万有引力与航天-备战2020年高考物理高频考点解密(解析版)

解密
05 万有引力与航天
核心考点
考纲要求 万有引力定律及其应用 环绕速度
第二宇宙速度和第三宇宙速度 经典时空观和相对论时空观
Ⅱ Ⅱ Ⅰ Ⅰ
122
11226.6710N m /kg m m F G r G G -==⨯⋅⎧⎧⎨⎪
⎩⎪⎪⎧⎨
⎪
⎪⎨⎪
⎪⎪⎩⎩⎧⎪⎪⎪⎨⎪
⎪⎧⎨⎪⎩⎩地心说认为地球是宇宙的中心
地心说与日心说日心说认为太阳是宇宙的中心人类对行星运动第一定律（轨道定律） 规律的认识开普勒行星运动规律第二定律（面积定律） 第三定律（周期定律）万有引力定律得内容万有引力定律公式：大小：引力常量的测定卡文迪许扭秤实验测得万有引力万有引力定律的伟与航天2232
23
2
22234π4π27.9km /s 11.2km /s km /s gR M G
r M GT r mr T T GM Mm v GM G m v r r r GM mr r ωω==⇒==⇒=⇒=⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪
⎩⎩称量地球的质量：大成就计算天体的质量：发现未知天体：海王星和冥王星人造地球卫星宇宙航行第一宇宙速度三个宇宙速度第二宇宙速度第三宇宙速度16.7经典力学的局限性：只适⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎩
用于低速运动，宏观物体，弱相互作用
考点1 万有引力与重力
1．在地球表面上的物体
地球在不停地自转、地球上的物体随地球自转而做圆周运动，自转圆周运动需要一个向心力，是重力不直接等于万有引力而近似等于万有引力的原因，如图所示，万有引力为F ，重力为G ，向心力为F n 。

当然，真实情况不会有这么大偏差。

（1）物体在一般位置时F n =mrω2，F n 、F 、G 不在一条直线上。

（2）当物体在赤道上时，F n 达到最大值F nmax ，F nmax =mRω2，重力达到最小值：
2
min 2n G F F G
R Mm R m ω=-=-，重力加速度达到最小值，2n min 2F F g G R m M R
ω-==-。

（3）当物体在两极时F n =0，G =F ，重力达到最大值2max G G Mm
R
=，重力加速度达到最大值，
max 2g G M
R
=。

可见只有在两极时重力才等于万有引力，重力加速度达到最大值；其他位置时重力要略小于万有引力，在赤道处的重力加速度最小，两极处的重力加速度比赤道处大；但是由于自转的角速度很小，需要的向心力很小。

计算题中，如果未提及地球的自转，一般认为重力近似等于万有引力。

即2mg G Mm
R
=或者写成GM =gR 2，称为“黄金代换”。

2．离开地球表面的物体
卫星在做圆周运动时，只受到地球的万有引力作用，我们认为卫星所受到的引力就是卫星在该处所受到的重力，2
G G
Mm R
=重力，该处的重力加速度2()M R h g G '=+。

这个值也是卫星绕地球做圆周运动的向心加速度的值；卫星及内部物体处于完全失重状态。

（为什么？）
（2019·山东高二期中）宇航员在某星球表面离地一定高度处以一定的初速度将一小球水平抛出，测得小球的水平位移为x ；在地球表面离地相同高度处以相同的初速度平抛同一小球，测得小球的水平位移为s ，己知该星球半径与地球的半径均为R ，地球表面的重力加速度为g 。

则下列说法正确的是
A ．该星球表面的重力加速度为2
2x g s
B ．该星球与地球的质量之比为
s x
C ．该星球与地球的第一宇宙速度之比为2
2x s
D ．宇宙飞船在该星球近地轨道做匀速圆周运动的周期为2x R s g
π 【参考答案】D
【试题解析】根据平抛运动的规律可知：在地球表面：0s v t =，212h gt =
，解得02h s v g
=，同理在星球表面：0
2h x v g ='，联立解得：22s g g x '=，选项A 错误；根据2Mm G mg R =，可知2
gR M g G
=∝，
可知该星球与地球的质量之比为2
2s x
，选项B 错误；根据22Mm v G m R R =，解得v gR g =∝，可知，该
星球与地球的第一宇宙速度之比为
s
x
，选项C 错误；宇宙飞船在该星球近地轨道做匀速圆周运动的周期为''222R R T v g g R
x
R
s g
πππ=
===，选项D 正确。

