弹性力学重点复习题及其答案

弹性力学重点复习题及其答案
一、填空题
1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。

2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相
适应。

3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规
定相适应。

4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。

与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。

应力及其分量的量纲是L -1MT -2。

5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。

6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。

7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力
=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。

8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512
MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。

9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力
=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。

10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三
套方程。

11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。

12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。

分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。

13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。

14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。

其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。

15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。

16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。

17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。

18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为
了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。

19、在有限单元法中，单元的形函数N i 在i 结点N i =1；在其他结点N i =0及∑N i =1。

20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。

二、判断题（请在正确命题后的括号内打“√”，在错误命题后的括号内打“×”）
1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。

（√）
2、均匀性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。

（×）
3、连续性假定是指整个物体是由同一材料组成的。

（×）
4、平面应力问题与平面应变问题的物理方程是完全相同的。

（×）
5、如果某一问题中，0===zy zx z ττσ，只存在平面应力分量x σ，y σ，xy τ，且它们不沿z
方向变化，仅为x ，y 的函数，此问题是平面应力问题。

（√）
6、如果某一问题中，0===zy zx z γγε，只存在平面应变分量x ε，y ε，xy γ，且它们不沿z
方向变化，仅为x ，y 的函数，此问题是平面应变问题。

（√）
7、表示应力分量与面力分量之间关系的方程为平衡微分方程。

（×）
8、表示位移分量与应力分量之间关系的方程为物理方程。

（×）
9、当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。

（√）
10、当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。

（√）
11、按应力求解平面问题时常采用位移法和应力法。

（×）
12、按应力求解平面问题，最后可以归纳为求解一个应力函数。

（×）
13、在有限单元法中，结点力是指单元对结点的作用力。

（×）
14、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。

（√）
15、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。

（√ ）
三、简答题
1、简述材料力学和弹性力学在研究对象、研究方法方面的异同点。

在研究对象方面，材料力学基本上只研究杆状构件，也就是长度远大于高度和宽度的构件；而弹性力学除了对杆状构件作进一步的、较精确的分析外，还对非杆状结构，例如板和壳，以及挡土墙、堤坝、地基等实体结构加以研究。

在研究方法方面，材料力学研究杆状构件，除了从静力学、几何学、物理学三方面进行分析以外，大都引用了一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，这就大简化了数学推演，但是，得出的解答往往是近似的。

弹性力学研究杆状构件，一般都不必引用那些假定，因而得出的结果就比较精确，并且可以用来校核材料力学里得出的近似解答。

2、简述弹性力学的研究方法。

答：在弹性体区域内部，考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。

即根据微分体的平衡条件，建立平衡微分方程；根据微分线段上形变与位移之间的几何关系，建立几何方程；根据应力与形变之间的物理关系，建立物理方程。

此外，在弹性体的边界上还要建立边界条件。

在给定面力的边界上，根据边界上微分体的平衡条件，建立应力边界条件；在给定约束的边界上，根据边界上的约束条件建立位移边界条件。

求解弹性力学问题，即在边界条件下根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量和位移分量。

3、弹性力学中应力如何表示？正负如何规定？
答：弹性力学中正应力用σ表示，并加上一个下标字母，表明这个正应力的作用面与作用方向；切应力用τ表示，并加上两个下标字母，前一个字母表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个字母表明作用方向沿着哪一个坐标轴。

并规定作用在正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。

相反，作用在负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。

4、简述平面应力问题与平面应变问题的区别。

答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。

对应的应力分量只有x σ，y σ，xy τ。

而平面应变问题是指很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化，对应的位移分量只有u 和v
5、简述圣维南原理。

如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。

6、简述按应力求解平面问题时的逆解法。

答：所谓逆解法，就是先设定各种形式的、满足相容方程的应力函数；并由应力分量与应力函数之间的关系求得应力分量；然后再根据应力边界条件和弹性体的边界形状，看这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而可以得知所选取的应力函数可以解决的问题。

