北京市丰台区2020-2021学年高一上学期期末考试练习数学试卷Word版含解析
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10.函数 ， ， ， ，那么以下结论正确的选项是〔〕
A.函数 和 的图象有且只有一个公共点
B. ，当 时，恒有
C.当 时， ，
D.当 时，方程 有解
【答案】D
【解析】
【分析】
对于A，易知两个函数都过 ，又指数函数 是爆炸式增长，还会出现一个交点，可知函数 和 的图像有两个公共点；对于B，取特殊点 ，此时 ；对于C，当 时，作图可知 ，有 恒成立；对于D，当 时，易知两个函数都过点 ，即方程 有解；
【详解】
故答案为：
14.假设函数 的一个零点为 ，那么 ______ .
【答案】
【解析】
【分析】
利用零点定义可知 ，将 代入，结合 ，求解即可
【详解】因为函数 的一个零点为 ，故
即 ，
解得 ，又 ，所以 ， ，
故答案为：
15.一种药在病人血液中的量保持在 以上时才有疗效，而低于 时病人就有危险.现给某病人的静脉注射了这种药 ，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，设经过x小时后，药在病人血液中的量为 .
对于D，当 时， ， ，由 知， ，且两个函数都过点 ，即方程 有解，故D正确；
应选：D
【点睛】方法点睛：函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
〔1〕直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
〔2〕别离参数法：先将参数别离，转化成求函数的值域问题加以解决；
〔3〕数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解
〔2〕别离参数法：先将参数别离，转化成求函数的值域问题加以解决；
〔3〕数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
应选：B.
【点睛】方法点睛：此题考查比拟大小，比拟指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法，解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比拟，如果指数相同，而底数不同那么构造幂函数，假设底数相同而指数不同那么构造指数函数，假设引入中间量，一般选0或1.
【详解】根据全称命题的否认为存在性命题知，命题“ ， 〞，
其命题p的否认为“ ， 〞.
应选：A.
4.以下函数是奇函数的是〔〕
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用函数奇偶性定义依次判断
【详解】对于A，指数函数 是非奇非偶函数；
对于B，对数函数 是非奇非偶函数；
对于C，幂函数 是偶函数；
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据不等式的性质求解
【详解】对于A. ， ，那么 ，成立
对于B. ， ， ；
对于C. ， ；
对于D假设 ，那么不成立
应选A.
3.命题 ， ，那么命题p的否认为〔〕
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
分析】
根据全称命题的否认为存在性命题，准确改写，即可求解.
【答案】A
【解析】
【分析】
结合根本不等式，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】当 时， ，当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以当 时， 是成立 ，即充分性成立；
反之： 时， 是成立的，但此时 不成立，即必要不成立，
所以“ 〞是“ 〞的充分不必要条件.
应选：A.
7.函数 在区间 上的最大值为〔〕
【详解】〔1〕由题意，该种药在血液中以每小时20%的比例衰减，给病人注射了该药 ，经过x小时后，药在病人血液中的量为 .
即y关于x的函数解析式为
〔2〕该药在病人血液中的量保持在 以上时才有疗效，低于 时病人就有危险，
令 ，即
又 ，且指数函数 为减函数，
所以要使病人没有危险，再次注射该药的时间不能超过小时.
二､填空题共6小题，每题4分，共24分.
11. ______.
【答案】1
【解析】
【分析】
直接利用诱导公式可得答案.
【详解】
故答案为：1.
12.函数 的定义域为______.
【答案】
【解析】
【分析】
求定义域时，满足真数大于
【详解】 得
故答案为： .
13. ______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用指数幂和对数的运算性质求解即可.
对于D，幂函数 是奇函数.
5. ， ，那么 的值为〔〕
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用同角三角函数间的根本关系求出 的值，即可确定出 的值．
【详解】 ， ， ，那么 .
应选：B.
6.设 ，那么“ 〞是“ 〞的〔〕
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
〔1〕y关于x的函数解析式为______；
〔2〕要使病人没有危险，再次注射该药的时间不能超过______小时.(精确到0.1)(参考数据： ， ， ， )
【答案】(1). (2).
【解析】
【分析】
〔1〕利用指数函数模型求得y关于x的函数解析式；
〔2〕根据题意利用指数函数的单调性列不等式，求得再次注射该药的时间不能超过的时间.
