2009年-2019年湖南省普通高中学业水平考试数学试题及答案

湖南省2009年普通高中学业水平考试数 学一、选择题1. 已知集合A={-1，0，1，2}，B={-2，1，2}则A I B=（ ）A{1} B.{2} C.{1，2} D.{-2，0，1，2} 2.若运行右图的程序，则输出的结果是 （ ） A.4， B. 9 C. 13 D.223.将一枚质地均匀的 子抛掷一次，出现“正面向上的点数为6”的概率是（ ） A.31 B.41 C.51 D.61 4.4cos4sinππ的值为（ ）A.21B.22C.42D.25.已知直线l 过点（0，7），且与直线y=-4x+2平行，则直线l 的方程为（ ） A.y=-4x-7 B.y=4x-7 C.y=-4x+7 D.y=4x+76.已知向量),1,(),2,1(-==x b a 若b a ⊥，则实数x 的值为（ ） A.-2 B.2 C.-1 D.17.已知函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表： x 1 2 3 4 5 f(x)-4-2147在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为 （ ） A.（1，2） B.（2，3） C.(3,4) D. (4,5)8.已知直线l ：y=x+1和圆C ：x 2+y 2=1,则直线l 和圆C 的位置关系为（ ） A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定 9.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ） A.xy )31(= B.y=log 3x C.xy 1=D.y=cosx 10.已知实数x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+,0,0,1y x y x 则z=y-x 的最大值为（ ）A=9 A=A+13 PRINT A ENDA.1B.0C.-1D.-2 二、填空题11.已知函数f(x)=⎩⎨⎧<+≥-),0(1)0(2x x x x x 则f(2)=___________.12.把二进制数101（2）化成十进制数为____________.13.在△ABC 中，角A 、B 的对边分别为a,b,A=600,a=3,B=300,则b=__________. 14.如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积为_________.15.如图，在△ABC 中，M 是BC 的中点，若,AM AC AB λ=+则实数λ=________.三、解答题16.已知函数f(x)=2sin(x-3π), (1)写出函数f(x)的周期；（2）将函数f(x)图像上所有的点向左平移3π个单位，得到函数g(x)的图像，写出函数g(x)的表达式，并判断函数g(x)的奇偶性.2 223 3ABMC17.某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理.为了较合理地确定居民日常用水量的标准，有关部门抽样调查了100位居民.右表是这100位居民月均用水量（单位：吨）的频率分布表，根据右表解答下列问题：（1）求右表中a 和b 的值；（2）请将下面的频率分布直方图补充完整，并根据直方图估计该市每位居民月均用水量的众数.18.在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且PA=AB. （1）求证：BD ⊥平面PAC ； （2）求异面直线BC 与PD 所成的角.分组 频数 频率 [0,1) 10 0.1 [1,2) a 0.2 [2,3) 30 0.3 [3,4) 20 b [4,5) 10 0.1 [5,6) 10 0.1 合计10010 1 2 3 4 5 60.1 0.2 0.3 0.4 频率/组距 月均用水量BCDAP19.如图，某动物园要建造两间完全相同的矩形熊猫居室，其总面积为24平方米，设熊猫居室的一面墙AD 的长为x 米（2≤x ≤6）. (1)用x 表示墙AB 的长；（2）假设所建熊猫居室的墙壁造价（在墙壁高度一定的前提下）为每米1000元， 请将墙壁的总造价y(元)表示为x(米)的函数； （3）当x 为何值时，墙壁的总造价最低？20.在正项等比数列{a n }中，a 1=4,a 3=64. (1)求数列{a n }的通项公式a n ;(2)记b n =log 4a n ,求数列{b n }的前n 项和S n ;(3)记y=-λ2+4λ-m,对于（2）中的S n ,不等式y ≤S n 对一切正整数n 及任意实数λ恒成立，求实数m 的取值范围.ABCD EFx参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CDDACBBABA二、填空题11.2 12.5 13.1 14.3π 15.2 三、解答题 16.（1）2π（2）g(x)=2sinx ,奇函数. 17.（1）a=20,b=0.2 (2)2.5吨 18.（1）略 （2）450 19.（1）AB=24/x; (2)y=3000(x+x16) (3)x=4,y min =24000. 20.(1)a n =4n ; (2)S n =2)1(+n n (3)m ≥3.2010年湖南省普通高中学业水平考试试卷数 学本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共3页。

时量120分钟，满分100分。

注意事项:1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷的封面上。

2．选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效。

考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。

3．本卷共3页，如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。

4．考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10 小题，每小题4分，满分40分。

