高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 双曲线(1)练习 新人教A版高二选修1-1数学试题

2.2 双曲线（1）
A 级 基础巩固
一、选择题
1．已知M (－2,0)、N (2,0)，|PM |－|PN |＝4，则动点P 的轨迹是导学号 03624438( C )
A ．双曲线
B ．双曲线左支
C ．一条射线
D ．双曲线右支
[解析]∵|PM |－|PN |＝|MN |＝4，∴动点P 的轨迹是一条射线． 2．双曲线3x 2
－4y 2
＝－12的焦点坐标为导学号 03624439( D ) A ．(±5,0) B ．(0，±5) C ．(±7，0)
D ．(0，±7)
[解析] 双曲线3x 2
－4y 2
＝－12化为标准方程为y 23－x 2
4
＝1，∴a 2＝3，b 2＝4，c 2＝a 2
＋
b 2＝7，∴
c ＝7，
又∵焦点在y 轴上，故选D ．
3．已知方程x 21＋k －y 2
1－k ＝1表示双曲线，则k 的取值X 围是导学号 03624440( A )
A ．－1<k <1
B ．k >0
C ．k ≥0
D ．k >1或k <－1
[解析] 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1.
4．(2016·某某某某高二检测)已知双曲线2mx 2
－my ＝4的一个焦点为(0，6)，则m 的值为导学号 03624441( B )
A ．1
B ．－1
C ．
7
3
D ．－
73
[解析] 将双曲线方程化为x 22m
－y 24
m
＝1.因为一个焦点是(0，6)，所以焦点在y 轴上，
所以c ＝6，a 2＝－4m ，b 2＝－2m ，所以a 2＋b 2＝－4m －2m ＝－6k
＝c 2
＝6.所以m ＝－1.
5．双曲线x 210－y 2
2
＝1的焦距为导学号 03624442( D )
A ．3 2
B ．4 2
C ．3 3
D ．4 3
[解析] 由双曲线的标准方程，知a 2
＝10，b 2
＝2，则c 2
＝a 2
＋b 2
＝10＋2＝12，因此2c ＝43，故选D ．
6．(2015·某某理)若双曲线E ：x 29－y 2
16
＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线
E 上，且|P
F 1|＝3，则|PF 2|等于导学号 03624443( B )
A ．11
B ．9
C ．5
D ．3
[解析] 由题，|||PF 1|－|PF 2|＝2a ＝6， 即||3－|PF 2|＝2a ＝6，解得|PF 2|＝9. 二、填空题
7．已知双曲线C ：x 29－y 2
16＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C 右支上的一点，且|PF 2|
＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于__48__.导学号 03624444
[解析] 依题意得|PF 2|＝|F 1F 2|＝10，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝16.
∴S △PF 1F 2＝1
2
×16×
102
－
162
2
＝48.
8．已知双曲线x 225－y 2
9＝1的两个焦点分别为F 1、F 2，若双曲线上的点P 到点F 1的距离为
12，则点P 到点F 2的距离为__2或22__.导学号 03624445
[解析] 设F 1为左焦点，F 2为右焦点，当点P 在双曲线左支上时，|PF 2|－|PF 1|＝10，|PF 2|＝22；
当点P 在双曲线右支上时， |PF 1|－|PF 2|＝10，|PF 2|＝2. 三、解答题
9．求满足下列条件的双曲线的标准方程.导学号 03624446 (1)焦点在x 轴上，c ＝6且经过点(－5,2)； (2)过P (3，154)和Q (－16
3
，5)两点．
[解析] (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
25a 2－4
b
2＝1a 2＋b 2＝6
，
解之得a 2
＝5，b 2
＝1， 故所求双曲线方程为x 2
5
－y 2
＝1.
(2)设双曲线方程为Ax 2
＋By 2
＝1(AB <0)，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧
9A ＋22516B ＝12569A ＋25B ＝1
，解之得⎩⎪⎨⎪⎧
A ＝－1
16
B ＝1
9
.
∴所求双曲线方程为y 29－x 2
16
＝1.
B 级 素养提升
一、选择题
1．已知双曲线中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在该双曲线上，线段PF 1
的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是导学号 03624447( B )
A ．x 2
4－y 2
＝1
B ．x 2
－y 2
4＝1
C ．x 22－y 23
＝1
D ．x 23－y 2
2
＝1
[解析] 由条件知P (5，4)在双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1上，
∴5a 2－16
b
2＝1，
又a
2
＋b 2
＝5，∴⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2
＝1b 2
＝4
，故选B ．
2．(2017·全国Ⅰ文，5)已知F 是双曲线C ：x 2
－y 2
3＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF
与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为导学号 03624448( D )
A ．13
B ．12
C ．23
D ．32
[解析] 因为F 是双曲线C ：x 2
－y 2
3
＝1的右焦点，所以F (2,0)．
因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )． 因为P 是C 上一点，所以4－y 2P
3＝1，解得y P ＝±3，
所以P (2，±3)，|PF |＝3.
