北京丰台区2004年高三第一次模拟考试数学试卷文科

北京市丰台区2004年高三第一次模拟考试数学试卷（文科）
［考生须知］
1. 本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共8页。

共150分，考试时间120分钟。

2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。

第I 卷 （选择题 共40分）
［注意事项］
1. 考生要按要求在机读答题卡上作答，题号要对应，答案标号涂黑要规范。

2. 考试结束，将试卷和机读答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合M y y x R N y y x x R x
==∈==∈{|}{|}22
，，，，则 A. M N ={}24， B. M N = C. M N ⊂
D. M N R = （2）等比数列{a n }中，a a a a 62623430+=-=，，那么a 4等于
A. 8
B. 16
C. ±8
D. ±16
（3）函数y ax bx c =++2
的图象经过四个象限的充要条件是
A. a f b
a <-<020且() B. a
b a
c >->0402
且 C. a b ≠且00=
D. ac <0
（4）设抛物线的顶点为（0，0），其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点（k ，－1）与F 点的距离为3，则k 等于 A. 4
B. ±4
C. 22
D. ±22
（5）若f(x)是定义域为R 的奇函数，则下列各式中恒成立的是（ ） A. f x f x ()()-=---11 B. f x f x ()()-=--+11 C. f x f x ()()-=+11 D. f x f x ()()-=-11 （6）已知函数y=f(x)的反函数f x x -=-1
8
2
8
()log
(cos )sin
ππ
，则方程f x ()=1的解是
（ ）
A. 3
B. 2
C. 1
D. 4
（7）已知平面αβγ、、，直线m 、l ，点A ，有下面四个命题： ①若，，则与l m A l m ⊂=αα 必为异面直线； ②若l ∥α，l ∥m ，则m ∥α；
③若l m l m ⊂⊂αββααβ，，∥，∥，则∥；
④若αγγαγβα⊥，，，⊥，则⊥ ==m l l m l 。

其中正确命题的个数是
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
（8）函数y x x =-2
2在区间[a ，b]上的值域是[－1，3]，则点P （a ，b ）的轨迹是图中的
A. 线段AB 、AD
B. 线段AB 、CD
C. 线段AD 、BC
D. 线段AC 、BD
第II 卷 （非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

把答案填在题中横线上。

（9）设复数z i z i 1212=-=，，则||z 1=____________，z z z =1
2
在复平面内对应的点位于第___________象限。

（10）函数f x x x x x ()s i n c o s ()cos sin()=+++··π
π
44
的最小正周期是___________；当x ∈[]02
，
π
时，函数f(x)的最小值是______________________。

（11）已知圆锥的体积为12π，圆锥高为4，则它的母线长为___________，侧面展开图的圆心角等于___________。

（12）若平移圆C x y 12
2
339：()()+++=，使平移后的圆的圆心在第一象限，且与x 轴、y 轴分别只有一个交点，则平移后的圆C 2的方程是______________________，与两圆连心线C 1C 2平行的一条直线的方程是______________________。

（13）设02
<<
<<x y π
π，比较大小：sin y ___________sin()x y +；若tg
x 21
2
=，则cos x =___________。

（14）“渐升数”是指每一个数字比其左边的数字大的正整数（如236），设两位的渐升数有m 个，其中比56大的两位渐升数有n 个，则m=___________，n=___________。

三、解答题：本大题共6个小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（15）（本小题满分13分）
解不等式log ()log ()22
22
112x x x x +++++<。

（16）（本小题满分13分）
将等差数列{a n }中的所有项依次排列，并作如下分组：（a 1），（a 2，a 3），（a 4，a 5，a 6，a 7），…，第一组中有1项，第二组中有2项，第三组中有4项，…，第n 组中有21n -项。

记T n 为第n 组中各项的和，已知T T 23432==，。

（I ）求数列{a n }的通项公式；
（II ）前n 组中共有多少项，并求出第n 组中的最后一项。

（17）（本小题满分14分）
如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 、M 、N 分别为棱DD 1、AB 、BC 的中点。

（I ）求二面角B 1—MN —B 的正切值； （II ）证明：PB ⊥平面MNB 1；
（III ）画出一个正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件。

（18）（本小题满分14分）
已知椭圆的中心在原点，焦点为F 1()022，-，F 2（0，22），且离心率e =22
3。

（I ）求椭圆的方程；
（II ）直线l （与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点A 、B ，且线段AB 中点的横坐标为-
1
2
，求直线l 倾斜角的取值范围。

（19）（本小题满分13分）
某地区在抗洪抢险中接到预报，24小时后有一个超历史最高水位的洪峰到达，为保证万无一失，决定在24小时内筑起一道堤作为第二道防线，如果有25辆汽车同时作业20小时可以完成，但现在除一辆汽车可以立即投入作业外，其余车辆需从各处抽调，每隔20分钟就有一辆车到达并投入工作，问至少还需组织多少辆这样陆续工作，才能保证一天内完成第二道防堤？
（20）（本小题满分13分）
如图，A 、B 为函数y x x =-≤≤3112
()图像上两点，且AB ∥x ，点M （1，m ）（m>3）是△ABC 边AC 的中点。