〔3〕判断并证明函数 在区间 上的单调性.
【答案】〔1〕 ；〔2〕 ；〔3〕单调递减，证明见解析.
【解析】
【分析】
〔1〕由可知 ， ，代入即可求解；
〔2〕由 ，转化为 ，即可求解；
〔3〕利用单调性定义证明即可.
【详解】〔1〕函数 的图像过原点，即 ，且 ，
，解得：
〔2〕由〔1〕知 ，
〔1〕根据余弦函数和幂函数性质可求解；
〔2〕〔i〕由可知 ， ，即方程 有2个根，转化 ，利用换元法结合图象可求解；〔ii〕结合图象求解.
【详解】〔1〕 不具有性质P， 具有性质P；
〔2〕〔i〕 定义域为 ，函数 单调递增，具有性质P，故定义域，值域都为 ，
， ，
即方程 有2个根，即 ，
③讨论最值 或 恒成立.
20.设函数 的定义域为I，如果存在区间 ，使得 在区间 上是单调函数且值域为 ，那么称 在区间 上具有性质P.
〔1〕分别判断函数 和 在区间 上是否具有性质P；(不需要解答过程)
〔2〕假设函数 在区间 上具有性质P，
〔i〕求实数a的取值范围；
〔ii〕求 的最大值.
【答案】〔1〕 不具有性质P， 具有性质P；〔2〕〔i〕 ；〔ii〕1.
【详解】〔1〕角 的终边与单位圆 的交点为 ，
，
〔2〕 ，且 ，可知
， ，即最小正周期为
由 ，得
所以函数 的单调递增区间为
【点睛】方法点睛：函数 的性质：
(1) .
(2)周期
(3)由 求对称轴
(4)由 求增区间；由 求减区间.
19.函数 的图象过原点，且 .
〔1〕求实数a，b的值：
〔2〕假设 ， ，请写出m的最大值；
〔2〕
a的取值范围为
18.在平面直角坐标系 中，角 以 为始边，其终边与单位圆 的交点为 .
〔1〕求 ， 的值；
〔2〕假设 ，求函数 的最小正周期和单调递增区间.
【答案】〔1〕 ， ；〔2〕最小正周期 ，递增区间
【解析】
【分析】
〔1〕由三角函数的定义结合诱导公式直接求解；
〔2〕结合〔1〕可知 ，整理得 ，可求得函数周期与单调增区间.
16.函数 的定义域为 ，其图象如下图.函数 是定义域为R的偶函数，满足 ，且当 时， .给出以下三个结论：
① ；
②不等式 的解集为R；
③函数 的单调递增区间为 ， .
其中所有正确结论的序号是______.
【答案】①③
【解析】
【分析】
由 可知 是周期为2的周期函数，又当 时， ，由此作出函数 图像，利用数形结合思想依次判断；
【详解】 满足 ，可知函数 是周期为2的周期函数，
又函数 是R上的偶函数，且当 时， ，作出 图像如下图，
由图可知 ，故①正确；不等式 的解集为 ，故②错误；函数 的单调递增区间为 ， ，故③正确；
故答案为：①③
【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数的周期性，奇偶性，抽象函数在高考中常考到，在做题时，利用函数的性质作出函数的图像是解题的关键，考查学生的逻辑推理与数形结合思想，属于一般题.
三､解答题共4小题，共36分.
17.记不等式 的解集为A，不等式 的解集为B.
〔1〕当 时，求 ；
〔2〕假设 ，求实数a的取值范围.
【答案】〔1〕
〔2〕
【解析】
【分析】
〔1〕分别求出集合 ，再求并集即可.
〔2〕分别求出集合 和 的补集，它们的交集不为空集，列出不等式求解.
【详解】〔1〕当 时，
的解为 或
9.指数函数 是减函数，假设 ， ， ，那么m，n，p的大小关系是〔〕
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由可知 ，再利用指对幂函数的性质，比拟m，n，p与0，1的大小，即可得解.
