人教版九年级上册实际问题与一元二次方程课件
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解：设增长率为x，根据题意，得 20（1+x）2=24.2.
解得x1=-2.1（舍去），x2=0.1=10%． 答：增长率为10%.
注意 增长率不可为负，但可以超过1.
变化率与销售问题
1．某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份 的利润是25万元，若利润平均每月的增长率为x， 则依题意所列方程为( D ) A．25(1＋x)2＝82.75 B．25＋50x＝82.75 C．25＋25(1＋x)2＝82.75 D．25[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝82.75
心志要坚，意趣要乐。
器让大自者 己声的个必内闳心．，藏志着已高一者条知意巨必龙每远，。既个是一种玩苦刑具，也的是一固种乐定趣。成本为360元，问这种玩具的销
售单价为多少元时，厂家每天可获利润20 不要志气高大，倒要俯就卑微的人。不要自以为聪明。
燕雀安知鸿鹄之志哉。
000元？
志当存高远。
人不可以有傲气，但不可以无傲骨
思考：什么是下降额？ 什么是下降率？
下降额=下降前的量-下降后的量 增长额=增长后的量-增长前的量
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种 药品成本为5000（1－x）元，两年后甲种药品成本为 5000（1－x）2元，于是有
解方程，得: 5000（1－x）2=3000
x1≈0.225，x2≈1.775 根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率
2有0志00不0元在？年高根，无据志空活问百岁题。 的实际意义，甲产品成本的年平均下降
例：两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元.
率约为30％.
注意 下降率不可为负，且不大于1.
2、为做好延迟开学期间学生的在线学习服务工作， 盐城市教育局推出“中小学延迟开学期间网络课堂”， 为学生提供线上学习，据统计，第一批公益课受益学 生20万人次，第三批公益课受益学生24.2万人次．如 果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同， 求这个增长率.
销售问题常用等量关系：
。
志之所向，金石为开，谁能御之?
求甲种药品成本的年平均下降率是多少？ 20（1+x）2=24.
(2)假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款30万元，张强
的愿望能否实现(房价每平方米按照均价计算)?
解：设甲产品的年平均下降率为x.根据题意， (2)如果下降率问题中的基数为a，平均下降率为x，则第一次下降后的数量为__________，第二次下降后的数量为___________．
1.某公司2016年的盈利额为200万元，预计2018年的盈 利额将达到242万元，如果每年比上一年盈利额增长的 百分率相同，那么该公司2017年的盈利额为多少万元？ 解：从2016年到2018年，盈利额的年平均增长数为
(242－200)÷2＝21(万元)． 所以2017年的盈利额＝200＋21＝221(万元)． 答：该公司2017年的盈利额为221万元．
问题引入
由于每年的基数不同，因此每年的增长量是不同的． 某公司2016年的盈利额为200万元，预计2018年的盈 一、有关平均变化率的问题，一般可以用列方程的方法求解．在解实际问题时，有时需增设未知数，如“某厂经过两年体制改革和技术
小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月 革新，生产效率翻了一番”，这时原来的生产效率不具体，可设为“1”或“a”等．
什么是下降率？ 则100平方米的住房总房款为
列方程，得 3600 ( 1－x ) = 1764， 解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5000（1－x）元，两年后甲种药品成本为
于是有
2
1（舍去），x2=0.
5000（1－x）2元，
“销售利润＝每件利润×件数”，并注意根据实际意
2
一个人如果胸无大志，既使再有壮丽的举动也称不上是伟人。
解得 x ＝x ＝460， 丈夫志气薄，儿女安得知?
三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。
心随朗月高，志与秋霜洁。
12
立虽志长是 不事满业七答的尺大，：门而，心这工雄作万种是丈登。玩门入具室的旅的程。销售单价为460元时，厂家每天可获
利润20 000元．
解方程，得 x =0.3，x =1.7. 2万人次．如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率.
1 2 由题意，得 (x－360)[160＋2(480－x)]＝20 000，
若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润
3600 ( 1－x )2 = 1764， 义对所列一元二次方程的根进行合理的取舍． 下降率不可为负，且不大于1. 解得 x1＝x2＝460， 随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000 元，生产1t乙种药品的成本是3600 元. 5 265×(1－10%)＝4 738.