在每小题给出得四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}3,12,2,1==N M ，则N M ⋃= ( ) A ．{}2,1 B ．{}3,2 C ．{}3,1 D ．{}3,2,12．已知R c b a ∈、、，b a >，则（ ）A ．c b c a +>+B ．c b c a +<+C ．c b c a +≥+D ．c b c a +≤+ 3.下列几何体中，正视图、侧视图和俯视图都相同的是（ ）A ．圆柱B ．圆锥C ．球D ．三棱锥 4．已知圆C 的方程是()()42122=-+-y x ，则圆心坐标与半径分别为（ ）A ．()2,1，2=rB ．()2,1--，2=rC ．()2,1，4=rD ．()2,1--，4=r 5．下列函数中，是偶函数的是（ ） A ．()x x f = B ．()xx f 1=C ．()2x x f = D ．()x x f sin = 6．如图所示的圆盘由八个全等的扇形构成，指针绕中心旋转，可能随机停止，则指针停止在阴影部分内的概率是（ ）A ．21 B ．41C ．61D ．817．化简()2cos sin αα+=（ ）A ．α2sin 1+B ． αsin 1-C ．α2sin 1-D ．αsin 1+ 8．在ABC ∆中，若0=⋅CB CA ，则ABC ∆是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形9．已知函数()x f =xa （0>a 且1≠a ），()21=f ，则函数()x f 的解析式是（ ）A ． ()x f =x4 B ．()x f =x⎪⎭⎫ ⎝⎛41 C ．()x f =x 2 D ． ()x f =x⎪⎭⎫ ⎝⎛2110．在ABC ∆中，c b a 、、分别为角A 、B 、C 的对边，若︒=60A ，1=b ，2=c ，则a =（ ）A ．1B ．3C ．2D ．7 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． 11．直线22+=x y 的斜率是 ． 12．已知若图所示的程序框图，若输入的x 值为1，则输出的y 值是 ． 13．已知点()y x ，在如图所示的阴影部分内运动，则y x z +=2的最大值是 ． 14．已知平面向量)24(，=a ，)3(，x b =，若a ∥b ，则实数x 的值为 ． 15.张山同学的家里开了一个小卖部，为了研究气温对某种冷饮销售量的影响，他收集了这一段时间内这种冷饮每天的销售量y （杯）与当天最高气温x （C ︒）的有关数据，通过描绘散点图，发现y 和x 呈现线性相关关系，并求的回归方程为∧y =602+x ，如果气象预报某天的最高气温为C ︒34，则可以预测该天这种饮料的销售量为 杯。

三、解答题：本大题共5小题，满分40分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分6分）已知函数x A x f 2sin )(=（0>A ）的部分图像，如图所示， （1）判断函数()x f y =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡434ππ，上是增函数还是减函数，并指出函数()x f y =的最大值。

（2）求函数()x f y =的周期T 。

17.（本小题满分8分）如图是一名篮球运动员在某一赛季10场比赛的得分的原始记录的茎叶图， （1）计算该运动员这10场比赛的平均得分；（2）估计该运动员在每场比赛中得分不少于40分的概率。

18.（本小题满分8分）在等差数列{}n a 中，已知22=a ，44=a ， （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设na nb 2=，求数列{}n b 前5项的和5S .19.（本小题满分8分）如图，1111D C B A ABCD -为长方体， （1）求证:11D B ∥平面D BC 1（2）若BC =C C 1,求直线1BC 与平面ABCD 所成角的大小.20.（本小题满分10分） 已知函数()x f =()1log 2-x , （1）求函数()x f 的定义域;（2）设()x g =()x f +a ；若函数()x g 在（2，3）有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围； （3）设()x h =()x f +()x f m，是否存在正实数m ，使得函数y =()x h 在［3，9］内的最大值为4 ？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。

2010年湖南省普通高中学业水平考试试卷数学参考答案一、选择题：1—10 DACACDABCD二、填空题：11 2； 12 2； 13 4； 14 6； 15 128. 三、解答题：16 （1）减函数，最大值为2； （2）π=T 。

17 （1）34； （2）0.3.18 （1）n a n =； （2）625=S . 19 （1）略； （2）︒4520 （1）{}1>x x ； （2）01<<-a ； （3）4=m .2011年湖南普通高中学业水平考试试卷数 学真题本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分.时量120分钟，满分100分．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,2,3,4,5}=A ，{2,5,7,9}=B ，则I A B 等于（ ） A ．{1,2,3,4,5} B ．{2,5,7,9}C ．{2,5}D ．{1,2,3,4,5,7,9}2．若函数()3=+f x x ，则(6)f 等于（ ）A ．3B ．6C ．9D ．63．直线1:2100--=l x y 与直线2:3440+-=l x y 的交点坐标为（ ）A ．(4,2)-B ．(4,2)-C ．(2,4)-D ．(2,4)-4．两个球的体积之比为8：27，那么这两个球的表面积之比为（ ）A ．2:3B ．4:9C ．2:3D ．22:335．已知函数()sin cos =f x x x ，则()f x 是（ ） A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数6．向量(1,2)=-r a ，(2,1)=rb ，则（ ）A ．//r r a bB ．⊥r r a bC ．