7、以三节点三角形单元为例，简述有限单元法求解离散化结构的具体步骤。

（1）取三角形单元的结点位移为基本未知量。

（2）应用插值公式，由单元的结点位移求出单元的位移函数。

（3）应用几何方程，由单元的位移函数求出单元的应变。

（4）应用物理方程，由单元的应变求出单元的应力。

（5）应用虚功方程，由单元的应力出单元的结点力。

（6）应用虚功方程，将单元中的各种外力荷载向结点移置，求出单元的结点荷载。

（7）列出各结点的平衡方程，组成整个结构的平衡方程组。

8、为了保证有限单元法解答的收敛性，位移模式应满足哪些条件？
答：为了保证有限单元法解答的收敛性，位移模式应满足下列条件：（1）位移模式必须能反映单元的刚体位移；（2）位移模式必须能反映单元的常量应变；（3）位移模式应尽可能反映位移的连续性。

9、在有限单元法中，为什么要求位移模式必须能反映单元的刚体位移？
每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是本单元的形变无关的，即刚体位移，它是由于其他单元发生了形变而连带引起的。

甚至在弹性体的某些部位，例如在靠近悬臂梁的自由端处，单元的形变很小，单元的位移主要是由于其他单元发生形变而引起的刚体位移。

因此，为了正确反映单元的位移形态，位移模式必须能反映该单元的刚体位移。

10、在有限单元法中，为什么要求位移模式必须能反映单元的常量应变？
答：每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。

而且，当单元的尺寸较小时，单元中各点的应变趋于相等，也就是单元的应变趋于均匀，因而常量应变就成为应变的主要部分。

因此，为了正确反映单元的形变状态，位移模式必须能反映该单元的常量应变。

11、在平面三结点三角形单元中，能否选取如下的位移模式并说明理由：
（1）y x y x u 3221),(ααα++=，2654),(y x y x v ααα++=
（2）23221),(y xy x y x u ααα++=，26524),(y xy x y x v ααα++=
答：（1）不能采用。

因为位移模式没有反映全部的刚体位移和常量应变项；对坐标x ，y 不对等；在单元边界上的连续性条件也未能完全满足。

（2）不能采用。

因为，位移模式没有反映刚体位移和常量应变项；在单元边界上的连续性条件也不满足。

四、分析计算题
1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的
应力分量是否可能在弹性体中存在。

（1）By Ax x +=σ，Dy Cx y +=σ，Fy Ex xy +=τ；
（2）)(22y x A x +=σ，)(22y x B y +=σ，Cxy xy =τ；
其中，A ，B ，C ，D ，E ，F 为常数。

解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂00x y
y x xy y yx x τστσ；（2）在区域内的相容方程()02222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂y x y x σσ；（3）在边界上的应力
边界条件()()()()
⎪⎩⎪⎨⎧=+=+s f l m s f m l y s xy y x s yx x τστσ；（4）对于多连体的位移单值条件。

（1）此组应力分量满足相容方程。

为了满足平衡微分方程，必须A =-F ，D =-E 。

此外还应满足应力边界条件。

（2）为了满足相容方程，其系数必须满足A +B =0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A =B =-C /2。

上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。

2、已知应力分量312x C Qxy x +-=σ，2223xy
C y -=σ，y x C y C xy 2332--=τ，体力不计，Q 为常数。

试利用平衡微分方程求系数C 1，C 2，C 3。

解：将所给应力分量代入平衡微分方程
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂00x y
y x xy y yx x τστσ 得
⎩⎨⎧=--=--+-0
23033322322212xy C xy C x C y C x C Qy 即
()()()⎩⎨⎧=+=+--0
230333222231xy C C y C Q x C C 由x ，y 的任意性，得
⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-023030332
231C C C Q C C 由此解得，61Q C =，32Q C -=，2
3Q C = 3、已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和
相容方程。

解：将已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ，代入平衡微分方程
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00Y x y X y x xy y yx x τστσ
可知，已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略不计时才满足。

按应力求解平面应力问题的相容方程：
y x x
y xy x y y x ∂∂∂+=-∂∂+-∂∂τννσσνσσ222
22)1(2)()( 将已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ代入上式，可知满足相容方程。

按应力求解平面应变问题的相容方程：
y x x
y xy x y y x ∂∂∂-=--∂∂+--∂∂τνσννσσννσ2222212)1()1( 将已知应力分量q x -=σ，q y -=σ，0=xy τ代入上式，可知满足相容方程。

4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否
可能存在。

（1）Axy x =ε，3By y =ε，2Dy C xy -=γ；
（2）2Ay x =ε，y Bx y 2=ε，Cxy xy =γ；
（3）0=x ε，0=y ε，Cxy xy =γ；
其中，A ，B ，C ，D 为常数。

