初等数论(知识讲座)

初等数论
初等数论从外表意义来讲，就是作为一门研究数的相关性质的数学学科。

准确地按照潘承洞、潘承彪两位数论大师的说法：初等数论是研究整数最基本的性质，是一门十分重要的数学基础课。

它不仅是中、高等师范院校数学专业，大学数学各专业的必修课，而且也是电脑科学等相关专业所需的课程。

纵观数论发展过程，我国出现了许许多多的数论大师，如：华罗庚的早期研究方向、陈景润、潘承洞等。

第一部分：整除
初接触初等数论，经过《初等数论》课本知整除理论是初等数论的基础。

整除理论首先涉及整除。

现向上延伸则想到整除的对象，即自然数、整数。

从小学、中学再到大学，我们从接触最初的1、2、3再到后来的有理数、无理数、实数再到复数，可谓种类繁多。

但数论中的整除运算仅仅局限于自然数及其整数等相关范围内。

首先大学数学中绝大多数数学定义中的自然数不包括0 ，这似乎与中学有一点差异，当然整数的定义改变就相对少得多。

另外，自然数、整数的相关基本性质需懂得及灵活利用，如分配律、交换律、反对称性等。

在初等代数中曾系统地介绍了自然数的起源问题：自然数源于经验，自然数的本质属性是由归纳原理刻画的，它是自然数公理化定义的核心。

自然数集合严格的抽象定义是由Peano定理给出的，他刻画了自然数的本质属性，并导出有关自然数的有关性质。

Peano定理：设N是一个非空集合，满足以下条件：
〔ⅰ〕对每一个n∈N，一定有唯一的一个N中的元素与之对应，这个元素记作n+,称为是n的后继元素〔或后继〕；
〔ⅱ〕有元素e∈N，他不是N中任意元素的后继；
〔ⅲ〕N中的任意一个元素至多是一个元素的后继，即从a+=b+ 一定可以推出a=b;
(ⅳ)(归纳原理)设S是N的一个子集合，e∈S, 如果n∈S则必有n+ ∈S,那么，S=N.
这样的集合N称为自然数集合，它的元素叫做自然数。

其中的归纳原理是我们常用的数学归纳法的基础。

数学归纳法在中学已属重点内容，此处就不作介绍。

主要描述一下推广状态下的第二种数学归纳法：〔第二种数学归纳法〕设P(n)是关于自然数n的一种性质或命题。

如果
〔1〕当n=1时，P(1)不成立；
〔2〕设n>1,假设对所有的自然数m<n,P(m)成立，则必可推出P(n)成立。

那么,P(n)对所有的自然数都成立。

数学归纳法是一种非常常用的数学方法，其重要性不必多说。

另外，由归纳法原理还可推出两个在数学中，特别是初等数论中常用的自然数的性质，即最小自然数原理和最大自然数原理。

并且最小自然数原理是我们常用的第二数学归纳法的基础。

此外，在初等数论中还经常用到的一个工具，那就是鸽巢原理，也就
是同等意义下的在组合数学中的抽屉原理。

介绍完自然数和整数及其性质定理等数论基础后，下面来关注初等数论的一写重要方面，即整除、带余数除法、辗转相除法、素数、约数、最大公约数理论、算术基本定理等等。

整除既然是初等数论的基础内容，看似简单的整除，假设要领略各中精髓以及其中之奥妙，仍需下一番苦功夫。

单从整除的定义就有各种解释方法：
1〕设a,b∈Z,a≠0,如果存在q∈Z,使得b=aq,那么就说b可被a整除，记作a∣b.
2〕 Z上定义一种关系R，令R={(a,b)∣a≠0.b∈Z}，且在<Z + &S226;>使ax=b有解，称为Z上的整除关系。

〔任意的δ∈R，存在a,b∈Z，使得δ=〔a,b〕∈R,一般写成aRb,称为a与b有整除关系，也称a是b的约数，也称b是a的倍数。

〕
aRb令为a∣b,这就回到了第一种定义，其实这两种定义方式看似一样，其数学内涵却大有不同：第一种定义方法是从最原始的观点出发，也可说从“整除”的字面意思来定义，也是中学最常用的一种定义方式，因此只能算作一种简单明了的数学思维，并不能真正表达数学的高等数论。