【详解】由指数函数 是减函数，可知 ，
结合幂函数 的性质可知 ，即
结合指数函数 的性质可知 ，即
结合对数函数 的性质可知 ，即 ，
【详解】对于A，指数函数 与一次函数 都过 ，但 在x增大时时爆炸式增长，故还会出现一个交点，如下图，所以函数 和 的图像有两个公共点，故A错误；
对于B，取 ， ，当 时， ，此时 ，故B错误；
对于C，当 时，指数函数 与对数函数 互为反函数，两函数图像关于直线 对称，如下图，
由图可知， ，有 恒成立，故C错误；
丰台区2021~2021学年度第一学期期末练习
高一数学
一､选择题共10小题，每题4分，共40分.在每题列出的四个选项中合题目要求的一项.
1.集合 ， ，那么 〔〕
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用集合的交集运算直接求解.
【详解】 ，
应选：B
2.假设 ， ，那么以下不等式成立的是〔〕
A. B.1C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
由 时， ，再利用三角函数性质可得答案
【详解】当 时，
，所以
所以函数 在区间 上的最大值为
应选：C
【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：
〔1〕将函数化简整理为 ，再利用三角函数性质求值域；
〔2〕利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.
因为 ， ， ，所以m的最大值为
〔3〕函数 在区间 上单调递减，证明如下：
由〔1〕知 ，任取 ，且
， ， ，
，即 ，故
所以函数 在区间 上单调递减
【点睛】方法点睛：此题考查不等式的恒成立问题， 不等式恒成立问题常见方法：
①别离参数 恒成立( 即可)或 恒成立〔 即可〕；
②数形结合( 图像在 上方即可)；
8.函数 那么 的零点个数为〔〕
A.0B.1C.2D.3
【答案】C
【解析】
【分析】
令 ，对 分类讨论求出方程的解，即可得出结论.
【详解】 ，令 ，
当 时， ，解得： 或 〔舍去〕；
当 时， ，解得：
所以 有2个实数解，即函数 的零点个数为2个.
应选：C.
【点睛】关键点点睛：此题考查函数零点个数问题，转化为方程的解是解题的关键，属于根底题.
令 ，那么 ，对称轴 ，当 时，函数单调递减；当 时，函数单调递增；
故当 时，函数取得最小值为 ，作出图象如下：
由图可知，实数a的取值范围为 ；
〔ii〕由 ， ，那么
又 ， ，即
故 ，当 时，取得最大值为1.
【点睛】方法点睛：函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
〔1〕直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
A.函数 和 的图象有且只有一个公共点
B. ，当 时，恒有
C.当 时， ，
D.当 时，方程 有解
【答案】D
【解析】
【分析】
对于A，易知两个函数都过 ，又指数函数 是爆炸式增长，还会出现一个交点，可知函数 和 的图像有两个公共点；对于B，取特殊点 ，此时 ；对于C，当 时，作图可知 ，有 恒成立；对于D，当 时，易知两个函数都过点 ，即方程 有解；
【详解】
故答案为：
14.假设函数 的一个零点为 ，那么 ______ .
【答案】
【解析】
【分析】
利用零点定义可知 ，将 代入，结合 ，求解即可
【详解】因为函数 的一个零点为 ，故
即 ，
解得 ，又 ，所以 ， ，
故答案为：
15.一种药在病人血液中的量保持在 以上时才有疗效，而低于 时病人就有危险.现给某病人的静脉注射了这种药 ，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，设经过x小时后，药在病人血液中的量为 .
对于D，当 时， ， ，由 知， ，且两个函数都过点 ，即方程 有解，故D正确；
应选：D
【点睛】方法点睛：函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
〔1〕直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
〔2〕别离参数法：先将参数别离，转化成求函数的值域问题加以解决；
〔3〕数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解
〔2〕别离参数法：先将参数别离，转化成求函数的值域问题加以解决；
〔3〕数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
应选：B.
【点睛】方法点睛：此题考查比拟大小，比拟指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法，解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比拟，如果指数相同，而底数不同那么构造幂函数，假设底数相同而指数不同那么构造指数函数，假设引入中间量，一般选0或1.
【详解】根据全称命题的否认为存在性命题知，命题“ ， 〞，
其命题p的否认为“ ， 〞.
应选：A.
4.以下函数是奇函数的是〔〕
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用函数奇偶性定义依次判断
【详解】对于A，指数函数 是非奇非偶函数；
对于B，对数函数 是非奇非偶函数；
对于C，幂函数 是偶函数；
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据不等式的性质求解
【详解】对于A. ， ，那么 ，成立
对于B. ， ， ；
对于C. ， ；
对于D假设 ，那么不成立
应选A.
