概率统计2-5

0 < x <1 2 ，求Y = X 的密度函数。 其他
作业：P48：24，26
f X (h( y )) | h' ( y ) | α < y < β fY ( y ) = 0 其他
其中x=h(y)为y＝g(x)的反函数，
α = g (−∞) ∧ g (+∞)
β = g (−∞) ∨ g (+∞)
例： ～N( µ，σ )，求Y = kX + b的密度函数。 X
2
2 x 例：已知X～f ( x) = 0
1
1 4
4
1 2
pk
1 8
3 8
1 2
二、连续型随机变量函数的分布 已知 X 的密度函数 f (x) 或分布函数，求 Y = g( X ) 的密度函数。 1. 分布函数法：从分布函数出发
FY ( y ) = P {Y ≤ y } = P { g ( X ) ≤ y } =
∫
g ( x )≤ y
f ( x)dx
如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当 并项即可.
例：已知 X 的概率分布为
X pk 解 X pk Y1
Y2
-1
1 8
0
1 8
1
1 4
2
1 2
求 Y 1= 2X – 1 与 Y 2= X 2 的分布律
-1
1 8
0
1 8
1
1 4
2
1Biblioteka Baidu2
-3
1
-1
0
1
1
3
4
Y1 pk
Y2
-3
-1
1
3
1 8
0
1 8
d FY ( y ) fY ( y ) = dy
例：设X～Exp（1），求Y=|X|-1的密度函数。 例：若X～N(0,1)，求 X 2的密度函数。 例：若 X ~ N ( µ , σ ) ，求 Y =
2
X −µ
σ
的密度函数。
2.公式法： 定理: 定理: 若X～fX(x), y=g(x)是处处可导，且导函 数恒大于0或小于0，则Y=g(X)的密度函数为
2.5 随机变量的函数的分布
问题： 问题：已知 X 的密度函数 fX (x) 或分布律. 求：随机变量Y= g ( X )的密度函数 fY ( y ) 或分布律。 方法 ： 利用分布函数。
一、离散型随机变量函数的分布律
一般，若离散型随机变量X的概率分布为
x1 x2 ⋯xn ⋯ X ～ 1 p p2 ⋯pn ⋯ g(x1) g(x2 ) ⋯g(xn )⋯ 则 Y=g(X) ～ p2 ⋯ pn ⋯ 1 p