1．（2019·广东高三）据报道科学家们在距离地球20万光年外发现了首颗系外“宜居”行星。

假设该行星质量约为地球质量的6.4倍，半径约为地球半径的4倍。

若宇航员登陆该行星，在该行星表面将一小球以4m/s 的速度竖直向上抛出，空气阻力忽略不计，已知地球表面重力加速度g =10 m/s 2。

下列说法正确的是
A ．该行星表面重力加速度大小为16 m/s 2
B ．经过2 s 小球落回抛出点
C ．经过2 s 小球上升到最高点
D ．小球上升的最大高度为0.8 m 【答案】B
【解析】根据万有引力等于重力
2GMm mg R =得：2
GM
g R =，因为行星质量约为地球质量的6.4倍，其半径是地球半径的4倍，则行星表面重力加速度是地球表面重力加速度的0.4倍，该星球表面的重力加
速度为2
4m/s g '=，故A 错误；根据竖直上抛运动的规律知小球上升到最高点时间为：
04
s=1s 4
v t g =='，根据对称性，落回抛出点时间为22t s ＝，故B 正确，C 错误；上升的最大高度为：
22
04m=2m 224
v h g =='⨯，故D 错误。

2．（2019·江西九江一中高二期中）已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，若绕地球做匀速圆周运动的空间站离地面的高度也等于R ，则
A B ．空间站的加速度为4
g
C ．空间站的周期为2
D ．空间站里的人和物都处于完全失重状态，没有重力 【答案】AB
【解析】在地球表面重力与万有引力相等有2Mm
G
mg R
＝，卫星的向心力由万有引力提供有
()2222
422)(2Mm v G ma m m R R T R π＝＝＝，空间站的运行速度为：v ，故A 正确；空间站的加速度22
22)(44
GM gR g a R R ＝＝＝，故B 正确；空间站的周期
222T π=＝C 错误；空间站里的人和物都处于完全失重状态，仍受到重力的作用，故D 错误。

3．（2019·河南高三）2019年4月10日，天文学家公布了人类史上首张黑洞照片，如图所示.黑洞是一种密
度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸（光速为c）。

若黑洞的质量为M，半径为R，引力常量为G，如果天文学家观测到一天体绕某黑洞做半径为r的匀速圆周运动，周期为T，则下列说法正确
的有
A．该黑洞的第二宇宙速度为11.2 km/s
B．该黑洞的质量M=
23
2
4r
GT
π
C．该黑洞的密度ρ=
2
3
GT
π
D．该黑洞表面的重力加速度g=
2
2
4R
T
π
【答案】B
【解析】11.2 km/s是地球的第二宇宙速度，由题意知，黑洞光都无法逃逸，黑洞的第二宇宙速度大于11.2 km/s，故A错误；根据万有引力提供向心力有
2
22
4
Mm
G mr
r T
π
=，可得黑洞的质量M=
23
2
4r
GT
π
，故B正确；该黑洞的密度
23
223
23
33
3
===
44
33
4r
M
R
G r
GT R
R
T
π
π
ρ
ππ
，可知C错误；由GM=gR2，代入数据可知该黑洞表面的重力加速度
23
222
4
GM r
g
R R T
π
==，则D错误。

考点2人造卫星及宇宙航行
一、卫星的动力学规律
由万有引力提供向心力，
22
2
n
22
4π
Mm v r
G ma m m r m
r r T
ω
====。

二、卫星的各物理量随轨道半径变化的规律
1．线速度v ：由22Mm v G m r r =
得v =r 越大，v 越小；r 越小，v 越大。

2．角速度ω：由2
2Mm G
m r r ω=
得ω=r 越大，ω越小；r 越小，ω越大。

3．周期T ：由222π()Mm G m r r T =
得2T =r 越大，T 越大；r 越小，T 越小。

4．向心加速度a n ：由n 2Mm G
ma r =得n 2
GM
a r =，可见，r 越大，a n 越小；r 越小，a n 越大。

以上结论可总结为“一定四定，越远越慢”。

三、卫星运行参量的比较与运算
（1）第一宇宙速度的推导有两种方法：①由21200Mm v G m R R =得1v =；②由210v mg m R =得
1v =
（2）第一宇宙速度的公式不仅适用于地球，也适用于其他星球，只是M 、R 0、g 必须与之相对应，不能套用地球的参数。

