高考数学一轮复习第五篇数列必修5第2节等差数列课件理

时,an=q,等差数列为常数列,此时数列的图象是平行于x轴的直线(或x轴)上的 均匀排开的一群孤立的点.
【重要结论】
1.等差数列{an}中,若am=n,an=m,则am+n=0. 2.等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm=Sn(m≠n),则Sm+n=0. 3.等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm=n,Sn=m,则Sm+n=-(m+n).
答案:(2)(3)(6)
考点专项突破
在讲练中理解知识
考点一 等差数列的基本量运算
【例1】 (2018·全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15. (1)求{an}的通项公式;
解:(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15. 由a1=-7得d=2. 所以{an}的通项公式为an=2n-9.
(1)定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的 差 都 等于 同一个 常数,那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为___a_n-_a_n_-_1=_d___
(n≥2,n∈N*,d为常数).
ab
(2)等差中项:若 a,A,b 成等差数列,则 A 叫做 a 与 b 的等差中项,且 A=_____2 _____.
n
1
n
反思归纳
等差数列的四个判定方法 (1)定义法:证明对任意正整数n都有an+1-an等于同一个常数; (2)等差中项法:证明对任意正整数n都有2an+1=an+an+2; (3)通项公式法:得出an=pn+q(p,q是常数); (4)前n项和公式法:得出Sn=An2+Bn(A,B是常数).
【跟踪训练2】 已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λ Sn-1,其中 λ 为常数. (1)证明:an+2-an=λ ;
.
解析:(3)由{an}是等差数列,得S3,S6-S3,S9-S6成等差数列, 即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),得到S9-S6=2S6-3S3=45, 即a7+a8+a9=45.
答案:(3)45
反思归纳
一般地,运用等差数列性质可以优化解题过程,但要注意性质运用的条件, 如m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).
解析:设公差为 d,由等差数列{an}中,a2+a3+a10=9,得 3a1+12d=9,所以 3a5=9,a5=3, S9= 9(a1 a9 ) =9a5=27.故选 D.
2
3.(教材改编题)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100等于( C )
(A)100 (B)99 (C)98
(2)求Sn,并求Sn的最小值.
解:(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16. 所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.
反思归纳
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三 个就能求另外两个,体现了用方程的思想来解决问题. (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是等 差数列的两个基本量,用它们表示已知量和未知量是常用方法.

4d 4, 12d 12,
解得
ad1
0, 1,
所以 a4+S7=8a1+24d=24.故选 C.
考点二 等差数列的判定与证明
【例2】 (2018·贵州适应性考试)已知数列{an}满足a1=1,且nan+1-(n+1)an= 2n2+2n. (1)求a2,a3;
解:(1)由已知,得a2-2a1=4, 则a2=2a1+4,又a1=1,所以a2=6. 由2a3-3a2=12, 得2a3=12+3a2,所以a3=15.
(1)证明:由题设知anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1,两式相减得an+1(an+2an)=λan+1,由于an+1≠0,所以an+2-an=λ.
(2)是否存在λ ,使得{an}为等差数列?并说明理由.
(2)解:由 anan+1=λSn-1,an-1an=λSn-1-1(n≥2),则 anan+1-an-1an=λan,an+1-an-1=λ.若{an}为
答案:(2)10
考点四 等差数列的最值问题
【例4】 等差数列{an}的首项a1>0,设其前n项和为Sn,且S5=S12,则Sn有最大值
时,n=
.
解析:法一 设等差数列{an}的公差为 d,由 S5=S12 得 5a1+10d=12a1+66d,d=- 1 a1<0. 8
所以 Sn=na1+ n(n 1) d=na1+ n(n 1) ·（- 1 a1）=- 1 a1(n2-17n)=- 1 a（1 n- 17 ）2+ 289 a1,
【跟踪训练 3】 (1)若两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,已知 Sn = Tn
7n ,则 a5 等于( ) n 3 b5
(A)7 (B) 2 (C) 27 (D) 21
3
8
4
a1 a9 9(a1 a9 )
解析:(1)因为 a5= a1 a9 2
,b5= b1 b9 2
(4)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则S2n-1=(2n-1)an. 5.等差数列的增减性与最值
公差d>0时为递 增 数列,且当a1<0时,前n项和Sn有最 小 数列,且当a1>0时,前n项和Sn有最 大 值.
值;d<0时为递_减_
6.等差数列与一次函数的关系
由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可得an=dn+(a1-d),如果设p=d,q=a1-d,那 么an=pn+q,其中p,q是常数.当p≠0时,(n,an)在一次函数y=px+q的图象上,即公 差不为零的等差数列的图象是直线y=px+q上的均匀排开的一群孤立的点.当p=0
,所以 a5 b5
=
2 b1 b9
=2
9b1 b9
= S9 T9
= 7 9 = 21 . 93 4
2
2
故选 D.
答案:(1)D
(2)在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=
.
解析:(2)因为{an}是等差数列, 所以a3+a7=a4+a6=a2+a8=2a5, a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25, 所以a5=5,a2+a8=2a5=10.
解得
ad1

