【多彩课堂】2015-2016学年高中数学人教A版选修1-1课件：3.1.1《变化率问题》
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y f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x) f ( x1 ) x x2 x1 x
y f ( x2 ) f ( x1 ) 观察函数f(x)的图象平均变化率 x x2 x1
表示什么?
Y=f(x) y f(x2) f(x2)-f(x1)=△y f(x1) A x2-x1=△x x x1 x2 B
位：米)与起跳后的时间t（单位秒）存在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
h
如何用运动员在某些时间段内的平均
速度粗略地描述其运动状态?
o t
请计算 0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v : h(t)=-4.9t2+6.5t+10
在0 t 0.5这段时间里， h(0.5) h(0) v 4.05(m / s) 0.5 0 在1 t 2这段时间里， h(2) h(1) v 8.2(m / s) 2 1
第3 章
导数及应用
3.1.1 变化率问题
变化率 问题
内容：函数平均变化率的概念,求函数平均 变化率的一般步骤. 求函数在某区间上的平均 变化率 求函数在某点附近的平均 变化率
应用
本课主要学习平均变化率的概念及内涵,掌握求平均变 化率的一般步骤.在问题引入、概念形成及概念深化都是 采用情境探究的方法 ,将有关情境材料提供给学生 ,学生 通过对这些材料进行分析、思考、提炼、探究,获得对平 均变化率概念的了解 .然后在探究的基础上 ,组织学生研 讨自己在探究中的发现 ,通过互相交流、补充、研讨 , 使 学生对平均变化率的认识从感性的认识上升到理性认识 , 获得一定水平层次的科学概念。针对平均变化率的求法 给出3个例题，通过解决具体问题强调正确应用平均变化 率的重要性。 在讲述平均变化率的应用时，采用例题与思考与探究 相结合的方法，通过3个例题。随后是课堂检测，通过设 置难易不同的必做和选做试题，对不同的学生进行因材 施教。
3
3V 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 r (V ) 4
3
我们来分析一下: r (V ) 3
3V 4
当V从0增加到1时,气球半径增加了 r (1) r (0) 0.62(dm)
r (1) r (0) 0.62(dm / L) 气球的平均膨胀率为 1 0 r (2) r (1) 0.16(dm / L) 气球的平均膨胀率为 2 1
【例3】某市2004年4月20日最高气温为33.4℃，而此前的两天， 4月19日和4月18日最高气温分别为24.4℃和18.6℃，短短两天 时间，气温“陡增” 14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气 热得太快了！”但是，如果我们将该市 2004 年 3 月18日最高气 温 3.5℃与4月 18日最高气温 18.6℃进行比较，我们发现两者温 差为 15.1℃，甚至超过了 14.8℃．而人们却不会发出上述感 叹．这是什么原因呢？原来前者变化得“太快”，而后者变化 得“缓慢”． T(℃) C(34, 33.4)
10
20
30
34 t(天)
分析：如上图： （1）选择该市2004年3月18日最高气温3.5℃与4月18日最高气温18.6℃进行比较， ℃，由此可知 （2）选择该市2004年4月18日最高气温 ℃与4月20日 ℃，由此可知 ； ℃进行比较， ．
变式训练3 已知函数 ，分别计算 在自变量 从1变化到2和从3变化
25 3t
1.函数的平均变化率
2.利用导数定义求导数三步曲： (1)求函数的增量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； Δy fx0＋Δx－fx0 (2)求平均变化率 ＝ ； Δx Δx Δy (3)取极限，得导数 f′(x0)＝Δ lim x→0 Δx 简记为一差，二比，三趋近． 口诀：一差、二化、三极限 Δy 特别提醒 ①取极限前，要注意化简 ，保证使 Δx→0 时分 Δx 母不为 0. ②函数在 x0 处的导数 f′(x0)只与 x0 有关，与 Δx 无关． ③导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛．
直线AB 的斜率
O
【例1】（1）求 y x 2 在 x0 到 x0 x 之间的平均变化率．
解：当自变量从 x0 变到 x0 x 时，函数的平均变化率为
2 f ( x0 x) f ( x0 ) ( x0 x) 2 x0 2 x0 x ． x x
当 x 取定值，x0 取不同数值时， 该函数的平均变化率也不一样， 可以由图看出变化．
所以平均速度为
s 24 8(m / s ). t 3
②由题意知 t 3 2 1 ，
s s(3) s(2) 2 32 2 3 (2 22 2 2) 12 ，
s 12 12(m / s ). 所以平均速度为 t 1
变式训练1 （1）求 （2）如果函数 则 __________． 在 到 之间的平均变化率． 在区间 上的平均变化率为3，
导数研究的问题
变化率问题
