2 曲面立体投影图的绘制
（3）作图步骤 先作H面投影，如图（b）所示。 根据“长对正”的投影规律和圆柱的高作出V面投影，它们是由上 下底面的积聚投影和最左、最右轮廓素线围成的矩形，如图（c）所示。 根据“高平齐、宽相等”的投影规律作出W面投影，它们是由上下 底面的积聚投影和最前、最后轮廓素线围成的矩形，如图（d）所示。
3.2.3 曲面立体表面上点的投影
分析与作图： ① 如图3-11所示，过点A作纬圆。因纬圆平行于H面，所以 其在V面上的投影为一条平行于OX轴的直线，过a′作一条水平线 1′2′，1′2′即为过点A的水平纬圆的V面投影。 ② 以1′2′为直径，在H面上画出纬圆的水平投影。 ③ 过a′在纬圆的水平投影上得出a，再由a′和a求得a″。
3.3 截切体和相贯体
3.3.1 截切体
截切体 和相贯体
3.3.2 相贯体
3.3.3 截切体和相贯体的尺寸标注
3.3.1 截切体
1．截切体的有关概念及性质
如图所示，被平面截割后的形体，称为截切体。截割形体 的平面，称为截平面。截平面与形体表面的交线，称为截交线。 截交线所围成的平面图形，称为截面。
1．棱柱体的投影图
（1）棱柱体的形成
棱柱体是由两个底面和几个侧棱面组成，且底面垂直于侧棱面 的平面立体。当棱柱底面为三角形、四边形、五边形、……、n边 形时，则该棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱、……、n棱柱。当 棱柱底面为正n边形时，称为正n棱柱。
棱柱体的特点
上、下底面平行且相等； 各棱线平行且相等； 底面的边数＝侧棱面数＝侧棱线数； 表面总数＝底面边数＋2。
相贯线的形状取决于两相交立体的形状、大小及其相对位置。两回转体 相交得到的相贯线，具有以下性质：
① 相贯线是相交两立体表面共有的线，是两立体表面一系列共有点的 集合，同时也是两立体表面的分界点。
② 由于立体占有一定的空间，所以相贯线一般是封闭的空间曲线。
求相贯线，实际上是求两立体表面的共有点或线。相贯线可见性的判断 原则：相贯线同时位于两个立体的可见表面上时，其投影才是可见的；否则 就不可见。
些圆称为纬圆。锥面上任一点必在其高度相同的纬圆上，用纬圆 作辅助圆来确定曲面上点的投影位置的方法称为纬圆法。
3.2.3 曲面立体表面上点的投影
分析与作图： ① 如图（b）所示，过圆锥顶S的V面投影s′与点A的V面投影a′作 一条素线s′a′与底圆交于点b′，从而得到SB的V面投影s′b′。 ② 由s′b′可求出sb。 ③ 因点A在素线SB上，故过a′向下作垂线交sb于a，由a′和a可求 得点A的侧面投影a″。
3.1.2 平面立体图的绘制
（2）棱锥体投影图的绘制 ① 选择安放位置。 如图（a）所示，将正五棱锥底面平行于H面，前底面边线垂直于W面。 ② 投影分析。 H面投影 V面投影 W面投影
（a）
3.1.2 平面立体图的绘制
③ 作图步骤。 在H面上画出反映底面实形的正五边形，5条侧棱的交点s是正五 边形的中心，如图（b）所示。 根据“长对正”的投影规律和正五棱锥的高画出V面的投影，其 中侧棱s′d′是不可见的，应画成虚线，如图（c）所示。 根据“高平齐、宽相等”的投影规律画出W面的投影，其中侧表 面s″a″（b″）积聚为一直线，应加粗图线，如图（d）所示。
3.2.3 曲面立体表面上点的投影
2．素线法和纬圆法
例3-3 已知圆锥表面上一点A的V面投影a′，求其水平投影a 及侧面投影a″。
方法一：素线法 素线法就是过给定点和锥顶在锥面上作一条素线为辅助线，
利用点、线的从属关系，得出点的其余投影的方法。
方法二：纬圆法 假想沿平行于圆锥的底面方向切割圆锥，可形成许多圆，这
③ 取AD，DB，BC，CA4条线段的中间点H，F，E，G， 并求H，F，E，G4个点的三面投影，最后擦去多余图线，依次 光滑连接各点，即得到截切线的投影，如右图所示。
3.3.2 相贯体
1．相贯体的有关概念及性质
两立体相交得到的新立体称为相贯体，两立体因相交表面产生的交线称 为相贯线。立体相贯的形式有两种：一种是全贯，即一个立体完全穿过另一 个立体，相贯线有两组；另一种是互贯，两个立体各有一部分参与互贯，相 贯线只有一组。
（b）
（c）
（d）
3.2.2 曲面立体投影图的绘制
3．球投影图
（1）选择投影位置 如图（a）所示，将球放在三面投影体系中，为了更好地理解球的 三面投影特点，在球上标注A，B，C3个点，如图（a）所示。 （2）投影分析 3个投影均为圆，直径相等并等于球径。
3.2.2 曲面立体投影图的绘制
（3）作图步骤 作球的三面投影，如图所示。 A点的V与W面投影刚好在直径上，H面投影在圆周上；B点的H 与W面投影刚好在直径上，V面投影在圆周上；C点的H与V面投影刚 好在直径上，W面投影在圆周上，如图所示。