r a 与r b 的夹角为60oD ．r a 与r b 的夹角为30o7．已知等差数列{}n a 中，7916+=a a ，41=a ，则12a 的值是（ ）A ．15B ．30C ．31D ．64 8．阅读下面的流程图，若输入的a ，b ，c 分别是5，2，6，则输出的a ，b ，c 分别是（ ） A ．6，5，2 B ．5，2，6 C ．2，5，6 D ．6，2，5 9．已知函数2()2=-+f x x x b 在区间（2，4）内有唯一零点，则b 的取值范围是（ ）A ．RB ．(,0)-∞C ．(8,)-+∞D ．(8,0)-10．在ABC ∆中，已知120=oA ，1=b ，2=c ，则a 等于（ ） A ．3B ．523+C ．7D ．523-二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．某校有高级教师20人，中级教师30人，其他教师若干人，为了了解该校教师的工资收入情况，拟按分层抽样的方法从该校所有的教师中抽取20人进行调查.已知从其他教师中共抽取了10人，则该校共有教师 人． 12．3log 4(3)的值是 ．13．已知0m >，0n >，且4m n +=，则mn 的最大值是 ． 14．若幂函数()y f x =的图像经过点1(9,)3，则(25)f 的值是 ． 15．已知()f x 是定义在[)(]2,00,2-U 上的奇函数，当0x >时，()f x 的图像如图所示，那么()f x 的值域是 ．[-3,-2)U(2,3]三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分6分）一个均匀的正方体玩具，各个面上分别写有1，2，3，4，5，6，将这个玩具先后抛掷2次，求： （1）朝上的一面数相等的概率；（2）朝上的一面数之和小于5的概率．23y2x O17．（本小题满分8分）如图，圆心C 的坐标为（1，1），圆C 与x 轴和y 轴都相切. （1）求圆C 的方程；（2）求与圆C 相切，且在x 轴和y 轴上的截距相等的直线方程．18．（本小题满分8分）如图，在三棱锥P ABC -，PC ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，D 、E 分别是AB 、PB 的中点．（1）求证：//DE 平面PAC ； （2）求证：AB PB ⊥．19．（本小题满分8分）已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =+．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()12na nb =，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．20．（本小题满分10分）设函数()f x a b =⋅r r ，其中向量(cos 21,1)a x =+r，(1,3sin 2)b x m =+r．（1）求()f x 的最小正周期；（2）当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，4()4f x -<<恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案一．C A B B A B A D D C 二．11. 100； 12. 2； 13. 4； 14.51； 15. [-3,-2)U(2,3] 三．16.（1）61；（2）61 17.（1）1)1_()1(22=+-y x ； （2）22±=+y x ；18.略19.（1）n a n 2=；（2）)411(31n n T -= 20.（1）π；（2）（－6，1）2012年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{n a }的前3项分别为2、4、6，则数列{n a }的第4项为A ．7B ．8C ．10D ．122．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为 A ．球 B ．圆柱 C ．圆台 D ．圆锥3．函数)2)(1()(+-=x x x f 的零点个数是正视图（第2题图）俯视图 侧视图A ．0B ．1C ．2D ．34．已知集合}2,0,1{-=A ，}3,{x =B ，若}2{=B A I ，则x 的值为 A ．3 B ．2 C ．0 D ．-15．已知直线1l ：12+=x y ，2l ：52+=x y ，则直线1l 与2l 的位置关系是A ．重合B ．垂直C ．相交但不垂直D ．平行6．下列坐标对应的点中，落在不等式01<-+y x 表示的平面区域内的是 A ．（0，0） B ．（2，4） C ．（-1，4） D ．（1，8）7．某班有50名同学，将其编为1、2、3、…、50号，并按编号从小到大平均分成5组．现用系统抽样方法，从该班抽取5名同学进行某项调查，若第1组抽取的学生编号为3，第2组抽取的学生编号为13，则第4组抽取的学生编号为 A ．14 B ．23 C ．33 D ．43 8．如图，D 为等腰三角形ABC 底边AB 的中点，则下列等式恒成立的是A ．0=⋅CB CA B ．0=⋅AB CDC ．0=⋅CD CA D ．0=⋅CB CD 9．将函数x y sin =的图象向左平移3π个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为A ．)3sin(π+=x yB ．)3sin(π-=x yC ．)32sin(π+=x yD ．)32sin(π-=x y10．如图，长方形的面积为2，将100颗豆子随机地撒在长方形内，其中恰好有60颗豆子落在阴影部分内，则用随机模拟的方法可以估计图中阴影部分的面积为A ．32B ．54C ．56D ．34二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分． 11．比较大小：5log 2 3log 2 （填“＞”或“＜”）． 12．已知圆4)(22=+-y a x 的圆心坐标为)0,3(，则实数=a ．13．某程序框图如图所示，若输入的c b a ,,值分别为3，4，（第10题图）（第8题图）C ABD 开始 输入a ,b ,c输出y结束 （第13题图）3cb a y ++=5，则输出的y 值为 ．14．已知角α的终边与单位圆的交点坐标为（23,21），则αcos = ．15．