2, 2.
故选 A.
(2)(2018·安徽两校阶段性测试)若等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足 a2+S3=4, a3+S5=12,则a4+S7的值是( ) (A)20 (B)36 (C)24 (D)72
解析:(2)由 a2+S3=4 及 a3+S5=12,
得
64aa11
(2)证明数列{ an }是等差数列,并求{an}的通项公式. n
解:(2)由已知 nan+1-(n+1)an=2n(n+1),得 nan1 (n 1)an =2,即 an1 - an =2,所以数列
n(n 1)
n1 n
{ an }是首项 a1 =1,公差 d=2 的等差数列.则 an =1+2(n-1)=2n-1,所以 an=2n2-n.
【跟踪训练1】 (1)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S8-S4=36,a6=2a4,则a1等于 ()
(A)-2
(B)0
(C)2
(D)4
解析:(1)设等差数列{an}的公差为 d,因为 S8-S4=36,a6=2a4,
所以
(8a1

8 2
7
d)

(4a1

4 2
3
d

36,
a1 5d 2a1 6d,
(D)97
解析:由公差为
d,由题意得
9a1

98 2

d

27,
a1 9d 8,
解得
ad1
1, 1,
所以
a100=a1+99d=98.故选
C.
4.在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大
值,则d的取值范围为
.
解析:由题意知 d<0 且 aa89＞＜00,,
2.等差数列的通项公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1,公差为d,则其通项公式为an= a1+(n-1)d . (2)通项的推广:an=am+ (n-m) d.
3.等差数列的前 n 项和公式
n(a1 an )
(1)已知等差数列{an}的首项 a1 和第 n 项 an,则其前 n 项和公式 Sn=_____2______.
2
2
8
16
16
2 64
因为 a1>0,n∈N*,所以 n=8 或 n=9 时,Sn 有最大值.
法二 设等差数列{an}的公差为 d,同法一得 d=- 1 a1<0.设此数列的前 n 项和最大,则 8
an 0, an1 0,
即
an

a1

(n
1) ( 1 8
an1
即
7 7
7d＞0, 8d＜0,
解得-1<d<-
7 8
.
答案:(-1,- 7 ) 8
5.下列说法正确的是
.
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等
差数列.
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2. (3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的. (4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数. (5)数列{an}满足an+1-an=n,则数列{an}是等差数列. (6)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等 差数列.
等差数列,则公差 d= ,又 a1=1,a1a2=λa1-1,得 a2=λ-1.所以 a2-a1=λ-2= ,得λ=4.
2
2
因此存在λ=4,使得数列{an}为等差数列.
考点三 等差数列的性质
【例3】 (1)(2018·吉林省百校联盟联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn, 若2a11=a9+7,则S25等于( )

a1

n

(
1 8
a1)
a1) 0,
0,
解得
n n

9, 8,
即
8≤n≤9,又
(2)已知等差数列{an}的首项 a1 与公差 d,则其前 n 项和公式 Sn=
na1+ n(n 1) d 2
.
4.等差数列{an}的性质 (1)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(其中m,n,p,q∈N*),特别地,若p+q=2m,则ap+aq=
2am (p,q,m∈N*).
(2)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列. (3)若下标成等差数列,则相应的项也成等差数列,即ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*) 成等差数列.
对点自测
1.在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6等于( B ) (A)-1 (B)0 (C)1 (D)6
解析:由等差数列的性质,得a6=2a4-a2=2×2-4=0,选B.
2.(2018·山西太原模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a3+a10=9,则S9 等于( D ) (A)3 (B)9 (C)18 (D)27
(A) 37 (B) 38 (C) 39 (D) 40
27
28
29
30
解析:(2)
a7
=
2a7
=
a1
a13
=
13 2

a1

a13

=
S13
=
313 2
=
37
.故选 A.
b7
2b7
b1 b13
13 2
(b1

b13
)
T13
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2 13 1 27
答案:(2)A
(3)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=
第2节 等差数列
[考纲展示] 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的 等差关系,并能用等差数列的有关知 识解决相应的问题. 4.了解等差数列与一次函数的关系.
知识链条完善 考点专项突破
知识链条完善
把散落的知识连起来
知识梳理
1.等差数列的相关概念
(A) 145 (B)145 (C) 175 (D)175
2
2
解析:(1)由题意可得 2a11=a9+a13,所以 a13=7,所以 S25= a1 a25 ×25= 2a13 ×25=25a13=
2
2
25×7=175.选 D.
答案:(1)D
(2)等差数列{an}与{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,若 Sn = 3n 2 ,则 a7 等于( ) Tn 2n 1 b7