21.3.1 实际问题与一元二 次方程（2）
2．(中考·菏泽)列方程解应用题：某玩具厂生产一种玩具，
按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够
以志天之下 所为向及己，任金时。石为售开，出谁能，御之据? 市场调查：每个玩具按480元销售时，每天
鹰爱高飞，鸦栖一枝。
生 人无若一有锥 志可土 ，， 万销常 事有 可售四 为海 。1心6。0个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2
1.掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题.(重点） 2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型. （难点）
平均变化率问题
例：两年前生产1t甲种药品的成本是5000元， 生产1t乙种药品的成本是6000元.随着生产技术 的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000 元， 生产1t乙种药品的成本是3600 元.哪种药品成 本的年平均下降率较大？
以上解答正确吗？若不正确，请指出错误原因并给出 正确解答．
解： 不正确．错误原因：误把两年的增长率相同当作 两年的增长数相同． 正确解答如下： 设从 2016 年到 2018 年，盈利额的年平均增长率为 x. 根据题意，得 200(1＋x)2＝242，即(1＋x)2＝1.21， 解得 x1＝10%，x2＝－210%(不合题意，舍去)． 200×(1＋10%)＝220(万元)． 答：该公司 2017 年的盈利额为 220 万元．
2. 销售问题常用等量关系： 销售利润＝每件利润×件数 。
1．(中考·东营)2013年，东营市某楼盘以每平方米6 500元 的均价对外销售．因为楼盘滞销，房地产开发商为了 加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下 调后，2015年的均价为每平方米5 265元． (1)求平均每年下调的百分率； (2)假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，张强准
一、有关平均变化率的问题，一般可以用列方程的方法求 解．在解实际问题时，有时需增设未知数，如“某厂经过 两年体制改革和技术革新，生产效率翻了一番”，这时原 来的生产效率不具体，可设为“1”或“a”等．
二、市场经济问题中纳税、利息、分期付款、销售利 润等问题都值得关注．解答这类问题时，不论背景如 何变化，一定要抓住“关键词语”寻找等量关系，如 “销售利润＝每件利润×件数”，并注意根据实际意 义对所列一元二次方程的根进行合理的取舍．
选做题
2.某商店以 20 元/千克的单价新进一批商品，经调查 发现，在一段时间内，销售量 y(千克)与销售单价 x(元/千克) 之间为一次函数关系，如图所示．
约为22.5％
乙种药品成本的年平均
设乙种药品的下降率为y
下降率是多少？请比较 两种药品成本的年平均
列方程 6000 ( 1－y )2 = 3600
下降率．
解方程，得
y1≈0.225，y2≈1.775
根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为
22.5％甲乙两种药品成本的平均下降率相同，都是22.5％
注：在平均增长率问题中，每年的增长率相同，但 由于每年的基数不同，因此每年的增长量是不同的．
三军1可、夺帅也前，匹年夫不生可夺志产也。1吨甲产品的成本是3600元，随着生产技
3600 ( 1－x )2 = 1764，
术的进步，现在生产1吨甲产品的成本是1764元，试 根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.
“销售利润＝每件利润×件数”，并注意根据实际意 1＝10%，x2＝1. 增长率不可为负，但可以超过1.
考月75数考×学又(1+成 增20绩 长%是 了) (72150+%分20，，%第问) =二他1次第08月三考次增数长学了成绩20是%多，少第？三次 2增增根由1率则由整若2哪例若2何二 二某根1率销根00万、、长长据题是1于理销种：销变、、公据是售据00人前0前00率 额 题 意 多 每 ， 售 药 两 售 化 市市 司 问 多 问 问000次年年平元元不=意，少年得单品年单，场 场2题少题题增．生0生方？？可得得？的价成前价一经 经的？常的1长如产产6米x为6基每本生每定济 济实用实年2后果11的－(5x负数降的产降要问 问际等际吨吨的0－的第住90，不低年低抓题 题意量意1甲甲盈2(3量二t房10甲6但同平住中 中义关义11产产利－x0-批元元总＋增种)可，均纳 纳，系，“品品额x[关，)，，房122长药以因下税税甲：乙的的为61＝键第每每款01前品超此降、 、种种成成2＋56词三天天为0的的0过每率利 利药药本本0220语批可可万6(量成＝4年较息 息品品1是是58”公.多多元，寻本00的大、 、成成33，－益售售66，找是增？分 分本本00x课出出00预等5)长期 期的的元元]0＝受22计量0量付 付年年个个，，02益2关元0是款 款平平．．随随0学10系，不、 、均均已已着着80生年0，生同销 销下下知 知生生，人的如产的售 售降降每每产产次盈。1．利 利率率个个技技t的乙约约玩玩术术增种为为具具的的长药22的的进进率22品..固固步步相的定定，，同成成成现现，本本本在在求是为为生生这633产产0个66000110增元元吨吨元长，，甲甲. 率问问产产.这这品品种种的的玩玩成成具具本本的的是是销销1177售售6644单单元元价价，，为为试试多多求求少少甲甲元元种种时时药药，，品品厂厂成成家家本本每每的的天天年年可可平平获获均均利利下下润润降降 即：75×(1+20%) ²=108 答：该公司2017年的盈利额为221万元．
