高等代数课件(北大版)第六章-线性空间§6.5

,
n1 (1,0, ,0, 1) 就是W1 的一组基.
而在 W2中任取两个向量 , ，设
( x1, x2 , , xn ), ( y1, y2 , , yn ) 则 ( x1 y1, x2 y2 , , xn yn )
但是 ( x1 y1 ) ( x2 y2 ) ( xn yn )
例6 设V为数域P上的线性空间，1,2 , ,r V
令W {k11 k22 krr ki P,i 1,2, ,r}
则W关于V的运算作成V的一个子空间．
即1,2 , ,r 的一切线性
组合所成集合.
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二、一类重要的子空间 ——生成子空间
定义：V为数域P上的线性空间，1,2, ,r V，
无关组，则
L(1,2 , ,s ) L(i1 ,i2 , ,ir )
3、设 1,2 , ,n 为P上n维线性空间V的一组基，
A为P上一个 n s 矩阵，若
(1, 2 , , s ) (1,2 , ,n ) A 则 L(1, 2 , , s )的维数＝秩(A).
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既然 1,2 , ,m 还不是V的一组基，它又是线
性无关的，那么在V中必定有一个向量
不能被
m1
1,2, ,m 线性表出，把它添加进去，则
1,2 , ,m ,m1 必定是线性无关的．
由定理3，子空间 L(1,2 , ,m1 ) 是m＋1维的．
因 n－(m＋1)＝(n－m)－1＝(k＋1)－1＝k，
由归纳假设，L(1,2 , ,m1 )的基1,2 , ,m ,m1
线性相关性. 所以可对矩阵A作初等行变换化阶梯
阵来求向量组 1, 2, , s 的一个极大无关组，从而 求出生成子空间 L(1, 2 , , s ) 的维数与一组基.
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4、（定理4）
扩基定理
设W为 n 维线性空间 V的一个 m 维子空间，
1,2 , ,m 为W的一组基，则这组向量必定可扩充
1、线性子空间的定义
设V是数域P上的线性空间，集合 W V (W ) 若W对于V中的两种运算也构成数域P上的线性空间, 则称W为V的一个线性子空间，简称为子空间． 注：① 线性子空间也是数域P上一线性空间，它也
有基与维数的概念. ② 任一线性子空间的维数不能超过整个空间的
维数.
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任取 j ( j r+1, , s),
将A的第 j列添在A1的右边构成的矩阵记为Bj ，则
(1, 2 , r , j ) (1,2, ,n )Bj
设 l11 l22 lr r lr1 j 0,
l1
即
(1 , 2 ,
,
r
,
j
)
lr lr1
0,
则有 (1,2 ,
l1
,n
子空间称为非平凡子空间．
例2 设V为所有实函数所成集合构成的线性空间, 则R[x]为V的一个子空间．
例3 P[x]n是P[x]的的线性子空间．
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例4 n元齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2
a21
x1
a22 x2
a1n xn 0 a2n xn 0
同理每一个 i 也可被1,2 , ,r 线性表出. 所以，1,2 , ,r 与 1, 2 , , s 等价．
反之，1,2 , ,r 与 1, 2 , , s 等价．
L(1,2 , ,r ) ， 可被 1,2 , ,r 线性表出，
从而可被 1, 2 , , s线性表出，即 L(1, 2 , , s ), L(1,2 , ,r ) L(1, 2 , , s )
若为Pn的子空间，求出其维数与一组基.
解：W1 、W3是Pn的子空间， W2不是Pn的子空间.
事实上，W1 是n元齐次线性方程组
x1 x2 xn 0
①
的解空间. 所以，维W1 ＝n－1，①的一个基础解系
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1 (1, 1,0, ,0), 2 (1,0, 1,0, ,0),
则子空间
W {k11 k22 krr ki P,i 1,2, ,r}
称为V的由 1,2 , ,r 生成的子空间， 记作 L(1,2 , ,r ) ． 称 1,2 , ,r 为 L(1,2 , ,r )的一组 生成元.
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例7 在Pn 中，
i (0,
, 0,1, 0 i
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同理可得， L(1, 2 , , s ) L(1,2, ,r ) 故， L(1,2 , ,r ) L(1, 2 , , s )
2）设向量组 1,2 , ,r 的秩＝t，不妨设 1,2 , ,t (t r) 为它的一个极大无关组．
因为 1,2 , ,r 与 1,2 , ,t 等价， 所以,
, yn1, 0)
则有 ( x1 y1, x2 y2 , , xn1 yn1,0) W3
k (kx1, kx2 , , kxn1,0) W3
故，W3为V的一个子空间，且维W3 ＝n－1 ，
i (0,
, 0,1, 0 i
,0), i 1,2,
,n1
就是W3的一组基.
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两组向量，则 L(1,2 , ,r ) L(1, 2 , , s )
1,2 , ,r 与 1, 2 , , s 等价．
2）生成子空间 L(1,2 , ,r ) 的维数
＝向量组 1,2 , ,r 的秩．
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证：1）若 L(1,2 , ,r ) L(1, 2 , , s ) 则对 i , i 1, 2, , r, 有 i L(1, 2 , , s )， 从而 i 可被 1, 2 , , s 线性表出；
第六章 线性空间
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 §6 子空间的交与和
与简单性质ห้องสมุดไป่ตู้
§7 子空间的直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间的同构
§4 基变换与坐标变换 小结与习题
2023/9/3
§6.5 线性子空间
一、线性子空间 二、生成子空间
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一、线性子空间
)B
j
lr lr 1
0
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l1
从而有
B
j
lr lr1
0
③
而秩(Bj)＝r，∴ ③ 有非零解，故有不全为零的数
l1, l2 , , lr , lr1, 使
l11 l22 lr r lr1 j 0,
1, 2, , r , j 线性相关.
