九年级数学竞赛讲座(共10讲)

目录
第一讲分式方程(组)的解法
第二讲无理方程的解法
第三讲简易高次方程的解法第四讲有关方程组的问题
第五讲函数的基本概念与性质第六讲二次函数
第七讲函数的最大值与最小值第八讲根与系数的关系及应用第九讲判别式及其应用
第十讲一元二次不等式的解法
第一讲分式方程(组)的解法
分母中含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形．变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根．
例1 解方程
解令y=x2＋2x－8，那么原方程为
去分母得
y(y－15x)＋(y+9x)(y－15x)＋y(y＋9x)=0，
y2－4xy－45x2=0，
(y+5x)(y－9x)=0，
所以y=9x或y=－5x．
由y=9x得x2+2x－8=9x，即x2－7x－8=0，所以x1=－1，x2=8；由y=－5x，得x2+2x－8=－5x，即x2＋7x－8=0，所以x3=－8，x4=1．
经检验，它们都是原方程的根．
例2 解方程
y2－18y+72=0，
所以y1=6或y2=12．
x2－2x＋6=0．
此方程无实数根．
x2－8x+12=0，
所以x1=2或x2=6．
经检验，x1=2，x2=6是原方程的实数根．
例3 解方程
分析与解我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考虑先用多项式除法化简分式．原方程可变为
整理得
去分母、整理得
x＋9=0，x=－9．
经检验知，x=－9是原方程的根．
例4 解方程
分析与解方程中各项的分子与分母之差都是1，根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和，这样原方程即可化简．原方程化为
即
所以
((x+6)(x+7)=(x+2)(x+3)．
例5 解方程
分析与解注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1，故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简．原方程变形为
整理得
去分母得
x2＋9x－22＝0，
解得x1=2，x2=－11．
经检验知，x1=2，x2=－11是原方程的根．
例6 解方程
次项与常数项符号相反，故可考虑用合比定理化简．原方程变形为
所以
x=0或2x2－3x－2=2x2+5x－3．
例7 解方程
分析与解形式与上例相似．本题中分子与分母只是一次项的符号相反，故可考虑用合分比定理化简．原方程变形为
当x≠0时，解得x=±1．
经检验，x=±1是原方程的根，且x=0也是原方程的根．
说明使用合分比定理化简时，可能发生增根和失根的现象，需细致检验．
例8 解方程
解将原方程变形为
例9 解关于x的方程
将x1=a－2b或x2=b－2a代入分母b+x，得a－b或2(b－a)，所以，当a≠b时，x1=a－2b及x2=b－2a都是原方程的根．当a=b时，原方程无解．
例10 如果方程
只有一个实数根，求a的值及对应的原方程的根．
分析与解将原方程变形，转化为整式方程后得
2x2－2x+(a+4)=0．①
原方程只有一个实数根，因此，方程①的根的情况只能是：(1)方程①有两个相等的实数根，即
△=4－4·2(a+4)=0．
(2)方程①有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程①有一个根为0或2．
(i)当x=0时，代入①式得a+4=0，即a=－4．这时方程①的另一个根是x=1(因为2x2－2x=0，x(x－1)=0，x1=0或x2＝1．而x1＝0是增根)．它不使分母为零，确是原方程的唯一根．
(ii)当x=2时，代入①式，得
2×4－2×2＋(a+4)=0，
即a=－8．这时方程①的另一个根是x=－1(因为2x2－2x－4=0．(x－2)(x+1)=0，所以x1=2(增根)，x2=－1)．它不使分母为零，确是原方程的唯一根．
因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的a的值分别是