变化率
1．(1)如果增长率问题中的基数为a，平均增长率为x， 则第一次增长后的数量为___a_(1_＋__x_)____，第二次增 长后的数量为____a_(1_＋__x_)_2__． (2)如果下降率问题中的基数为a，平均下降率为x，则 第一次下降后的数量为___a_(_1_－__x_) _，第二次下降后 的数量为__a_(_1_－__x_)_2__．
解：设销售单价为x元， 人生各有志。
壮志与毅力是事业的双翼。
有天志才始 是知由蓬于由莱对近事题，业无的意为热总爱，觉感咫而得尺发远展。起来(的x，－简直3可6以0说)天[才1。60＋2(480－x)]＝20 000，
有志不在年高，无志空活百岁。
整理ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ得 x －920x＋211 600＝0， 鹰爱高飞，鸦栖一枝。
备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，
可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现(房
价每平方米按照均价计算)?
解：(1)设平均每年下调的百分率为x， 根据题意得6 500(1－x)2＝5 265， 解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合题意，舍去)． 答：平均每年下调的百分率为10%. （2）如果下调的百分率相同，那么2016年的房价为 5 265×(1－10%)＝4 738.5(元/平方米)． 则100平方米的住房总房款为 100×4 738.5＝473 850(元)＝47.385万元． ∵20＋30＞47.385， ∴张强的愿望可以实现．
(1)如果增长率问题中的基数为a，平均增长率为x， 则第一次增长后的数量为__a_(_1_＋__x_)____，第二次 增长后的数量为___a_(1_＋__x_)_2___．
(2)如果下降率问题中的基数为a，平均下降率为x， 则第一次下降后的数量为__a_(_1_－__x_)__，第二次下 降后的数量为____a_(_1_－__x_)2_．
解得x1=-2.1（舍去），x2=0.1=10%． 答：增长率为10%.
注意 增长率不可为负，但可以超过1.
变化率与销售问题
1．某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份 的利润是25万元，若利润平均每月的增长率为x， 则依题意所列方程为( D ) A．25(1＋x)2＝82.75 B．25＋50x＝82.75 C．25＋25(1＋x)2＝82.75 D．25[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝82.75
心志要坚，意趣要乐。
器让大自者 己声的个必内闳心．，藏志着已高一者条知意巨必龙每远，。既个是一种玩苦刑具，也的是一固种乐定趣。成本为360元，问这种玩具的销
售单价为多少元时，厂家每天可获利润20 不要志气高大，倒要俯就卑微的人。不要自以为聪明。
燕雀安知鸿鹄之志哉。
000元？
志当存高远。
人不可以有傲气，但不可以无傲骨
思考：什么是下降额？ 什么是下降率？
下降额=下降前的量-下降后的量 增长额=增长后的量-增长前的量
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种 药品成本为5000（1－x）元，两年后甲种药品成本为 5000（1－x）2元，于是有
解方程，得: 5000（1－x）2=3000
x1≈0.225，x2≈1.775 根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率
2有0志00不0元在？年高根，无据志空活问百岁题。 的实际意义，甲产品成本的年平均下降
例：两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元.
率约为30％.
注意 下降率不可为负，且不大于1.
2、为做好延迟开学期间学生的在线学习服务工作， 盐城市教育局推出“中小学延迟开学期间网络课堂”， 为学生提供线上学习，据统计，第一批公益课受益学 生20万人次，第三批公益课受益学生24.2万人次．如 果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同， 求这个增长率.
销售问题常用等量关系：
。
志之所向，金石为开，谁能御之?
求甲种药品成本的年平均下降率是多少？ 20（1+x）2=24.
(2)假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款30万元，张强
的愿望能否实现(房价每平方米按照均价计算)?
