圆的方程相关习题

圆的方程

1．过圆x 2＋y 2＝4外一点P (4,2)作圆的两条切线，切点分别为A 、B ，则△ABP 的外接圆的方程是( D )

A ．(x －4)2＋(y －2)2＝1

B ．x 2＋(y －2)2＝4

C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5

D ．(x －2)2＋(y －1)2＝5

[解析] ∵P A ⊥OA ，PB ⊥OB ，∴以OP 为直径的圆过A 、B 两点，故△ABP 的外接圆就是以OP 为直径的圆，从而圆心为(2,1)，半径r ＝5，圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.

2．与直线x －y －4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －2y ＝0都相切的半径最小的圆的方程是( A )

A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2

B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝4

C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2

D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4

[分析] 与已知直线和圆都相切的圆的圆心到已知圆的圆心和直线距离之差为已知圆的半径，当所求圆的圆心与已知圆的圆心连线与直线垂直时，所求圆的半径最小．

[解析]

如图当两圆圆心的连线与已知直线垂直时，所求圆的半径最小，易知所求圆C 的圆心在直线y ＝－x 上，故设其坐标为C (c ，－c )，又圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2，∴A (－1,1)，

则点A 到直线x －y －4＝0的距离d ＝|－1－1－4|2

＝3 2. 设圆C 的半径为r ，则2r ＝32－2＝22，

∴r ＝ 2.即点C (c ，－c )到直线x －y －4＝0的距离等于 2.故有|2c －4|2

＝2，∴c ＝3或c ＝1.

结合图形知当c ＝3时，圆C 在直线x －y －4＝0下方，不合题意，故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.

3.已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2,0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．

(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；

(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程．

[解析] (1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my ＋2，

由⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝my ＋2，y 2＝2x 可得y 2－2my －4＝0， 则y 1y 2＝－4.

又x 1＝y 212，x 2＝y 222，故x 1x 2＝(y 1y 2)24

＝4. 因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为

y 1x 1·y 2x 2＝－44

＝－1. 所以OA ⊥OB ，故坐标原点O 在圆M 上．

(2)由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，

x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4，

故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )，

圆M 的半径r ＝(m 2＋2)2＋m 2.

由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP →·BP →＝0，

故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0，

即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0.

由(1)可知y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4，

所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12

. 当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M 的半径为10. 圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.

当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为(94，－12

)，圆M 的半径为854

， 圆M 的方程为(x －94)2＋(y ＋12)2＝8516.