2023年四川省成都市新都区中考数学二诊试卷(含解析)

2023年四川省成都市新都区中考数学二诊试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1. 下列各数中，比―2小的数是( )
A. ―1
B. 0
C. ―3
D. 1
2.
某立体图形的三视图如图所示，则该立体图形的名称是( )
A. 正方体
B. 长方体
C. 圆柱体
D. 圆锥体
3. 点P(m+3,m+1)在x轴上，则点P坐标为( )
A. (0,―4)
B. (4,0)
C. (0,―2)
D. (2,0)
4. 代数式x+1
x
有意义的x的取值范围是( )
A. x>―1且x≠0
B. x≥―1
C. x<―1
D. x≥―1且x≠0
5.
如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，且OE⊥AB，若
AC=8，BD=6，则OE的长是( )
A. 2.5
B. 5
C. 2.4
D. 不确定
6. 某地为践行“绿水青山就是金山银山”理念，计划今年春季植树30万棵，由于志愿者的加入，实际每天种植比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是( )
A. 30
x ―30
(1+20%)x
=5 B. 30
x
―30
20%x
=5
C. 30
20%x +5=30
x
D. 30
(1+20%)x
―30
x
=5
7.
如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是( )
A. r=Rcos36°
B. a=2Rsin36°
C. a=2rtan36°
D.
8. 如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y=acx+b 的图象可能是( )
A. B.
C. D.
9. 已知a
6=b
5
=c
4
，且a+b―2c=6，则a的值为______．
10. 已知点在反比例函数y=6
x
的图象上，则y1______ y2.(填>，<，=) 11. 素有“天府明珠”“香城宝地”美誉的新都区旅游景点众多，某班计划在“芳华微马公园”，“东湖公园”，“桂湖公园”，“丝绸博物馆”，“百花谷”，“漫花庄园”这6个景点中选取一个开展实践活动，现对班上同学的意向进行问卷调查，选择这6个景点人数依次为：10，6，9，8，10，7，则这组数据的众数为______ ，中位数为______ ．
12.
如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若AC=4，
AB=5，OD⊥BC于点D，则CD的长为______ ．
13.
如图，四边形ABCD为矩形，AB=6，BC=8，连接AC，分别以
AC的长为半径画弧，两弧相交于点P，Q，连接
A，C为圆心，以大于1
2
PQ分别交AD，BC于点E，F，则线段EF的长为______ ．
14. ；
(2)解不等式组：．
15. 近期新都区某中学准备举行以“青春绽放⋅梦想起航”为主题的艺术节文艺汇演活动，某班组织部分同学以合唱的形式参加本次活动，为了达到更好的表演效果，需根据同学们的音色特征分为不同的声部，音乐教师黄老师随机抽取学生进行试唱，根据试唱情况把学生分成A，B，C，D四个不同的声部，并根据统计结果绘制了如图1和图2两幅不完整的统计图，
请根据图中提供的信息完成以下问题：
(1)扇形统计图中D声部对应的圆心角的角度是______ (度)，并补全条形统计图；
(2)已知A声部中只有一位同学是男生，黄老师准备从这4位同学中随机选择两位同学作为领唱，请用列表法或画树状图的方法求出选中的两名同学恰好是一男一女的概率．
16. 有着中国食品行业“晴雨表”之称的全国糖酒商品交易会，始于1955年，是中国历史最为悠久的大型专业展会之一.2023年第108届全国糖酒会于4月12日至4月14日，在成都中国西部国际博览城和世纪城新国际会展中心举办.某中学数学小组去测量会场的旗杆高度，过程如下，已知小亮站着测量，眼睛与地面的距离(AB)是1.7米，看旗杆顶部E的仰角为30°；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离(CD)是0.7米，看旗杆顶部E的仰角为45°，两人相距5米且位于旗杆同侧.(点B，D，F在同一直线上，结果保留根号)．
(1)求小敏到旗杆的距离DF；
(2)求旗杆EF高度．
17. 如图，AB是⊙O的一条弦，点C是AB中点，连接OB，OC，OC交AB于点D.过点B作⊙O 的切线交OC的延长线于点M，延长BO交⊙O于点Q，