五、卫星变轨问题
人造地球卫星发射过程要经过多次变轨，如图所示，我们从以下几个方面讨论：
1．变轨原理及过程
（1）为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。

（2）卫星在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。

（3）在B点（远地点）再次点火加速进入圆轨道Ⅲ。

2．一些物理量的定性分析
（1）速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为v A、v B。

在A点加速，则v A>v B，在B点加速，v3>v B，又因v1>v3，故有v A>v1>v3>v B。

（2）加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同。

（3）周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2（半长轴）、
r3，由开普勒第三定律
3
2
r
k
T
可知T1<T2<T3。

（4）如果卫星的轨道半径r减小，线速度v将增大，周期T将减小，向心加速度a将增大，动能E k 将增加，势能E p将减少。

（2019·山东高二期中）a、b、c是在地球大气层外的圆形轨道上匀速运行的三颗人造卫星，其中a、b 的轨道半径相同，b、c的轨道在同一平面内。

某时刻a处于a、b轨道的交点，c处于b的正上方，如图所示，则下列说法正确的是
A．a、b在此后有可能相撞
B．a、b的加速度大小相等，且小于c的加速度
C．a、b的线速度大小相等，且大于c的线速度
D．下一次c处于b的正上方一定仍在图示位置处
【参考答案】C
【试题解析】a 、b 的轨道半径相同，根据GM
v r
=知，a 、b 的线速度大小相等，则a 、b 在此后不可能相撞，故A 错误。

根据2
GM
a r =
知，a 、b 的轨道半径相等，则加速度大小相等，a 、b 的轨道半径小于c 的轨道，则加速度大于c 的加速度，故B 错误。

根据GM
v r
=
知，a 、b 的轨道半径相等，则线速度大小相等，a 、b 的轨道半径小于c 的轨道，则线速度大于c 的线速度，故C 正确。

根据32r
T GM
π=可知，
c 的周期大于b ，则b 的角速度比c 的大，因此当b 运动的角度比c 多2π时c 会出现在b 的正上方，不一定时图示的位置，D 错误。

1．（2019·浙江高三月考）我国天宫一号目标飞行器已完成了所有任务，在2018年上半年坠入大气层后烧蚀销毁，如图所示，设天宫一号原来在圆轨道I 上稳定飞行，到达P 点时转移到较低的椭圆轨道Ⅱ（未进入大气层），则天宫一号
A ．在P 点加速进入轨道Ⅱ
B ．在轨道I 上运动的周期大于轨道Ⅱ上运动的周期
C ．在轨道I 上P 点的加速度大于轨道Ⅱ上P 点的加速度
D ．在轨道I 上的机械能小于轨道Ⅱ上的机械能 【答案】B
【解析】在P 点减速，此时万有引力大于向心力，卫星做向心运动，可以进入轨道Ⅱ，故A 错误；根据开普勒第三定律可知半径越大，则周期越大，所以在轨道I 上运动的周期大于轨道Ⅱ上运动的周期，故B 正确；根据
2
GMm
ma r = 可知在轨道I 上P 点的加速度等于轨道Ⅱ上P 点的加速度，故C 错误；在轨道I 上P 点经过减速进入轨道Ⅱ上，则动能是轨道I 上大于轨道Ⅱ上，所以轨道I 上的机械能大于轨道Ⅱ上的机械能，故D 错误。

2．（2019·湖北黄石二中高三月考）2019年1月3日，我国发射的“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面南极艾肯特盆地冯·卡门预选着陆区。

