函数奇偶性及单调性习题

函数奇偶性练习

一、选择题

1．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）＝ax 3＋bx 2

＋cx （ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数 D ．非奇非偶函数

2．已知函数f （x ）＝ax 2

＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（ ） A ．3

1

=

a ，

b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 3．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2

－2x ，则f （x ）在R 上的表达式是（ ） A ．y ＝x （x －2） B ．y ＝x （｜x ｜－1） C ．y ＝｜x ｜（x －2） D ．y ＝x （｜x ｜－2）

4．已知f （x ）＝x 5＋ax 3

＋bx －8，且f （－2）＝10，那么f （2）等于（ ） A ．－26 B ．－18 C ．－10 D ．10 5．函数1

11

1)(2

2

+++-++=

x x x x x f 是（

）

A ．偶函数

B ．奇函数

C ．非奇非偶函数

D ．既是奇函数又是偶函数 6．若)(x ϕ，g （x ）都是奇函数，2)()(++=x bg a x f ϕ在（0，＋∞）上有最大值5， 则f （x ）在（－∞，0）上有（ ）

A ．最小值－5

B ．最大值－5

C ．最小值－1

D ．最大值－3 二、填空题 7．函数2

122)(x

x x f ---=

的奇偶性为________（填奇函数或偶函数） ．

8．若y ＝（m －1）x 2

＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝_________． 9．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若1

1)()(-=

+x x g x f ，则f （x ）的解析式为_______．

10．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有实根之和为________． 三、解答题

11．设定义在［－2，2］上的偶函数f （x ）在区间［0，2］上单调递减，若f （1－m ）＜f （m ），求实数m 的取值范围．

12．已知函数f （x ）满足f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝2f （x ）·f （y ）（x ∈R ，y ∈R ），且f （0）≠0， 试证f （x ）是偶函数．

13.已知函数f （x ）是奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 3＋2x 2

—1，求f （x ）在R 上的表达式．

14.f （x ）是定义在（－∞，－5］ ［5，＋∞）上的奇函数，且f （x ）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f （x ）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．

15.设函数y ＝f （x ）（x ∈R 且x ≠0）对任意非零实数x 1、x 2满足f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f （x 2）， 求证f （x ）是偶函数．

函数的奇偶性练习参考答案

1． 解析：f （x ）＝ax 2

＋bx ＋c 为偶函数，x x =)(ϕ为奇函数，

∴g （x ）＝ax 3

＋bx 2

＋cx ＝f （x ）·)(x ϕ满足奇函数的条件． 答案：A

2．解析：由f （x ）＝ax 2

＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，得b ＝0． 又定义域为［a －1，2a ］，∴a －1＝2a ，∴3

1

=

a ．故选A ． 3．解析：由x ≥0时，f （x ）＝x 2

－2x ，f （x ）为奇函数，

∴当x ＜0时，f （x ）＝－f （－x ）＝－（x 2＋2x ）＝－x 2

－2x ＝x （－x －2）． ∴,

,)0()0()

2()

2()(<≥---=⎩⎨

⎧x x x x x x x f 即f （x ）＝x （|x |－2）

答案：D

4．解析：f （x ）＋8＝x 5＋ax 3

＋bx 为奇函数，

f （－2）＋8＝18，∴f （2）＋8＝－18，∴f （2）＝－26． 答案：A

5．解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f （－x ）＋f （x ）＝0． 答案：B 6．解析：)(x ϕ、g （x ）为奇函数，∴)()(2)(x bg x a x f +=-ϕ为奇函数．

又f （x ）在（0，＋∞）上有最大值5， ∴f （x ）－2有最大值3．

∴f （x ）－2在（－∞，0）上有最小值－3， ∴f （x ）在（－∞，0）上有最小值－1． 答案：C 7．答案：奇函数

8．答案：0解析：因为函数y ＝（m －1）x 2

＋2mx ＋3为偶函数，

∴f （－x ）＝f （x ），即（m －1）（－x ）2＋2m （－x ）＋3＝（m —1）x 2

＋2mx ＋3，整理，得m ＝0． 9．解析：由f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数， 可得11)()(--=

-x x g x f ，联立11)()(-=+x x g x f ，∴1

1

)1111(21)(2

-=----=x x x x f ． 答案：1

1)(2

-=

x x f 10．答案：0 11．答案：2

1

<

m 12．证明：令x ＝y ＝0，有f （0）＋f （0）＝2f （0）·f （0），又f （0）≠0，∴可证f （0）＝1．令x ＝0， ∴f （y ）＋f （－y ）＝2f （0）·f （y ）⇒f （－y ）＝f （y ），故f （x ）为偶函数． 13．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．

f （x ）＝x 3＋2x 2

－1．因f （x ）为奇函数，∴f （0）＝0．

当x ＜0时，－x ＞0，f （－x ）＝（－x ）3＋2（－x ）2－1＝－x 3＋2x 2

－1，

∴f （x ）＝x 3－2x 2

＋1．

因此，.

)0()0()0(1

20

12)(,,2323<=>+--+=⎪⎩⎪

⎨⎧x x x x x

x x x f 点评：本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力． 14．解析：任取x 1＜x 2≤－5，则－x 1＞－x 2≥－5．

因f （x ）在［5，＋∞］上单调递减，所以f （－x 1）＜f （－x 2）⇒f （x 1）＜－f （x 2）⇒f （x 1）＞f （x 2），即单调减函数．

点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化．