连接MQ交⊙O于点P，连接BP．
(1)求证：△MBP∽△MQB；
(2)已知，求的值．
18. 如图，直线l经过点A(1,0)且与双曲线y=m
x
(x>0)交于点B(2,1)，经过直线l上一点
P(p,p―1)(p>1且p≠2)作x轴的平行线分别交曲线y=m
x (x>0)和y=―m
x
(x<0)于点M，
N．
(1)求m的值及直线l的解析式；
(2)求△AMN的面积；
(3)是否存在实数p，使得S△AMN=2S△APM若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．
19. 已知x1，x2是方程x2+mx―3=0的两个实数根，且x1=―1，则______ ．
20. 若整数a使关于x的分式方程ax―2
x―3=2―1
3―x
的解为整数，则所有满足条件的整数a的值
之和为______ ．
21. 青朱出入图，是魏晋时期数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂.开方除之，即弦也.”，若图中DF=1，CF=2，则AE的长为______ ．
22. 一个各位数字都不为0的四位正整数m，若千位与个位数字相同，百位与十位数字相同，则称这个数m为“双胞蛋数”，将千位与百位数字交换，十位与个位数字交换，得到一个新
的“双胞蛋数”m′，并规定若已知数m为“双胞蛋数”，设m的千位数字为
a，百位数字为b，且a≠b，若是一个完全平方数，则a―b=______ ，满足条件的m 的最小值为______ ．
23.
如图，在边长为6的等边△ABC中，动点D在AB边上(与点A，B
均不重合)，点E在边AC上，且AE=BD，CD与BE相交于点G，连接AG.当
点D在AB边上运动时，AG的最小值为______ ．
24. 已知商家购进一批商品，每件的进价10元，拟采取线上和线下两种方式进行销售.在线
下销售过程中发现：当12≤x≤20时，该商品的日销售量y(单位：件)与售价x(单位：元/件)之间存在一次函数关系，部分数值对应关系如下表：
售价x(元/件)1520
日销售量y(件)150120
(1)当12≤x≤20时，请求出y与x之间的函数关系式；
(2)若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的日销量固定为60件.设该商品线上和线下的日销售利润总和为w元，当该商品的售价x (元/件)为多少元时，日销售利润总和最大？最大
利润是多少？
25. 如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(―1,0)，B(4,0)，与y轴交于点C(0,4)，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，点P为线段BC上方的抛物线上的一点，过点P作垂直于x轴的直线l交线段BC于点F．
(1)求出二次函数y=ax2+bx+c的表达式；
(2)当四边形DEFP为平行四边形时，求点P的坐标；
(3)连接CP，CD，抛物线上是否存在点P，使？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
26. 将下列三幅图中的△ABC的边AB绕其顶点A逆时针旋转α得到线段AD．
(1)如图1，将边AC绕点A逆时针旋转α得到线段AE，连接DE，求证：△ABC≌△ADE；
(2)如图2，连接BD，点F在BD上，且满足BC=DF，连接AF，点G为AB上一点，连接DG交AF 于点M，若，∠ADB+∠ABC=180°，求证：AM=FM．
(3)如图3，连接CD，若∠BAD=120°，△ABC是等边三角形，P，Q两点分别在AB，BD上，且满足∠PCQ=∠ABD，请探究线段DQ，BP，CD之间的数量关系，并证明你的结论．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知―3<―2．
故选：C．
先根据正数都大于0，负数都小于0，再根据两个负数，绝对值大的反而小，可得比―2小的数是―3．
本题考查了有理数的大小比较，其方法如下：(1)负数<0<正数；(2)两个负数，绝对值大的反而小．
2.【答案】C
【解析】解：俯视图是圆形，说明这个几何体的上下有两个面是圆形的，左视图、左视图都是长方形的，于是可以判断这个几何体是圆柱体．
故选：C．
俯视图是圆形，说明这个几何体的上下有两个面是圆形的，左视图、左视图都是长方形的，于是可以判断这个几何体是圆柱体．
