随机信号分析(第3版)习题及答案

1. 2. 3. 4. 5.
6.
有四批零件，第一批有2000个零件，其中5%是次品。

第二批有500个零件，其中40%是次品。

第三批和第四批各有1000个零件，次品约占10%。

我们随机地选择一个批次，并随机地取出一个零件。

（1） 问所选零件为次品的概率是多少？
（2） 发现次品后，它来自第二批的概率是多少？
解：（1）用i B 表示第i 批的所有零件组成的事件，用D 表示所有次品零件组成的事件。

()()()()12341
4
P B P B P B P B ====
()()()()1234100
200
0.050.42000500
100
100
0.1
0.1
10001000P D B P D B P D B P D B ===
=====
()1111
0.050.40.10.10.16254444
P D =⨯+⨯+⨯+⨯=
（2）发现次品后，它来自第二批的概率为，
()()()()
2220.250.4
0.6150.1625
P B P D B P B D P D ⨯=
=
=
7. 8.
9. 设随机试验X 的分布律为
求X 的概率密度和分布函数，并给出图形。

解：()()()()0.210.520.33f x x x x
δδδ=-+-+-
()()()()0.210.520.33F x u x u x u x =-+-+-
10.
11. 设随机变量X 的概率密度函数为()x
f x ae -=，求:(1)系数a ；（2）其分布函数。

解：（1）由
()1f x dx ∞
-∞
=⎰
()
()2x
x
x f x dx ae dx a
e dx e dx a ∞
∞
∞
---∞
-∞
-∞
==+=⎰
⎰⎰
⎰
所以1
2
a =
（2）()1()2
x
x
t
F x f t dt e dt --∞
-∞=
=⎰
⎰
所以X 的分布函数为
()1,02
11,02
x
x e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩
12.
13.
14.
X Y
求：（1）X 与Y 的联合分布函数与密度函数；（2）X 与Y 的边缘分布律；（3）Z XY =的分布律；（4）X 与Y 的相关系数。

（北P181,T3） 解：（1）
()()()()()()()
,0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1F x y u x y u x y u x y u x y u x y u x y =+++-+
-++-+--
()()()()()()()
,0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1f x y x y x y x y x y x y x y δδδδδδ=+++-+
-++-+--
（2） X 的分布律为
()()00.070.180.150.4010.080.320.200.60
P X P X ==++===++=
Y 的分布律为
()()()10.070.080.1500.180.320.5010.150.200.35
P Y P Y P Y =-=+===+===+= （3）Z XY =的分布律为
()()()()()()()()()()111,10.08
0001,00.400.320.72111,10.20
P Z P XY P X Y P Z P XY P X P X Y P Z P XY P X Y =-==-===-======+===+======== （4）因为
()()()00.4010.600.60
10.1500.5010.350.20
E X E Y =⨯+⨯==-⨯+⨯+⨯=
()()10.0800.7210.200.12E XY =-⨯+⨯+⨯=
则
()()()()ov ,0.120.600.200C X Y E XY E X E Y =-=-⨯=
X 与Y 的相关系数0XY ρ=，可见它们无关。

15.
16. 设随机变量()~0,1X N ，()~0,1Y N 且相互独立，U X Y
V X Y
=+⎧⎨=-⎩。

（1） 随机变量(),U V 的联合概率密度(),UV f u v ； （2） 随机变量U 与V 是否相互独立？ 解：（1）随机变量(),X Y 的联合概率密度为
()()2
222
1,,,2x
y XY f x y e
x y R π
+-=∈
由反函数 2
2
u v x u v
y +⎧
=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，11
122
11222
J =
=--， ()()22
24
1
,,,4u v UV f u v e u v R π
+-
=
∈
（2）由于
, 2
22
2
4
4414u
v u v e π
+---⎛⎫⎛⎫=⨯⎪⎪⎪⎪⎭⎭
()()()()2,,UV U V f u v f u f v u v R =∈
所以随机变量U 与V 相互独立。

17. 18. 19.
20.
21. 已知对随机变量X 与Y ，有1EX =，3EY =，()4D X =，()16D Y =，0.5XY ρ=，
又设3U X Y =+，2V X Y =-，试求EU ，EV ，()D U ，()D V 和(,)Cov U V 。

解：首先，
22()()5EX D X EX =+=， 22()()25EY D Y EY =+=。

又因为()(,)7XY E XY Cov X Y EX EY EX EY ρ=+⨯=⨯=。

于是
(3)36EU E X Y EX EY =+=+=， (2)25EV E X Y EX EY =-=-=-
22222()()(96)()76D U EU EU E X XY Y EU =-=++-= 22222()()(44)()52D V EV EV E X XY Y EV =-=-+-=
[]22()(3)(2)(352)70E UV E X Y X Y E X XY Y =+-=--=-
(,)()40Cov U V E UV EU EV =-⨯=-
22. 23.
24. 已知随机变量X 服从[0,]a 上的均匀分布。

随机变量Y 服从[,]X a 上的均匀分布，试
求
（1） (),(0)E Y X X a ≤≤； （2） EY
解：（1）对[0,]x a ∈有，()2
a X
E Y X += （2）/23
(())224a X a a EY E E Y X E a ++⎛⎫===
=
⎪⎝⎭
25. 设太空梭飞行中，宇宙粒子进入其仪器舱的数目N 服从泊松分布。

进舱后每个粒子造
成损坏的概率为p ，彼此独立。

求：造成损坏的粒子平均数目。

（北P101,T10） 解：每个粒子是否造成损坏用i X 表示
1,1,2,,0i X i N ⎧==⎨
⎩造成损坏没有造成损害
,
造成损坏的粒子数1
N
i
i Y X
==
∑，于是
()1
1
(|)(|)|n n
i i i i E Y N n E X N n E X N n =======∑∑
可合理地认为N 和i X 是独立的，于是
()1
(|)n
i i E Y X n E X np ====∑
()()()()(|)E Y E E Y N E Np pE N p λ====
26.
27. 随机变量123,,X X X 彼此独立；且特征函数分别为123(),(),()x x x φφφ，求下列随机变量的
特征函数：
（1）12X X X =+； （2）123X X X X =++； （3）12323X X X X =++； （4）1232410X X X X =+++；
解：（1）12()()()jvX
X v E e
v v φφφ⎡⎤==⎣⎦
（2）同（1），123()()()()X v v v v φφφφ= （3）()
12323123()()(2)(3)jv X X X X v E e
v v v φφφφ++⎡⎤==⎣
⎦
（4）()
123241010123()(2)()(4)jv X X X jv X v E e
e v v v φφφφ+++⎡⎤==⎣
⎦
28. 随机变量X 具有下列特征函数，求其概率密度函数、均值、均方值与方差。