解：设甲产品的年平均下降率为x.根据题意， (2)如果下降率问题中的基数为a，平均下降率为x，则第一次下降后的数量为__________，第二次下降后的数量为___________．
1.某公司2016年的盈利额为200万元，预计2018年的盈 利额将达到242万元，如果每年比上一年盈利额增长的 百分率相同，那么该公司2017年的盈利额为多少万元？ 解：从2016年到2018年，盈利额的年平均增长数为
(242－200)÷2＝21(万元)． 所以2017年的盈利额＝200＋21＝221(万元)． 答：该公司2017年的盈利额为221万元．
问题引入
由于每年的基数不同，因此每年的增长量是不同的． 某公司2016年的盈利额为200万元，预计2018年的盈 一、有关平均变化率的问题，一般可以用列方程的方法求解．在解实际问题时，有时需增设未知数，如“某厂经过两年体制改革和技术
小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月 革新，生产效率翻了一番”，这时原来的生产效率不具体，可设为“1”或“a”等．
什么是下降率？ 则100平方米的住房总房款为
列方程，得 3600 ( 1－x ) = 1764， 解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5000（1－x）元，两年后甲种药品成本为
于是有
2
1（舍去），x2=0.
5000（1－x）2元，
“销售利润＝每件利润×件数”，并注意根据实际意
2
一个人如果胸无大志，既使再有壮丽的举动也称不上是伟人。
解得 x ＝x ＝460， 丈夫志气薄，儿女安得知?
三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。
心随朗月高，志与秋霜洁。
12
立虽志长是 不事满业七答的尺大，：门而，心这工雄作万种是丈登。玩门入具室的旅的程。销售单价为460元时，厂家每天可获
利润20 000元．
解方程，得 x =0.3，x =1.7. 2万人次．如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率.
1 2 由题意，得 (x－360)[160＋2(480－x)]＝20 000，
若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润
3600 ( 1－x )2 = 1764， 义对所列一元二次方程的根进行合理的取舍． 下降率不可为负，且不大于1. 解得 x1＝x2＝460， 随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000 元，生产1t乙种药品的成本是3600 元. 5 265×(1－10%)＝4 738.
21.3.1 实际问题与一元二 次方程（2）
2．(中考·菏泽)列方程解应用题：某玩具厂生产一种玩具，
按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够
以志天之下 所为向及己，任金时。石为售开，出谁能，御之据? 市场调查：每个玩具按480元销售时，每天
鹰爱高飞，鸦栖一枝。
生 人无若一有锥 志可土 ，， 万销常 事有 可售四 为海 。1心6。0个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2
1.掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题.(重点） 2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型. （难点）
平均变化率问题
例：两年前生产1t甲种药品的成本是5000元， 生产1t乙种药品的成本是6000元.随着生产技术 的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000 元， 生产1t乙种药品的成本是3600 元.哪种药品成 本的年平均下降率较大？
以上解答正确吗？若不正确，请指出错误原因并给出 正确解答．
解： 不正确．错误原因：误把两年的增长率相同当作 两年的增长数相同． 正确解答如下： 设从 2016 年到 2018 年，盈利额的年平均增长率为 x. 根据题意，得 200(1＋x)2＝242，即(1＋x)2＝1.21， 解得 x1＝10%，x2＝－210%(不合题意，舍去)． 200×(1＋10%)＝220(万元)． 答：该公司 2017 年的盈利额为 220 万元．
2. 销售问题常用等量关系： 销售利润＝每件利润×件数 。
1．(中考·东营)2013年，东营市某楼盘以每平方米6 500元 的均价对外销售．因为楼盘滞销，房地产开发商为了 加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下 调后，2015年的均价为每平方米5 265元． (1)求平均每年下调的百分率； (2)假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，张强准
一、有关平均变化率的问题，一般可以用列方程的方法求 解．在解实际问题时，有时需增设未知数，如“某厂经过 两年体制改革和技术革新，生产效率翻了一番”，这时原 来的生产效率不具体，可设为“1”或“a”等．
二、市场经济问题中纳税、利息、分期付款、销售利 润等问题都值得关注．解答这类问题时，不论背景如 何变化，一定要抓住“关键词语”寻找等量关系，如 “销售利润＝每件利润×件数”，并注意根据实际意 义对所列一元二次方程的根进行合理的取舍．
选做题
2.某商店以 20 元/千克的单价新进一批商品，经调查 发现，在一段时间内，销售量 y(千克)与销售单价 x(元/千克) 之间为一次函数关系，如图所示．
约为22.5％
乙种药品成本的年平均
设乙种药品的下降率为y
下降率是多少？请比较 两种药品成本的年平均
列方程 6000 ( 1－y )2 = 3600
下降率．
解方程，得
y1≈0.225，y2≈1.775
根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为
22.5％甲乙两种药品成本的平均下降率相同，都是22.5％
注：在平均增长率问题中，每年的增长率相同，但 由于每年的基数不同，因此每年的增长量是不同的．
三军1可、夺帅也前，匹年夫不生可夺志产也。1吨甲产品的成本是3600元，随着生产技
3600 ( 1－x )2 = 1764，
术的进步，现在生产1吨甲产品的成本是1764元，试 根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.