为V的一组基．即在 V中必定可找到 n－m 个向量
m1,m2 , ,n ，使 1,2 , ,n为 V 的一组基．
证明：对n－m作数学归纳法． 当 n－m＝0时，即 n＝m，
1,2 , ,m 就是V的一组基. 定理成立．
假设当n－m＝k时结论成立.
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下面我们考虑 n－m＝k＋1 的情形．
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证明：要证明W也为数域P上的线性空间， 即证W中的向量满足线性空间定义中的八条规则．
由于W V，规则1）、2）、5）、6）、7）、8） 是显然成立的．下证3）、4）成立．
∵ W ，∴ W . 且对 W，由数乘运算 封闭，有 (1) W，即W中元素的负元素就是
故 1, 2 , , r 为 1, 2 , , s 的极大无关组，
所以 L(1, 2 , , s ) 的维数＝r＝秩(A).
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注：
由证明过程可知，若1,2 , ,n 为V的一组基，
(1, 2 , , s ) (1,2 , ,n ) A 则向量组 1, 2 , , s与矩阵A的列向量组具有相同
它在V中的负元素，4）成立．
由加法封闭，有 0 ( )W ,即W中的零元
就是V中的零元， 3）成立．
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例1 设V为数域P上的线性空间，只含零向量的
子集合 W {0} 是V的一个线性子空间，称之为V的
零子空间．线性空间V本身也是V的一个子空间. 这两个子空间有时称为平凡子空间，而其它的
,0), i 1,2,
,n
为Pn的一组基， (a1,a2, ,an ) Pn
有 a11 a2 2 an n
故有 Pn L(1,2, ,n )
事实上，任一有限 维线性空间都可由
即 Pn 由它的一组基生成.
它的一组基生成.
类似地，还有
P[ x]n L(1, x, x2, , xn1)
( x1 x2 xn ) ( y1 y2 yn ) 1 1 2
W2 , 故W2不是Pn的子空间.
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下证W3是Pn的子空间. 首先 0 (0,0, ,0) W3, W3
其次， , W3 ,k P, 设 ( x1, x2 , , xn1,0), ( y1, y2 ,
证：设秩(A)＝r，不失一般性，设A的前r列线 性无关，并将这r 列构成的矩阵记为A1，其余s-r列 构成的矩阵记为A2， 则A＝(A1, A2)，且
秩(A1)＝秩(A)＝r， (1, 2 , , r ) (1,2 , ,n ) A1 下证 1, 2 , , r 线性无关.
设 k11 k22 kr r 0, 即
例5 判断Pn的下列子集合哪些是子空间： W1 {( x1, x2 , , xn ) x1 x2 xn 0, xi P} W2 {( x1, x2 , , xn ) x1 x2 xn 1, xi P}
W3 {( x1, x2, , xn1,0) xi P, i 1,2, , n 1}
2、线性子空间的判定 定理：设V为数域P上的线性空间，集合 W V
(W )，若W对于V中两种运算封闭，即
, W , 有 W ; W ,k P, 有 k W
则W是V的一个子空间．
推论：V为数域P上的线性空间,W V (W ), 则 W是V的子空间 , W ,a,b P,a b W .
可以扩充为整个空间V的一组基．由归纳原理得证.
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例8 求L(1,2 ,3 ,4 ,5 ) 的维数与一组基，并把
它扩充为P4的一组基，其中
1 (1, 1,2,4), 2 (0, 3,1, 2), 3 (3,0,7,14), 4 (1, 1, 2,0), 5 (2,1,5,6)
a0 a1 x an1xn1 a0 ,a1, ,an1 P
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有关结论
1、设W为n维线性空间V的任一子空间，1,2 , ,r 是W的一组基，则有 W L(1,2 , ,r ) 2、（定理3）
1）1,2 , ,r；1, 2 , , s 为线性空间V中的
(＊)
as1
x1
as2
x2
asn xn 0
的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数
量乘法构成的线性空间是 n维向量空间Pn的一个子
空间，称W为方程组(＊)的解空间．
注 ① (＊)的解空间W的维数＝n－秩(A)，A (aij )sn ；
② (＊)的一个基础解系就是解空间W的一组基.
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k1
(1 , 2 ,
,
r
)
kr
0,
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k1
从而 (1,2 ,
,n
)
A1
kr
0
1,2 , ,n 是V的一组基，
k1
A1
kr
0
②
又秩(A1)＝r，∴方程组②只有零解，即
k1 k2 kr 0, 1, 2, , r 线性无关.
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L(1,2 , ,r ) L(1,2 , ,t ). 由§3定理1，
1,2 , ,t 就是 L(1,2 , ,r ) 的一组基，
所以，L(1,2 , ,r ) 的维数＝t．
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推论：设 1,2 , ,s 是线性空间V中不全为零 的一组向量，i1 ,i2 , ,ir (r s) 是它的一个极大
解：对以 1,2 ,3 ,4 ,5为列向量的矩阵A作
初等行变换
1 0 3 1 2
A
1 2 4
3 1 2
0 7 14
1 2 0
1
5 6
1 0 3 1 2
0 3 3 0 3
0 0
1 2
1 2
0 4