练习一
1．填空：
(3)如果关于x的方程
有增根x=1，则k=____．
2．解方程
3．解方程
4．解方程
5．解方程
6．解方程
7．m是什么数值时，方程
有根？
第二讲无理方程的解法
未知数含在根号下的方程叫作无理方程(或根式方程)，这是数学竞赛中经常出现的一些特殊形式的方程中的一种．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法、配方法、因式分解法、设辅助元素法、利用比例性质法等．本讲将通过例题来说明这些方法的运用．
例1 解方程
解移项得
两边平方后整理得
再两边平方后整理得
x2＋3x－28＝0，
所以x1=4，x2=－7．
经检验知，x2=－7为增根，所以原方程的根为x=4．
说明用乘方法(即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号)来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
例2 解方程
方公式将方程的左端配方．将原方程变形为
所以
两边平方得
3x2+x=9－6x＋x2，
两边平方得
3x2+x=x2＋6x＋9，
例3 解方程
即
所以
移项得
例4 解方程
解三个未知量、一个方程，要有确定的解，则方程的结构必然是极其特殊的．将原方程变形为
配方得
利用非负数的性质得
所以x=1，y=2，z=3．
经检验，x=1，y=2，z=3是原方程的根．
例5 解方程
所以
将①两边平方、并利用②得
x2y2＋2xy－8=0，
(xy＋4)(xy－2)=0．
xy=2．③
例6 解方程
解观察到题中两个根号的平方差是13，即
②÷①便得
由①，③得
例7 解方程
分析与解注意到
(2x2－1)－(x2－3x－2)=(2x2+2x+3)－(x2－x+2)．
设
则
u2－v2＝w2－t2，①
u+v=w+t．②
因为u+v=w+t=0无解，所以①÷②得
u－v=w－t．③②＋③得u=w，即
解得x=－2．
经检验，x=－2是原方程的根．
例8 解方程
整理得y3－1=(1－y)2，
即(y－1)(y2+2)=0．
解得y=1，即x=－1．
经检验知，x=－1是原方程的根．
整理得y3－2y2+3y=0．
解得y=0，从而x=－1．
例9 解方程
边的分式的分子与分母只有一些项的符号不同，则可用合分比定理化简方程．
根据合分比定理得
两边平方得
再用合分比定理得
化简得x2=4a2．解得x=±2a．
经检验，x=±2a是原方程的根．
练习二1．填空：
2．解方程
3．解方程
4．解方程
5．解方程
6．解关于x的方程
第三讲简易高次方程的解法
在整式方程中，如果未知数的最高次数超过2，那么这种方程称为高次方程．一元三次方程和一元四次方程有一般解法，但比较复杂，且超过了初中的知识范围，五次或五次以上的代数方程没有一般的公式解法，这由挪威青年数学家阿贝尔于1824年作出了证明，这些内容我们不讨论．本讲主要讨论用因式分解、换元等方法将某些高次方程化为低次方程来解答．
例1 解方程
x3－2x2－4x＋8=0．
解原方程可变形为
x2(x－2)－4(x－2)=0，
(x－2)(x2－4)=0，
(x－2)2(x+2)=0．
所以
x1＝x2＝2，x3=－2．
说明当ad=bc≠0时，形如ax3＋bx2＋cx＋d=0的方程可这样
=0可化为
bkx3+bx2+dkx+d=0，
即(kx+1)(bx2+d)=0．
方程ax4+bx3+cx+d=0也可以用类似方法处理．
例2 解方程
(x－2)(x＋1)(x＋4)(x+7)=19．
解把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得
(x2+5x－14)(x2＋5x＋4)=19．
设
(y－9)(y+9)=19，
即y2－81＝19．
说明在解此题时，仔细观察方程中系数之间的特殊关系，则可用换元法解之．
例3 解方程
(6x＋7)2(3x+4)(x+1)=6．
解我们注意到
2(3x+4)=6x＋8=(6x+7)+1，
6(x+1)=6x＋6=(6x＋7)－1，