（1）2424()0.20.30.20.20.1j v
j v j v j v v e
e e e φ--=++++；
（2）()0.30.7jv
jv
v e e
φ-=+；
（3）()4/(4)v jv φ=-； （4）()(sin 5)/(5)v v v φ=；
解：（1）()()()()()()0.20.320.240.220.14f x x x x x x δδδδδ=+-+-++++
()()()(0)/20.340.220.240.10.6E X j φ'==⨯+⨯+-⨯+-⨯=
()()()2
2
222(0)20.340.220.240.1 6.8E X φ''=-=⨯+⨯+-⨯+-⨯=
()()()22 6.80.36 6.44Var X E X E X =-=-=
（2）()()()0.310.71f x x x δδ=-++
()()(0)/10.310.70.4E X j φ'==⨯+-⨯=-
()()2
22(0)10.310.71E X φ''=-=⨯+-⨯=
()()()2210.160.84Var X E X E X =-=-=
（3）利用傅里叶变换公式，可知这是指数分布，
()44()x f x e u x -=
()2
1(0)/4(4)4v E X j jv φ-='==-=
()2301
(0)8(4)8v E X jv φ-=''=-=-=
()()22111
()81616
Var X E X E X =-=-=。

（4）sin 512sin 5()510v v
v v v
φ==⨯，利用傅里叶变换公式，可知这是均匀分布， ()1
,55
10
0,x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他
()0E X =, ()21025
123Var X ==, ()()()2225
3
E X Var X E X =+=。

29. 利用傅立叶变换推导均匀分布的特征函数。

解：由于()f x 是宽度为b a -，高度为1b a -，中心在2
a b +处的矩形函数。

其傅立叶变换为
[]()22sin ()/21
()jv a b v b a F v e b a v
-+-=
⨯- []
[]
()2
sin ()2()()()2()
jvb jva
jv a b X v b a e e v F v e
v b a jv b a φ+--=-=
=
-- 30.
31.
32. 设有高斯随机变量2
~(,)X N μσ，试利用随机变量的矩发生特性证明：
(1) EX μ= (2) 222EX σμ=+ (3) 3233EX μσμ=+
解：特征函数为22()exp(2)X v j v v φμσ=-，由矩发生性质，
22
22
()(0)()()e j v v X
v EX j j j v μσφμσμ
-='=-=--=22
22
222222
22
220
()(0)()()e e j v v j v v X
v EX j j j v μσμσ
φμσσσμ--=⎡⎤''=-=---=+⎣
⎦22
22
333232
222
230
()(0)()()e 3()e 3X
j v v j v v v EX j j j v j v μσμσ
φμσσμσμσμ--='''=-⎡⎤=----=+⎣
⎦
2.1 2.2
2.3 掷一枚硬币定义一个随机过程：
cos ()2t X t t
π⎧=⎨
⎩出现正面出现反面
设“出现正面”和“出现反面”的概率相等。

试求：
（1）()X t 的一维分布函数(,12)X F x ，(,1)X F x ； （2）()X t 的二维分布函数12(,;12,1)X F x x ； （3）画出上述分布函数的图形。

2.3 解： （1）
一维分布为: 0,0(,0.5)0.5,011,1X x F x x x <⎧⎪
=≤<⎨⎪≥⎩
0,1(,1)0.5,121,2X x F x x x <-⎧⎪
=-≤<⎨⎪≥⎩
二维分布函数为1111210,0011(,;0.5,1)0.5,
2121,1,2
x x x F x x x <⎧⎪≤<>⎛⎫⎛⎫⎪
=⎨ ⎪ ⎪>-≤<⎝⎭⎝⎭⎪⎪≥≥⎩
2222或x <-1
或x x x
2.4 假定二进制数据序列{B(n), n=1, 2, 3,….}是伯努利随机序列，其每一位数据对应随机变量B(n)，并有概率P[B(n)=0]=0.2和 P[B(n)=1]=0.8。

试问，
（1）连续4位构成的串为{1011}的概率是多少？ （2）连续4位构成的串的平均串是什么？
（3）连续4位构成的串中，概率最大的是什么？
（4）该序列是可预测的吗？如果见到10111后，下一位可能是什么？ 2.4解：
解：（1）由题已知B(n,s)是贝努里随机序列，即B(n,s)为独立的二进制随机数据序列，
利用其独立性可知所求概率为其分别概率之积，与数据是否连续并无关系，所以有：
{}()()()()10111011P P B n P B n P B n P B n ==⨯=⨯=⨯=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 0.80.20.80.80.1024=⨯⨯⨯=
（2）设连续4位数据构成的串为B(n)，B(n+1)，B(n+2)，B(n+3)，n=1, 2, 3,…. 其中B(n)为离散随机变量，由题意可知，它们是相互独立，而且同分布的。

所以有： 串（4bit 数据）为：∑=+=
3
)(2
)(k k
k n B n X ，其矩特性为：
因为随机变量)(n B 的矩为： 均值：8.08.012.00)]([=⨯+⨯=n B E
方差：[]()(){}
2
2
222()00.210.80.8Var B n B n B n ⎡⎤=E -E =⨯+⨯-⎡⎤⎣⎦⎣⎦
()2
0.80.80.810.80.80.20.16=-=⨯-=⨯=
所以随机变量)(n X 的矩为：
均值：128.02)]([2
)]([3
3
0=⨯=+=
∑∑==k k k k
k n B E n X E
方差：6.1316.04)]([)2
()]([3
3
2
=⨯=+=
∑∑==k k k k k n B D n X D
如果将4bit 串看作是一个随机向量，则随机向量的均值和方差为：
串平均：()()()(){}
{},1,2,30.8,0.8,0.8,0.8B n B n B n B n ⎡⎤E +++=⎣⎦
串方差：
()()()(){}{},1,2,30.16,0.16,0.16,0.16Var B n B n B n B n ⎡⎤+++=⎣⎦
（3）因为有P[B(n) = 0] = 0.2 ，P[B(n) = 1] = 0.8 ，P[B(n) = 1] > P[B(n) =
0]
可知出现概率最大的二进制数据为B(n) = 1 ，又由独立性可得， 概率达到最大的串为{}1,1,1,1
（4）因为此数据序列各个数据之间相互独立，下一位数据是0或1，与前面的序列
没有任何关系。

