辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟考试 数学理

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【全国市级联考】辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二
次模拟考试 数学理
试卷副标题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题
1．设集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D.
2．若复数 满足 （ 为虚数单位)，则 的共轭复数 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限 3．已知实数 满足
，则下列关系式中恒成立的是（ ） A. B. C.
D. 4．已知双曲线
，若过一、三象限的渐近线的倾斜角
，
则双曲线的离心率 的取值范围是（ ） A. B. C. D.
5．“ ”是计算机软件产生随机数的函数，每调用一次 函数，就产生一个在区间 内的随机数.我们产生 个样本点 ，其中 .在这 个样本点中，满足 的样本点的个数为 ，当 足够大时,可估算圆周率 的近似值为（ ） A.
B.
C.
D.
6．已知函数 的图象如图所示，则下列说法正
○…………外线…………○…○…………内线…………○…确的是（ ）
A. 函数 的周期为
B. 函数 为奇函数
C. 函数 在
上单调递增
D. 函数 的图象关于点
对称
7．王老师的班上有四个体育健将甲、乙、丙、丁，他们都特别擅长短跑，在某次运动会上，他们四人要组成一个 米接力队，王老师要安排他们四个人的出场顺序，以下是他们四人的对话：
甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；
丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒；
王老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求， 据此我们可以断定，在王老师安排的出场顺序中，跑第三棒的人是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
8．在 中，内角 的对边分别为 .若
，且 ，
则 （ ）
A.
B.
C.
D.
9．条形码 是将宽度不等的多个黑条和空白，按照一定的编码规则排列，用以表达一组信息的图形标识符。

常见的条形码是“ ”通用代码，它是由从左到右排列的13个数字（用 表示）组成，其中 是校验码，用来校验前12个数字代码的正确性.下面的框图是计算第13位校验码的程序框图，框图中符号 表示不超过 的最大整数(例如 ).现有一条形码如图（1)所示 ,其中第6个数被污损， 那么这个被污损数字 是（ ）
…………○………………○……号：___________
…………○………………○……
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
10．某几何体的三视图如图所示，坐标纸上的每个小方格的边长为1，则该几何体的外接球的表面积是（ ）
A.
B. C.
D.
11．在长方体 中，底面 是边长为 的正方形，侧棱 ， 为矩形 内部（含边界）一点， 为 中点， 为空间任一点且 ，三棱锥 的体积的最大值记为 ，则关于函数 ，下列结论确的是（ ） A. 为奇函数 B. 在 上不单调； C. D.
12．已知函数 ，在区间
上任取三个数 均存在以 为边长的三角形，则 的取值范围是（ ） A.
B. C.
D.
…
…
…
装
…
…
…
○
请
※
※
不
※
※
在
※
※
装
※
※
…
…
…
装
…
…
…
○
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
13．若，则在的展开式中，的系数是__________．(用数字作答）
14．已知满足约束条件当目标函数在该约
束条件下取到最小值4,的最小值为__________．
15．下列说法：
①线性回归方程必过；
②命题“”的否定是“”
③相关系数越小，表明两个变量相关性越弱；
④在一个列联表中，由计算得，则有的把握认为这两个变量间有关
系；
其中正确
．．的说法是__________．(把你认为正确的结论都写在横线上）
本题可参考独立性检验临界值表：
16．如图，已知为中点，以为直径在同侧作半圆，分别为两半圆
上的动点，（不含端点)，且，则的最大值为__________．
三、解答题
17．设等差数列的前项和为，且成等差数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18．如图，在多面体中，底面是梯形，,，
平面平面，四边形是菱形，.
装…………○…………订……线…………○……_姓名：___________班级：___________装…………○…………订……线…………○……
（1）求证： ；
（2）求二面角 的平面角的正切值.
19．海水养殖场使用网箱养殖的方法，收获时随机抽取了 100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位: )，其频率分布直方图如图：
定义箱产量在 (单位: )的网箱为“稳产网箱”， 箱产量在区间 之外的网箱为“非稳产网箱”.
（1）从该养殖场（该养殖场中的网箱数量是巨大的）中随机抽取3个网箱.将频率视为概率，设其中稳产网箱的个数为 ，求 的分布列与期望 ；
（2）从样本中随机抽取3个网箱，设其中稳产网箱的个数为 ，试比较 的期望 与 的大小.
20．已知椭圆
的焦距为 ，离心率为
，圆 ， 是椭圆的左右顶点， 是圆 的任意一条直径， 面积的最大值为2. （1）求椭圆 及圆 的方程；
（2）若 为圆 的任意一条切线， 与椭圆 交于两点 ，求 的取直范围. 21．已知函数 ，其中常数 . （1）当 时，讨论 的单调性；
（2）当 时，是否存在整数．．
使得关于 的不等式
在区间 内有
解？若存在，求出整数
．．的最小值；若不存在，请说明理由.