所以利用换元法．设y=6x＋7，原方程的结构就十分明显了．令
y=6x＋7，①
由(6x＋7)2(3x＋4)(x＋1)=6得
(6x＋7)2(6x＋8)(6x＋6)=6×12，
即
y2(y＋1)(y－1)=72，
y4－y2－72＝0，
(y2＋8)(y2－9)=0．
因为y2＋8＞0，所以只有y2－9=0，y=±3．代入①式，解得原方程的根为
例4 解方程
12x4－56x3+89x2－56x+12=0．
解观察方程的系数，可以发现系数有以下特点：x4的系数与常数项相同，x3的系数与x的系数相同，像这样的方程我们称为倒数方程．由
例5 解方程
解方程的左边是平方和的形式，添项后可配成完全平方的形式．
所以
经检验，x1=－1，x2=2是原方程的根．
例6 解方程
(x+3)4+(x+1)4=82．
分析与解由于左边括号内的两个二项式只相差一个常数，所以设
于是原方程变为
(y＋1)4＋(y－1)4＝82，
整理得
y4+6y2－40=0．
解这个方程，得y=±2，即
x+2=±2．
解得原方程的根为x1=0，x2=－4．
说明本题通过换元，设y=x＋2后，消去了未知数的奇次项，使方程变为易于求解的双二次方程．一般地，形如
(x＋a)4＋(x+b)4=c
例7 解方程
x4－10x3－2(a－11)x2＋2(5a+6)x+2a+a2=0，其中a是常数，且a≥－6．解这是关于x的四次方程，且系数中含有字母a，直接对x求解比较困难(当然想办法因式分解是可行的，但不易看出)，我们把方程写成关于a的二次方程形式，即
a2－2(x2－5x－1)a+(x4－10x3＋22x2+12x)=0，
△=4(x2－5x－1)2－4(x4－10x3＋22x2＋12x)
=4(x2－2x+1)．
所以
所以
a=x2－4x－2或a=x2－6x．
从而再解两个关于x的一元二次方程，得
练习三
1．填空：
(1)方程(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)=24的根为_______．
(2)方程x3－3x＋2=0的根为_____．
(3)方程x4+2x3－18x2－10x+25=0的根为_______．
(4)方程(x2+3x－4)2＋(2x2－7x＋6)2=(3x2－4x+2)2的根为______．
2．解方程
(4x＋1)(3x+1)(2x+1)(x+1)=3x4．3．解方程
x5＋2x4－5x3＋5x2－2x－1=0．4．解方程
5．解方程
(x+2)4+(x－4)4=272．6．解关于x的方程
x3+(a－2)x2－(4a+1)x－a2＋a+2=0．
第四讲有关方程组的问题
在教科书上，我们已经知道了二元一次方程组、三元一次方程组以及简单的二元二次方程组的解法．利用这些知识，可以研究一次函数的图像、二次函数的图像以及与此有关的问题．本讲再介绍一些解方程组的方法与技巧．
1．二元二次方程组
解二元二次方程组的基本途径是“消元”和“降次”．
由一个二次和一个一次方程组成的二元二次方程组的一般解法是代入法，由两个二次方程组成的二次方程组在中学阶段只研究它的几种特殊解法．
如果两个方程的二次项的对应系数成比例，可用加减消元法消去二次项．
例1 解方程组
解②×2－①×3得
4x＋9y－6＝0．
方程组中含有某一未知数的对应项的系数的比相等，可用加减消元法消去这个未知数．例2 解方程组
解②×(－2)+①得
3y2+3y－6=0，
所以y1=1，y2=－2．
解方程组
与
得原方程组的解
方程组中至少有一个方程可以分解为一次方程的方程组，可用因式分解法解．
例3 解方程组
解由②得
(2x+y)(x－2y)=0，
所以2x+y=0或x－2y=0．
因此，原方程组可化为两个方程组
与
解这两个方程组得原方程组的解为
如果两个方程都没有一次项，可用加减消元法消去常数项，再用因式分解法求解．例4 解方程组
解由①－②×2得
x2－2xy－3y2=0，
即(x+y)(x－3y)=0，
所以x＋y=0或x－3y=0．
分别解下列两个方程组
得原方程组的解为
2．二元对称方程组
方程中的未知数x，y互换后方程保持不变的二元方程叫作二元对称方程．例如
x2－5xy＋y2－3x－3y=7，