所以如果见到1010后，下一位仍为0或1 ，而且仍然有概率P[B(n)=0]=0.2和 P[B(n)=1]=0.8。

2.5 2.6
2.7 设质点运动的位置如直线过程0()X t Vt X =+，其中(1,1)V
N 与
(0,2)X N ，并彼此独立。

试问：
（1） t 时刻随机变量的一维概率密度函数、均值与方差？ （2） 它是可预测的随机信号吗？ 2.7 解：
（1）独立高斯分布的线性组合依然是高斯分布
00[()][][][]E X t E Vt X tE V E X t =+=+=
2200[()][][][]2D X t D Vt X t D V D X t =+=+=+
所以它的一维概率密度函数为
:2
2()()}2(2)X x t f x t -=-+ (2) 此信号是可预测随机信号
2.8 假定（-1,+1）的伯努利序列{},1,2,...n I n =的取值具有等概特性。

试问： （1） 它的一维概率密度函数、均值与协方差函数？ （2） 它是可预测的随机信号吗？
2.8 解：
(1) ()0.5(1)0.5(1)X f x x x δδ=++-
[]0.5(11)0n E I =-=
1212112
12122
12[][]0(,)(,),[]1n n n n n E I E I n n C n n R n n E I I n n E X =⎧≠⎪⎡⎤===⎨⎣⎦==⎪⎩
(2) 该随机信号不可预测
2.9
2.10 给定随机过程()X t 和常数a ，试以()X t 的自相关函数来表示差信号
()()()Y t X t a X t =+-的自相关函数。

2.10 解： 由题意可得：
(,)[()()]
{[()()][()()]}
[()()][()()][()()][()()](,)(,)(,)(,)
Y X X X X R s t E Y s Y t E X s a X s X t a X t E X s a X t a E X s a X t E X s X t a E X s X t R s a t a R s a t R s t a R s t ==+-+-=++-+-++=++-+-++
2.11 两个随机信号X(t)=Asin(ωt+Θ)与Y(t)=Bcos(ωt+Θ)，其中A 与B 为未知随机变量，Θ为0～2π均匀分布随机变量，A 、B 与Θ两两统计独立，ω为常数，试问，
（1）两个随机信号的互相关函数),(21t t R XY ；
（2）讨论两个随机信号的正交性、互不相关（无关）与统计独立性；
题2.11 解：（1）()()()()()121212,sin sin XY R t t X t Y t A t B t ωω=E =E +Θ⨯+Θ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
[][]()()()()12121cos cos 22A B t t t t ωω⎡⎤=E ⨯E ⨯E --++Θ⎣
⎦[][]()()()(){}
12121
cos cos 22
A B t t t t ωω⎡⎤⎡⎤=E E --E ++Θ⎣⎦⎣⎦ 因为Θ为0至2π均匀分布随机变量，所以()()
12cos 20t t ω⎡⎤E ++Θ=⎣⎦， 上式()[][]()()12121
,cos 2
XY R t t A B t t ω⎡⎤=
E E -⎣⎦； （2）①如果E[A]或E[B]为0，则
()12,0XY R t t =，随机信号X(t)与Y(t)正交 ； ②因为Θ为0至2π均匀分布随机变量，所以有
()()sin 0X t A t ωE =E +Θ=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()cos 0Y t B t ωE =E +Θ=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， ()()()()()12121212,,,XY XY XY C t t R t t X t Y t R t t =-E E =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，
如果E[A]或E[B]为0，则()()1212,,0XY XY R t t C t t ==，X(t)与Y(t)互不相
关；
如果E[A]与E[B]均不为0，则()()1212,,0XY XY R t t C t t =≠，X(t)与Y(t)相关；
综上，X(t)与Y(t)的正交性与互不相关性等价；
③因为随机信号X(t)与Y(t)中都有随机变量Θ，所以X(t)与Y(t)一般不会相互独立。

2.12
2.13 假定正弦电压信号()()cos X t A t ω=+Θ，其中，A 服从均匀分布(1,1)U -+，
Θ服从均匀分布(,)U ππ-+，它们彼此独立。

如果信号施加到RC 并联电路上，求总的电流信号及其均方值。

题2.13
解：由电路原理的相关知识可知：
总电流I 为cos()sin()A
I wt ACw wt R
=
+Θ-+Θ，则 22222
22222222[][(cos()sin())]
[cos ()sin(22)sin ()]133
A
E I E wt ACw wt R A A C E wt wt A C w wt R R C w R =+Θ-+Θ=+Θ-+Θ++Θ=+
2.14
2.15 零均值高斯信号()X t 的自相关函数为12
()0.5e t t X R τ--=，求()X t 的一维和二维
概率密度。

题2.15
解：(1) 因为()0X m t =，()(0)(0)0.5X X X D t C R ===，所以一维概率密度函数为：
(
)[
]{}
2
2(),2()X X X x m t f x t D t x ⎧⎫-⎪⎪
=-⎨⎬
⎪⎪⎩⎭
=
-
(2) 高斯信号X(t)的二维概率密度函数为：
12()()X t X t ⎛⎫= ⎪⎝⎭X ，t 12t t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，00⎛⎫= ⎪⎝⎭
μ， ()()
11121112212221221212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)0.50.5exp 0.5exp 0.5X X X X C t t C t t R t t R t t C t t C t t R t t R t t t t t t ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎛⎫
--
⎪= ⎪--⎝
⎭
C ，
(,)i j C t t 为协方差，则
()11/2
1,exp 22T f π-⎡⎤=
-⎢⎥⎣
⎦X x C x x t C
2.16 2.17
2.18 某高斯的均值()2X m t =，协方差1212(,)8cos()X C t t t t =-，写出当10t =、
20.5t =和31t =时的三维概率密度。