如图，A ，B 两点在河的两岸，为了测量A 、B 之间的距离，测量者在A 的同侧选定一点C ，测出A 、C 之间的距离是100米，∠BAC=105º，∠ACB=45º，则A 、B 两点之间的距离为 米．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分6分）已知函数)(x f y =（]6,2[-∈x ）的图象如图．根据图象写出： （1）函数)(x f y =的最大值； （2）使1)(=x f 的x 值． 17．（本小题满分8分）一批食品，每袋的标准重量是50g ，为了了解这批食品的实际重量情况，从中随机抽取10袋食品，称出各袋的重量（单位：g ），并得到其茎叶图（如图）．（1）求这10袋食品重量的众数，并估计这批食品实际重量的平均数； （2）若某袋食品的实际重量小于或等于47g ，则视为不合格产品，试估计这批食品重量的合格率．4 5 6 6 95 0 0 0 1 1 2（第17题图）（第15题图） B A C 105º 45º河 -2-1 O 256x2 -11y（第16题图）18．（本小题满分8分）如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且AB=1，D 1D=2．（1）求直线D 1B 与平面ABCD 所成角的大小； （2）求证：AC ⊥平面BB 1D 1D ．19．（本小题满分8分）已知向量a =（x sin ，1），b =（x cos ，1），∈x R ．（1）当4π=x 时，求向量a + b 的坐标；（2）若函数=)(x f |a + b |2m +为奇函数，求实数m 的值．（第18题图）A B CD A 1 B 1C 1D 120．（本小题满分10分）已知数列{n a }的前n 项和为a S nn +=2(a 为常数，∈n N *)．（1）求1a ，2a ，3a ；（2）若数列{n a }为等比数列，求常数a 的值及n a ；（3）对于（2）中的n a ，记34)(112-⋅-⋅=++n n a a n f λλ，若0)(<n f 对任意的正整数n 恒成立，求实数λ的取值范围．2013年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分.1．已知集合{0,1,2}M =，{}N x =，若{0,1,2,3}M N =U ，则x 的值为（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．0（第3题图）俯视图侧视图正视图开始输入x0?x >21y x =-输出y y x=结束是否 （第14题图）2．设1,(1)()2,(1)x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，则(1)f 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．-13．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）. A.圆柱 B. 三棱柱 C.球 D.四棱柱4．函数2cos ,y x x R =∈的最小值是（ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．35．已知向量(1,2),(,4)x ==a b ，若a ∥b ，则实数x 的值为（ ）A ．8B ．2C ．-2D ．-86．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600,400，800，为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（ ） A ．15,5,25B ．15,15,15C ．10,5,30D ．15,10,207．某袋中有9个大小相同的球，其中有5个红球，4个白球，现从中任意取出1个，则取出的球恰好是白球的概率为（ ）A ．15 B ．14 C ．49 D ．598．已知点(,)x y 在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z x y =+的最大值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．59．已知两点(4,0),(0,2)P Q ，则以线段PQ 为直径的圆的方程是（ ） A ．22(2)(1)5x y +++= B ．22(2)(1)10x y -+-=C ．22(2)(1)5x y -+-=D ．22(2)(1)10x y +++=10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点,A B 到点C 的距离1AC BC ==km ，且0120ACB ∠=，则,A B 两点间的距离为（ ）A ．3kmB ．2kmC ．1.5kmD ．2km二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分． 11．计算：22log 1log 4+= .．12．已知1,,9x 成等比数列，则实数x = ．yxo(3,2)(1,2)(1,0)（第8题图）1km120°1kmCBA（第10题图）13．经过点(0,3)A ，且与直线2y x =-+垂直的直线方程是 ． 14．某程序框图如图所示，若输入的x 的值为2，则输出的y 值为 .15．已知向量a r 与b r 的夹角为4π，2a =r ，且4a b =r r g，则b =r .三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分6分）已知1cos ,(0,)22παα=∈（1）求tan α的值；（2）求sin()6πα+的值.某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注a 的数字模糊不清.(1) 试根据频率分布直方图求a 的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；(2) 已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？18．（本小题满分8分） 如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC BD ⊥，3BC =，4BD =，直线AD 与平面BCD 所成的角为045，点,E F 分别是,AC AD 的中点. （1）求证：EF ∥平面BCD ； （2）求三棱锥A BCD -的体积.