第六章反比例函数 小结与复习

例4 病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后 2 小时， 每毫升血液中的含药量达到最大值为 4 毫克. 已知服药后， 2 小时前每毫升血液中的含药量 y (单位：毫克)与时间 x (单位：小时) 成正比例；2 小时后 y 与 x 成反比例 (如图). 根据以上信息解答下列问题：
(1) 求当 解：当
第六章
九年级数学上（BS） 教学课件
反比例函数
小结与复习
要点梳理
1. 反比例函数的概念 定义：形如__y___kx__ (k 为常数，k ≠ 0) 的函数称为反比 例函数，其中 x 是自变量，y 是 x 的函数，k 是比例系
数.
三种表达式：y k 或 xy＝k 或 y＝kx－1 (k ≠ 0)． x
积 (xy＝k) 为常数这一特点，即过反比例函数图象 上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐 标轴所围成的矩形的面积为常数 |k|. 推论：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线， 一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积 为常数 | k |.
2
3. 反比例函数的应用
◑利用待定系数法确定反比例函数： ①根据两变量之间的反比例关系，设 y k ；
x
②代入图象上一个点的坐标，即 x、y 的一对对应
值，求出 k 的值；
③写出表达式.
◑反比例函数与一次函数的图象的交点的求法
求直线
y＝k1x＋b (k1 ≠
0)
和双曲线
y
k2 x
(k2 ≠
0)
的交点坐标就是解这两个函数表达式组成的方
程组.
◑利用反比例函数相关知识解决实际问题
过程：分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题
(2) 反比例函数的性质 图象 y
y k k＞0
o
x
(k ≠ 0)
y
k＜0
o
所在象限
一、三象限 x (x，y 同号)
性质
在每个象 限内，y 随 x 的增 大而减小
二、四象限 x (x，y 异号)
在每个象 限内，y 随 x 的增 大而增大
考点二 反比例函数的图象和性质
例1 已知点 A(1，y1)，B(2，y2)，C(－3，y3) 都在反比例
注意：实际问题中的两个变量往往都只能取非负值.
考点三 与反比例系数 交点有关的问题
1.如图，直线y=x-1与双曲线y= 2x 交于 A,B两点 （1）求A,B两点坐标 （2）求三角形AOB面积 （3）根据图象写出x满足 什么条件时，x-1> 2x
2 如图，一次函数 y kx b 的图象与
反比例函数
当 x＞2 时，含药量不低于 2 毫克， 即 8 ≥2，解得 x≤ 4. ∴ 2＜x≤4.
x 所以服药一次，治疗疾病的有效时
y/毫克 4
间是 1＋2＝3 (小时)．
O 2 x/小时
针对训练 如图所示，制作某种食品的同时需将原材
料加热，设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间为
x 分钟．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一
则 k 的取值范围是
．
45．如图，正方形 OABC 和正方形 ADEF 的顶点 A，D，C
在坐标轴上，点 F 在 AB 上，点 B，E 在
函数
y 1 (x x
0 的) 图 象 上 ， 则 点
E
的坐标是
________________
方法总结：此类一次函数，反比例函数，二元一次方 程组，三角形面积等知识的综合题，关键是理清解题 思路. 在平面直角坐标系中，求三角形或四边形面积 时，要选取合适的底边和高，正确利用坐标算出线段 长度.
y
m x
的图象
相交于 A（－2，1）、B （1， n ）两点. （1）求 n 的值，并写出反比例函数和一次函数的解析式；
（2） s AOB
(3)写出使一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范 围
3．如图，过 C（2，1）作 AC∥x 轴，BC∥y 轴，点 A，B 都在直线
y=﹣x+6 上，若双曲线 y= （x＞0）与△ABC 总有公共点，
次函数关系．已知该材料在加热前的温度为4℃，加热一 段时间使材料温度达到28℃时停 2 y(℃) 止加热，停止加热后，材料温度 8
逐渐下降，这时温度 y 与时间 x 1
成反比例函数关系，已知第 12 44
分钟时，材料温度是14℃．
O
12 x(min)
(1) 分别求出该材料加热和停止加热过程中 y 与 x 的函 数关系式（写出 x 的取值范围）；
0≤x≤2 0≤x≤2
时，y 时，y
与 与
x x
的成函正数比表例达式4 ；y/毫克
函数关系．
设 y＝kx，由于点 (2，4) 在线段上，
所以 4＝2k，k＝2，即 y＝2x.
O 2 x/小时
(2) 求当 x ＞ 2 时，y 与 x 的函数表达式；
解：当 x ＞ 2 时，y 与 x 成反比例函数关系，设 y k . x
函数
y6 x
的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是 (
D
)
A. y3＜y1＜y2
B. y1＜y2＜y3
C. y2＜y1＜y3
D. y3＜y2＜y1
解析：方法①分别把各点代入反比例函数求出 y1，y2，
y3 的值，再比较出其大小即可；
方法②：根据反比例函数的图象和性质比较．
1 2
(3) 反比例函数中比例系数 k 的几何意义 反比例函数图象上的点 (x，y) 具有两坐标之
由于点 (2，4) 在反比例函数的图象上，
所以 4 k ， 2
解得 k ＝8.
y/毫克 4
即 y 8. x
O x/小时
(3) 若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治疗有
效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？
解：当 0≤x≤2 时，含药量不低于 2 毫克，即 2x≥2，
解得 x≥1，∴ 1≤x≤2；
答案： y=
4x + 4 (0 ≤ x ≤ 6)，28 y(℃)
168 (x＞6). x
14
4
O
12 x(min)
(2) 根据该食品制作要求，在材料温度不低于 12℃ 的 这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么 对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟?
解：当y = 12时，y = 4x+4，解得 x 由 y 168 ，解得x = 14. 28
防错提醒：(1) k ≠ 0；(2) 自变量 x ≠ 0；(3) 函数值 y ≠ 0.
考点一 反比例函数的概念
1.
已知点
P(1，－3)
在反比例函数
y
k x
的图象上，则
k 的值是 ( B )
A. 3
B. －3 C. 1 D.
1
3
3
2. 若y a 1 xa22 是反比例函数，则 a 的值为 ( A )
A. 1 B. －1 C. ±1 D. 任意实数
3.若一个反比例函数的图像经过点 A(m，m) 和 B(2m，－1)， 则这个反比例函数的表达式为___________
2. 反比例函数的图象和性质 (1) 反比例函数的图象：反比例函数 y k (k ≠ 0) 的
x 图象是 双曲线 ，它是轴对称图形，两条对称轴 为直线 y = x 和 y = -x .它也是关于原点为中心 中心对称图形
=y(2℃．)
x
所以对该材料进行特殊 14
处理所用的时间为
4
14－2 = 12 (分钟)．
O
12 x(min)
课堂小结
反 比 例 函 数
定义 图象
性质
x，y 的取值范围 增减性 对称性 k 的几何意义
在实际生活中的应用 应用
在物理学科中的应用