探测器在月球上空高h 的Ⅰ轨道上做圆周运动，为了使探测器较安
全的落在月球上的B 点，在轨道A 点开始减速，使探测器进入Ⅱ轨道运动。

已知月球的半径为R ，月球表面的重力加速度为 g ，不计月球的自转，万有引力常量为G 。

下列说法正确的是：
A ．根据以上信息可以求出月球的平均密度
B ．根据以上信息可以求出“嫦娥四号”所受的万有引力
C ．“嫦娥四号”沿轨道Ⅱ由A 点运动到B 点，机械能减小
D ．由于不知道“嫦娥四号”在轨道Ⅱ的运动速率，无法求出从 A 点运动到B 点的时间 【答案】A
【解析】已知月球的半径为R ，月球表面的重力加速度为g ，根据万有引力等于重力，2
mM
G
mg R ＝，可以求解月球的质量M ，根据密度公式可以求出月球的平均密度，故A 正确；“嫦娥四号”的质量未知，无法求出所受的万有引力，故B 错误；卫星在椭圆轨道上稳定运行时，只有万有引力做功，机械能守恒，
故C 错误；卫星在轨道I 做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，()2
224()Mm G
m R h R h T π++＝，可以求出卫星在轨道I 上的运行周期T ；卫星在轨道I 和轨道II 的轨道半径已知，根据开普勒第三定律3
2r k T
=，
可以求出卫星在轨道II 上的运行周期T '，从A 到B 的运动时间为
2
T '，故D 错误。

3．（2019·河南省实验中学高三期中）2019年1月3日10时26分，在反推发动机和着陆缓冲机构的“保驾护航”下，“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面的预选着陆区，已知“嫦娥四号”的运行过程示意图如图所示，下列说法正确的是
A ．“嫦娥四号”的发射速度可以小于第一宇宙速度
B ．“嫦娥四号”从地月转移轨道进入绕月椭圆轨道时必须减速
C ．“嫦娥四号”在绕月轨道上运行时，轨道降低，周期减小
D ．“嫦娥四号”在向月球着陆过程中始终处于失重状态
【答案】BC
【解析】第一宇宙速度是最小的发射速度，“嫦娥四号”的发射速度一定大于第一宇宙速度，故A 错误；“嫦娥四号”从地月转移轨道进入绕月椭圆轨道时，轨道半径减小，做近心运动，必须减速，故B 正确；
嫦娥四号”在绕月轨道上运行时，轨道降低，根据3 2r
T GM
π
=，周期减小，故C 正确；“嫦娥四号”在向月球着陆过程中，做减速，加速度向上，处于超重状态，故D 错误。

考点3 特殊卫星及天体分析
一、极地卫星和近地卫星
1．极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。

2．近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行的线速度约为7.9 km/s 。

二、同步卫星
同步卫星是指相对地球“静止不动”的卫星。

同步卫星的六个“一定”： 轨道平面一定 轨道平面与赤道平面重合
高度一定 距离地心的距离一定，h =4.225×
104 km ；距离地面的高度为3.6×104 km 环绕速度一定 v =3.08 km/s ，环绕方向与地球自转方向相同
角速度一定 57.310rad/s ω-=⨯
周期一定 与地球自转周期相同，常取T =24 h 向心加速度一定
a =0.23 m/s 2
1．地球赤道上的物体，静止在地面上与地球相对静止，随地球的自转绕地轴做匀速圆周运动。

地球赤道上的物体受到的地球的万有引力，其中的一个分力提供物体随地球自转做圆周运动的向心力，产生向心加速度a ，另一个分力为重力，有G
2Mm
R
－mg =ma （其中R 为地球半径）。

2．近地卫星的轨道高度约等于地球的半径，其所受万有引力完全提供卫星做圆周运动的向心力，即G
2Mm
R
=ma 。

3．同步卫星与赤道上的物体具有与地球自转相同的运转周期和运转角速度，始终与地球保持相对静
止状态，共同绕地轴做匀速圆周运动。

4．区别：
（1）同步卫星与地球赤道上的物体的周期都等于地球自转的周期，而不等于近地卫星的周期。

（2近地卫星与地球赤道上的物体的运动半径都等于地球的半径，而不等于同步卫星运动的半径。

（3）三者的线速度各不相同。

四、求解此类试题的关键
1．在求解“同步卫星”与“赤道上的物体”的向心加速度的比例关系时应依据二者角速度相同的特点，运用公式a =ω2r 而不能运用公式a =
2GM
r。