频率组距早餐日平均费用（元）a 0.100.0512*******（第17题图）FEDCBA（第18题图）已知数列{}n a 满足：313a =-，14n n a a -=+(1,)n n N >∈. （1）求12,a a 及通项n a ；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和n S ，则数列1S ，2S ，3S ，…中哪一项最小？并求出这个最小值. 20．（本小题满分10分）已知函数()22x x f x λ-=+⋅()R λ∈ （1）当1λ=-时，求函数()f x 的零点； （2）若函数()f x 为偶函数，求实数λ的值; （3）若不等式12≤()f x ≤4在[0,1]x ∈上恒成立，求实数λ的取值范围.2013年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 ABCABDCDCA二、填空题11、 2 ； 12、 ±3 ； 13、30x y -+=； 14、2 ； 15、 4 三、解答题：16、（1）(0,),cos 02παα∈∴>Q ，从而23cos 1sin 2αα=-=（2）231sin 2cos22sin cos 12sin 2ααααα++=+-= 17、（1）高一有：20012001202000⨯=（人）；高二有20012080-=（人） （2）Q 频率为0.015100.03100.025100.005100.75⨯+⨯+⨯+⨯=∴人数为0.7520001500⨯=（人） 18、（1）2(0)62()26(1)156f b a f x x x f a b b ===-⎧⎧⇒⇒=-+⎨⎨=++==⎩⎩Q （2）22()26(1)5,[2,2]f x x x x x =-+=-+∈-Q1x ∴=时，()f x 的最小值为5，2x =-时，()f x 的最大值为14.19、(1)11232,2,4,8n n a a a a a -==∴==Q*12(2,)nn a n n N a -=≥∈Q，{}n a ∴为首项为2，公比为2的等比数列，1222n n n a -∴=⋅= (2)22log log 2n n n b a n ===Q ，(1)1232n n n S n +∴=++++=L 20、（1）22:(1)(2)5C x y k ++-=-Q e ，(1,2)C ∴- （2）由505k k ->⇒< （3）由22224051680(1)(2)5x y y y k x y k-+=⎧⇒-++=⎨++-=-⎩设1122(,),(,),M x y N x y 则1212168,55k y y y y ++==，2241620(8)05k k ∆=-+>⇒< 112212*********24,24,(24)(24)4[2()4]5k x y x y x x y y y y y y -=-=-∴=--=-++=Q 1212,0,OM ON x x y y ⊥∴+=Q 即41688240()5555k k k k -++=⇒=<满足2014年湖南省普通高中学业水平考试试卷数 学本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分.时量120分钟，满分100分.一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图是一个几何体的三视图，则该几何体为 A.圆柱 B.圆锥 C.圆台 D.球2.已知元素a ∈{0,1,2,3}，且a ∉{0,1,2}，则a 的值为 A.0 B.1 C.2 D.33.在区间[0,5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为 A.51 B.52 C.53 D.54 4.某程序框图如图所示，若输入x 的值为1，则输出y 的值是 A.2 B.3 C.4 D.5 5.在△ABC 中，若0=⋅AC AB ，则△ABC 的形状是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形6.sin120︒的值为 A.22 B.－1 C.23 D.－22 7.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BD 与A 1C 1的位置关系是 A.平行B.相交C.异面但不垂直D. 异面且垂直8.不等式(x ＋1)(x －2)≤0的解集为 A.{x|－1≤x ≤2}B. {x|－1＜x ＜2}C. {x|x ≥2或x ≤－1}D. {x|x ＞2或x ＜－1}9.点P(m,1)不在不等式x ＋y －2＜0表示的平面区域内，则实数m 的取值范围是 A.m ＜1B.m ≤1C.m ≥1D.m ＞110.某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间，下列函数的图像最能符合上述情况的是二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分.11.样本数据－2，0，6，3，6的众数是＿＿＿＿＿＿.12.在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知a＝1，b＝2，sinA＝3 1，则sinB＝＿＿＿＿＿＿.13.已知a是函数f(x)＝2－log2x的零点，则实数a的值为＿＿＿＿＿＿.14.已知函数y＝sinωx(ω＞0)在一个周期内的图像如图所示，则ω的值为＿＿＿＿＿＿.15.如图1，在矩形ABCD中，AB＝2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF把这个矩形折成一个直二面角A－EF－C(如图2)，则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为＿＿＿＿＿＿.三、解答题：本大题共5小题，满分40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分6分)已知函数⎪⎩⎪⎨⎧∈∈=].,(,],,[,)(4242xxxxxf(1)画出函数f(x)的大致图像；(2)写出函数f(x)的最大值和单调递减区间.17.(本小题满分8分)某班有学生50人，其中男同学30人，用分层抽样的方法从该班抽取5人去参加某社区服务活动.