题2.18
解：由定义得：
111212122212(,)(,)...(,)(0,0)
(0,0.5)(0,1)(,)(,)...(,)(0.5,0)(0.5,0.5)(0.5,1)(1,0)(1,0.5)(1,1)(,)(,)...(,)n n n n n n C t t C t t C t t C C C C t t C t t C t t C C C C C C C t t C t t C t t ⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
C
又因为
(0,0)(0.5,0.5)(1,1)8cos(0)8C C C ==== (0,0.5)(0.5,1)(0.5,0)(1,0.5)8cos(0.5)C C C C ====
(0,1)(1,0)8cos(1)C C ==
设
123()()()X t X t X t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭X ，t 123t t t ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，222⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭μ，88cos(1/2)8cos18cos(1/2)88cos(1/2)8cos18cos(1/2)8⎛
⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C
则
()()
()()11/2
3/2
1
,exp 22T f π-⎡⎤
--=
-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
X x μC x μx t C 2.19 设随机变量()(),~,X Y N μC ，其中22⎛⎫= ⎪⎝⎭μ，2335⎛⎫
=
⎪⎝⎭
C ，求(),X Y 的概率
密度和特征函数(),XY u v φ。

题2.19
解：因为()2E X =与()2E Y =，2,5X Y D D ==
，而ρ===。

于是，((,)~2,2;2,5;3/X Y N 。

则 (X ，Y)的概率密度函数为
()()()()()22232221
,exp{5}2255XY x x y y f x y π⎡⎤----=--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦
其特征函数为
()()()221,exp 22652XY u v j u v u uv v φ⎡
⎤=+-
++⎢⎥⎣⎦
3.1 随机电压信号()U t 在各不同时刻上是统计独立的，而且，一阶概率密度函数是高斯的、均值为0，方差为2，试求：
（1）密度函数();f u t 、()1212,;,f u u t t 和()1212,,...,;,,...,k k f u u u t t t ，k 为任意整数； （2）()U t 的平稳性。

3.1解：
(1)2
(;)}4x f u t =-
22121,2121,12,21
(;,)()()exp{}44
u u f u u t t f u t f u t π+==-
2
1
1,212
,1
(,,;,,)()}4
k
i
k
i k k i i i u
f u u u t t t f u t ====
-
∑∏
(2)由于任意k 阶概率密度函数与t 无关，因此它是严平稳的。

3.2
3.3
3.4 已知随机信号()X t 和()Y t 相互独立且各自平稳，证明新的随机信号
()()()Z t X t Y t =也是平稳的。

3.4解：
()X t 与()Y t 各自平稳，设X m =[()]E X t ，Y m =[()]E Y t ，()[X()X()]X R E t t ττ=+，
()[Y()Y()]Y R E t t ττ=+
Z ()[Z()][()Y()][()][()]X Y m t E t E X t t E X t E Y t m m ===⨯=，为常数
(,)[Z()Z()][()Y()()Y()][X()()][Y()()]()()()
Z X Y Z R t t E t t E X t t X t t E t X t E t Y t R R R τττττττττ+=+=++=+⨯+=⨯=
∴()Z R τ仅与τ有关，故Z()t =()Y()X t t 也是平稳过程。

3.5 随机信号()()010sin X t t ω=+Θ，0ω为确定常数，Θ在[],ππ-上均匀分布的随机变量。

若()X t 通过平方律器件，得到2()()Y t X t =，试求： （1）()Y t 的均值；
（2）()Y t 的相关函数；
（3）()Y t 的广义平稳性。

3.5解：(1)2200[Y()][X ()][100sin ()]50[1cos(22)]50E t E t E t E t ωθωθ==+=-+=
()222200000002(,)[Y()Y()][X ()X ()]
[100sin ()100sin ()]2500[1cos(2)cos(424)]2500[1cos(2)]
Y R t t E t t E t t E t t E t E τττωθωωτθωτωωτθωτ+=+=+=+⨯++=--++=-
∴()Z R τ仅与τ有关，且均值为常数，故Y()t 是平稳过程。

3.6 给定随机过程()()()00cos sin X t A t B t ωω=+，其中0ω是常数，A 和B 是两个任意的不相关随机变量，它们均值为零，方差同为2
σ。

证明()X t 是广义平稳而不是严格
平稳的。

3.6
证明：
X 00()[X()][cos()sin()]0m t E t E A t B t ωω==+=
000000220000002200000020(,)[X()X()]
{[cos()sin()][cos()sin()]}[cos()cos()sin()sin()]11
[cos(2)cos()][cos()cos(2)]22cos()
X R t t E t t E A t B t A t B t E A t t B t t E t E t ττωωωωτωωτωωωτωωωτσωωτωτσωτωωτσωτ+=+=+⨯+++=⨯++⨯+=+++-+=
由于均值是常数，且相关函数只与τ有关，故X()t 是广义平稳过程。

10200
12B 2X()2X(),
2(,)()(,)()X()X A X t t A
t t B f x t f x f x t f x t π
ωππωω=
=====∴取时，取+时，显然不一定等于不是严格平稳的。

3.7 ()Y t 是广义周期平稳的实随机信号，平稳周期为100，有均值(10)20m =和相关函数(5,1)10R =，试求：
（1）[5(110)]E Y ，[10(310)50]E Y +；
（2）[(105)(101)]E Y Y ，[30(205)(201)200]E Y Y +； （3）[10(305)(301)6(210)80]E Y Y Y ++。

3.7解：
Y()(1)[5Y(110)]5[Y(10)]5(10)520100[10Y(310)50]10[Y(10)]50250(2)[Y(105)Y(101)][Y(5)Y(1)](5,1)10[30Y(205)Y(201)200]30[Y(5)Y(1)]200500
(3)[10Y(305)Y(301)6Y(210)8t E E m E E E E R E E E ===⨯=+=+====+=+=++是广义周期平稳随机信号，
0]10(5,1)6(10)80300
R m =++=
3.8
3.9 两个统计独立的平稳随机过程()X t 和()Y t ，其均值都为0，自相关函数分别为
()e X R τ
τ-=，()cos2Y R τπτ=，试求：
（1）()()()Z t X t Y t =+的自相关函数； （2）()()()W t X t Y t =-的自相关函数； （3）互相关函数()ZW R τ。