研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．
气球膨胀率:我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程 ,可以
发现 , 随着气球内空气容量的增加 , 气球的半径增加越来越 慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的 4 3 思考:这一现象中，哪些量在改变？变量的变化情况？ V ( r ) r 函数关系是
随着气球体积逐渐变大,它的平均膨
胀率逐渐变小。
当V从1增加到2时,气球半径增加了 r (2) r (1) 0.16(dm)
显然 0.62>0.16
思考? 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单
4 3 2ห้องสมุดไป่ตู้1 1 1 2 3
的图象， 求函数
在区间
上的平均变化
必做题 1．已知函数 ，分别计算 在自变量 从1变到2和从4变到
6时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快． 2．已知某质点按规律 ( ：单位为 m， ：单位为 s)做直线运 动，求： （1）该质点在前3s 内的平均速度； （2）该质点在2s 到3s 内的平均速度．
选做题 如图是函数 率．
(2)已知某质点按规律 s 2t 2 2t （s：单位为 m，t 单位为 s）做 直线运动，求： ①该质点在前3s 内的平均速度； ②该质点在前2s 到3s 内的平均速度．
解： ①由题意知 t 3 ，
s s(3) s(0) 2 32 2 3 (2 02 2 0) 24，
答案：（1）当自变量从
变到
时，函数的平均变化率为
；（2）3．
【例2】过曲线 y f ( x) x3 上的两点 P(1,1) 和 Q(1 x,1 y) 作曲线 的割线，求出当 x 0.1 时割线的斜率．
解：因为 y f (1 x) f (1)
，
y (x)3 3(x) 2 3x 所以割线 PQ 的斜率为 (x) 2 3x 3. x x
30 20 10 2 A(1, 3.5) 0 2 B(32, 18.6)
10
20
30
34 t(天)
问题：当自变量表示由 3月 18 日开始计算的天数，表示气温， 记函数表示温度随时间变化的函数，那么气温变化的快慢情
况应当怎样表示？
T(℃) 30 20 10 2 A(1, 3.5) 0 2 B(32, 18.6) C(34, 33.4)
背景介绍
早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工场
的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了
科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研 究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。 微积分的奠基人是牛顿和莱布尼兹，他们分别从运动学和几 何学角度的来研究微积分。微积分靠着解析几何的帮助，成 为十七世纪最伟大的数学发现，此后，微积分得到了广泛的 应用。例如，在军事上，战争中涉及炮弹的最远射程问题， 天文学上，行星与太阳的最近与最远距离问题等等。甚至连 历法、农业都与微积分密切相关。更不用说在我们的日常生 活中所碰到的那些问题了。
是运动员仍然运动，并非静止．
在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运 动状态.
平均变化率定义:
f ( x2 ) f ( x1 ) 上述问题中的变化率可用式子 表示 x2 x1
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率 若设Δ x=x2-x1, Δ y=f(x2)-f(x1)
y f ( x2 ) f ( x1 ) 则平均变化率为 x x x 2 1
到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化的较快．
答案：
，
；
1.质点运动规律s=t2 +3,则在时间(3,3+t)中 相应的平均速度为( A ) A. 6+t C.3+t B. 6+t+ 9 t
D.9+t
2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化率.
h
o
t
65 计算运动员在 0 t 这段时间里的平均速度， 49 并思考以下问题：
65 h( ) h(0) 10 49
h v 0 t
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 虽然运动员在这段时间里的平均速度为0(m/s)，但实际情况
这里Δx看作是对于x1的一个 “增量”可用x1+Δx代替x2 同样Δy=f(x2)-f(x1)
1.△x是一个整体符号，而不是△与x相乘； 式子中△x 、△ y的值可正、可负， 但△x值不能为0，△y的值可以为0; 因此，平均变化率可正，可负，也可为零； 2.若函数f(x)为常函数时，△y=0 3.变式
当 x 0.1 时，设割线 PQ 的斜率为 k， 则k
y (0.1) 2 3 0.1 3 3.31. x
变式训练2 已知曲线 y x 2 1 上两点 A(2,3), A(2 x,3 y).