“销售利润＝每件利润×件数”，并注意根据实际意 1＝10%，x2＝1. 增长率不可为负，但可以超过1.
考月75数考×学又(1+成 增20绩 长%是 了) (72150+%分20，，%第问) =二他1次第08月三考次增数长学了成绩20是%多，少第？三次 2增增根由1率则由整若2哪例若2何二 二某根1率销根00万、、长长据题是1于理销种：销变、、公据是售据00人前0前00率 额 题 意 多 每 ， 售 药 两 售 化 市市 司 问 多 问 问000次年年平元元不=意，少年得单品年单，场 场2题少题题增．生0生方？？可得得？的价成前价一经 经的？常的1长如产产6米x为6基每本生每定济 济实用实年2后果11的－(5x负数降的产降要问 问际等际吨吨的0－的第住90，不低年低抓题 题意量意1甲甲盈2(3量二t房10甲6但同平住中 中义关义11产产利－x0-批元元总＋增种)可，均纳 纳，系，“品品额x[关，)，，房122长药以因下税税甲：乙的的为61＝键第每每款01前品超此降、 、种种成成2＋56词三天天为0的的0过每率利 利药药本本0220语批可可万6(量成＝4年较息 息品品1是是58”公.多多元，寻本00的大、 、成成33，－益售售66，找是增？分 分本本00x课出出00预等5)长期 期的的元元]0＝受22计量0量付 付年年个个，，02益2关元0是款 款平平．．随随0学10系，不、 、均均已已着着80生年0，生同销 销下下知 知生生，人的如产的售 售降降每每产产次盈。1．利 利率率个个技技t的乙约约玩玩术术增种为为具具的的长药22的的进进率22品..固固步步相的定定，，同成成成现现，本本本在在求是为为生生这633产产0个66000110增元元吨吨元长，，甲甲. 率问问产产.这这品品种种的的玩玩成成具具本本的的是是销销1177售售6644单单元元价价，，为为试试多多求求少少甲甲元元种种时时药药，，品品厂厂成成家家本本每每的的天天年年可可平平获获均均利利下下润润降降 即：75×(1+20%) ²=108 答：该公司2017年的盈利额为221万元．
变化率
1．(1)如果增长率问题中的基数为a，平均增长率为x， 则第一次增长后的数量为___a_(1_＋__x_)____，第二次增 长后的数量为____a_(1_＋__x_)_2__． (2)如果下降率问题中的基数为a，平均下降率为x，则 第一次下降后的数量为___a_(_1_－__x_) _，第二次下降后 的数量为__a_(_1_－__x_)_2__．
解：设销售单价为x元， 人生各有志。
壮志与毅力是事业的双翼。
有天志才始 是知由蓬于由莱对近事题，业无的意为热总爱，觉感咫而得尺发远展。起来(的x，－简直3可6以0说)天[才1。60＋2(480－x)]＝20 000，
有志不在年高，无志空活百岁。
整理ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ得 x －920x＋211 600＝0， 鹰爱高飞，鸦栖一枝。
备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，
可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现(房
价每平方米按照均价计算)?
解：(1)设平均每年下调的百分率为x， 根据题意得6 500(1－x)2＝5 265， 解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合题意，舍去)． 答：平均每年下调的百分率为10%. （2）如果下调的百分率相同，那么2016年的房价为 5 265×(1－10%)＝4 738.5(元/平方米)． 则100平方米的住房总房款为 100×4 738.5＝473 850(元)＝47.385万元． ∵20＋30＞47.385， ∴张强的愿望可以实现．
(1)如果增长率问题中的基数为a，平均增长率为x， 则第一次增长后的数量为__a_(_1_＋__x_)____，第二次 增长后的数量为___a_(1_＋__x_)_2___．
(2)如果下降率问题中的基数为a，平均下降率为x， 则第一次下降后的数量为__a_(_1_－__x_)__，第二次下 降后的数量为____a_(_1_－__x_)2_．