3.9解：
(1)(,)[Z()Z()]{[X()Y()][X()Y()]}[X()X()][Y()Y()]()()cos(2)
Z X Y R t t E t t E t t t t E t t E t t R R e τ
ττττττττπτ-+=+=+++⨯+=+++=+=+
(2)(,)[W()W()]{[X()Y()][X()Y()]}[X()X()][Y()Y()]()()cos(2)
W X Y R t t E t t E t t t t E t t E t t R R e τ
ττττττττπτ-+=+=+-+⨯-=+++=+=+
(3)(,)[W()Z()]{[X()Y()][X()Y()]}()()()()
X()Y()()()0(,)()()cos(2)
ZW X Y XY YX XY YX ZW X Y R t t E t t E t t t t R R R R t t R R R t t R R e ττττττττττττττπτ-+=+=+-+⨯+=-+++=∴+=-=-又由于与零均值相互独立，同时彼此正交，则
3.10 3.11
3.12 广义平稳随机过程()Y t 的自相关函数矩阵如下，试确定矩阵中带下划线的空白处元素的值。

2 1.30.4____2 1.20.80.4 1.2__ 1.10.9____2⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
3.12解：根据广义平稳随机信号过程的自相关函数矩阵的对称性，得到：
C=2 1.30.40.91.32 1.20.80.4 1.22 1.10.90.8 1.12⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
3.13
3.14 对于两个零均值广义平稳随机过程()X t 和()Y t ，已知25X σ=，2
10Y σ=，问下
述函数可否作为自相关函数，为什么？ （1）()()()5exp 3X
R u τττ=-； （2）()()5sin 5X R ττ=；
（3）()(
)
1
2912Y R ττ
-=+； （4）()()()
cos 6exp Y R τττ=--；
（5）()()2
sin 353X R τττ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； （6）()
()sin 106410Y R τττ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦。

（6）()5exp()X
R ττ=-； （7）()264exp(3)Y R ττ=+-。

解：根据平稳随机信号相关函数的性质，
(1)否，非偶函数 (2)否，非偶函数 (3) 否，2(0)9Y Y R σ=≠ (4) 否，(0)1Y R =-在原点不是非负
(5)是 (6) 是 (7) 是 (8) 是
3.15
3.16 已知随机过程()X t 和()Y t 独立且各自平稳，自相关函数为
0()2cos X R e τ
τωτ-=与2()9exp(3)Y R ττ=+-。

令随机过程()()()Z t AX t Y t =，其中A 是均值为2，方差为9的随机变量，且与()X t 和()Y t 相互独立。

求过程()Z t 的均值、方差
和自相关函数。

解：
()[()][()()][][()][()]2[()][()]
Z t E Z t E A X t Y t E A E X t E Y t E X t E Y t =⋅⋅=⋅⋅=⋅的均值:
202cos ()lim
00
[()]0
X X X m R m e
E Z t τ
τωτ→∞
=∞==→=∴=
2
2230()(,)[()()()()][][()()()()]13[()()][()()]13()()26cos (9)
z X Y Z t R s t E A X s Y s X t Y t E A E X s Y s X t Y t E X s X t E Y s Y t R R e
e τ
τττωτ--=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⨯⋅⨯⋅=⨯⨯=⋅⋅⋅+的相关函数：
()[()](0)2610260
X Z t D Z t R ∴==⨯=的方差：
3.17 3.18
3.19 平稳信号X(t)的功率谱密度为
（1）2
42()32
X S ωωωω=++
（2）10
8()20(1/10),()10
0,
S ωδωωωω≤⎧+-=⎨
>⎩
求它们的自相关函数和均方值。

解：
(1)
2422212
()3212
1()
2X IFT
X S e R τωωωωωωτ--==+
++++-−−→+=
1
(0)
2
X
R
∴=-
(2) 根据傅立叶变换的对称性，有:
2
2
4sin()
8202
(),10
22
X
T
R T
T
τ
τ
ππτ
=+⋅=
其中，
2
()4/
X X
R m
π
∴∞==[()]20/
D x t Tπ
=
(0)204/
X
Rπ
=
∴
3.20
3.21下述函数哪些是实随机信号功率谱的正确表达式？为什么？
（1）
2
sinω
ω
⎛⎫
⎪
⎝⎭
（2）
2
62
33
ω
ωω
++
（3）
2
4
()
1
ω
δω
ω
-
-
（4）
4
62
1
j
ω
ωω
++
（5）
42
21
ω
ωω
++
（6）2
(1)
eω--
3.21 判断的原则：实平稳信号功率谱是实的，非负的偶函数。

(1)是。

(2)是。

(3)不是，0
ω=时值为负数。

(4)不是，功率谱为复数，与判断原则相悖。

(5)是。

(6)不是，因为它不是偶函数。

3.22
()
X t是平稳随机过程，证明过程()()()
Y t X t T X t
=++的功率谱是
()2()(1cos)
Y X
S S T
ωωω
=+
3.22
{}{}
()
()[()()()()]
[()()()()()()()()] Y
Y t
R E X t T X t X t T X t
E X t T X t T X t X t X t X t T X t T X t
τττ
ττττ=++⋅++++
=+⋅+++⋅++⋅++++⋅+的相关函数：
2()()()
2()()()2()(1cos)
X X X
FT j T j T
x x x x
R R T R T
S S e S e S T
ωω
τττ
ωωωωω
-
=+++-
−−→++=⋅+
3.23
3.24 设两个随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，其互相关函数为
⎩⎨
⎧<≥=-0
9)(3ττττ
e R XY 求互谱密度()XY S ω与()YX S ω。

3.24
*9
()()39
()()3FT
XY XY YX XY R S j S S j τωω
ωωω
−−→
=+==
-
3.25 设随机过程1
()()n
i
i
i X t a X t ==
∑,式中i a 是一组实常数。

而随机过程)(t X i
为平稳
的和彼此正交的。

试证明：2
1
()()i n
X i
X i S a
S ωω==∑
3.25
()2
21111()()()[()()]()i i n n n n
X t X i i i i i i i i X i i i i R E a X t a X s E a X t X s a R ττ====⎧⎫=⋅−−−−−→⋅=⎨⎬⎩⎭
∑∑∑∑相互正交
21
()i n
FT
i X i a S ω=−−→∑
3.31假定周期为T 高为A 的锯齿波脉冲串具有随机相位，如题图3.31所示，它在0
t =时刻以后出现的第一个零值时刻是[0,)T 均匀分布的随机变量。