参考数据:，.
22．选修4-4：坐标系与参数方程
直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)，在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为.
（1）求圆的直角坐标方程；
（2）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求的最小值.
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式的解集非空，求的取值范围.
参考答案
1．B
【来源】【全国市级联考】辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟考试数学理【解析】分析：求出集合，即可得到.
详解：，
故选B.
点睛：本题考查集合的交集运算，属基础题.
2．B
【来源】【全国市级联考】辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟考试数学理【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求的共轭复数，即可得到在复平面内对应的点所在的象限．
详解：由题意，
则的共轭复数对应的点在第二象限.
故选B.
点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
3．D
【来源】【全国市级联考】辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟考试数学理【解析】分析：利用指数函数即可得出的大小关系，进而判断出结论．
详解：由题＞，
对于A，当，时，满足＞，但不成立．
B．若，则等价为＞成立，当，时，满足＞，但＞不成立．
C．当，时，满足＞，但不成立．
D．当＞时，恒成立，
故选D.
点睛：本题考查了函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键．属于基础题．
4．A
【来源】【全国市级联考】辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟考试数学理【解析】分析：求得双曲线的渐近线方程，由题意可得，，再由离心率公式和，，的关系，即可得到所求范围．
详解：双曲线的渐近线方程为，
由一条渐近线的倾斜角的取值范围[，则，
即为，即有，即，
则，即，
故选A．
点睛：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，考查运算能力，属于中档题．
5．A
【来源】【全国市级联考】辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟考试数学理【解析】分析：由题可知本题利用随机模拟实验的方法求任取上的，，求＜的概率，计算＜发生的概率，代入几何概型公式，即可得到答案．
详解：＜发生的概率为，在这个样本点中，满足的样本点的个数为，当足够大时,可估算圆周率的近似值为，，即.
故选A．
点睛：本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，属中档题．6．B
【来源】【全国市级联考】辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟考试数学理【解析】分析：观察图象由最值求，然后由函数所过的点，求出，可求函数的解析式，进而研究函数性质即可得出结论．
详解：观察图象可得，函数的最小值-2，所以，又由图像可知函数过，即结合可得，则，显然A选项错误；
对于B，不是偶函数；
对于D ,，当故D错误，
由此可知选C.
点睛：本题主要考查了由函数的部分图象求函数的解析式，进而研究函数性质，属于中档题．7．C
【来源】【全国市级联考】辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟考试数学理【解析】分析：本题假设丙跑第三棒，看有没有矛盾，若有矛盾再假设乙跑第三棒的推测是正确的，从而排出出场顺序．
详解：由题乙，丙均不跑第一棒和第四棒，则跑第三棒的人只能是乙，丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这是丁第一棒，甲第四棒，符合题意.
故跑第三棒的人是丙.
选C.
点睛：本题考查合情推理，可以假设丙跑第三棒，看有没有矛盾，若有矛盾再假设乙跑第三棒，得到正确结果．
8．A
【来源】【全国市级联考】辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟考试数学理【解析】∵
∴根据正弦定理可得，即
∵
∴，即
∵
∴，即为锐角
∴
故选A
9．B
【来源】【全国市级联考】辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟考试数学理
【解析】分析：由已知中程序框图可得：S是条件形码中前12偶数位数字的和，T是条件形码中前12奇数位数字的和，表示的个数数字，结合，可得答案．
详解：由已知中程序框图可得：
是条件形码中前12偶数位数字的和，即，
是条件形码中前12奇数位数字的和，即，，
表示的个数数字，，，
则，
故，
故选B．
点睛：本题考查的知识点是程序框图，根据已知分析出框图中各个变量的意义，是解答的关键．
10．C
【来源】【全国市级联考】辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟考试数学理【解析】分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是侧面垂直于底面，且底面是直角三角形的三棱锥，求出该三棱锥外接球的直径，即可求出外接球的表面积．
详解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是如图所示的三棱锥，三棱锥的高，
且侧面底面，，，
，；，∴，的外接圆的圆心为斜边的中点，设该几何体的外接球的球心为．底面，
设，外接球的半径为，
则（），
解得．
，∴外接球的表面积．
故选C．
点睛：本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图还原出几何体的结构特征，是基础题．
11．D
【来源】【全国市级联考】辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟考试数学理【解析】分析：根据Rt ADP∽△Rt PMC，PD=2PC，利用体积公式求解得出PO⊥CD，求解OP最值，根据勾股定理得出：3h2=-3x2+48x-144，0≤x≤6，利用函数求解即可
详解：∵在长方体中，为中点，为矩形内部（含边界）一点，
，，即，
，则在以为球心的球面上，而到面的距离为，则
由此可知A,B,C选项都不正确，
而.