3.命题 ， ，那么命题p的否认为〔〕
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
分析】
根据全称命题的否认为存在性命题，准确改写，即可求解.
【答案】A
【解析】
【分析】
结合根本不等式，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】当 时， ，当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以当 时， 是成立 ，即充分性成立；
反之： 时， 是成立的，但此时 不成立，即必要不成立，
所以“ 〞是“ 〞的充分不必要条件.
应选：A.
7.函数 在区间 上的最大值为〔〕
【详解】〔1〕由题意，该种药在血液中以每小时20%的比例衰减，给病人注射了该药 ，经过x小时后，药在病人血液中的量为 .
即y关于x的函数解析式为
〔2〕该药在病人血液中的量保持在 以上时才有疗效，低于 时病人就有危险，
令 ，即
又 ，且指数函数 为减函数，
所以要使病人没有危险，再次注射该药的时间不能超过小时.
二､填空题共6小题，每题4分，共24分.
11. ______.
【答案】1
【解析】
【分析】
直接利用诱导公式可得答案.
【详解】
故答案为：1.
12.函数 的定义域为______.
【答案】
【解析】
【分析】
求定义域时，满足真数大于
【详解】 得
故答案为： .
13. ______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用指数幂和对数的运算性质求解即可.
对于D，幂函数 是奇函数.
5. ， ，那么 的值为〔〕
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用同角三角函数间的根本关系求出 的值，即可确定出 的值．
【详解】 ， ， ，那么 .
应选：B.
6.设 ，那么“ 〞是“ 〞的〔〕
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
〔1〕y关于x的函数解析式为______；
〔2〕要使病人没有危险，再次注射该药的时间不能超过______小时.(精确到0.1)(参考数据： ， ， ， )
【答案】(1). (2).
【解析】
【分析】
〔1〕利用指数函数模型求得y关于x的函数解析式；
〔2〕根据题意利用指数函数的单调性列不等式，求得再次注射该药的时间不能超过的时间.
〔3〕判断并证明函数 在区间 上的单调性.
【答案】〔1〕 ；〔2〕 ；〔3〕单调递减，证明见解析.
【解析】
【分析】
〔1〕由可知 ， ，代入即可求解；
〔2〕由 ，转化为 ，即可求解；
〔3〕利用单调性定义证明即可.
【详解】〔1〕函数 的图像过原点，即 ，且 ，
，解得：
〔2〕由〔1〕知 ，
〔1〕根据余弦函数和幂函数性质可求解；
〔2〕〔i〕由可知 ， ，即方程 有2个根，转化 ，利用换元法结合图象可求解；〔ii〕结合图象求解.
【详解】〔1〕 不具有性质P， 具有性质P；
〔2〕〔i〕 定义域为 ，函数 单调递增，具有性质P，故定义域，值域都为 ，
， ，
即方程 有2个根，即 ，
③讨论最值 或 恒成立.
20.设函数 的定义域为I，如果存在区间 ，使得 在区间 上是单调函数且值域为 ，那么称 在区间 上具有性质P.
〔1〕分别判断函数 和 在区间 上是否具有性质P；(不需要解答过程)
〔2〕假设函数 在区间 上具有性质P，
〔i〕求实数a的取值范围；
〔ii〕求 的最大值.
【答案】〔1〕 不具有性质P， 具有性质P；〔2〕〔i〕 ；〔ii〕1.
【详解】〔1〕角 的终边与单位圆 的交点为 ，
，
〔2〕 ，且 ，可知
， ，即最小正周期为
由 ，得
所以函数 的单调递增区间为
【点睛】方法点睛：函数 的性质：
(1) .
(2)周期
(3)由 求对称轴
(4)由 求增区间；由 求减区间.
19.函数 的图象过原点，且 .
〔1〕求实数a，b的值：
〔2〕假设 ， ，请写出m的最大值；
〔2〕
a的取值范围为
18.在平面直角坐标系 中，角 以 为始边，其终边与单位圆 的交点为 .
〔1〕求 ， 的值；
〔2〕假设 ，求函数 的最小正周期和单调递增区间.