考查简单几何体的三视图及其画法，简单几何体的主视图、左视图、俯视图就是从正面、左面、上面的正投影所得到的图形．
3.【答案】D
【解析】解：∵点P(m+3,m+1)在x轴上，
∴y=0，
∴m+1=0，
解得：m=―1，
∴m+3=―1+3=2，
∴点P的坐标为(2,0)．
故选：D．
根据点P在x轴上，即y=0，可得出m的值，从而得出点P的坐标．
本题考查了点的坐标，注意平面直角坐标系中，点在x 轴上时纵坐标为0，得出m 的值是解题关键．4.【答案】D
【解析】解：根据题意，得
x +1≥0x ≠0
，解得：x ≥―1且x ≠0．
故选：D ．
根据二次根式和分式有意义的条件：被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
本题应注意在求得取值后，应排除在取值范围内使分母为0的x 的值．
5.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC ⊥DB ，AO =12AC ，BO =12
BD ，
∵AC =8，BD =6，
∴AO =4，BO =3，S 菱形ABCD =12×8×6=24，
∴AB = 42+32=5，S △AOB =6，
∵12⋅AB ⋅EO =12⋅AO ⋅BO ，
∴5EO =4×3，
EO =125，故选：C ．
根据菱形的性质可得AC ⊥DB ，AO =12AC ，BO =12
BD ，然后利用勾股定理计算出AB 长，再根据菱形的面积公式得到S 菱形ABCD =12×8×6=24，进而得到△AOB 的长，然后根据直角三角形的面积计算出EO 长即可．
此题主要考查了菱形的性质、面积，以及勾股定理，关键是掌握菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
6.【答案】A
【解析】解：设原计划每天植树x 万棵，可列方程是：
30x
―30(1+20%)x =5．故选：A ．
直接利用种植树木提前5天完成任务，表示出所有时间即可得出等式．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确得出等量关系是解题关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，
∴∠BOC =15×360°=72°，
，
R 2―r 2=(12a )2=14a 2，
12a =Rsin36°，故B 不符合题意；
a =2Rsin36°，
12
a =rtan36°，a =2rtan36°，故C 不符合题意；
cos36°=r R ，
r =Rcos36°，故A 不符合题意；
故选：D ．
根据圆内接正五边形的性质求出∠BOC ，再根据垂径定理求出∠1=36°，然后利用勾股定理和解直角三角形对各选项分析判断即可得解．
本题考查了圆内接五边形、解直角三角形的知识，掌握圆内接正五边形的性质，并求出中心角的度数是解题的关键．8.【答案】B
【解析】解：A 、由抛物线可知，a >0，b <0，c <0，则ac <0，由直线可知，ac >0，b >0，故本选项不合题意；
B、由抛物线可知，a>0，b>0，c>0，则ac>0，由直线可知，ac>0，b>0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a<0，b>0，c>0，则ac<0，由直线可知，ac<0，b<0，故本选项不合题意；
D、由抛物线可知，a<0，b<0，c>0，则ac<0，由直线可知，ac>0，b>0，故本选项不合题意．
故选：B．
先由二次函数y=ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y=acx+b的图象相比较看是否一致．
本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．
9.【答案】12
【解析】
【分析】
此题主要考查了比例的性质，正确表示出a，b，c是解题关键．
直接利用已知比例式设出a=6x，b=5x，c=4x，将a、b、c的值代入a+b―2c=6中，即可求出x，进而得出答案．
【解答】
解：∵a
6=b
5
=c
4
，
∴设a=6x，b=5x，c=4x，∵a+b―2c=6，
∴6x+5x―8x=6，
∴3x=6，
解得：x=2，
故a=12．
故答案为12．
10.【答案】<
【解析】解：∵点(―4,y1)，(6,y2)在反比例函数y=6
x
的图象上，
∴y1=―6
4=―3
2
，，
∴y1<y2．
故答案为：<．
利用反比例函数图象上点的坐标特征计算出y1和y2的值，然后比较它们的大小．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