(1)求从该班男、女同学中各抽取的人数；(2)从抽取的5名同学中任选2名谈此活动的感受，求选出的2名同学中恰有1名男同学的概率.18.(本小题满分8分)已知等比数列{a n }的公比q ＝2，且a 2，a 3＋1，a 4成等差数列. (1)求a 1及a n ；(2)设b n ＝a n ＋n ，求数列{b n }的前5项和S 5.19.（本小题满分8分）已知向量a ＝(1,sin θ)，b ＝(2,1). (1)当θ＝6π时，求向量2a ＋b 的坐标； (2)若a ∥b ，且θ∈(0，2π)，，求sin(θ＋4π)的值.20.(本小题满分10分)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －3＝0.(1)求圆的圆心C 的坐标和半径长；(2)直线l 经过坐标原点且不与y 轴重合，l 与圆C 相交于A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)两点，求证：2111x x +为定值； (3)斜率为1的直线m 与圆C 相交于D 、E 两点，求直线m 的方程，使△CDE 的面积最大.2014年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题(每小题4分，满分40分) CDBBA CDACA二 、填空题(每小题4分，满分20分)11.6；12.32；13.4；14.2；15.45︒(或4π)三 、解答题(满分40分)16. 解：(1)函数f(x)的大致图象如图所示(2分)； (2)由函数f(x)的图象得出，f(x)的最大值为2(4分)， 其单调递减区间为[2,4](6分)17. 解: (1)355030=⨯(人)，255020=⨯(人)，所以从男同学中抽取3人，女同学中抽取2人(4分)；(2)过程略.18.解：(1)由已知得a 2＝2a 1，a 3＋1＝4a 1＋1，a 4＝8a 1，又2(a 3＋1)＝a 2＋a 4， 所以2(4a 1＋1)＝2a 1＋8a 1，解得a 1＝1(2分)，故a n ＝a 1q n-1＝2n-1(4分)；(2)因为b n ＝2n-1＋n ，所以S 5＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＝2551121215⋅++--⋅)()(＝46(8分) 19.解：(1)因为6πθ=，所以a ＝),(211，于是向量2a ＋b ＝),(),(),(24122112=+(4分)(2)因为a ∥b ，所以21=θsin (5分)，又因为),(20πθ∈，所以23=θcos (6分)，所以462444+=+=+πθπθπθsin cos cos sin )sin((8分).20. 解：(1)配方得(x ＋1)2＋y 2＝4，则圆心C 的坐标为(－1，0)(2分)， 圆的半径长为2(4分)；(2)设直线l 的方程为y ＝kx ，联立方程组⎩⎨⎧==-++kxy x y x 03222消去y 得(1＋k 2)x 2＋2x －3＝0(5分)，则有：2212211312k x x k x x +-=+-=+,(6分) 所以3211212121=+=+x x x x x x 为定值(7分). (3)解法一 设直线m 的方程为y ＝kx ＋b ，则圆心C 到直线m 的距离21||-=b d ，所以222422d d R DE -=-=||(8分)，d d d DE S CDE⋅-=⋅=2421||∆≤22422=+-d d )(， 当且仅当24d d -=，即2=d 时，△CDE 的面积最大(9分) 从而221=-||b ，解之得b ＝3或b ＝－1，故所求直线方程为x －y ＋3＝0或x －y －1＝0(10分) 解法二 由(1)知|CD|＝|CE|＝R ＝2，所以DCE DCE CE CD S CDE ∠=∠⋅⋅=sin sin ||||221∆≤2， 当且仅当CD ⊥CE 时，△CDE 的面积最大，此时22=||DE (8分) 设直线m 的方程为y ＝x ＋b ，则圆心C 到直线m 的距离21||-=b d (9分)由22422222=-=-=d d R DE ||，得2=d ， 由221=-||b ，得b ＝3或b ＝－1，故所求直线方程为x －y ＋3＝0或x －y －1＝0(10分).2 O xy2 2015年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分100分 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={1,2}，N={0,1,3}，则M ∩N= ( ) A ．{1} B ．{0,1} C ．{1,2} D ．{1,2,3} 2．化简(1-cos30°)(1+cos30°)得到的结果是( )A ．34B ．14C ．0D ．13．如图，一个几何体的三视图都是半径为1的圆， 则该几何体表面积( )A ．πB ．2πC ．4πD ．43π4．直线x-y+3=0与直线x+y-4=0的位置关系为( )A ．垂直B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直5．如图，ABCD 是正方形，E 为CD 边上一点，在该正方形中随机撒一粒豆子，落在阴影部分的概率为( )A ．14B ．13C ．12D ．346．已知向量()()1,23,6a b b a λ==--=r r r r，，若，则实数λ的值为( )A ．13B ．3C ．13-D ．-37．某班有50名学生，将其编为1，2，3，…，50号，并按编号从小到大平均分成5组，现从该班抽取5名学生进行某项调查，若用系统抽样方法，从第一组抽取学生的号码为5，则抽取5名学生的号码是( )A ．5，15，25，35，45B ．5，10，20，30，40C ．5，8，13，23，43D ．5，15，26，36，46 8．已知函数f (x )的图像是连续不断的，且有如下对应值表：x -1 0 1 2 3 f (x) 8 4 -2 0 6 则函数f (x )一定存在零点的区间是( )A ．（-1，0）B ．（0，1）C ．(1，2)D ．(2，3) 9．如图，点(x ,y )在阴影部分所表示的平面区域上，则z=y-x 的最大值为( )A ．-2B ．0C ．1D ．210．