试说明()X t 的一阶密度函数为
1/[0,]
(;)0
[0,]
A
x T f x t x T ∈⎧=⎨
∉⎩
T
题图3.31
3.31
'
()()()()
(0,)1
(0)()0()1[()]()(0)(,)0()A
X t T t T T
T X t t h x A
U T x T f x T
f h x h x x T f t x A
τττττ=
-+=-+=⎧≤≤⎪∴=⎨⎪⎩⎧⋅=≤≤⎪
∴=⎨⎪⎩已知
其它
其它
4.1 随机信号()1Y t 与()2Y t 的实测样本函数如下题图4.1(a)与(b)所示，试说明它们是否均值各态历经。

（a ）
（b ）
题图4.1
解：由均值各态历经信号的物理意义：只要观测的时间足够长，每个样本函数都将经历信号的各个状态，结合题图可见：（a ）不可能是均值各态历经信号；（b ）很可能是均值各态历经信号
4.2 随机二元传输信号如例3.16所述，试分析它的均值各态历经性。

解：由例3.16，随机二元传输信号的协方差函数为，
41(),0Y pq T C T
T
ττττ⎧⎛⎫
-
≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭>⎪
⎩
又根据充分条件为：()lim 0C ττ→∞
=，且 ()04C pq =<∞，因此，它是均值各态历经信号。

4.3
4.4 随机信号()X t 与()Y t 是联合广义各态历经的，试分析信号()()()Z t aX t bY t =+的各态历经性，其中a 与b 是常数。

解：由题意，均方意义下有，
[()][()][()]()()()A Z t aA X t bA Y t aEX t bEY t EZ t =+=+=
2222[()()][()()][()()][()()][()()]
[()()][()()][()()][()()]()
Z A Z t Z t a A X t X t b A Y t Y t abA X t Y t abA Y t X t a E X t X t b E Y t Y t abE X t Y t abE Y t X t R ττττττττττ+=++++
+++=+++++++= 因此，()Z t 是均值各态历经信号
4.5
4.6 随机过程()sin cos X t A t B t =+，式中，A 和B 为零均值随机变量。

求证()X t 是均值各态历经的，而均方值无各态历经性。

解：由题意，首先，
()sin cos 0
[()][sin ][cos ]0
EX t EA t EB t A X t A A t B A t =+==⨯+⨯=
而222222222()sin cos 2sin cos sin cos sin 2X t A t B t AB t t A t B t AB t =++=++
222222222[()]sin cos sin 2sin cos E X t EA t EB t EA EB t EA t EB t =++⨯⨯=+
22
2
2
2
2
2
[()][sin ][cos ][sin 2]2
A B A X t A A t B A t AB A t +=⨯+⨯+⨯=
显然，()[()]EX t A X t =，但22
()[()]EX t A X t ≠。

5.1
求题图5.1中三个电路的传输函数（不考虑输出负载）。

R
R
C
1
C 2
C 1
C 2
C 1
R 2
R
题图5.1
解根据电路分析、信号与系统的知识，
第一个图中系统的传输函数 1/1
()1/1j C H j R j C j RC
ωωωω=
=++
第二个图中系统地传输函数 ()21
11221
1/1()/11/1/j C j RC H j R j C j R C C j C R j C ωωωωωωω+=
=++++
第三个图中系统地传输函数
()22222121
11221212121122
/1/()//1/1/R j C R j C R j R R C H j R j C R j C R R j R R C C R j C R j C ωωωωωωωωω++==++++
++
5.2
若平稳随机信号)(t X 的自相关函数||2)(ττ-+=Be A R X ，其中，A 和B 都是正常
数。

又若某系统冲击响应为()()wt h t u t te -=。

当)(t X 输入时，求该系统输出的均值。

解： 因为[]()22X E X R A =∞= 所以[]E X A A =±=±。

()()()()()2
0wt A E Y t E h X t d E X t h d A te dt w ξξξξξ∞∞∞--∞-∞±⎡⎤=-==±=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 5.3
5.4 若输入信号00()cos()X t X t ω=++Φ作用于正文图5.2所示RC 电路，其中0X 为[0,1]上均匀分布的随机变量，Φ为[0,2π]上均匀分布的随机变量，并且0X 与Φ彼此独立。

求输出信号Y(t)的功率谱与相关函数。

解：首先我们求系统的频率响应()H j ω。

根据电路分析、信号与系统的知识，
/1/1
1()()()1/1t RC
j C H j h t e u t R j C j RC
RC
ωωωω-=
=
↔=
++ 然后，计算)(t X 的均值与自相关函数，
[]()1/2X m E X t == []{}(){
}{}0
000(,)cos cos X R t t E
X
t X t τωωτ+=++Φ+++Φ=⎡⎤⎣⎦
()0
1/31/2cos ωτ+
可见)(t X 是广义平稳的。

考虑系统稳态时的解，可利用推论得出
()[][]()2002
00222021()()()()()321()
2()()2(1)3
Y X S S H j RC R C ππωωωδωδωωδωωωππ
δωωδωωδωω⎧⎫
==+-++⨯⎨⎬+⎩⎭=-++++
于是，
022201()cos 1/32(1)
Y R R C τωτω=
++
5.5
5.6 设某积分电路输入输出之间满足以下关系
()()t
t T
Y t X d ττ-=⎰
式中，T 为积分时间。

并设输入输出都是平稳过程。

求证输出功率谱密度为
224()
()sin 2X Y S T S ωωωω⎛⎫=
⎪⎝⎭
（提示：()()()Y t X t h t =*，而()()()h t u t u t T =--，是矩形方波。

）
解：因为 ()()t
t T
Y t X d ττ-=⎰
所以 ()()()Y t X t h t =* ()()()h t u t u t T =--
而 ()()()
/22sin /2j t
j T H j h t e
dt e ωωωωω
∞
---∞=
=
⎰
所以 ()
22
2
4sin 2T
H j ωωω
⎛⎫
⎪⎝⎭=
所以()2
()()Y X S S H j ωωω==
22
4()
sin 2X S T ωωω⎛⎫ ⎪⎝⎭
5.7 5.8 5.9
5.10 若线性时不变系统的输入信号()X t 是均值为零的平稳高斯随机信号，且自相关函数为()()X R τδτ=，输出信号为()Y t 。

试问系统()h t 要具备什么条件，才能使随机变量1()X t 与
1()Y t 互相独立。

解： 由于输入信号()X t 是均值为零的平稳高斯随机信号，所以通过线性时不变系统后()Y t 仍然是均值为零的平稳高斯随机信号，且()X t 和()Y t 是高斯联合平稳过程。