解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即
y x x
y xy y x ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε22222 将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：
（1）相容。

（2）C By A =+22（1分）；这组应力分量若存在，则须满足：B =0，2A =C 。

（3）0=C ；这组应力分量若存在，则须满足：C =0，则0=x ε，0=y ε，0=xy γ（1分）。

5、证明应力函数2by =ϕ能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解
决什么问题（体力不计，0≠b ）。

解：将应力函数2by =ϕ代入相容方程
024422444=∂∂+∂∂∂+∂∂y
y x x ϕϕϕ 可知，所给应力函数2by =ϕ能满足相容方程。

由于不计体力，对应的应力分量为
b y
x 222=∂∂=ϕσ，022=∂∂=x y ϕσ，02=∂∂∂-=y x xy ϕτ 对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为： 上边，2h y -=，0=l ，1-=m ，0)(2=-=-=h y xy x f τ，0)(2
=-=-=h y y y f σ； 下边，2h y =，0=l ，1=m ，0)(2===h y xy x f τ，0)(2
===h y y y f σ； 左边，2l x -=，1-=l ，0=m ，b f l x x x 2)(2-=-=-=σ，0)(2
=-=-=l x xy y f τ； 右边，2l x =，1=l ，0=m ，b f l x x x 2)(2===σ，0)(2
===l x xy y f τ。

可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b 。

因此，应力函数2by =ϕ能解决矩形板在x 方向受均布拉力（b >0）和均布压力（b <0）的问题。

6、证明应力函数axy =ϕ能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解
决什么问题（体力不计，0≠a ）。

解：将应力函数axy =ϕ代入相容方程
024422444=∂∂+∂∂∂+∂∂y
y x x ϕϕϕ
可知，所给应力函数axy =ϕ能满足相容方程。

由于不计体力，对应的应力分量为 022=∂∂=y
x ϕσ，022=∂∂=x y ϕσ，a y x xy -=∂∂∂-=ϕτ2 对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：
上边，2h y -=，0=l ，1-=m ，a f h y xy x =-=-=2)(τ，0)(2
=-=-=h y y y f σ； 下边，2h y =，0=l ，1=m ，a f h y xy x -===2)(τ，0)(2===h y y y f σ； 左边，2l x -=，1-=l ，0=m ，0)(2=-=-=l x x x f σ，a f l x xy y =-=-=2
)(τ； 右边，2l x =，1=l ，0=m ，0)(2===l x x x f σ，a f l x xy y -===2
)(τ。

可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a ，而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力a 。

因此，应力函数axy =ϕ能解决矩形板受均布剪力的问题。

7、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为ρ，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分
量。

解：根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，
即设0=x σ。

由此可知
022∂∂=y
x ϕσ 将上式对y 积分两次，可得如下应力函数表达式
())()(,21x f y x f y x +=ϕ
将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得 0)()(424414=+dx
x f d dx x f d y 这是y 的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的y 值都应该满足它），可见它的系数和自由项都应该等于零，即
0)(414dx x f d ， 0)(424=dx
x f d
这两个方程要求
I Cx Bx Ax x f +++=231)(， K Jx Ex Dx x f +++=232)(
代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得
2323)(Ex Dx Cx Bx Ax y ++++=ϕ
对应应力分量为
022=∂∂=y
x ϕσ gy E Dx B Ax y x
y ρϕσ-+++=∂∂=26)26(22 C Bx Ax y
x xy ---=∂∂∂-=2322ϕτ 以上常数可以根据边界条件确定。

左边，0=x ，1-=l ，0=m ，沿y 方向无面力，所以有
0)(0==-=C x xy τ
右边，b x =，1=l ，0=m ，沿y 方向的面力为q ，所以有
q Bb Ab b x xy =--==23)(2τ
上边，0=y ，0=l ，1-=m ，没有水平面力，这就要求xy τ在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即
0)(00==⎰dx y b xy τ
将xy τ的表达式代入，并考虑到C =0，则有
0)23(230230
2=--=--=--⎰Bb Ab Bx Ax dx Bx Ax b b 而00)(00=⋅=⎰dx y b
xy τ自然满足。

又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求y σ在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即
0)(00==⎰dx y b y σ， 0)(00==⎰x d x y b y σ
将y σ的表达式代入，则有
02323)26(2020=+=+=+⎰
Eb Db Ex Dx dx E Dx b b 022)26(230230=+=+=+⎰Eb Db Ex Dx
xdx E Dx b b 由此可得
2b
q A -=，b q B =，0=C ，0=D ，0=E
应力分量为
0=x σ, gy b x b y q y ρσ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=312, ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=23b x b x q xy τ 虽然上述结果并不严格满足上端面处（y =0）的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离y =0处这一结果应是适用的。

8、证明：如果体力分量虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为
x
V f x ∂∂-=，y V f y ∂∂-=，其中V 是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示为，V y
x +∂∂=22ϕσ，V x y +∂∂=22ϕσ，y x xy ∂∂∂-=ϕτ2，试导出相应的相容方程。

证明：在体力为有势力的情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量x σ，y σ，xy τ应当满足平衡微分方程
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂00y V x y
x V y x xy y yx x τστσ（1分） 还应满足相容方程
()()⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛∂∂+∂∂+-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂y f x f y x y x y x μσσ12222（对于平面应力问题） ()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂--=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂y f x f y x y x y x μσσ112222（对于平面应变问题）
并在边界上满足应力边界条件（1分）。

对于多连体，有时还必须考虑位移单值条件。

首先考察平衡微分方程。

将其改写为
()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+-∂∂=∂∂+-∂∂00x V y
y V x xy y yx x τστσ 这是一个齐次微分方程组。

为了求得通解，将其中第一个方程改写为
()()yx x y
V x τσ-∂∂=-∂∂ 根据微分方程理论，一定存在某一函数A （x ，y ），使得
y A V x ∂∂=
-σ，x A yx ∂∂=-τ 同样，将第二个方程改写为
()()yx y x
V y τσ-∂∂=-∂∂
（1分） 可见也一定存在某一函数B （x ，y ），使得
x
B
V y ∂∂=
-σ，y B yx ∂∂=-τ
由此得
y
B
x A ∂∂=∂∂ 因而又一定存在某一函数()y x ,ϕ，使得
y A ∂∂=
ϕ，x
B ∂∂=ϕ 代入以上各式，得应力分量
V y
x +∂∂=22ϕ
σ，V x y +∂∂=22ϕσ，y x xy ∂∂∂-=ϕτ2 为了使上述应力分量能同量满足相容方程，应力函数()y x ,ϕ必须满足一定的方程，将上述应力分量代入平面应力问题的相容方程，得
()V y x V x V y y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+∂∂++∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂2222222222221μϕϕ ()V y x V y x x y y x ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂222222222222222212μϕϕ 简写为
V 24)1(∇--=∇μϕ
将上述应力分量代入平面应变问题的相容方程，得
V y x V x V y y x ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂++∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂22222222222211μϕϕ V y x V y x x y y x ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂2222222222222222112μϕϕ 简写为
V 2
4121∇---=∇μ
μϕ
9、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为ρ，试用纯三次的应力函数求解。

解：纯三次的应力函数为
3223dy cxy y bx ax +++=ϕ
相应的应力分量表达式为
dy cx xf y
x x 6222+=-∂∂=ϕ
σ, gy by ax yf x y y ρϕσ-+=-∂∂=2622, cy bx y x xy 222--=∂∂∂-=ϕτ 这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。

现在来考察，如果适当选择各个系数，
是否能满足应力边界条件。

上边，0=y ，0=l ，1-=m ，没有水平面力，所以有
02)(0==-=bx y xy τ
对上端面的任意x 值都应成立，可见
0=b
同时，该边界上没有竖直面力，所以有
06)(0==-=ax y y σ
对上端面的任意x 值都应成立，可见
0=a
因此，应力分量可以简化为
dy cx x 62+=σ，gy y ρσ-=，cy xy 2-=τ
斜面，αtan x y =，ααπsin 2cos -=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=l ，()ααcos cos =-=m ，没有面力，所以有
()()⎪⎩
⎪⎨
⎧=+=+==00
tan tan αατστσx y xy y x y yx x l m m l 由第一个方程，得
()0sin tan 6sin 4cos tan 2sin tan 62=--=-+-αααααααdx cx cx dx cx
对斜面的任意x 值都应成立，这就要求
0tan 64=--αd c
由第二个方程，得
0sin sin tan 2cos tan sin tan 2=-=-αρααααρααgx cx gx cx
对斜面的任意x 值都应成立，这就要求
0tan 2=-g c ρα（1分）
由此解得
αρcot 21g c =（1分）
，αρ2cot 3
1
g d -= 从而应力分量为
αραρσ2cot 2cot gy gx x -=, gy y ρσ-=, αρτcot gy xy -=
设三角形悬臂梁的长为l ，高为h ，则l h
=αtan 。