故选D.
点睛：本题考查了空间几何体中的最值问题，关键是列出式子，转化为距离问题，借助函数求解即可，属于难题．
12．D
【来源】【全国市级联考】辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟考试数学理【解析】分析：由得，由导数性质得（）（）
，（）（），由题意得（），且（）（）（），由此能求出的取值范围．
详解：∵函数，，，
由（），得x=1，
，）时，，时，，
∴（）（），（）（），
∵在区间上任取三个数均存在以为边长的三角形，（），，①
（）（）（），②
联立①②，得．
故选D．
点睛：本题考查实数的求值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
13．84
【来源】【全国市级联考】辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟考试数学理【解析】分析：由定积分的求出积分值，从而求出的值，再用展开式的通项求常数项．
详
解：由题，则的展开式的通项公式为（）（）（），令则的系数是（
）
即答案为84.
点睛：本题考点是定积分，以及二项展开式的通项公式是解决二项展开式特殊项问题的方法．14．
【来源】【全国市级联考】辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟考试数学理【解析】分析：由约束条件正常可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到，．再由乘1法和基本不等式，即可得到所求的最小值．
详解：由约束条件，作可行域如图，
联立解得：（，）．
由图可知，当目标函数过点（，）时，最小．
则，
即有
（当且仅当，
取得最小值）．
即答案为.
点睛：本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了基本不等式的应用，是中档题．
15．①④
【来源】【全国市级联考】辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟考试数学理【解析】分析：根据性回归方程，独立性检验，相关关系，以及命题的否定等知识，选出正确的，得到结果．
详解：线性回归方程必过样本中心点，故①正确．
命题“”的否定是“” 故②错误
③相关系数r绝对值越小，表明两个变量相关性越弱，故不正确；
④在一个列联表中，由计算得，则有的把握认为这两个变量间有关系，正确.
故答案为①④.
点睛：本题以命题真假的判断为载体，着重考查了相关系数、命题的否定、独立性检验、回归直线方程等知识点，属于中档题．
16．
【来源】【全国市级联考】辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟考试数学理【解析】分析：以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，求得，，的坐标，可得以为直径的半圆方程，以为直径的半圆方程，设出，的坐标，由向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变换可得，再由余弦函数、二次函数的图象和性质，计算可得最大值．
详解：以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，可得（，），（，），（，），
以为直径的半圆方程为（）（＞，＞），
以为直径的半圆方程为（）（＞，＞），
设（，），（，），＜，＜，，
可得（，）（，），
即有（），
即为，
即有（），＜，＜，可得，即，
则（，）（，）
（）（），可得，即β，时，
的最大值为，
故答案为．
点睛：本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的坐标表示以及圆的参数方程的运用，三角函数的恒等变换，考查余弦函数的性质，考查运算能力，属于中档题．
17．(1) a n=2n-1 (2)
【来源】【全国市级联考】辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟考试数学理【解析】分析：设等差数列的首项为,公差为, 由成等差数列，可知 , 由得：，由此解得，，即可得到数列的通项公式；
令，利用错位相减法可求数列的前项和.
详解：
设等差数列的首项为,公差为, 由成等差数列，可知 , 由得：，解得:
因此:
(2)令.则，
∴①
②
①—②,得
所以
点睛：本题考查等差数列的公差及首项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质、错位相减法的合理运用．
18．（1）见解析（2）
【来源】【全国市级联考】辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟考试数学理【解析】分析：(1）依题意，在等腰梯形中，，，，利用勾股定理可证，又平面平面，故平面，即得，由四边形ACEF 是菱形，，可证面，即可证明；
(2）取的中点，可证平面，以、、分别为、、轴建立空间直角坐
标系，求得平面BEF和平面DEF的一个法向量，由向量夹角公式得到二面角的平面角的余弦值，进而得到二面角的平面角的正切值.
详解：
(1）题意，在等腰梯形中，，
，即
∵平面平面，平面，而平面，
连接，∵四边形ACEF是菱形，，
面，面，
(2）取的中点，连接，因为四边形是菱形，且＝６０.