2．在求解“同步卫星”与“赤道上的物体”的线速度的比例关系时，仍要依据二者角速度相同的特点，运用公式v =ωr 而不能运用公式v =
GM
r。

3．在求解“同步卫星”运行速度与第一宇宙速度的比例关系时，因都是由万有引力提供的向心力，故要运用公式v =
GM
r
，而不能运用公式v =ωr 或v =gr 。

五、双星及多星系统
1．在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星。

2．双星系统的条件： （1）两颗星彼此相距较近；
（2）两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动； （3）两颗星绕同一圆心做圆周运动。

3．双星系统的特点：
（1）两星的角速度、周期相等； （2）两星的向心力大小相等；
（3）两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r 1+r 2=L ，轨道半径与行星的质量成反比。

4．双星问题的处理方法：
双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即2212
11222
m m G m r m r L
ωω==，由此得出： （1）m 1r 1=m 2r 2，即某恒星的运动半径与其质量成反比；
（2）由于ω=2πT ，r 1+r 2=L ，所以两恒星的质量之和23
122
4πL m m GT
+=。

（2019·山东省临沂市费县第一中学高三月考）双星系统中两个星球A 、B 的质量都是m ，相距L ，它们
正围绕两者连线上某一点做匀速圆周运动。

实际观测该系统的周期T 要小于按照力学理论计算出的周期理论值T 0，且
T
T =k （k <1），于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的星球C
的影响，并认为C 位于A 、B 的连线正中间，相对A 、B 静止，则A 、B 组成的双星系统周期理论值T 0及C 的质量分别为
A ．
2π2
2L Gm ，214k k +m B ．2π3
2L Gm
，214k k -m C ．2π3
22Gm GmL ，2
14k k
+m D ．2π3
2L Gm
，2214k k -m 【参考答案】D
【试题解析】两星的角速度相同，根据万有引力充当向心力知：2
22122m G mr mr L
ωω==，可得：r 1=r 2，
两星绕连线的中点转动，则有：2222042Gm L m L T π=，所以3022L
T Gm
π=，由于C 的存在，双星的向心力
由两个力的合力提供，则：22
222
422Gm Mm L G m L T L π+=⎛⎫ ⎪
⎝⎭
，且0T k T =，解得：214k M m k -=，故D 正确。

1．（2019·黑龙江哈尔滨三中高三月考）如图为某双星系统A 、B 绕其连线上的O 点做匀速圆周运动示意图，若A 星的轨道半径大于B 星的轨道半径，双星的总质量M ，双星间的距离为L ，其运动周期为T ，则
A ．A 的线速度一定大于
B 的线速度 B ．A 的质量一定大于B 的质量
C ．L 一定，M 越大，T 越大
D ．M —定，L 越大，T 越小 【答案】A
【解析】双星系统中两颗恒星间距不变，是同轴转动，角速度相等，根据v =rω，因为r B <r A ，故v A >v B ，
故A 正确。

双星靠相互间的万有引力提供向心力，所以向心力相等，故：22
A A
B B m r m r ωω=，因为r B <r A ，
所以m B >m A ，即B 的质量一定大于A 的质量，故B 错误。

根据牛顿第二定律，有：2
A B A A 22m m G m r L T π⎛⎫= ⎪
⎝⎭
，2
A B B B 22m m G m r L T π⎛⎫= ⎪⎝⎭
，其中：r A +r B =L ，联立解得：
22T ==，故CD 错误。

2．（2019·山东高二期中）科学家天文观测到一个双星系统由主星α和伴星β构成，其主星α不断向外喷射物质使其质量不断减小，假设该双星系统演化的初期它们之间的间距不变，它们运动的轨道近似为圆轨道，伴星β质量不变，则在演化初期，该双星系统 A ．圆周运动的周期将不断增大 B ．圆周运动的周期将不断减小 C ．主星α的轨道半径不断变大 D ．伴星β的线速度不断变大 【答案】AC 【解析】根据22
22244m m G
m r m r L T T αβββααππ==，可得2224m G r L T αβπ=，2224m G r L T
βαπ=，两式相加可
得：222()
4()m m G
r r L T αβαβπ+=+，即23
24()G m m L T
αβπ+=，因m α逐渐减小，间距L 不变，可知双星系统做圆周运动的周期将不断增大，选项A 正确，B 错误；由2
224m G r L T
β
απ=可知，周期T 变大，则
r α逐渐变大，r β减小，则2r v T
ββπ=
可知，v β减小，选项C 正确，D 错误。