根据力的平衡，固定端对梁的约束
反力沿x 方向的分量为0，沿y 方向的分量为glh ρ21
-。

因此，所求x σ在这部分边界上
合成的主矢应为零，xy τ应当合成为反力glh ρ2
1
-。

()
()
0cot cot cot 2cot 220
20
=-=-=⎰⎰=αραραραρσgh glh dy gy gl dy h
l
x h
x
()
()glh gh dy gy dy h h
l x xy ραραρτ2
1cot 21cot 200-=-=-=⎰⎰= 可见，所求应力分量满足梁固定端的边界条件。

10、设有楔形体如图所示，左面铅直，右面与铅直面成角α，下端作为无限长，承受重力及液体压力，楔形体的密度为1ρ，液体的密度为2ρ，试求应力分量。

：采用半逆解法。

首先应用量纲分析方法来假设应力分量的函数形式。

取坐标轴如图所示。

在楔形体的任意一点，每一个应力分量都将由两部分组成：一部分由重力引起，应当与g 1ρ成正比（g 是重力加速度）
；另一
部分由液体压力引起，应当与g 2ρ成正比。

此外，每一
部分还与α，x ，y 有关。

由于应力的量纲是L -1MT -2，
g 1ρ和g 2ρ的量纲是L -2MT -2，α是量纲一的
量，而x 和y 的量纲是L ，因此，如果应力分量具有多项式的解答，那么它们的表达式只可能是
gx
A 1ρ，gy
B 1ρ，gx
C 2ρ，gy
D 2ρ四项的组合，而其中的A ，B ，C ，D 是量纲
一的量，只与α有关。

这就是说，各应力分量的表达式只可能是x 和y 的纯一次式。

其次，由应力函数与应力分量的关系式可知，应力函数比应力分量的长度量纲高二次，应该是x 和y 纯三次式，因此，假设
3223dy cxy y bx ax +++=ϕ
相应的应力分量表达式为
dy cx xf y
x x 6222+=-∂∂=ϕ
σ, gy by ax yf x y y 12226ρϕσ-+=-∂∂=, cy bx y x xy 222--=∂∂∂-=ϕτ
这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。

现在来考察，如果适当选择各个系数，是否能满足应力边界条件。

左面，0=x ，1-=l ，0=m ，作用有水平面力gy 2ρ，所以有
gy dy x x 206)(ρσ=-=-=
对左面的任意y 值都应成立，可见
6
2g
d ρ-
=
同时，该边界上没有竖直面力，所以有
02)(0==-=cy x xy τ
对左面的任意y 值都应成立，可见
0=c
因此，应力分量可以简化为
gy x 2ρσ-=，gy by ax y 126ρσ-+=，bx xy 2-=τ
斜面，αtan y x =，αcos =l ，ααπsin 2cos -=⎪⎭
⎫
⎝⎛+=m ，没有面力，所以有
()()⎪⎩
⎪⎨
⎧=+=+==00
tan tan αατστσy x xy y y x yx x l m m l 由第一个方程，得
0sin tan 2cos 2=+-αααρby gy
对斜面的任意y 值都应成立，这就要求
0sin tan 2cos 2=+-αααρb g
由第二个方程，得
()()0sin sin 4sin tan 6cos tan 2sin 2tan 611=+--=--+-y g b a by gy by ay αρααααααρα
对斜面的任意x 值都应成立，这就要求
04tan 61=+--g b a ρα
由此解得
αραρ321cot 31cot 61g g a -=，αρ22cot 2
1
g b = 从而应力分量为
gy x 2ρσ-=, ()()y g g x g g y 122321cot cot 2cot ραραραρσ-+-=, αρτ22cot gx xy -=。