11.【答案】108.5
【解析】解：这组数据中，出现次数最多的是10，共出现2次，因此众数是10，
将这组数据从小到大排列：6、7、8、9、10、10，
处在中间位置的两个数是8和9，因此中位数是：8+9
2
=8.5．
故答案为：10，8.5．
根据众数和中位数的定义解答即可．
本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的定义是解决问题的关键．中位数：将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．12.【答案】1.5
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC=52―42=3，
∵OD⊥BC，
∴BD=CD，
而OB=OC，
∴OD为△OBC的中位线，
．
故答案为：1.5．
先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则可根据勾股定理计算出AC=4，再根据垂径定理得到
BD=CD，则可判断OD为△ABC的中位线，然后根据三角形中位线性质求解．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
13.【答案】15
2
【解析】解：连接AF，
由尺规作图过程可知，EF为线段AC的垂直平分线，
∴AF=CF，EF⊥AC，AO=CO，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=90°，AD//BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF，
设AF=CF=x，
则BF=8―x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得，x2=62+(8―x)2，
解得x=25
，
4
∴CF=25
，
4
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC=62+82=10，
∴CO=5，
在Rt△COF中，由勾股定理得，，
∴EF=2OF=15
．
2
故答案为：15
．
2
连接AF，由尺规作图过程可知，EF为线段AC的垂直平分线，根据矩形的性质以及线段垂直平分线的性质可证明△AOE≌△COF，则OE=OF，设AF=CF=x，则BF=8―x，在Rt△ABF中，由勾股定理可求得x的值，由已知条件及勾股定理可求得AC，即可得CO的值，再由勾股定理可求
得OF，进而可得答案．
本题考查作图―基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质、矩形的性质、勾股定理是解答本题的关键．
14.【答案】解：；
+2―3+3
=1
2
=21
；
2
(2)解不等式①，得x≤1，
解不等式②，得x>―5，
∴该不等式组的解集为―5<x≤1．
【解析】(1)先计算开立方、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减；
(2)分别求解两个不等式的解集，再求解此题．
此题考查了实数的混合运算与不等式组的求解能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
15.【答案】43.2
【解析】解：(1)班级的总人数为：10÷40%=25(人)，
D等级的人数有：人)，
则扇形统计图中D等对应的圆心角的度数是，
补图如下：
故答案为：43.2；
(2)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是一男一女的有6种，
则选中的两名同学恰好是一男一女的概率是6
12=1
2
．
(1)根据B等级的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数减去其它等级的人数，求出D等级的人数，再用360°乘以D等级所占的百分比，即可求出扇形统计图中D等对应的圆心角的度数；
(2)根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和其中选中的两名同学恰好是一男一女的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
本题考查了统计图以及列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