等都是二元对称方程．
由二元对称方程组成的方程组叫作二元对称方程组．例如
等都是二元对称方程组．
我们把
叫作基本对称方程组．基本对称方程组通常用代入法或韦达定理求解．
例5 解方程组
解方程组中的x，y分别是新方程
m2－5m+4=0
的两个解．解关于m的一元二次方程得m1=1，m2=4，所以原方程组的解是
这个方程组亦可用代入法求解(略)．
由于一般的二元对称式总可以用基本对称式x+y和xy表示，因此在解二元对称方程组时，一定可以用x＋y和xy作为新的未知数，通过换元转化为基本对称方程组．
例6 解方程组
解原方程组可变形为
①×2＋②得
令u=x＋y，则
即
而方程组
无实数解．
综上所述，方程组的解为
例7 解方程组
分析本题是一个对称方程组的形式，观察知它可转化为基本对称方程组的形式．解由①得
xy=16．④
由②，④可得基本对称方程组
于是可得方程组的解为
例8 解方程组
分析本题属于二元轮换对称方程组类型，通常可以把两个方程相减，因为这样总能得到一个方程x－y=0，从而使方程降次化简．
解①－②，再因式分解得
(x－y)(x+y－10)=0，
所以x－y－0或x＋x－10=0．
解下列两个方程组
得原方程组的四组解为
例9 解方程组
解法1用换元法．设
4x＋5=A，4y+5=B，
则有
即
③－④并平方得
整理得
所以
因此A－B=0或
分别解下列两个方程组
与
经检验，A=B=9适合方程③，④，由此得原方程组的解是
解法2①－②得
即
所以x－1与y－1同号或同为零．由方程①得
所以x－1与y－1不能同正，也不能同负．从而
x－1=0，y－1=0．由此解得
经检验，x=1，y=1是方程组的解．
练习四1．填空：
(1)方程组
的解有_____组．
(2)若x，y是方程组
(3)已知3a+b+2c=3，且a+3b+2c=1，则2a+c=_____．
(4)已知实数x，y，z满足方程组
则xyz=________．
2．解方程组：
3．设a，b，c，x，y，z都是实数．若
4．已知一元二次方程
a(x＋1)(x+2)+b(x+2)(x＋3)＋c(x＋3)(x＋1)=0 有两根0，1，求a∶b∶c．
5．(1)解方程组
第五讲函数的基本概念与性质
函数是中学数学中的一条主线，也是数学中的一个重要概念．它使我们从研究常量发展到研究变量之间的关系，这是对事物认识的一大飞跃，而且对于函数及其图像的研究，使我们把数与形结合起来了．学习函数，不仅要掌握基本的概念，而且要把解析式、图像和性质有机地结合起来，在解题中自觉地运用数形结合的思想方法，从图像和性质对函数进行深入的研究．
1．求函数值和函数表达式
对于函数y=f(x)，若任取x=a(a为一常数)，则可求出所对应的y值f(a)，此时y的值就称为当x=a时的函数值．我们经常会遇到求函数值与确定函数表达式的问题．
例1 已知f(x－1)=19x2＋55x－44，求f(x)．
解法1令y=x－1，则x=y+1，代入原式有
f(y)=19(y＋1)2＋55(y＋1)－44
＝19y2＋93y＋30，
所以f(x)=19x2+93x＋30．
解法2f(x－1)=19(x－1)2＋93(x－1)+30，所以f(x)=19x2＋93x＋30．
可．
例3 已知函数f(x)=ax5－bx3＋x＋5，其中a，b为常数．若f(5)=7，求f(－5)．
解由题设
f(－x)=－ax5＋bx3－x＋5
=－(ax5－bx3＋x＋5)+10
=－f(x)+10，
所以
f(－5)=－f(5)＋10=3．
例4 函数f(x)的定义域是全体实数，并且对任意实数x，y，有f(x+y)=f(xy)．若f(19)=99，求
f(1999)．
解设f(0)=k，令y=0代入已知条件得
f(x)=f(x+0)=f(x·0)=f(0)=k，
即对任意实数x，恒有f(x)=k．所以
f(x)=f(19)=99，
所以f(1999)=99．
2．建立函数关系式
例5 直线l1过点A(0，2)，B(2，0)，直线l2：y=mx＋b过点C(1，0)，且把△AOB分成两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，如图3－1．设此三角形的面积为S，求S关于m的函数解析式，并画出图像．