（I）设点B的横坐标为t，△ABC的面积为S，求S关于t的函数关系式S=f(t)；（II）求函数S=f(t)的最大值，并求出相应的点C的坐标。

【试题答案】
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。

1. C 2. A 3. D 4. D 5. B
6. B
7. C
8. A
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。

9.
2，三
10. π，-
22
11. 5，216°
12. ()()x y -+-=3392
2
，形如y x k k =+()≠0
13. >，
35
14. m n ==369，
三、解答题：本大题共6个小题，共80分。

15. （本小题满分13分）
解：设log ()()2210x x u u ++=≥
原不等式化为 u u 2
20+-< 解得 -<<21u 又由u u ≥≤<001得 3分
即01122≤
++<log ()x x
⇔≤++<01122
l o g()x x 5分
⇔++>++≥++<⎧⎨⎪⎩
⎪x x x x x x 22
210
1112 8分
⇔
--<≤-≤<-+1521015
2
x x 或 12分 ∴原不等式的解为 --<≤-≤<-+1521015
2
x x 或 13分 16. （本小题满分13分）
解：（I ）设数列{a n }中首项为a 1，公差为d
由已知T a a T a a a a 22334567432=+==+++=， 得23441832
12
23111a d a d a d a n n +=+=⎧⎨
⎩=-==-解得，∴ 5分
（II ）由已知可得前n 组中共有1+2+4+…+2211
n n -=-项 10分
∴第n 组中的最后一项为a n n 211
2
5-+=- 13分 17. （本小题满分14分）
解：（I ）连接BD 交MN 于F ，则BF ⊥MN ，
连接B 1F
∵B 1B ⊥平面ABCD ∴B 1F ⊥MN 2分
则∠B 1FB 为二面角B 1—MN —B 的平面角 在Rt △B 1FB 中，设B 1B=1，则FB =24
∴tg B FB ∠122= 5分
（II ）过点P 作PE ⊥AA 1，则PE ∥DA ，连接BE 又DA ⊥平面ABB 1A 1，∴PE ⊥平面ABB 1A 1 又BE ⊥B 1M ∴PB ⊥MB 1
又MN ∥AC ，BD ⊥AC ，∴BD ⊥MN 又PD ⊥平面ABCD
∴PB ⊥MN ，所以PB ⊥平面MNB 1 11分
（III ）符合条件的正方体表面展开图可以是以下六种之一：
（14分）
18. (本小题满分14分)
解：（I ）设椭圆方程为y a x b
c c a 222212222
3+===，由已知，又
解得 a=3，所以b=1，故所求方程为 y x 2
29
1+= 4分 （II ）设直线l 的方程为y kx b k =+()≠0代入椭圆方程整理得
()k x kbx b 2
2
2
9290+++-= 5分
由题意得∆=-+->+=-+=-⎧⎨⎪
⎩
⎪()()()24990291222122
kb k b x x kb
k 7分 解得 k k ><-33或 又直线l 与坐标轴不平行 12分
故直线l 倾斜角的取值范围是 ()()ππππ
32223
，， 14分
19. （本小题满分13分）
解：由题意可知，从现有的第一辆车投入工作起，各车的工作时间依次组成数列{a n } 则a a a n n 1124
1
3
=-=-+ 所以{a n }成等差数列 5分
若至少还需组织n －1辆车，则 a a a a n n n n 12324121
3
2520++++=+
--≥…··×()() 9分 ∴25120≤≤n
∴n n min =-=25124，而（辆） 12分
∴至少还需要组织24辆车这样陆续工作，才能保证一天内完成第二道防线 13分 20. （本小题满分13分）
解：（I ）设B ()t t ，32
，A ()-t t ，32
，((])t ∈01，
∵M 是△ABC 边AC 的中点
S S t m t t m t ABC ABM △△··==-=-221
2232322()() ∴S f t t m t t ==-<≤()()()23012
4分 （II ）设C x y ()00，，
∵M 是△ABC 边AC 的中点
∴12
32223002002
=-=+⎧⎨⎪⎪⎩
⎪⎪⇒=+=-⎧⎨⎩x t m y t
x t y m t ∴点，C t m t ()2232
+- 5分
当39<≤m 时， S t m t t m t m t m m =
-=
--≤432363349
222222()()()· 当且仅当63349
2
2
t m t t m S m
m =-=
，即时，的最大值是。

此时点C （2323
2
+-m m m ，） 8分 当m>9时，S=f(t)在区间（0，1]上是增函数，证明如下：
设012312121212
1222
<<≤-=--++t t f t f t t t m t t t t ，()()()[()] ∵010112
12<<<<t t t ，，0122
<≤t
03333012
1222
12
1222
<++<>-++>()()t t t t m m t t t t ，又∴ 又t t 120-<
∴f t f t f t f t ()()()()12120-<<，即∴
∴S=f(t)在（0，1]上为增函数， 11分
故t=1时，S f m C m max ()()==--126323，此时，。

13分。