16.【答案】解：(1)过点C作CG⊥EF，垂足为G，过点A作AH⊥EF，垂足为H，
由题意得：米，米，BD=5米，AH=BF，CG=DF，
设米，
米，
在Rt△ECG中，∠ECG=45°，
米)，
米，
在Rt△AEH中，∠EAH=30°，
米，
米，
，
解得：米，
米，
∴小敏到旗杆的距离DF为(4+33)米；
(2)由(1)得：米，
∴旗杆EF高度为米．
【解析】(1)过点C作CG⊥EF，垂足为G，过点A作AH⊥EF，垂足为H，根据题意可得：
米，米，BD=5米，AH=BF，CG=DF，
设米，则米，然后在Rt△ECG中，利用锐角三角函数的定义求出EG的长，从而求出EF的长，再在Rt△AEH中，利用锐角三角函数的定义求出EH的长，从而求出EF的长，最后列出关于x的方程，进行计算即可解答；
(2)利用(1)的结论和线段的和差关系，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用―仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17.【答案】(1)证明：∵MB切⊙O于B，
∴直径，
∴∠MBQ=90°，
∵BQ是圆的直径，
∴∠BPQ=90°，
∴∠BPM=90°，
，
，
∴△MBP∽△MQB；
(2)连接OA，
∵C是AB中点，
∴∠BOD=∠AOD，
∵OB =OA ，∴BD ⊥OM ，∴∠MDB =90°，
，，
∴△MBD∽△MOB ，∴MD ：MB =MB ：MO ，
，
由(1)知△MBP∽△MQB ，∴MB ：MQ =MP ：MB ，
，
，
．
【解析】(1)由切线的性质，圆周角定理得到，又∠BMP =∠BMQ ，即可
证明问题；
(2)由△MBD∽△MOB ，得到，由△MBP∽△MQB ，得到
，
因此
，于是得到
．
本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，关键是由△MBP∽△MQB ，
△MBD∽△MOB ，得到
．
18.【答案】解：(1)把点B(2,1)代入y =m
x 得
m =2×1=2，
设直线l 的解析式是y =kx +b ，把A(1,0)，B(2,1)代入y =kx +b 中，得k +b =02k +b =1，解得k =1b =―1，
∴直线l 的解析式是y =x ―1；(2)∵P 点坐标为(p,p ―1)，
∴点P 在直线l 上，而MN//x 轴，
∴点M 、N 的纵坐标都为p ―1，∴M(2p ―1,p ―1)，N(―2
p ―1,p ―1)，∴MN =4
p ―1，
∴S △AMN =12⋅4
p ―1⋅(p ―1)=2，
(2)存在．理由如下：
①当p =2时，p ―1=1，此时P 与B 重合，△APM 不存在；②当1<p <2时，．
∵S △AMN =2S △APM ，
，
整理得，
，无解，
当p >2时，如图，
．
∵S △AMN =2S △APM ，
，
整理得，p 2―p ―3=0，解得
不合题意，舍去)，
．
∴满足条件的p 的值为1+
132
．
【解析】(1)把B(2,1)代入y =m
x 即可得到m 的值；然后利用待定系数法求出直线l 的解析式；(2)由于P 点坐标为(p,p ―1)得到点P 在直线l 上，则点M 、N 的纵坐标都为p ―1，得到M(2
p ―1,p ―1)，N(―2
p ―1,p ―1)，可得MN =4
p ―1，计算出S △AMN =1
2⋅4
p ―1⋅(p ―1)=2；
(3)利用S △AMN =2S △APM ，得到2⋅12
(p 2―p ―2)=2，然后解方程即可．
本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式；会计算三
角形的面积．
19.【答案】4
【解析】解：根据题意得x1+x2=―m，x1x2=―3，
∵x1=―1，x1x2=―3，
∴x2=3，
∴―1+3=―m，
∴m=―2，
．
故答案为：4．
先根据根与系数的关系得到x1+x2=―m，x1x2=―3，再利用x1=―1可求出x2=3，则可计算出m=―2，然后计算代数式的值．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2
=―b
a ，x1x2=c
a
．
20.【答案】7
【解析】解：两边都乘以x―3，得
，
解得，
当a=―1时，；当a=1时，；
当a=3时，；当a=5时，，∵当x=3时，x―3=0，
∴x=3不是原方程的解，
∴a=―1、3或5，
∴a≠1，
∴―1+3+5=7，
故答案为：7．