解因为l2过点C(1，0)，所以m＋b=0，即b=－m．
设l2与y轴交于点D，则点D的坐标为(0，－m)，且0＜－m≤2(这是因为点D在线段OA上，且不能与O点重合)，即－2≤m＜0．
故S的函数解析式为
例6 已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12．从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边
x，试写出梯形面积S关于x的函数关系式．
解设矩形ABCD的长BC大于宽AB的2倍．由于周长为12，故长与宽满足4＜BC＜6，0＜AB＜2．
由题意，有如下两种情形：
CE1＝x，BE1＝BC－x，AB＝CD＝2(BC－x)，所以
(2AB＋x)+AB=6，
所以
3．含绝对值的函数
一次函数的图像是一条直线，含有绝对值符号的函数所对应的图像是由若干条线段和射线所组成的折线；二次函数的图像是抛物线，而y=|ax2＋bx＋c|的图像是将y=ax2+bx+c 在x轴下方的图像按x轴为对称轴翻到x轴的上方．对于一些其他的含绝对值符号的函数和方程的图像，需要按区间分段讨论．
例7 作函数y=|3－x|+|x－1|的图像．
解当x＜1时，y=(3－x)+(1－x)=－2x+4；
当1≤x＜3时，y=(3－x)＋(x－1)=2；当x≥3时，y=(x－3)＋(x－1)=2x－4．所以
它的图像如图3－3所示．
例8 作函数y=|x2－5x+6|的图像．
解当x≤2或x≥3时，x2－5x+6≥0，于是y=x2－5x+6；当2＜x＜3时，x2－5x+6＜0，于是y=－(x2－5x+6)．所以
于是，得图像如图3－4所示．
例9 点(x，y)满足方程
|x－1|+|y+2|=2，
求它的图像所围成区域的面积．
解当x≥1，y≥－2时，x－1＋y＋2=2，即
y=－x+1．
当x≥1，x＜－2时，x－1－(y＋2)=2，即
y=x－5．
当x＜1，y≥－2时，－x+1+y＋2=2，即
y=x－1．
当x＜1，y＜－2时，－x＋1－(y＋2)=2，即
y=－x－3．
于是，所得图像如图3－5所示．
由此可知，|x－1|+|y+2|=2的图像是一个对角线长为4，边长为
2
例10m是什么实数时，方程x2－4|x|＋5=m有四个互不相等的实数根？
解法1将原方程变形为
x2－4|x|＋4=m－1．
令y=x2－4|x|+4=m－1，则
它的图像如图3－6，而y=m－1是一条与x轴平行的直线．原方程有四个互不相等的实根，即直线应与曲线有四个不同的交点．由图像可知，当0＜m－1＜4，即1＜m＜5时，直线与曲线有四个不同的交点，所以，当1＜m＜5时，方程x2－4|x|＋5=m有四个互不相等的实数根．
说明本题是一个方程问题，我们利用图形来研究，这是一种非常重要的思想方法——数形结合法．当然，本题不用图像也是可以解的，下面给出解法，请读者比较一下．解法2原方程变形为
(|x|－2)2＝m－1，
练习五
1．填空：
(1)已知f(x－1)=19x2＋55x－44，则f(x)=_______．
(2)对所有实数x，f(x2+1)=x4＋5x2＋3，那么对所有实数x，f(x2－1)=_______．
(3)设x与y2成反比例，y与z2成正比例．当x=24时，y=2；当y=18时，z=3，则z=1时，x=_______．
(4)已知y=2x2＋mx＋5的值恒为正，且m为实数，则m的范围是_______．
函数，且当x=2，x=3时，y的值都为19，则y的解析式为y=_______．
(6)如果y＋m与x＋n成正比例，且当x=1时，y=2；当x=－1时，y=1，则y与x间的函数关系式是y=_______．
2．在平面直角坐标系里，点A的坐标是(4，0)，点P是第一象限内一次函数y=－x＋6的图像上的点，原点是O，如果△OPA的面积为S，P点坐标为(x，y)，求S关于x的函数表达式．
3．平面直角坐标上有点P(－1，－2)和点Q(4，2)，取点R(1，m)，试问当m为何值时，PR＋RQ有最小值．
试求k的取值范围．
5．设y=|x+2|+|x－4|－|2x－6|，且2≤x≤8，试求y的最大值与最小值之和．