又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1， 所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝3
2.
故选D ．
3．已知m 、n 为两个不相等的非零实数，则方程mx －y ＋n ＝0与nx 2
＋my 2
＝mn 所表示的曲线可能是导学号 03624449( C )
[解析] 把直线方程和曲线方程分别化为y ＝mx ＋n ，x 2m ＋y 2
n
＝1.根据图形中直线的位
置，判定斜率m 和截距n 的正负，从而断定曲线的形状．
4．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，线段AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是导学号 03624450( D )
A ．16
B ．18
C ．21
D ．26
[解析] |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8， ∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，
∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26. 5．若方程
x 2m －1
＋
y 2m 2－4
＝3表示焦点在y 轴上的双曲线，则m 的取值X 围是
导学号 03624451( C )
A ．(－∞，1)
B ．(2，＋∞)
C ．(－∞，－2)
D ．(－2,1)
[解析] 由题意，方程可化为
y 2
m 2－4－
x 2
1－m
＝3，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
m 2
－4>01－m >0
，解得m <－2.故选C ．
二、填空题
6．(2016·某某某某高二检测)设双曲线与椭圆x 227＋y 2
36＝1有共同的焦点，且与椭圆相
交，有一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的方程为y 24－x 2
5
＝1 .导学号 03624452
[解析] 解法一：椭圆x 227＋y 2
36＝1的焦点坐标是(0，±3)，根据双曲线的定义，知2a
＝|
15
2
＋12
－
15
2
＋72|＝4，故a ＝2.又b 2＝c 2－a 2
＝5，故所求双曲线的方程
为y 24－x 2
5
＝1. 解法二：椭圆x 227＋y 2
36＝1的焦点坐标是(0，±3)．设双曲线方程为y 2a 2－x 2
b
2＝1(a >0，b >0)，
则a 2
＋b 2
＝9，16a 2－15b 2＝1，解得a 2＝4，b 2
＝5.故所求双曲线的方程为y 2
4－x 2
5
＝1.
解法三：设双曲线方程为
x 227－λ＋y 2
36－λ
＝1(27<λ<36)，由于双曲线过点(15，4)，
故1527－λ＋1636－λ＝1，解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)．故所求双曲线方程为y 2
4－x 2
5
＝1. 7．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2
－y 2
＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于__4__.导学号 03624453
[解析] 在△PF 1F 2中，
|F 1F 2|2
＝|PF 1|2
＋|PF 2|2
－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝(|PF 1|－|PF 2|)2
＋|PF 1|·|PF 2|， 即(22)2
＝22
＋|PF 1|·|PF 2|， 解得|PF 1|·|PF 2|＝4. 三、解答题
8．已知双曲线方程为2x 2
－y 2
＝k ，焦距为6，求k 的值.导学号 03624454 [解析] 由题意知c ＝3，若焦点在x 轴上，
则方程可化为x 2k 2
－y 2k ＝1，∴k 2
＋k ＝32
，即k ＝6.
若焦点在y 轴上，则方程可化为y 2－k －x 2
－k
2
＝1.
∴－k ＋(－k
2)＝32
，即k ＝－6.
综上，k 的值为6或－6.
C 级 能力提高
1．双曲线8kx 2
－ky 2
＝8的一个焦点坐标为(0,3)，则k 的值为__－
1__.导学号 03624455
[解析] 将双曲线的方程化为x 21k
－y 28
k
＝1，
因为双曲线的一个焦点坐标是(0,3)， 所以焦点在y 轴上，且c ＝3. 所以a 2＝－8k ，b 2
＝－1k
.
所以－8k －1
k
＝9，
解得k ＝－1.
2．当0°≤α≤180°时，方程x 2
cos α＋y 2
sin α＝1表示的曲线如何变化？导学号 03624456
[解析] (1)当α＝0°时，方程为x 2＝1，它表示两条平行直线x ＝±1. (2)当0°<α<90°时，方程为
x 21cos α＋y 2
1sin α
＝1. ①当0°<α<45°时，0<1cos α<1
sin α，它表示焦点在y 轴上的椭圆．
②当α＝45°时，它表示圆x 2
＋y 2
＝ 2.
③当45<α<90°时，1cos α>1
sin α>0，它表示焦点在x 轴上的椭圆．
(3)当α＝90°时，方程为y 2＝1，它表示两条平行直线y ＝±1. (4)当90°<α<180°时，方程为
y 21sin α－x 2
1－cos α
＝1，它表示焦点在y 轴上的双曲线．
(5)当α＝180°时，方程为x 2
＝－1，它不表示任何曲线．。