先化分式方程为整式方程并求解，再进行讨论求得所有a的值，最后将所有符合条件a的值相加即可．
此题考查了分式方程求解的能力，关键是能准确运用数形结合思想和数学讨论思想进行求解．
21.【答案】310
【解析】解∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠D=90°，
∵DF=1，FC=2，
，
，
∵AD//BE，
∴△ADF∽△ECF，
∴AF：FE=DF：FC=1：2，
，
．
故答案为：310．
由勾股定理求出AF的长，由△ADF∽△ECF，得到AF：FE=DF：FC=1：2，求出FE的长，即可求出AE的长．
本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键．
22.【答案】6
【解析】解：，
，
，
，
是一个完全平方数，
是一个完全平方数，
∵a≠b，且a、b均不为0，
∴a―b=6，
∴a=7，b=1或a=8，b=2或a=9，b=3，
∴m的最小值为．
故答案为：．
本题通过定义新运算“双胞蛋数”，用a、b来表示m和m′，并代入中，用a、b 表示，然后代入中，用a、b表示，根据为完全平方数，且，来得出a―b的值，从而求出m值．
本题主要考查新定义的双胞蛋数，通过给出的关系式，运用整式的运算，得出对应的式子，通过平方数来得到对应的关系，从而判断出最小值．
23.【答案】23
【解析】解：如图，过点A作AD//BC，过点C作CD//AB，
∵△ABC是等边三角形，
∴四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴∠BAD=120°，BC=AD，∠DAC=60°，
∴∠DAF=∠CBE，
∵BE=AF，
∴△ADF≌△BCE(SAS)，
∴DF=CE，∠BCE=∠ADF，
∵AB=AD，∠BAF=∠DAF，AF=AF，
∴△BAF≌△DAF(SAS)，
∴∠ADF=∠ABF，
∴∠ABF=∠BCE，
∴∠BGC=180°―(∠GBC+∠GCB)=180°―∠CBE=120°，
如图，作△BGC的外接圆O，即点G在以O为圆心，OB为半径的圆上运动，
∴∠BOC=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
连接AO，交⊙O于G，交BC于M，此时AG最小，AO是BC的垂直平分线，
∴BM=CM=3，
，
∴OC=23，
∵OB=OC，∠BOC=120°，
∴∠BCO=30°，
∴∠ACO=90°，
∴∠OAC=30°，
，
∴AO=43，
∴AG的最小值为．
故答案为：23．
作辅助线，建立全等三角形，证明△ADF≌△BCE和△BAF≌△DAF(SAS)，证明∠BGC=120°，再作△BGC的外接圆O，即点G在以O为圆心，OB为半径的圆上运动，计算AO和OG的长，计算其差可得结论．
本题考查了菱形的判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的全等的性质和判定，圆周角定理，垂径定理等知识，正确作辅助线证明∠BGC=120°是解本题的关键．
24.【答案】解：(1)∵当12≤x≤20时，y与x满足一次函数的关系，
∴设y=kx+b(k≠0)，
将x=15，y=150；x=20，y=120代入得：
，
解得k=―6
b=240，
，
∴当12≤x≤20时，请求出y与x之间的函数关系式为；
(2)根据题意得：
，
∵―6<0，
∴当x=30时，w有最大值，最大值为2280，
∴当该商品的售价x (元/件)为30元时，日销售利润总和最大，最大利润是2280元．
【解析】(1)设y=kx+b(k≠0)，用待定系数法求出函数解析式即可；
(2)根据日销售利润总和=线上和线下销售利润之和列出函数解析式，由函数的性质求出最值．本题考查二次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式．
25.【答案】解：(1)∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(―1,0)，B(4,0)，与y轴交于点C(0,4)，
∴a―b+c=0
16a+4b+c=0 c=4
，
解得a=―1 b=3
c=4
，
∴二次函数的表达式为：y=―x2+3x+4；
(2)设BC所在直线的表达式为：y=mx+n，将C(0,4)、B(4,0)代入y=mx+n，
得4m+n=0 n=4，
解得m=―1 n=4，
∴BC所在直线的表达式为：y=―x+4；∵DE⊥x轴，PF⊥x轴，
∴DE//PF ，