3．（2019·河南高三）北京时间4月10日21点整，由事件视界望远镜（EHT ）捕获的人类首张黑洞照片问世。

探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。

双星系统是由宇宙中一些离其他恒星较远的通常可忽略其他星体对它们的引力作用的两颗星组成的。

已知某双星系统中星体1的质量为m ，星体2的质量为2m ，两星体相距为L 同时绕它们连线上某点做匀速圆周运动，引力常量为G 。

下列说法正确的是
A ．星体1、2做圆周运动的半径之比为1:2 B
．双星系统运动的周期为23L
L
Gm
π C ．两星体做圆周运动的速率之和为
3Gm
L
D ．若在它们做圆周运动的圆心处放入一星球，该星球一定处于静止状态 【答案】BC
【解析】双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，向心力大小相等，则有：
22
12
222m m F G
mr mr L ωω⋅===，则1221r r =，A 错误；因为2T πω=，代入上式解得23L T L Gm
π=，B 正确；根据v r ω=，知121223Gm
v v r r L L T L
πωωω+=+==
=
，C 正确。

若在它们做圆周运动的圆心处放入一星球，此星体受两个星体的引力大小不等，所以不能静止，D 错误。

1．（2019·新课标全国Ⅰ卷）在星球M 上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P 轻放在弹簧上端，P 由静止向下运动，物体的加速度a 与弹簧的压缩量x 间的关系如图中实线所示。

在另一星球N 上用完全相同的弹簧，改用物体Q 完成同样的过程，其a –x 关系如图中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。

已知星球M 的半径是星球N 的3倍，则
A ．M 与N 的密度相等
B ．Q 的质量是P 的3倍
C ．Q 下落过程中的最大动能是P 的4倍
D ．Q 下落过程中弹簧的最大压缩量是P 的4倍 【答案】AC
【解析】A 、由a –x 图象可知，加速度沿竖直向下方向为正方向，根据牛顿第二定律有：mg kx ma -=，变形式为：k a g x m =-
，该图象的斜率为k
m
-，纵轴截距为重力加速度g 。

根据图象的纵轴截距可知，两星球表面的重力加速度之比为：0033
1
M N a g g a ==；又因为在某星球表面上的物体，所受重力和万有引力相等，即：2Mm G m g R '='，即该星球的质量2gR M G
=。

又因为：3
43R M πρ=，联立得34g RG ρπ=。

故两星球的密度之比为：
1:1N
M M N N M
R g g R ρρ=⋅=，故A 正确；B 、当物体在弹簧上运动过程中，加速度为0的一瞬间，其所受弹力和重力二力平衡，mg kx =，即：kx
m g
=
；结合a –x 图象可知，当物体P 和物体Q 分别处于平衡位置时，弹簧的压缩量之比为：00122
P Q x x x x ==，故物体P 和物体Q 的质量之比为：
1
6
p N P Q Q M x g m m x g =⋅=，故B 错误；C 、物体P 和物体Q 分别处于各自的平衡位置（a =0）时，它们的动能最大；根据22v ax =，结合a –x 图象面积的物理意义可知：物体P 的最大速度满足
2
000012332P v a x a x =⋅⋅⋅=，物体Q 的最大速度满足：2002Q
v a x =，则两物体的最大动能之比：2
22
212412
Q Q
kQ Q Q kP
P P P P m v E m v
E m v m v ==⋅=，C 正确；D 、物体P 和物体Q 分别在弹簧上做简谐运动，由平衡位置（a =0）可知，物体P 和Q 振动的振幅A 分别为0x 和02x ，即物体P 所在弹簧最大压缩量为20x ，物体Q 所在弹簧最大压缩量为40x ，则Q 下落过程中，弹簧最大压缩量时P 物体最大压缩量的2倍，D 错误；故本题选AC 。