尽管初等数论是一种初等思想去解决一些高等难题。

第二种定义方法则焦点于高等代数中的环、域定义。

环、域定义让我们的数学定义方式更加广泛，这是初等数学中所没有的，因此有的时候初等数学解决不了的问题就可以用此种定义去解决，这给了我们更广泛的思维空间。

对整除的各方面性质可以归纳如下：
1〕序关系≤ (N,<) 这来源于近似代数，故不做研究。

2〕等价关系① aRa 自反关系
② aRb =>bR a 对称关系
③ aRb,bRc=>aRc 传递性
注意：整除不是等价关系
3〕整除具有线性可加性a∣bi (1≤i≤n) ó a∣∑bixi xi∈Z
4〕整除可约性a∣bó ma∣mb(m≠0)
5〕整除与符号无关a∣bó∣a∣∣∣b∣ ó -a∣bóa∣-b
6〕a∣b(b≠0)=>∣a∣≤∣b∣
上面这些性质可以灵活的加以利用，其魅力就可显现出来：
已知a,b∈Z.a2+b2≠0,存在x,y∈Z使得ax+by=1.假设a∣bq,则可证a∣q
A ,b同例1存在ax+by=1 如果a∣n,b∣n 则ab∣n
整除的这些性质应用可谓变幻无穷。

特别是在后面的素数、合数的相关性质方面及其证明中。

下面就来介绍一下关于素数的一些性质，当然介绍素数的同时还涉及到关于合数的问题。

点到部分再一一介绍。

从目前所学的内容来看关于素数的性质占了很大的比重，应该说是素数和整除的性质占了很大的部分，故彰显其重要性。

素数的概念与中学学的相差不大，只存在名称的扩充问题。

显然约〔因、
除〕数，非显然约〔因、除〕数，真约〔因、除〕数的区分问题。

当然须指出的是以后所介绍的素数一般指正的。

知道素数的概念后就应该思考一下关于素数的基本求法。

在课本随后的介绍中讲到了Eratosthenes筛法〔在本书的第八章：素数分布的初等结果中有详细的讲解〕来自书中的推论6即为该筛法的相关理论背景：
推论6：设整数a≥2.
(ⅰ) 假设a是合数，则必有不可约数p∣a,p≤a1/2
(Ⅱ) 假设a=p1p2…ps的表示式，则必有不可约数p|a,p≤a1/s
其主要原理就来自于这个推论6。

当然此种意义下的Eratosthenes筛法是最简单的了。

对于它的推广应用还很多，比方说：如何找出1，2，…,N中至多两个素数的乘积的数？这就是推广意义下的应用，只是在推论6的理论下a的二分之一的情况改为三分之一的情况，这也可以看出推论6也可以推广的。

故我们知道该筛法有很多种应用情况，比方说至少两个素数的乘积的情况，至多三个的情况，至少三个的情况等等。

我们可以明显地观察出上面的这些解法是在有限的情况下来讨论的，故我们需要研究一下再不知道具体情况下的素数的一些情况。

在不明确范围的情况下有很多种状况：
如：①设n≥1，2n+1是素数的必要条件是n=2k；
②2n-1是素数的必要条件是n为素数；
其证明也很简单：①假设n≠2，则n=am,2不等于大于1的m
2n+1=(2a)m+1=(2a+1)((2a)m-1-(2a)m-2+…+1)便可得到
②假设n是合数，则n=am.a>1,m>1
2n-1=(2a)m-1=(2a-1)((2a)m-1+(2a)m-2+…+1)便可得到
其中数学中的一个著名定理是：不可约数〔素数〕有无穷多个。

除了课本中给出的证明方法以外，在习题中也有一些证明方式来进行证明：
如：1〕设n≥0,Fn=2的2N次加上1〔它称为Fermat数〕再设m≠n,且d|Fn,则dFn由此推出素数有无穷多个，且可得到Fn+1=Fn … F0 +2 ;
2) 设F1 =2， An+1=A2n – AN +1,再设n≠m,假设d|An,d>1,则 d 不整除于Am,由此推出素数有无穷多个，且可得到An+1=An … A1 +1.(设
m>1,m|(m-1)!+1，可得到m是素数。