所以由平面几何易知，∵平面平面，∴. 平面
故此可以、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，各点的坐标依次为：
（，，），（，，），（，，），
（，，），（，，），（，，）
设平面BEF和平面DEF的法向量分别为
（，，），（，，），（，，），
（，，），（，，），（，，）
∵
令
同理，
故二面角的平面角的正切值为
点睛：本题考查了空间线面垂直的判定，及向量法求二面角，属于中档题．19．(1) E(X)=(2)相等
【来源】【全国市级联考】辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟考试数学理【解析】分析：(1)设事件“从该养殖场中随机取出1个稳产网箱”则
～由此可得的分布列与期望；
（2）稳产网箱的频数为100·=60
依题意Y～H(100,60,3)，由此可得
详解：
(1)设事件A=“从该养殖场中随机取出1个稳产网箱”则
，易知则～
P(X=k)=C ()k·()3−k= (k=0,1,2,3)
故X的分布列为
X的期望E(X)=3 =
(2)稳产网箱的频数为100·=60
依题意Y～H(100,60,3)
故E(Y)= ==E(X)
点睛：本题考查了频率分布直方图与二项分布列的应用问题，是基础题．
20．(1) 椭圆方程为，圆的方程为 (2)
【来源】【全国市级联考】辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟考试数学理【解析】分析：(1)易知当线段AB在y轴时，，，结合
可求，可求椭圆方程和圆的方程；
（2）设直线L方程为：y=kx+m,直线为圆的切线，，
直线与椭圆联立，，得，利用弦长公式
可得，然后利用换元法求其范围即可.
详解：
解：(1) 设B点到x轴距离为h,则，易知当线段AB在y轴时，
，
所以椭圆方程为，圆的方程为
（2）设直线L方程为：y=kx+m,直线为圆的切线，，
直线与椭圆联立，，得
判别式，由韦达定理得：，
所以弦长，令，
所以
点睛：本题考查椭圆方程的求法，主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，是难题．
21．(1) f(x)在(0,1)↑,(1,+∞)↓(2)−1
【来源】【全国市级联考】辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟考试数学理【解析】分析：(1)求导，设
，讨论其值域，可得的单调性；
(2)当时,设，
，在 ,且
可知在(0,)内, 唯一x0∈(,),使得lnx0=x0−2
并且F(x)在(0,x0)↓,(x0,e)↑,(e,+∞)↓当x∈(0,e)时,F(x)min=e3(x−x0)
因∃∈(0,e),使2m≥F(x)成立,故需2m≥F(x)min=e3(x−x0)
由此可求m的最小整数值.
详解：
解：(1) 求导，设
明显g(x)在(0,+∞)↓,且g(1)=0
故f(x)在(0,1)↑,(1,+∞)↓
当时,设，
，在 ,且
注意F′()=−3<0,F′()=e3(1−ln2−e−2)≈0.1e3>0
故在(0,)内,∃唯一x0∈(,),使得lnx0=x0−2
并且F(x)在(0,x0)↓,(x0,e)↑,(e,+∞)↓
当x∈(0,e)时,F(x)min=F(x0)=e3(x0lnx0−x+x0)=e3(x−x0)
因∃∈(0,e),使2m≥F(x)成立,故需2m≥F(x)min=e3(x−x0)
当x0∈(,)时,F(x)min=e3(x−x0)∈(−,−e)≈(−3.32,−2.51)
因2m为偶数,故需2m≥−2⇒m≥−1,即m的最小整数值为−1
点睛：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于难题．
22．（1）（2）
【来源】【全国市级联考】辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟考试数学理【解析】分析：（1）将两边同乘，根据直角坐标与极坐标的对应关系得出直角坐标方程；
（2）将直线的参数方程代入圆的普通方程，根据参数的几何意义与根与系数的关系得出．
详解：
（1）由得，化为直角坐标方程为，
即
（2）将l的参数方程带入圆C的直角坐标方程，得
因为，可设是上述方程的两根，所以
又因为（2，1）为直线所过定点，
所以的最小值为
点睛：本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程的几何意义与应用，属于基础题．
23．（1）（2）
【来源】【全国市级联考】辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟考试数学理【解析】分析：（1）求出的分段函数的形式，解不等式可分与，三类讨论即可解得不等式的解集；
（2）原式等价于存在，使成立，即，
设，求出的最大值即可得到的取值范围.
详解：（1）当时，，无解
当时，∴
当时，
综上所述的解集为.
（2）原式等价于存在，使
成立，即
设
由（1）知
当时，，其开口向下，对称轴为x=>-1,所以g(x)≤g(-1)=-8,当-1<x<5,开口向下，对称轴x=,所以g(x)≤g()=-
当x≥5时，开口向下，对称轴x=<5，所以g(x)≤g(5)=-14，
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

综上所述，t的取值范围为（-∞，-].
点睛：本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用．
答案第15页，总15页。