2．（2019·新课标全国Ⅱ卷）2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆，在探测器“奔向”月球的过程中，用h 表示探测器与地球表面的距离，F 表示它所受的地球引力，能够描述F 随h 变化关系的图像是
【答案】D
【解析】根据万有引力定律可得：2
()GMm
F R h =
+，h 越大，F 越大，故选项D 符合题意。

3．（2019·新课标全国Ⅲ卷）金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度
大小分别为a 金、a 地、a 火，它们沿轨道运行的速率分别为v 金、v 地、v 火。

已知它们的轨道半径R 金<R 地<R 火，由此可以判定 A ．a 金>a 地>a 火
B ．a 火>a 地>a 金
C ．v 地>v 火>v 金
D ．v 火>v 地>v 金
【答案】A
【解析】AB ．由万有引力提供向心力2Mm
G
ma R
=可知轨道半径越小，向心加速度越大，故知A 项正确，B 错误；CD ．由2
2Mm v G m R R
=得GM v R =可知轨道半径越小，运行速率越大，
故C 、D 都错误。

4．（2019·北京卷）2019年5月17日，我国成功发射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星（同步卫星）。

该卫星
A ．入轨后可以位于北京正上方
B ．入轨后的速度大于第一宇宙速度
C ．发射速度大于第二宇宙速度
D ．若发射到近地圆轨道所需能量较少
【答案】D
【解析】由于卫星为同步卫星，所以入轨后一定只能与赤道在同一平面内，故A 错误；由于第一宇宙速度为卫星绕地球运行的最大速度，所以卫星入轨后的速度一定小于第一宇宙速度，故B 错误；由于第二宇宙速度为卫星脱离地球引力的最小发射速度，所以卫星的发射速度一定小于第二宇宙速度，故C 错误；将卫星发射到越高的轨道克服引力所作的功越大，所以发射到近地圆轨道所需能量较小，故D 正确。

5．（2019·天津卷）2018年12月8日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹”。

已知月球的质量为M 、半径为
R ，探测器的质量为m ，引力常量为G ，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r 的匀速圆周运动时，探
测器的
A ．周期为
23
4πr GM
B ．动能为
2GMm
R
C ．角速度为
3Gm
r
D ．向心加速度为
2
GM
R 【答案】C
【解析】由万有引力提供向心力可得222
224GMm v m r m r m ma r T r πω====，可得
3
2r T GM
π
=，故A 正确；解得GM v r =，由于2122k GMm E mv r ==，故B 错误；解得3
GM
r ω=
，故C 错误；解得2GM a r =，故D 错误。

综上分析，答案为A 。

6．（2019·江苏卷）1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动．如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v 1、v 2，近地点到地心的距离为r ，地球质量为M ，引力常量为G 。

则
A ．121,GM
v v v r > B ．121,GM
v v v r >>C ．121,GM
v v v r
< D ．121,GM
v v v r
<>
【答案】B
【解析】“东方红一号”从近地点到远地点万有引力做负功，动能减小，所以12v v >，过近地点圆周运动的速度为GM v r =，由于“东方红一号”在椭圆上运动，所以1GM
v r
>，故B 正确。

7．（2019·浙江选考）20世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域。

现有一艘远离星球在太空中直线飞行的宇宙飞船，为了测量自身质量，启动推进器，测出飞船在短时间Δt 内速度的改变为Δv ，和飞船受到的推力F （其它星球对它的引力可忽略）。

飞船在某次航行中，当它飞近一个孤立的星球时，飞船能以速度v ，在离星球的较高轨道上绕星球做周期为T 的匀速圆周运动。

已知星球的半径为R ，引力常量用G 表示。

则宇宙飞船和星球的质量分别是
A ．F v t ∆∆，
2v R
G B ．F v t ∆∆，
32πv T
G C ．F t v ∆∆，
2v R G
D ．F t v ∆∆，
32πv T G
【答案】D
【解析】直线推进时，根据动量定理可得F t m v ∆=∆，解得飞船的质量为F t
m v
∆=
∆，绕孤立星球运动时，根据公式2224Mm G m r r T π=，又22Mm v G m r r =，解得32v T
M G
π=，D 正确。

8．（2018·北京卷）若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证 A ．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的1/602 B ．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的1/602 C ．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的1/6 D ．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的1/60 【答案】B。