【答案】〔1〕 ， ；〔2〕最小正周期 ，递增区间
【解析】
【分析】
〔1〕由三角函数的定义结合诱导公式直接求解；
〔2〕结合〔1〕可知 ，整理得 ，可求得函数周期与单调增区间.
16.函数 的定义域为 ，其图象如下图.函数 是定义域为R的偶函数，满足 ，且当 时， .给出以下三个结论：
① ；
②不等式 的解集为R；
③函数 的单调递增区间为 ， .
其中所有正确结论的序号是______.
【答案】①③
【解析】
【分析】
由 可知 是周期为2的周期函数，又当 时， ，由此作出函数 图像，利用数形结合思想依次判断；
【详解】 满足 ，可知函数 是周期为2的周期函数，
又函数 是R上的偶函数，且当 时， ，作出 图像如下图，
由图可知 ，故①正确；不等式 的解集为 ，故②错误；函数 的单调递增区间为 ， ，故③正确；
故答案为：①③
【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数的周期性，奇偶性，抽象函数在高考中常考到，在做题时，利用函数的性质作出函数的图像是解题的关键，考查学生的逻辑推理与数形结合思想，属于一般题.
三､解答题共4小题，共36分.
17.记不等式 的解集为A，不等式 的解集为B.
〔1〕当 时，求 ；
〔2〕假设 ，求实数a的取值范围.
【答案】〔1〕
〔2〕
【解析】
【分析】
〔1〕分别求出集合 ，再求并集即可.
〔2〕分别求出集合 和 的补集，它们的交集不为空集，列出不等式求解.
【详解】〔1〕当 时，
的解为 或
9.指数函数 是减函数，假设 ， ， ，那么m，n，p的大小关系是〔〕
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由可知 ，再利用指对幂函数的性质，比拟m，n，p与0，1的大小，即可得解.
【详解】由指数函数 是减函数，可知 ，
结合幂函数 的性质可知 ，即
结合指数函数 的性质可知 ，即
结合对数函数 的性质可知 ，即 ，
【详解】对于A，指数函数 与一次函数 都过 ，但 在x增大时时爆炸式增长，故还会出现一个交点，如下图，所以函数 和 的图像有两个公共点，故A错误；
对于B，取 ， ，当 时， ，此时 ，故B错误；
对于C，当 时，指数函数 与对数函数 互为反函数，两函数图像关于直线 对称，如下图，
由图可知， ，有 恒成立，故C错误；
丰台区2021~2021学年度第一学期期末练习
高一数学
一､选择题共10小题，每题4分，共40分.在每题列出的四个选项中合题目要求的一项.
1.集合 ， ，那么 〔〕
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用集合的交集运算直接求解.
【详解】 ，
应选：B
2.假设 ， ，那么以下不等式成立的是〔〕
A. B.1C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
由 时， ，再利用三角函数性质可得答案
【详解】当 时，
，所以
所以函数 在区间 上的最大值为
应选：C
【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：
〔1〕将函数化简整理为 ，再利用三角函数性质求值域；
〔2〕利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.
因为 ， ， ，所以m的最大值为
〔3〕函数 在区间 上单调递减，证明如下：
由〔1〕知 ，任取 ，且
， ， ，
，即 ，故
所以函数 在区间 上单调递减
【点睛】方法点睛：此题考查不等式的恒成立问题， 不等式恒成立问题常见方法：
①别离参数 恒成立( 即可)或 恒成立〔 即可〕；
②数形结合( 图像在 上方即可)；
8.函数 那么 的零点个数为〔〕
A.0B.1C.2D.3
【答案】C
【解析】
【分析】
令 ，对 分类讨论求出方程的解，即可得出结论.
【详解】 ，令 ，
当 时， ，解得： 或 〔舍去〕；
当 时， ，解得：
所以 有2个实数解，即函数 的零点个数为2个.
应选：C.
【点睛】关键点点睛：此题考查函数零点个数问题，转化为方程的解是解题的关键，属于根底题.
令 ，那么 ，对称轴 ，当 时，函数单调递减；当 时，函数单调递增；
故当 时，函数取得最小值为 ，作出图象如下：
由图可知，实数a的取值范围为 ；
〔ii〕由 ， ，那么
又 ， ，即
故 ，当 时，取得最大值为1.
【点睛】方法点睛：函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
〔1〕直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；