如果()1X t 与
()1Y t 相互独立，则()()11[X t Y t ](0)0XY E R ==。

而
()()()()XY X R R h h ττττ=*-=-
因此，()h t 要满足()00h =。

5.11
若功率谱为5W/Hz 的平稳白噪声作用到冲击响应为
()e ()at
h t u t -=的系统上，求系统的均方值与功率谱密度。

解：由题知：()1
H j j a
ωω=
+，所以()()22255Y S H j a ωωω==+
而输出过程的自相关函数()()1
522a j Y Y R S e d e a
τ
ωττωωπ
∞
--∞
=
=
⎰。

于是，()()2
502Y E Y t R a
⎡⎤==
⎣⎦ 5.12
5.13
功率谱为02N 的白噪声作用到|(0)|2H =的低通网络上，网络的等效噪声带宽
为2MHz 。

若噪声输出平均功率是0.1瓦，求0N 的值。

解： 由()2
000.1N N B H =得，()
802
6
0.10.1
1.25102104
0N N B H -==
=⨯⨯⨯（瓦/Hz ） 5.14 5.15
5.16
已知平稳随机信号的相关函数为
（1） 2
1(1||),()10,X X R σαττα
ττα⎧-≤⎪⎪=⎨⎪>
⎪⎩
（2）2||
()X X R e
αττσ-=
求它们的矩形等效带宽。

解：（1）因为()X R τ是三角函数，所以，由几何图形易知，2
eq B α
=
（2）()()222
2j X X X S R e
d ωτ
σα
ωττωα
∞
--∞
=
=+⎰
所以()()()()22
001
22044
X X X eq X X X S R B d S S ωασα
ωπ
ωσ∞
=
===⎰
6.1 复随机过程0()()j t Z t e
ω+Φ=，式中0ω为常数，Φ是在(0,2)π上均匀分布的随机变量。

求：（1）[()()]E Z t Z t τ*
+和[()()]E Z t Z t τ+；（2）信号的功率谱。

解：
(1)
0000[()][]20
1
[()()]21
2j t j t j j E Z t Z t e e d e d e ωτωπ
ωτ
ωττπ
π
+∞
++Φ-+Φ*
-∞
+=
Φ=Φ=⎰
⎰
000[()][]
2[(2)2]
2(2)
20
1
[()()]212120
j t j t j t j t j E Z t Z t e e d e d e
e d ωτωπ
ωτπ
ωττπ
ππ
+∞
++Φ+Φ-∞
++Φ+Φ+=
Φ=Φ=Φ=⎰⎰⎰
(2)
00()[()]{[()()]}
[]2()
Z Z j S F R F E Z t Z t F e
ωτ
ωττπδωω*==+==-
6.2 6.3
6.4 已知()a t 的频谱为实函数()A ω，假定ωω>∆时，()0A ω=，且满足0
ωω∆，试
比较：
（1） 0()cos a t t ω和0(12)()exp()a t j t ω的傅立叶变换。

（2） 0()sin a t t ω和0(2)()exp()j a t j t ω-的傅立叶变换。

（3） 0()cos a t t ω和0()sin a t t ω的傅立叶变换。

解：
由傅立叶变换的定义可以得到： （1）
00000()cos [()()]
1()()2
FT
j t FT a t t A A a t e A ωωπωωωωπωω←−→-++←−→-
01
()2
j t a t e ω的傅立叶变换是0()cos a t t ω的傅立叶变换的正频率部分。

（2）
00000()sin [()()]
()()2FT
j t FT
a t t A A j
j a t e A j
ωπ
ωωωωωπωω←−→--+-←−→-
0()2
j t j
a t e ω-的傅立叶变换是0()sin a t t ω的傅立叶变换的正频率部分。

（3）
0()cos a t t ω和0()sin a t t ω的傅立叶变换是希尔伯特变换对。

6.5
6.6
6.7 若零均值平稳窄高斯随机信号()X t 的功率谱密度如题图6.7
（1） 试写出此随机信号的一维概率密度函数； （2） 写出()X t 的两个正交分量的联合概率密度函数。

00
题图6.7
解：
(1) 零均值平稳窄带高斯信号()X t 的正交表达式为 00()()cos ()sin x t i t t q t t ωω=- 基于功率谱计算功率得
21
(0)()22X X
X AW
P R S d σωωπ
π
+∞
-∞
===
=
⎰
()X t 为0
均值的高斯随机信号,所以 2()
(0,)X t N σ
所以一维概率密度
22
2()x f x σ-
=
,2
2AW
σπ
=
(2) 又因为()X t 的功率谱关于中心频率0ω偶对称 由（6.37）得 ()0qi S ω= 即 12()[()()]0qi R E i t q t τ==
所以(),()i t q t 彼此正交，做为零均值的高斯信号也彼此独立，所以
222
()212122
1(,;,)(,)(,)2i q iq i q f i q t t f i t f q t e σπσ
+-
==
, 2
2AW
σπ
=
6.8 对于窄带平稳随机过程00()()cos ()sin x t i t t q t t ωω=-，若其均值为零，功率谱密度为
0000cos[()/],
/2()cos[()/],
/20x P S P πωωωωωωωπωωωωωω⎧-∆-≤∆⎪
=+∆+≤∆⎨⎪⎩，
其它
式中0,P ωωω∆>>∆及都是正实常数。

试求
（1） x(t)的平均功率；
（2） i(t)的功率谱密度；
（3） 互相关函数()iq R τ或互谱密度()iq S ω； （4） i(t)与q(t)是否正交或不相关？ 解：
（1）()x t 的平均功率：
()[]0002
2
2
11
()cos 2cos N N P S d P d P
d ωωω
ω
ωωωωπωωωω
πππωωω
π+∞
+∆-∞
-∆+∆-∆==
-∆⎡⎤⎣⎦=
∆⎰
⎰⎰
[]
2
2
2
2sin N P P P ωωω
ω
πωωππ+∆-∆∆∆=
∆=
（2）()N t 是零均值平稳窄带随机信号，所以有：
002cos ,()()()()020,N N i q P S S w S S w other πωωωωωωωω⎧⎧⎛⎫
++-∆⎪⎪ ⎪===≤∆⎝⎭
⎨⎨⎪⎪⎩⎩
（3）互相关函数()iq R τ或互谱密度()iq S ω
因为()N t 是零均值平稳窄带随机信号，并且()N S ω是关于0ω偶对称，有9.3的性
质，定理可知，互谱密度()iq S ω为0，互相关函数()iq R τ也为0
（4）由()0iq R τ=，所以()i t 与()q t 任意时刻正交。