（b）
（c）
（d）
3.2.2 曲面立体投影图的绘制
2．圆锥体投影图
（1）选择投影位置 如图（a）所示，将圆锥体立放在三面投影体系中，使下底面平行 于H面。 （2）投影分析 H面投影 V面投影 W面投影
（a）
3.2.2 曲面立体投影图的绘制
（3）作图步骤 先作H面投影面，如图（b）所示。 根据“长对正”的投影规律和圆锥体的高作出V面投影，它们是由下 底面的积聚投影和最左、最右轮廓素线围成的等腰三角形，如图（c）所示。 根据“高平齐、宽相等”的投影规律作出W面投影，它们是由下底面 的积聚投影和最前、最后轮廓素线围成的等腰三角形，如图（d）所示。
求截交线，就是求出截平面与立体表面的一系列共有点， 然后依次连接即可。
3.3.1 截切体
2．平面截切体
用截平面截切平面立体得到的截切体，叫平面截切体。 因为平面立体的表面由若干平面围成，所以平面与平面立 体相交时的截交线是一个封闭的平面多边形，多边形的顶点是平 面立体的棱线与截平面的交点，多边形的每条边是平面立体的棱 面与截平面的交线。因此求作平面立体上的截交线，可以归纳为 两种方法： ① 交点法：即先求出平面立体的各棱线与截平面的交点， 然后将各点依次连接起来，即得截交线。 ② 交线法：即求出平面立体的各表面与截平面的交线。
3.3.1 截切体
例3-4 已知六棱柱被正垂面Hale Waihona Puke 切，作出其截交线的投影，如图所示。
3.3.1 截切体
分析与作图： 六棱柱被正垂面截切，截交线是六边形，6个点是6条侧棱与 已知截平面的交点。截交线的正面和水平投影都已知，其正面投 影积聚为一条直线，水平投影则与六棱柱的水平投影重合。 根据1，2，3，4，5，6六个点的正面和水平投影，利用投影 规律，求出其侧面投影1″，2″，3″，4″，5″，6″。依次连接1″2″， 2″3″，3″4″，4″5″，5″6″，6″1″，即得截交线的投影。
（b）
（c）
（d）
3.1.3 平面立体表面上点和直线 的投影
平面立体表面上点和直线的投影，应符合平面上点和 直线的投影特点。求平面立体表面上的点和直线的投影， 实质就是求平面内点和直线的投影。
3.1.3 平面立体表面上点和直线 的投影
例3-1 已知四棱柱表面上K，L两点在V面上的投影k′，l′及M 点在H面上的投影m，求K，L，M三点在另外两个面上的投影， 如图所示。
由图（a）的投影可知，点A在左前棱面上，点B在前棱上，点C 在右前棱面上，可利用三棱柱在H面投影积聚性确定其表面上的点的 投影。过a′，b′，c′向H面分别引垂线就可得到a，b，c三点，然后可 根据已知两个点的投影求出其在W面上的投影a″，b″，c″，最后将其 同面点的投影相连即可求出，具体画法如图（b）和图（c）所示。
3.1.2 平面立体图的绘制
（2）棱柱体投影图的绘制 ① 选择安放位置。 同一形体因安放位置不同其投影也不同。为作图方便，应
将形体的表面尽量平行或垂直于投影面，如图（a）所示。 ② 投影分析。 H面投影 V面投影 W面投影
（a）
3.1.2 平面立体图的绘制
③ 作图步骤。 在H面画出反映底面实形的正六边形，如图（b）所示。 根据“长对正”的投影规律和正六棱柱的高度画出V面的投影图， 如图（c）所示。 根据“高平齐，宽相等”的投影规律画出W面上的投影图，并加 粗全图，如图（d）所示。
3.3.1 截切体
3．曲面截切体
用截平面截切曲面立体得到的截切体，叫曲面截切体。 平面与曲面立体相交，所得的截交线一般为封闭的平面曲 线。截交线上的每一点，都是截平面与曲面立体表面的共有点， 求出这些共有点，然后依次连接起来，即得截交线。截交线可以 看作截平面与曲面立体表面上交点的集合。 截交线上的一些能确定其形状和范围的点，如最高、最低 点，最左、最右点，最前、最后点，以及可见与不可见点等，都 是特殊点。作图时，通常先作出截交线上的特殊点，再按需要作 出一些中间点即可，并要注意投影的可见性。
（b）
（c）
（d）
3.1.2 平面立体图的绘制
2．棱锥体的投影图
（1）棱锥体的形成
棱锥体是底面为多边形，棱线相交于一点的平面立体。当 棱锥底面为三角形、四边形、五边形、……、n边形时，则该棱 锥称为三棱锥、四棱锥、五棱锥、……、n棱锥。当棱锥底面为 正n边形时，称为正n棱锥。
棱锥体的特点
底面为多边形； 各侧棱线相交于一点； 底面的边数＝侧棱面数＝侧棱线数； 表面总数＝底面边数＋1。
3.1.3 平面立体表面上点和直线 的投影
例3-2 已知三棱柱表面上直线AB，BC在V面上的投影a′b′， b′c′，求AB，BC在另外两个面上的投影，如图（a）所示。
3.1.3 平面立体表面上点和直线 的投影
分析与作图：
求三棱柱表面上直线AB，BC的投影，实质就是求三棱柱表面上 A，B，C三点的投影，然后将其同面点的投影相连即可。