2020版高考数学(理)新精准大一轮课标通用版刷好题练能力：第七章 4 第4讲 基本不等式 含解析

[基础题组练]
1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C. 1a ＋1b >2ab
D. b a ＋a b
≥2 解析：选D.因为a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，所以A 错误．对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．
对于D ，因为ab >0， 所以b a ＋a b
≥2
b a ·a
b
＝2. 2．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋1
4>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )
C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1
x 2＋1
>1(x ∈R ) 解析：选C.对于选项A ，当x >0时，x 2
＋14
－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122≥0，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x ； 对于选项B ，当sin x <0时显然不成立； 对于选项C ，x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |，一定成立； 对于选项D ，因为x 2＋1≥1， 所以0<1
x 2＋1
≤1.故选C.
3．已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎡⎦⎤
12，3上的最小值为( ) A. 12 B. 43 C ．－1
D ．0
解析：选 D.f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1
x ，即x ＝1时取等号．又
1∈⎣⎡⎦⎤12，3，所以f (x )在⎣⎡⎦
⎤1
2，3上的最小值是0. 4．若实数a ，b 满足1a ＋2
b ＝ab ，则ab 的最小值为( )
A. 2 B ．2 C ．2 2
D ．4
解析：选C.因为1a ＋2
b ＝ab ，所以a ＞0，b ＞0，
由ab ＝1a ＋2
b
≥2
1a ×2b
＝22ab
， 所以ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)， 所以ab 的最小值为2 2.
5．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋1
3y 的最小值是( )
A ．2
B ．2 2
C ．4
D ．2 3
解析：选C.因为lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2， 所以lg(2x ·8y )＝lg 2， 所以2x
＋3y
＝2，
所以x ＋3y ＝1. 因为x >0，y >0，
所以1x ＋13y ＝(x ＋3y )⎝⎛⎭⎫1x ＋13y ＝2＋3y x ＋x
3y ≥2＋23y x ·x 3y ＝4，当且仅当x ＝3y ＝12
时取等号．所以1x ＋1
3y
的最小值为4.故选C. 6．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1
xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为________．
解析：因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）24＝22
4＝1，
所以1
xy ≥1；
又1
xy
≥M 恒成立， 所以M ≤1，即M 的最大值为1. 答案：1
7．已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1
b 的最小值为________．
解析：由a ＋2b ＝3得13a ＋2
3b ＝1，
所以2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫13a ＋23b ⎝⎛⎭⎫
2a ＋1b ＝43＋a 3b ＋4b 3a ≥4
3
＋2a 3b ·4b 3a ＝83
. 当且仅当a ＝2b ＝3
2
时取等号．
答案：83
8．已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为________．
解析：依题意得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )，即x ＋22xy
x ＋y ≤2(当且仅当x ＝2y 时取等号)，
即
x ＋22xy x ＋y 的最大值为2.又λ≥x ＋22xy
x ＋y 恒成立，因此有λ≥2，即λ的最小值为2. 答案：2
9．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；
(2)设0<x <2，求函数y ＝x （4－2x ）的最大值． 解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋3
2
＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x
2＋83－2x ＋32.
当x <3
2时，有3－2x >0，
所以3－2x 2＋83－2x
≥2
3－2x 2·8
3－2x
＝4， 当且仅当3－2x 2＝8
3－2x ，
即x ＝－1
2时取等号．
于是y ≤－4＋32＝－5
2，
故函数的最大值为－5
2.
(2)因为0<x <2，所以2－x >0，
所以y ＝x （4－2x ）＝2·x （2－x ）≤2·x ＋2－x
2＝2，当且仅当x ＝2－x ，
即x ＝1时取等号，
所以当x ＝1时，函数y ＝x （4－2x ）的最大值为 2. 10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． 解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2
y ＝1， 又x >0，y >0，
则1＝8x ＋2y ≥2
8x ·2y ＝8xy
. 得xy ≥64，
当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.
(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2
y ＝1，
则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫
8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8y
x
≥10＋2
2x y ·8y
x
＝18. 当且仅当x ＝12，y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.
[综合题组练]
1．(应用型)已知a ＞0，b ＞0，若不等式3a ＋1b ≥m
a ＋3
b 恒成立，则m 的最大值为( )
A ．9
B ．12
C ．18
D ．24
解析：选B.由3a ＋1b ≥m
a ＋3
b ，
得m ≤(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫3a ＋1b ＝9b a ＋a
b ＋6. 又9b a ＋a
b ＋6≥29＋6＝12， 当且仅当9b a ＝a
b ，
即a ＝3b 时等号成立，
所以m ≤12，所以m 的最大值为12.
2．(应用型)若正数a ，b 满足a ＋b ＝2，则1a ＋1＋4
b ＋1的最小值是( )
A ．1 B.9
4 C ．9
D ．16
解析：选B.1a ＋1＋4
b ＋1
＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1＋4b ＋1·（a ＋1）＋（b ＋1）4
＝14⎣⎢⎡
⎦⎥⎤1＋4＋b ＋1a ＋1＋4（a ＋1）b ＋1
≥14⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
5＋2b ＋1a ＋1·4（a ＋1）b ＋1
＝94
， 当且仅当b ＋1a ＋1＝4（a ＋1）b ＋1
，即a ＝13，b ＝5
3时取等号，故选B.
3．(创新型)规定：“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗x
x
的最小值为________．
解析：由题意得1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0，解得k ＝1或k ＝－2(舍去)，所以k ＝1，故k 的值为1，
又f (x )＝1⊗x x ＝x ＋x ＋1x ＝1＋x ＋1
x ≥1＋2＝3，
当且仅当x ＝
1
x
，即x ＝1时取等号， 故函数f (x )的最小值为3. 答案：1 3
4．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. 求：(1)u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)1x ＋1
y 的最小值． 解：(1)因为x >0，y >0，
所以由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . 因为2x ＋5y ＝20，
所以210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．
因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，
此时xy 有最大值10.
所以u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.
所以当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)因为x >0，y >0， 所以1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y
20
＝120⎝
⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥1
20⎝⎛⎭
⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋210
20. 当且仅当5y x ＝2x
y 时，等号成立．
由⎩⎪⎨⎪
⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y
，
解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.
所以1x ＋1
y 的最小值为7＋21020
.
5．某厂家拟定在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－k
m ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销
量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？ 解：(1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)， 所以1＝3－k ⇒k ＝2，所以x ＝3－2
m ＋1(m ≥0)，
每件产品的销售价格为1.5×
8＋16x
x
(元)， 所以2019年的利润y ＝1.5x ×8＋16x
x －8－16x －m
＝－⎣⎡⎦
⎤16
m ＋1＋（m ＋1）＋29(m ≥0)．
(2)因为m ≥0时，16
m ＋1
＋(m ＋1)≥216＝8，
所以y ≤－8＋29＝21，当且仅当16
m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)．
故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．。