5 当 x 1 时，割线 AA 斜率是_______ ； 4.1 ． 当 x 0.1 时，割线 AA 斜率是_______
y f ( x2 ) f ( x1 ) 观察函数f(x)的图象平均变化率 x x2 x1
表示什么?
Y=f(x) y f(x2) f(x2)-f(x1)=△y f(x1) A x2-x1=△x x x1 x2 B
位：米)与起跳后的时间t（单位秒）存在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
h
如何用运动员在某些时间段内的平均
速度粗略地描述其运动状态?
o t
请计算 0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v : h(t)=-4.9t2+6.5t+10
在0 t 0.5这段时间里， h(0.5) h(0) v 4.05(m / s) 0.5 0 在1 t 2这段时间里， h(2) h(1) v 8.2(m / s) 2 1
第3 章
导数及应用
3.1.1 变化率问题
变化率 问题
内容：函数平均变化率的概念,求函数平均 变化率的一般步骤. 求函数在某区间上的平均 变化率 求函数在某点附近的平均 变化率
应用
本课主要学习平均变化率的概念及内涵,掌握求平均变 化率的一般步骤.在问题引入、概念形成及概念深化都是 采用情境探究的方法 ,将有关情境材料提供给学生 ,学生 通过对这些材料进行分析、思考、提炼、探究,获得对平 均变化率概念的了解 .然后在探究的基础上 ,组织学生研 讨自己在探究中的发现 ,通过互相交流、补充、研讨 , 使 学生对平均变化率的认识从感性的认识上升到理性认识 , 获得一定水平层次的科学概念。针对平均变化率的求法 给出3个例题，通过解决具体问题强调正确应用平均变化 率的重要性。 在讲述平均变化率的应用时，采用例题与思考与探究 相结合的方法，通过3个例题。随后是课堂检测，通过设 置难易不同的必做和选做试题，对不同的学生进行因材 施教。
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3V 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 r (V ) 4
3
我们来分析一下: r (V ) 3
3V 4
当V从0增加到1时,气球半径增加了 r (1) r (0) 0.62(dm)
r (1) r (0) 0.62(dm / L) 气球的平均膨胀率为 1 0 r (2) r (1) 0.16(dm / L) 气球的平均膨胀率为 2 1
【例3】某市2004年4月20日最高气温为33.4℃，而此前的两天， 4月19日和4月18日最高气温分别为24.4℃和18.6℃，短短两天 时间，气温“陡增” 14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气 热得太快了！”但是，如果我们将该市 2004 年 3 月18日最高气 温 3.5℃与4月 18日最高气温 18.6℃进行比较，我们发现两者温 差为 15.1℃，甚至超过了 14.8℃．而人们却不会发出上述感 叹．这是什么原因呢？原来前者变化得“太快”，而后者变化 得“缓慢”． T(℃) C(34, 33.4)
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34 t(天)
分析：如上图： （1）选择该市2004年3月18日最高气温3.5℃与4月18日最高气温18.6℃进行比较， ℃，由此可知 （2）选择该市2004年4月18日最高气温 ℃与4月20日 ℃，由此可知 ； ℃进行比较， ．
变式训练3 已知函数 ，分别计算 在自变量 从1变化到2和从3变化
25 3t
1.函数的平均变化率
2.利用导数定义求导数三步曲： (1)求函数的增量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； Δy fx0＋Δx－fx0 (2)求平均变化率 ＝ ； Δx Δx Δy (3)取极限，得导数 f′(x0)＝Δ lim x→0 Δx 简记为一差，二比，三趋近． 口诀：一差、二化、三极限 Δy 特别提醒 ①取极限前，要注意化简 ，保证使 Δx→0 时分 Δx 母不为 0. ②函数在 x0 处的导数 f′(x0)只与 x0 有关，与 Δx 无关． ③导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛．
直线AB 的斜率
O
【例1】（1）求 y x 2 在 x0 到 x0 x 之间的平均变化率．
解：当自变量从 x0 变到 x0 x 时，函数的平均变化率为
2 f ( x0 x) f ( x0 ) ( x0 x) 2 x0 2 x0 x ． x x
当 x 取定值，x0 取不同数值时， 该函数的平均变化率也不一样， 可以由图看出变化．
所以平均速度为
s 24 8(m / s ). t 3
②由题意知 t 3 2 1 ，
s s(3) s(2) 2 32 2 3 (2 22 2 2) 12 ，
s 12 12(m / s ). 所以平均速度为 t 1
变式训练1 （1）求 （2）如果函数 则 __________． 在 到 之间的平均变化率． 在区间 上的平均变化率为3，
导数研究的问题
变化率问题
研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．