6．作y=2|x－3|，y=x－a的图像，问a取什么值时，它们可以围出一个平面区域，并求其面积．
7．m是什么实数时，方程|x2－4x+3|=m有三个互不相等的实数解．
第六讲二次函数
二次函数是一类十分重要的最基本的初等函数，也是初中数学的主要内容之一，它在中学数学中起着承上启下的作用，它与一元二次方程、一元二次不等式知识的综合运用，是初中代数的重点和难点之一．另外，二次函数在工程技术、商业、金融以及日常生活中都有着广泛的应用．通过对二次函数的学习，使我们能进一步理解函数思想和函数方法，提高分析问题、解决问题的能力．正确掌握二次函数的基本性质是学好二次函数的关键．
1．二次函数的图像及其性质
例1 (1)设抛物线y=2x2，把它向右平移p个单位，或向下移q个单位，都能使得抛物线与直线y=x－4恰好有一个交点，求p，q的值．
(2)把抛物线y=2x2向左平移p个单位，向上平移q个单位，则得到的抛物线经过点(1，3)与(4，9)，求p，q的值．
(3)把抛物线y=ax2＋bx＋c向左平移三个单位，向下平移两个单位
析式．解(1)抛物线y=2x2向右平移p个单位后，得到的抛物线为y=2(x－p)2．于是方程
2(x－p)2=x－4
有两个相同的根，即方程
2x2－(4p+1)x+2p2＋4=0
的判别式
△=(4p+1)2－4·2·(2p2＋4)=0，
抛物线y=2x2向下平移q个单位，得到抛物线y=2x2－q．于是方程2x2－q=x－4
有两个相同的根，即
△=1－4·2(4－q)=0，
(2)把y=2x2向左平移p个单位，向上平移q个单位，得到的抛物线为y=2(x+p)2＋q．于是，由题设得
解得p=－2，q=1，即抛物线向右平移了两个单位，向上平移了一个单位．
解得h=3，k=2．原二次函数为
说明将抛物线y=ax2＋bx＋c向右平移p个单位，得到的抛物线是y=a(x－p)2＋b(x－p)＋c；向左平移p个单位，得到的抛物线是y=a(x＋p)2＋b(x＋p)＋c；向上平移q个单位，得到y=ax2＋bx ＋c＋q；向下平移q个单位，得到y=ax2＋bx＋c－q．
例2 已知抛物线y=ax2＋bx＋c的一段图像如图3－7所示．
(1)确定a，b，c的符号；
(2)求a＋b＋c的取值范围．
解(1)由于抛物线开口向上，所以a＞0．又抛物线经过点(0，－1)，
合a＞0便知b＜0．所以a＞0，b＜0，c＜0．
(2)记f(x)=ax2＋bx＋c．由图像及(1)知
所以
a+b＋c=a＋(a－1)－1=2(a－1)，
－2＜a＋b＋c＜0．
例3 已知抛物线y=ax2－(a＋c)x+c(其中a≠c)不经过第二象限．
(1)判断这条抛物线的顶点A(x0，y0)所在的象限，并说明理由；
(2)若经过这条抛物线顶点A(x0，y0)的直线y=－x+k与抛物线的另一
解(1)因为若a＞0，则抛物线开口向上，于是抛物线一定经过第二象限，所以当抛物线y=ax2－(a＋c)x+c的图像不
经过第二象限时，必有a＜0．又当x=0时，y=c，即抛物线与y轴的交点为(0，c)．因为抛物线不经过第二象限，所以
c≤0．于是
所以顶点A(x0，y0)在第一象限．
B在直线y=－
x+k上，所以0=－1+k，所以k=1．又由于直线y=－x+1经过
－2x2+2x．2．求二次函数的解析式
求二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的解析式，需要三个独立的条件确定三个系数a，b，c．一般地有如下几种情况：
(1)已知抛物线经过三点，此时可把三点坐标代入解析式，得到关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组可得系数a，b，c．或者已知抛物线经过两点，这时把两点坐标代入解析式，得两个方程，再利用其他条件可确定a，b，c．或者已知抛物线经过某一点，这时把这点坐标代入解析式，再结合其他条件确定a，b，c．
(2)已知抛物线的顶点坐标为(h，k)，这时抛物线可设为
y＝a(x－h)2＋k，
再结合其他条件求出a．
(3)已知抛物线与x轴相交于两点(x1，0)，(x2，0)，此时的抛物线可设为
y=a(x－x1)(x－x2)，
再结合其他条件求出a．
例4 设二次函数f(x)=ax2＋bx＋c满足条件：f(0)=2，f(1)=－1，
解由f(0)=2，f(1)＝－1，得
即c=2，b=－(a＋3)．因此所求的二次函数是
y＝ax2－(a＋3)x＋2．
由于二次函数的图像在x轴上所截得的线段长，就是方程ax2－(a＋3)x＋2=0两根差的绝对值，而这二次方程的两根为
于是
因此所求的二次函数表达式为
例5 设二次函数f(x)=ax2＋bx+c，当x=3时取得最大值10，并且它的图像在x轴上截得的线段长为4，求a，b，c的值．
分析当x=3时，取得最大值10的二次函数可写成f(x)＝a(x－3)2＋10，且a＜0．
解因为抛物线的对称轴是x=3，又因为图像在x轴上截得的线段长是4，所以由对称性，图像与x轴交点的横坐标分别是1，5．因此，二次函数又可写成
f(x)=a(x－1)(x－5)
的形式，从而
a(x－3)2+10=a(x－1)(x－5)，
所以
例6 如图3－8，已知二次函数y=ax2＋bx＋c(a＞0，b＜0)的图像与x轴、y轴都只有一个公共点，分别为点A，B，且AB=2，b＋2ac=0．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若一次函数y=x＋k的图像过点A，并和二次函数的图像相交于另一点C，求△ABC的面积．
解(1)因二次函数的图像与x轴只有一个公共点，故b2－4ac＝0，而b+2ac=0，所以
b2＋2b=0，
b=－2(因为b＜0)．
点B的坐标为(0，c)，AB=2，由勾股定理得
所以1＋a2c2=4a2．
因为ac=1，所以
4a2=2，
练习六
1．填空：
(1)将抛物线y=2(x－1)2+2向右平移一个单位，再向上平移三个单位，得到的图像的解析式为______．
(2)已知y=x2＋px＋q的图像与x轴只有一个公共点(－1，0)，则(p，q)=____．
(3)已知二次函数y=a(x－h)2＋k的图像经过原点，最小值为－8，且形
(4)二次函数y=ax2＋bx＋c的图像过点A(－1，0)，B(－3，2)，且它与x轴的两个交点间的距离为4，
则它的解析式为________．
(5)已知二次函数y=x2－4x＋m＋8的图像与一次函数y=kx+1的图像相交于点(3，4)，则m=___，k=_____．
(6)关于自变量x的二次函数y=－x2＋(2m＋2)x－(m2+4m－3)中，m是不小于零的整数，它的图像与x轴交于点A和
点B，点A在原点左边，点B在原点右边，则这个二次函数的解析式为____．
2．设抛物线y=x2＋2ax＋b与x轴有两个不同交点．
(1)把它沿y轴平移，使所得到的抛物线在x轴上截得的线段的长度是原来的2倍，求所得到的抛物线；
(2)通过(1)中所得曲线与x轴的两个交点，及原来的抛物线的顶点，作一条新的抛物线，求它的解析式．
3．已知抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，顶点为C．
(2)若△ABC是等腰直角三角形，求b2－4ac的值；
(3)若b2－4ac=12，试判断△ABC的形状．
4．有两个关于x的二次函数C1：y=ax2＋4x＋3a和C2：y=x2+2(b＋2)x+b2+3b．当把C1沿x轴向左平移一个单位
后，所得抛物线的顶点恰与C2的顶点关于x轴对称，求a，b．
5．已知二次函数y＝x2－2bx+b2+c的图像与直线y=1－x只有一个公共点，并且顶点在二次函数y=ax2(a≠0)的图像
上，求a的取值范围
第七讲函数的最大值与最小值
我们常常遇到求最大值和最小值的问题，在许多情况下可以归结为求函数的最大值与最小值．这类问题涉及的知识面广，综合性强，解法灵活，因而对于培养学生的数学能力具有重要作用．本讲从四个方面来讨论如何求解函数的最大值与最小值问题．
1．一次函数的最大值与最小值
一次函数y=kx＋b在其定义域(全体实数)内是没有最大值和最小值的，但是，如果对自变量x 的取值范围有所限制时，一次函数就可能有最大值和最小值了．
例1 设a是大于零的常数，且a≠1，求y的最大值与最小值．
大值a．
例2 已知x，y，z是非负实数，且满足条件
x＋y＋z=30，3x+y－z=50．