只要DE =PF ，四边形DEFP 即为平行四边形，∵y =―x 2+3x +4=―(x ―32
)2+254
，∴点D 的坐标为：(32,254
)，
将x =32
代入y =―x +4，即y =―32
+4=52
，∴点E 的坐标为：(32,5
2
)，∴DE =
254―52=154
，设点P 的横坐标为t ，
则P 的坐标为：(t,―t 2+3t +4)，F 的坐标为：(t,―t +4)，∴PF =―t 2+3t +4―(―t +4)=―t 2+4t ，由DE =PF 得：―t 2+4t =
154
，解得：t 1=32
(不合题意舍去)，t 2=52
，当t =52
时，―t 2+3t +4=―(52
)2+3×52
+4=214
，∴点P 的坐标为(52,214
)；(3)存在，理由如下：由(2)得：PF//DE ，∴∠CED =∠CFP ，
又∵∠PCF 与∠DCE 有共同的顶点C ，且∠PCF 在∠DCE 的内部，∴∠PCF ≠∠DCE ，
∴∠PCF =∠CDE 时，△PCF∽△CDE ，∴
PF CE =CF
DE
，∵C(0,4)、E(32,52
)，
∴CE = (32)2+(4―52)2=3
22
，
由(2)得：DE =
15
4
，PF =―t 2+4t ，F 的坐标为：(t,―t +4)，，
∴
―t 2+4t
3
22
=
2t
154
，
∵t ≠0，∴
15
4
(―t +4)=3，解得：t =165
，当t =
165时，―t 2+3t +4=―(165)2+3×165+4=8425
，∴点P 的坐标为：(165,84
25
). 【解析】(1)由题意得出方程组，即可求出二次函数的解析式为y =―x 2+3x +4；
(2)由待定系数法求出直线BC 的解析式，证DE//PF ，只要DE =PF ，四边形DEFP 即为平行四边形，由二次函数解析式求出点D 的坐标，由直线BC 的解析式求出点E 的坐标，则DE =
15
4
，设点P 的横坐标为t ，则P 的坐标为：(t,―t 2+3t +4)，F 的坐标为：(t,―t +4)，由DE =PF 得出方程，解方程进而得出答案；
(3)由平行线的性质得出∠CED =∠CFP ，当∠PCF =∠CDE 时，△PCF∽△CDE ，则PF CE =CF
DE
，得出方程，解方程即可．
本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握待定系数法求函数解析式，熟记二次函数的性质是解题的关键．
26.【答案】(1)证明：∵边AB 绕其顶点A 逆时针旋转α得到线段AD ，
∴AB =AD ，∠BAD =α，
∵将边AC 绕点A 逆时针旋转α得到线段AE ，∴AC =AE ，∠CAE =α，
∴∠BAD ―∠CAD =∠CAE ―∠CAD ，∴∠BAC =∠DAE ，在△ABC 和△ADE 中，AB =AD
∠BAC =∠DAE AC =AE
，∴△ABC≌△ADE(SAS)；
(2)证明：延长BD到N，使DN=BC，连接AN，则，
，
∴∠ABC=∠ADN，
由旋转可知AB=AD，
在△ABC和△ADN中，
，
∴△ABC≌△ADN(SAS)，
，
，
，
，
，
∵BC=DF，BC=DN，
∴DF=DN，
，
∴AM=FM；
(3)解：3DQ+BP=2CD．
证明：过点C作∠QCK=∠PCQ交AD于点K，过点B作交DA的延长线于点L，
∵△ABC是等边三角形，∠BAD=120°，
又△ACD是等边三角形，
∴AB=AD=BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，，
，
，
又∵AC=CD，，
∴△ACP≌，
，
，
，
∵∠BAD=120°，
，
，
∵AB=DC，
∴△ABL≌△DCK(AAS)，
，，
，
，
，
即，
，
∽△CDQ，
，
∴DL=3DQ，
，
，
，
∴3DQ+BP=2CD．
【解析】(1)由旋转的性质证出∠BAC=∠DAE，根据SAS可证明△ABC≌△ADE；
(2)延长BD到N，使DN=BC，连接AN，则，证明△ABC
≌△ADN(SAS)，由全等三角形的性质得出，证出，DF=DN，则可得出结论；
(3)过点C作∠QCK=∠PCQ交AD于点K，过点B作交DA的延长线于点L，证明△ACP≌
，由全等三角形的性质得出，证明△ABL≌△DCK(AAS)，由全等三角形的性质得出，，证明∽△CDQ，由相似三角形的性质得出
，证出DL=3DQ，则可得出结论．
本题是几何变综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，添加合适的辅助线是解题的关键．。