气球膨胀率:我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程 ,可以
发现 , 随着气球内空气容量的增加 , 气球的半径增加越来越 慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的 4 3 思考:这一现象中，哪些量在改变？变量的变化情况？ V ( r ) r 函数关系是
随着气球体积逐渐变大,它的平均膨
胀率逐渐变小。
当V从1增加到2时,气球半径增加了 r (2) r (1) 0.16(dm)
显然 0.62>0.16
思考? 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单
4 3 2ห้องสมุดไป่ตู้1 1 1 2 3
的图象， 求函数
在区间
上的平均变化
必做题 1．已知函数 ，分别计算 在自变量 从1变到2和从4变到
6时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快． 2．已知某质点按规律 ( ：单位为 m， ：单位为 s)做直线运 动，求： （1）该质点在前3s 内的平均速度； （2）该质点在2s 到3s 内的平均速度．
选做题 如图是函数 率．
(2)已知某质点按规律 s 2t 2 2t （s：单位为 m，t 单位为 s）做 直线运动，求： ①该质点在前3s 内的平均速度； ②该质点在前2s 到3s 内的平均速度．
解： ①由题意知 t 3 ，
s s(3) s(0) 2 32 2 3 (2 02 2 0) 24，
答案：（1）当自变量从
变到
时，函数的平均变化率为
；（2）3．
【例2】过曲线 y f ( x) x3 上的两点 P(1,1) 和 Q(1 x,1 y) 作曲线 的割线，求出当 x 0.1 时割线的斜率．
解：因为 y f (1 x) f (1)
，
y (x)3 3(x) 2 3x 所以割线 PQ 的斜率为 (x) 2 3x 3. x x
30 20 10 2 A(1, 3.5) 0 2 B(32, 18.6)
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20
30
34 t(天)
问题：当自变量表示由 3月 18 日开始计算的天数，表示气温， 记函数表示温度随时间变化的函数，那么气温变化的快慢情
况应当怎样表示？
T(℃) 30 20 10 2 A(1, 3.5) 0 2 B(32, 18.6) C(34, 33.4)
背景介绍
早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工场
的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了
科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研 究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。 微积分的奠基人是牛顿和莱布尼兹，他们分别从运动学和几 何学角度的来研究微积分。微积分靠着解析几何的帮助，成 为十七世纪最伟大的数学发现，此后，微积分得到了广泛的 应用。例如，在军事上，战争中涉及炮弹的最远射程问题， 天文学上，行星与太阳的最近与最远距离问题等等。甚至连 历法、农业都与微积分密切相关。更不用说在我们的日常生 活中所碰到的那些问题了。
是运动员仍然运动，并非静止．
在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运 动状态.
平均变化率定义:
f ( x2 ) f ( x1 ) 上述问题中的变化率可用式子 表示 x2 x1
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率 若设Δ x=x2-x1, Δ y=f(x2)-f(x1)
y f ( x2 ) f ( x1 ) 则平均变化率为 x x x 2 1
到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化的较快．
答案：
，
；
1.质点运动规律s=t2 +3,则在时间(3,3+t)中 相应的平均速度为( A ) A. 6+t C.3+t B. 6+t+ 9 t
D.9+t
2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化率.
h
o
t
65 计算运动员在 0 t 这段时间里的平均速度， 49 并思考以下问题：
65 h( ) h(0) 10 49
h v 0 t
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 虽然运动员在这段时间里的平均速度为0(m/s)，但实际情况
这里Δx看作是对于x1的一个 “增量”可用x1+Δx代替x2 同样Δy=f(x2)-f(x1)
1.△x是一个整体符号，而不是△与x相乘； 式子中△x 、△ y的值可正、可负， 但△x值不能为0，△y的值可以为0; 因此，平均变化率可正，可负，也可为零； 2.若函数f(x)为常函数时，△y=0 3.变式
当 x 0.1 时，设割线 PQ 的斜率为 k， 则k
y (0.1) 2 3 0.1 3 3.31. x
变式训练2 已知曲线 y x 2 1 上两点 A(2,3), A(2 x,3 y).
5 当 x 1 时，割线 AA 斜率是_______ ； 4.1 ． 当 x 0.1 时，割线 AA 斜率是_______