因为()i t 与()q t 是零均值的，所以()
i t 与()q t 是不相关的。

6.9 6.10
6.11 已知零均值窄带平稳噪声00()()cos ()sin X t A t t B t t ωω=-的功率谱密度如题图
6.11所示。

画出下列情况下随机过程 ()A t ，()B t 各自的功率谱密度： （1） 01ωω= （2）02ωω=
（3） 012()/2ωωω=+
判断上述各种情况下，过程()A t ，()B t 是否互不相关。

12
2
1
题图6.11
解：
因为()X t 是零均值平稳窄带随机信号,所以有：
000
()()
()()0x
x A B S S S S ωωωωωωωω++-⎧<==⎨⎩
其它
000
[()()]
()()0x x BA AB j S S S S ωωωωωωωω--+⎧<=-=⎨⎩
其它
功率谱图形如下：
（1）
2
2
（2）
1
1
（3）
21
2
21
2
-
由于()X t 的功率谱不以中心频率0ω偶对称，所以互功率谱密度()BA S ω在三种情
况下都不为0, 所以 A(t),B(t)相关.
6.12
6.13 同步检波器如下题图6.13所示，输入()X t 为窄带平稳噪声，它的自相关函数为
2
0()cos X X R e
βτ
τσωτ-=，0β
ω。

若另一输入0()sin()Y t A t ωθ=+，其中A 为常数，θ服从(0,2)π上的均匀分布，且与()X t 独立。

求检波器输出()Z t 的平均功率。

题图6.13
解：
由题意知
0200
[()][sin()]
1
sin()0
2E Y t E A t A t d π
ωθωθθπ
=+=
+=⎰
2000
20(,)[()()]
1
sin[()]sin()
2cos ()2
Y Y R t t E Y t Y t A t A t d A R t π
ττωτθωθθπ
ωτ+=+=
+++==⎰
所以()]Y t 也是平稳的.
设 ()()()M t X t Y t = 由于(),()X t Y t 独立, 不难得:
[()][()()][()][()]0E M t E X t Y t E X t E Y t ===,
2220(,)[()()()()]
[()()][()()]()()1cos 2
M X Y X R t t E X t Y t X t Y t E X t X t E Y t Y t R R A e βτ
τττττττσωτ-+=++=++==
所以经过低通滤波器LPF 后，由于
2220220222201()cos 21cos 212211cos 244
M X X X X R A e A e A e A e βτβτβτβττσωτωτσσσωτ----=
+==+ 其中高频成分：2201cos 24
X A e βτ
σωτ- 被滤掉，所以 221()4
Z X R A e βτ
τσ-=
所以()Z t 的平均功率
221(0)4
Z Z X P R A σ==
7.1
7.2
[]A A ,
-的双极性二进制传输信号{}(),0U t t ≥的码元符号概率为[],q p 。

将)
(t U 送入码元幅度取样累加器，累加器输出为{}(),1,2Y n n =，简记为n Y 。

试求：
（1）画出()Y n 的状态图；
（2）)(n Y 的状态概率)(n k π和[]0≥n Y P ，假定初始分布为等概的； （3）)(n Y 状态转移概率),(n m p ij 和[]
4,3,13108115====Y Y Y Y P 。

解
（1）
将U(t)送入码元幅度取样累加器，则相当于
1
()()
1,2,
()()()(),n
k Y n X k n A
p X k A
q Y n X n A Y n A A ===⎧⎨
-⎩
∑其中＝对，如果的取值为,则增加否则减少画出状态转移图为
（2）
222(())
,1,01,(())0||0,(())0,(())k k
P Y n kA k n n n n
P Y n kA n k n k P Y n k p k P Y n k π===--+-==->==<==n-|k|n-|k|2
n
n-|k|n-|k|2
n n-|k|n
当n-|k|等于奇数时，可知n-|k|
而当等于偶数时，则在个样本中必须选择个样本互相抵消，2
可知一共有C
种方法，每种方法中，抵消项的发生概率为(pq)
，如果
则C (pq)
则C
(2
20
||(())0,||0,||k k
k k q
n k P Y n k p k n k q k n k π--⎧⎪⎪==≥-⎨⎪⎪<-⎩n-|k|
2
n-|k|n-|k|2n n-|k|n-|k|2n
pq)
为奇数综上所述＝C (pq)为偶数C (pq)为偶数
20
(0)n
k
n k P Y pq p =∴≥=∑n-|k|n-k 2
n
C
()
（3）
111
1
22(,)(|)
(|)
()
()()
0,n
n k n k ij n m n
m
k k k k n
k k m n m k k n m j i n m
Y X Y P m n P Y j Y i P X j X i P X j i P X j i P Y j i n m j i p j i n m j i ====-=-->=∴========-==-==---+=-≥--+∑∑∑∑∑n-m-|j-i|n-m-|j-i|2n n-m-|j-i|n-m-|j-i|
n
设可以得到是马尔可夫序列
为奇数C (pq)为偶数C 0,i j q j i n m j i -⎧⎪⎪
⎨⎪⎪-<--+⎩2为偶数1518101510522
23
[3|1,3,4]
[3|4][1]()10P Y Y Y Y P Y Y P Y pq q p q -=========-==5-|-1|
5-|-1|(-1)
5
C
7.3 7.4 7.5
7.6
设{}()1X n n ≥，是相互独立随机变量序列，令：∑==
n
i p
i X
n Y 1
)()(，p 是任意的整
数，试证明：随机序列)(n Y 是马氏链。

解
1
1
1
()()()()(1)()
n n p
p p i i Y n X i X i X n Y n X n -====+=-+∑∑
令'()()p X i X i =则与7.1一样，所以()Y n 是马氏链
7.7
7.8 微小粒子在相距d 2的反射板之间做随机游动。

粒子的初始位置在中线0位置上，每隔T 时间粒子游动一步，每步跨距为d 。

随机游动在第n 步后的质点位置记为
{}(),0,1,...X n n =，状态为(,0,)d d -+，设)(n X 的状态转移概率矩阵为：。