求u=5x＋4y＋2z的最大值和最小值．
分析题设条件给出两个方程，三个未知数x，y，z，当然，x，y，z的具体数值是不能求出的．但是，我们固定其中一个，不妨固定x，那么y，z都可以用x来表示，于是u便是x的函数了．解从已知条件可解得
y=40－2x，z=x－10．
所以
u=5x＋4y+2z
＝5x＋4(40－2x)＋2(x－10)
=－x+140．
又y，z均为非负实数，所以
解得10≤x≤20．
由于函数u=－x＋140是随着x的增加而减小的，所以当x=10时，u有最大值130；当x=20时，u有最小值120．
2．二次函数的最大值与最小值
例3 已知x1，x2是方程
x2－(k－2)x＋(k2+3k+5)=0
解由于二次方程有实根，所以
△=[－(k－2)]2－4(k2+3k+5)≥0，
3k2＋16k＋16≤0，
例4 已知函数
有最大值－3，求实数a的值．
解因为
的范围内分三种情况讨论．
－a2＋4a－1＝－3
例5 已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图3－12)，其中AF=2，
BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．
解设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，于是矩形PNDM的面积
S=xy，2≤X≤4．
易知CN=4－x，EM=4－y，且有
二次函数S=f(x)的图像开口向下，对称轴为x=5，故当x≤5时，函数值是随x的增加而增加，所以，对满足2≤x≤4的S来说，当x=4时有最大值
例6 设p＞0，x=p时，二次函数f(x)有最大值5，二次函数g(x)的最小值为－2，且g(p)=25，f(x)+g(x)=x2+16x+13．求g(x)的解析式和p的值．
解由题设知
f(p)=5，g(p)=25，
f(p)＋g(p)=p2＋16p＋13，
所以p2＋16p+13=30，
p=1(p=－17舍去)．
由于f(x)在x=1时有最大值5，故设
f(x)=a(x－1)2+5，a＜0，
所以
g(x)=x2+16x+13－f(x)
=(1－a)x2+2(a＋8)x＋8－a．
由于g(x)的最小值是－2，于是
解得a=－2，从而
g(x)=3x2＋12x＋10．
3．分式函数的最大值与最小值
法是去分母后，化为关于x的二次方程，然后用判别式△≥0，得出y的取值范围，进而定出y的最大值和最小值．
解去分母、整理得
(2y－1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0．
△≥0，即
△=[2(y+1)]2－4(2y－1)(y＋3)≥0，
解得－4≤y≤1．
时，取最小值－4，当x=－2时，y取最大值1．
说明本题求最值的方法叫作判别法，这也是一种常用的方法．但在用判别法求最值时，应特别注意这个最值能否取到，即是否有与最值相应的x值．
解将原函数去分母，并整理得
yx2－ax＋(y－b)＝0．
因x是实数，故
△=(－a)2－4·y·(y－b)≥0，
由题设知，y的最大值为4，最小值为－1，所以
(y+1)(y－4)≤0，
即y2－3y－4≤0．②
由①，②得
所以a=±4，b=3．
4．其他函数的最大值与最小值
处理一般函数的最大值与最小值，我们常常用不等式来估计上界或下界，进而构造例子来说明能取到这个上界或下界．
解先估计y的下界．
又当x=1时，y=1，所以，y的最小值为1．
说明在求最小(大)值，估计了下(上)界后，一定要举例说明这个界是能取到的，才能说这就是最小(大)值，否则就不一定对了．例如，本题我们也可以这样估计：
但无论x取什么值时，y取不到－3，即－3不能作为y的最小值．
例10 设x，y是实数，求u=x2＋xy+y2－x－2y的最小值．
分析先将u看作是x的二次函数(把y看作常数)，进行配方后，再把余下的关于y的代数式写成y的二次函数，再配方后，便可估计出下界来．
又当x=0，y=1时，u=－1，所以，u的最小值为－1．
例11 求函数
的最大值，并求此时的x值，其中[a]表示不超过a的最大整数．
练习七。