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了1个伙伴；第二天，2只蜜蜂飞出去各自找回了1个伙伴；……；如果这个找伙伴的过程继续下去，第n 天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂的只数为( ) A ．2n -1 B ．2n C ．3n D ．4n二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．函数f (x )= log(x -3)的定义域为 _________. CA B D E是 否0?x ≥开始x输入 x 输出x-输出正视图 侧视图俯视图D 1C 1B 1 A 1 DBCA 12．函数sin(2)3y x π=+的最小正周期为_______.13．某程序框图如图所示，若输入的x 值为-4，则输出的结果为__________.14．在ΔABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知c =2a ，sin A =12，则sin C =_______.15．已知直线l ：x - y +2=0，圆C ：x 2 +y 2 = r 2(r >0)，若直线l 与圆C 相切，则圆的半径是r = _____.三、解答题：本大题共5小题，共40分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16．(本小题满分6分)学校举行班级篮球赛，某名运动员每场比赛得分记录的径叶图如下： (1)求该运动员得分的中位数和平均数； (2)估计该运动员每场得分超过10分的概率.17．(本小题满分8分)已知函数f (x )=(x -m )2+2.(1)若函数f (x )的图象过点(2,2)，求函数y =f (x )的单调递增区间； (2)若函数f (x )是偶函数，求的m 值.18．(本小题满分8分) 已知正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1. (1)证明：D 1A //平面C 1BD ；(2)求异面直线D 1A 与BD 所成的角.19．(本小题满分8分)已知向量(2sin ,1),(2cos ,1),.a x b x x R ==∈r r0 3 5 7 8 1 0 1 2 0 0 4(1)当x=4π时，求向量a b +r r 的坐标;(2)设函数f (x )=a b ⋅r r ，将函数f (x )图象上的所有点向左平移4π个单位长度得到g (x )的图象，当x ∈[0,2π]时，求函数g (x )的最小值. 20．（本小题满10分）已知数列{a n }满足a 1=2，a n+1=a n +2，其中n ∈N*. (1)写出a 2，a 3及a n ；(2)记设数列{a n }的前n 项和为S n ，设T n =12111+++nS S S L ，试判断T n 与1的关系；(3)对于(2)中S n ，不等式S n ∙S n -1+4S n -λ(n +1)S n -1≥0对任意的大于1的整数n 恒成立，求实数λ的取值范围.2015年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷参考答案一、选择题 ABCAC DABDB二 、填空题 11．(3,+∞)； 12．π； 13．4； 14．1； 15．2三 、解答题(满分40分)16．解：(1)中位数为10；平均数为9. …4分(2)每场得分超过10分的概率为P=0.3. …6分17．解：(1) 依题，2=(2-m )2+2，解得m =2， …2分∴f (x )=(x -2)2+2， ∴y =f (x )的单调递增区间是(2,+∞). …4分 (2)若函数f (x )是偶函数，则f (-x )=f (x )， …6分 即(-x -m )2+2=(x -m )2+2，解得m =0. …8分18．(1)证明：在正方体中，D 1A ∥C 1B ，又C 1B ⊂平面C 1BD ，D 1A ⊄平面C 1BD ，∴D 1A //平面C 1BD . …4分(2) 解：∵ D 1A ∥C 1B ，∴异面直线D 1A 与BD 所成的角是∠C 1BD . …6分又ΔC 1BD 是等边三角形. ∴∠C 1BD=60°．∴D 1A 与BD 所成的角是60°. …8分19．解：(1) 依题，(2,1),(2,1),+(22,2).a b a b ==∴=r r r r…4分(2) 依题，f (x )=4sin x cos x +1=2sin2x +1，g (x )=2sin[2(x +4π)]+1=2cos2x +1，∵x ∈[0, 2π]，∴2x ∈[0,π]，∴当2x =π时，g (x )min =-1. …8分20．解：(1) 依题a 2= a 1+2=4，a 3= a 2+2=6，依题{a n }是公差为2的等差数列，∴a n =2n ； …3分(2) ∵ S n =n (n +1)，∴1111(1)1n S n n n n ==-++，∴T n 111111(1)()()122311n n n =-+-++-=-++L <1 …6分 (3) 依题n (n +1)∙(n -1)n +4n (n +1)-λ(n +1)(n -1)n ≥0， 即(n -1)n +4-λ(n -1)≥0，即λ≤41n n +-对大于1的整数n 恒成立，又4411511n n n n +=-++≥--，当且仅当n =3时，41n n +-取最小值5， 所以λ的取值范围是(-∞，5] (10)分2015年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分100分2 O xy2 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={1,2}，N={0,1,3}，则M ∩N= ( ) A A ．{1} B ．{0,1} C ．{1,2} D ．{1,2,3} 2．化简(1-cos30°)(1+cos30°)得到的结果是( )BA ．34B ．14C ．0D ．13．如图，一个几何体的三视图都是半径为1的圆， 则该几何体表面积( ) CA ．πB ．2πC ．4πD ．43π4．直线x-y+3=0与直线x+y-4=0的位置关系为( )AA ．垂直B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直5．如图，ABCD 是正方形，E 为CD 边上一点，在该正方形中随机撒一粒豆子，落在阴影部分的概率为( )CA ．