8_2_4 斯托克斯公式 环流量与旋度 高等数学 微积分 考研数学

轴正向看为顺时针, 计算 I y2 d x xy d y xz d z .
解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧,
则其法线方向余弦
cos 0 , cos
1, 2
cos
1 2
z
利用斯托克斯公式得
cos cos cos
o x
2y
I
x y
y2 xy
z
dS 1 (y z)dS 0 2
内容小结
1. 斯托克斯公式
d yd z
P d x Q d y R d z
x
P
dzdx
y
Q
dxd y
z
R
cos
x
P
cos
y
Q
cos
z
dS
R
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2. 场论中的三个重要概念
设 u u (x, y, z),
A
(P,
Q,
R),
x
,
y
,
z
,
则
梯度:
grad u
u x
d ydz dzdx P d x Q d y R d z
R
或用第一类曲面积分表示:
cos cos cos
x
y
z
d S P d x Q d y R d z
PQR
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例1. 利用斯托克斯公式计算积分
zdx xd y ydz
其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个
出了著名的粘性流体运动方程 ( 后称之 为纳维 – 斯托克斯方程 ), 1847年先于
柯西提出了一致收敛的概念. 他提出的斯托克斯公式
是向量分析的基本公式. 他一生的工作先后分 五卷
出版 .
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点, 建立坐标系如图,则
(0, 0, ), r (x, y, z)
z l M
点 M 的线速度为
o
r y
i jk
x
v r 0 0 ( y, x, 0)
xy z
i jk
rot v
x
y z
y x 0
(0, 0, 2) 2
(此即“旋度”一词的来源)
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斯托克斯公式①的物理意义:
§8.2.4 斯托克斯公式 环流量与旋度
一、斯托克斯公式
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
二、环流量与旋度
1
一、 斯托克斯( Stokes ) 公式
定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, 的 侧与 的正向符合右手法则, P,Q, R 在包含 在内的一
边界, 方向如图所示.
z
1
解: 记三角形域为, 取上侧, 则
z d x x d y y d z
d ydz dzdx dxd y
x
y
z
z
x
y
o
1y
1
x
Dxy
d
y
d
z
d
z
d
x
d
x
d
y
3
Dxy
d
x
d
y
3 2
利用对称性
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例2. 为柱面 x2 y2 2 y 与平面 y = z 的交线,从 z
rot A n d S A d s
或
(rot A)n d S A d s
①
定义: P d x Q d y R d z A d s 称为向量场A
沿有向闭曲线 的环流量. 向量 rot A 称为向量场 A 的
旋度 .
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旋度的力学意义:
设某刚体绕定轴 l 转动,角速度为 , M为刚体上任一
R y
Q z
cos
P z
R x
cos
Q x
P y
cos
d S
(P cos Q cos R cos ) d s Page 6
令 A (P, Q, R), 引进一个向量
i jk
(Ry
Q z
),
(Pz
R x
),
(Qx
P y
)
x
y
z
记作 rot A
PQR
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
(rot A)n d S A d s 为向量场 A 沿
向量场 A 产生的旋度场
的环流量
穿过 的通量
注意 与 的方向形成右手系!
例3.
求电场强度 E
q r3
r
的旋度 .
i jk
解:
rot E
x
y
z
(0, 0, 0) (除原点外)
qx qy qz
r3 r3 r3
这说明, 在除点电荷所在原点外, 整个电场无旋. Page 9
xz
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二、 环流量与旋度
斯托克斯公式
(
R y
Qz ) d
yd
z
(
P z
R x
)
d
zd
x
(
Q x
Py )
d
xd
y
P d x Q d y R d z
设曲面 的法向量为 n (cos, cos , cos ) 曲线 的单位切向量为 (cos , cos , cos )
则斯托克斯公式可写为
,
u y
,
u z
u
散度:
div
A
P x
Q y
R z
A
i jk
旋度:
rot A
x
y
z
A
PQR
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斯托克斯(1819-1903)
英国数学物理学家. 他是19世纪英国 数学物理学派的重要代表人物之一, 其
主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题
的有效且一般的新方法, 在1845年他导
个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有
R y
Q z
d
y
d
z
P z
R x
d
z
d
x
Q x
P y
d
x
d
y
P d x Q d y R d z (斯托克斯公式)
注意: 如果 是 xoy 面上的一块平面区域,则斯托克斯
公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.
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为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作: