将军饮马模型

将军饮马问题
将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具,最短距离是题眼）.所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称.而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。

比如题目经常会出现线段 a+b 这样的条件或者问题。

一旦出现可以快速联想到将军饮马问题,然后利用轴对称解题.
1。

将军饮马故事
“将军饮马”问题是数学问题中的经典题目，主要转化成“两点之间线段最短问题"
原题:如图，一位将军,从A地出发，骑马到河边给马饮水，然后再到B地，问怎样选择饮水的地点，才能使所走的路程最短？
•A
•B
模型一：一条定直线，同侧两定点
在直线l的同侧有两点A，B，在L上求一点P,使得PA+PB值最小。

一般做法：作点 A(B）关于直线的对称点，连接 A'B，A'B 与直线交点即为所求点。

A'B即为最短距离。

理由:A'为 A 的对称点，所以无论 P 在直线任何位置都能得到 AP=A’P。

所以PA+PB=PA’+PB。

这样问题就化成了求 A'到 B 的最短距离，直接相连就可以了.
例一:某供电部门准备在输电主干线L上连接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A、B两个居民小区送电。

已知两个居民小区A、B分别到主干线的距离AA1=2千米,BB1=1千米,且A1B1=4千米.
（1)如果居民小区A、B位于主干线L的两旁，如图（1）所示，那么分支点M 在什么地方时总路线最短?最短线路的长度是多少千米？
（2）如果居民小区A、B位于主干线L的同旁，如图（2）所示，那么分支点M 在什么地方时总路线最短?此时分支点M与A1的距离是多少千米？
模型二：一条定直线,一定点，一动点
如图，已知直线L 和定点A,在直线K 上找一点M
,在直线L 上找一点P,使得AP+PB 值最小.
模型三：一定点，两条定直线
如图，在∠OAB 内有一点 P,在 OA 和 OB 各找一个点 M 、N ，使得△PMN 周长最短(题 眼）。

一般做法：作点 P 关于 OA 和 OB 的对称点 P1、P2。

连接 P1P2。

P1P2 与 OA 、OB 的交点即为所求点.P1P2 即为最短周长.
理由：对称过后,PM=P1M ，PN=P2N 。

所以PM+PN+MN=P1M+P2N+MN.所以问题就化 成了求 P1 到 P2 的最短距离,直接相连就可以
了。

• A • B • B • A • A ’ •
B ’ • A ’ • B ’
L
L
模型四:两定点，两条定直线
如图,点P ，Q 为∠MON 内的两点，分别在OM ，ON 上做点A ，B,是四边形PAQB 的周长最小.
练习题：
1。

如图,点P 是∠AOB 内一点,点M ，N 分别在OA ，OB 上运动,若∠AOB=30度，OP=4,则三角形周长的最小值为多少.
2..如图,正方形ABCD 的边长为8,M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上一动点，则DN+MN 的最小值是多少？
A B C D M N
3。

如图所示，在边长为6的菱形ABCD 中，∠DAB=600，E 为AB 的中点，F 是AC 上一动点，则EF+BF 的最小值是多少？
4。

如图, 中，BC ＝4， ，P 为BC 上一点，过点
P 作PD//AB,交AC 于D 。

连结AP ，问点P 在BC 上何处时, ⊿APD 面积最大?
A B C D E F • • ABC ∆︒=∠=6032ACB AC ， A
D B P H C。