14B ．13C ．12D ．346．已知向量()()1,23,6a b b a λ==--=r r r r，，若，则实数λ的值为( )DA ．13B ．3C ．13- D ．-37．某班有50名学生，将其编为1，2，3，…，50号，并按编号从小到大平均分成5组，现从该班抽取5名学生进行某项调查，若用系统抽样方法，从第一组抽取学生的号码为5，则抽取5名学生的号码是( )AA ．5，15，25，35，45B ．5，10，20，30，40C ．5，8，13，23，43D ．5，15，26，36，46 8．已知函数f (x )的图像是连续不断的，且有如下对应值表：x -1 0 1 2 3 f (x) 8 4 -2 0 6 则函数f (x )一定存在零点的区间是( )BA ．（-1，0）B ．（0，1）C ．(1，2)D ．(2，3) 9．如图，点(x ,y )在阴影部分所表示的平面区域上，则z=y-x 的最大值为( )DA ．-2B ．0C ．1D ．210．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了1个伙伴；第二天，2只蜜蜂飞出去各自找回了1个伙伴；……；如果这个找伙伴的过程继续下去，第n 天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂的只数为( )B A ．2n -1 B ．2n C ．3n D ．4n二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．函数f (x )= log(x -3)的定义域为 _________. (3,+∞) 12．函数sin(2)3y x π=+的最小正周期为_______. π13．某程序框图如图所示，若输入的x 值为-4，CA B D E是否 0?x ≥开始结束x 输入x 输出x-输出正视图 侧视图俯视图D 1C 1B 1 A 1 DBCA 则输出的结果为__________.414．在ΔABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知c =2a ，sin A =12，则sin C =_______.115．已知直线l ：x - y +2=0，圆C ：x 2 +y 2 = r 2(r >0)，若直线l 与圆C 相切，则圆的半径是r = _____.2三、解答题：本大题共5小题，共40分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16．(本小题满分6分)学校举行班级篮球赛，某名运动员每场比赛得分记录的径叶图如下： (1)求该运动员得分的中位数和平均数； (2)估计该运动员每场得分超过10分的概率. 16．解：(1)中位数为10；平均数为9. …4分 (2)每场得分超过10分的概率为P=0.3. …6分17．(本小题满分8分)已知函数f (x )=(x -m )2+2(1)若函数f (x )的图象过点(2,2)，求函数y =f (x )的单调递增区间； (2)若函数f (x )是偶函数，求的m 值.17．解：(1) 依题，2=(2-m )2+2，解得m =2， …2分∴f (x )=(x -2)2+2， ∴y =f (x )的单调递增区间是(2,+∞). …4分 (2)若函数f (x )是偶函数，则f (-x )=f (x )， …6分 即(-x -m )2+2=(x -m )2+2，解得m =0. …8分18．(本小题满分8分) 已知正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1. (1)证明：D 1A //平面C 1BD ；(2)求异面直线D 1A 与BD 所成的角.18．(1)证明：在正方体中，D 1A ∥C 1B ，又C 1B ⊂平面C 1BD ，D 1A ⊄平面C 1BD ，∴D 1A //平面C 1BD . …4分 (2) 解：∵ D 1A ∥C 1B ，∴异面直线D 1A 与BD 所成的角是∠C 1BD . …6分又ΔC 1BD 是等边三角形. ∴∠C 1BD=60°．∴D 1A 与BD 所成的角是60°. …8分19．(本小题满分8分)已知向量(2sin ,1),(2cos ,1),.a x b x x R ==∈r r(1)当x=4π时，求向量a b +r r 的坐标;2 3 5 7 8 3 0 1 2 0 0 4(2)设函数f (x )=a b ⋅r r ，将函数f (x )图象上的所有点向左平移4π个单位长度得到g (x )的图象，当x ∈[0, 2π]时，求函数g (x )的最小值.19．解：(1) 依题，(2,1),(2,1),+(22,2).a b a b ==∴=r r r r…4分(2) 依题，f (x )=4sin x cos x +1=2sin2x +1，g (x )=2sin[2(x +4π)]+1=2cos2x +1，∵x ∈[0, 2π]，∴2x ∈[0,π]，∴当2x =π时，g (x )min =-1. …8分20．（本小题满10分）已知数列{a n }满足a 1=2，a n+1=a n +2，其中n ∈N*. (1)写出a 2，a 3及a n ；(2)记设数列{a n }的前n 项和为S n ，设T n =12111+++nS S S L ，试判断T n 与1的关系；(3)对于(2)中S n ，不等式S n ∙S n -1+4S n -λ(n +1)S n -1≥0对任意的大于1的整数n 恒成立，求实数λ的取值范围.20．解：(1) 依题a 2= a 1+2=4，a 3= a 2+2=6，依题{a n }是公差为2的等差数列，∴a n =2n ； …3分(2) ∵ S n =n (n +1)，∴1111(1)1n S n n n n ==-++，∴T n 111111(1)()()122311n n n =-+-++-=-++L <1 …6分 (3) 依题n (n +1)∙(n -1)n +4n (n +1)-λ(n +1)(n -1)n ≥0， 即(n -1)n +4-λ(n -1)≥0，即λ≤41n n +-对大于1的整数n 恒成立，又4411511n n n n +=-++≥--，当且仅当n =3时，41n n +-取最小值5， 所以λ的取值范围是(-∞，5] (10)分2016年湖南省普通高中学业水平考试试卷数 学本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分。