)
有了素数及整除的定义后，首先要考虑的就是公约数、最大公约数、公倍数、最小公倍数。

乍一看，这似乎就是中学内容。

不错，根据初等数论的低落脚点，这属于中学知识的衍生而已。

除了其定义是通过整除来定义以外，其他的性质也有适当的延伸。

其中较重要的一个就是：如果存在整数x1,x2,x2,…,xk,使得
a1x1+a2x2+a3x3+…+akxk=1,则a1,a2,…,ak是既约的，即使互素的。

--------〔1〕
这一定理在后面部分有着十分重大的作用。

如在实现建立最大公约数理论的第二个途径处：设a1,…,ak是不全为零的整数，有
1〕〔a1,a2,…,ak〕=min{s=a1x1+a2x2+…+akxk;xj∈Z(1≤j≤k),s>0},即a1,…,ak 的最大公约数等于a1,…,ak的所有整系数线性组合组成的集合S中的最小正整数。

2〕一定存在一组整数x1,0, … ,xk,0 使得(a1, … ,ak )=a1 x1,0 + … + ak xk,0 ---------〔2〕
要论及上面这个定理得应用，下面可以举一个简单的例子：
假设〔a,b〕=1则任一整数n必可表示为n=ax+by,x,y是整数。

由(a,b)=1及上定理〔2〕知存在x0,y0, 使得ax0+by0=1,因而取x=nx0,y=ny0, 即满足要求。

此题属于定理〔1〕〔2〕得综合运用，仍可想到的是在定理〔2〕有一种特殊情况，假设其中的每一个元素均两两互素，那么情况〔2〕也就变成情况〔1〕了，因此情况〔2〕可以看作此种情况〔1〕的推广，情况〔1〕就看作情况〔2〕得特殊情况而已。

在构造一系列既约数方面应用得较多的方法就是下面这个方法：
〔a1/(a1,…,ak),…,ak/(a1,…,ak)〕=1
关于最大公约数理论和最小公倍数理论的进一步性质推广，重在利用带余数除法在最大公约数理论部分讨论。

整数集合最重要的特性就在于其中可以实现带余数除法〔也称带余除法或除法算法〕，它是初等数论中的证明中最重要、最基本、最直接的工具。

具体应用带余数除法时常取以下更灵活的形式：设a,b是两个给定的整数，a≠0,再设d 是一给定的整数，那么，一定存在唯一的一对整数q1与r1，满足b=q1a+r1,d≤r1<|a|+d.
此时，a|b的充要条件是a|r。

另外这个时候还应该灵活区分最小非负余数、绝对最小余数、最小正余数、余数。

此类应该在具体计算中有更广泛的作用，当然对于明确此类定义有很大的帮助。

依据带余数除法定义，可得出推论：设a>0,任一整数被a除后所得的最小非负余数是且仅是0,1,…,a-1这a个数中的一个。

这个推论最直接的用法就是整数分类以及进位制表示法，间接影响到辗转相除法。

首先来看整除分类：j mod m称为j关于除数m所在的剩余类，则有0 mod a∪1 mod a∪…∪(a-1) mod a=Z,其中0≤i≠j≤〔a-1〕是集合j mod a 和j’ mod a 不相交。

此时是利用全体整数按被a除后所得的最小非负余数分类，分成了两两不相交的a个类，这对诠释整除的含义有更积极的意义。

仔细观察，我们就会发现此种划分法与第三章中的“同余”有相似之处，最明显之处就是定义：a同余于模m，如果设m≠0,假设m|a-b,即a-b=km，与 j mod m的定义j 关于除数m的所在剩余类，或许根本就是一个知识点。

确切的说j mod m 这个知识点属于同余的一个分支而已，即同余类〔剩余类〕。

进位制的表示法可以看作是初等数论与电脑科学的一个交叉利用。

在电脑理论科学中，经常会遇到十进制、二进制、八进制、十六进制、甚至三十二进制之
类的知识点。

而初等数论中的此处讲解得更为广泛、更为深刻。

辗转相除法单独运用的情况一般较少，常用于综合分析，特别是与最大公约数理论的联合利用。

最大公约数理论与最小公倍数理论及其推广逐渐涉及到实际生活中的问题，例如四色问题的翻版。

至此，建立了整数集合Z中的最大公约数理论，特别是讨论了如何从各种不同的途径来建立这一理论，这是尤为重要的。

因为这主要不是为了利用不同的技巧给出不同的证明，而是由于这些思想概念、方法、理论体系结构是整个数学中最珍贵的、最有用的部分之一。

最大公约数理论最直接的用处在于用来证明算术基本定理，算术基本定理：设有一个大于1的数a，可将a化成s个数的乘积，且每一个乘积因子均为素数，且在不及次序的情况下，这种划分算法是唯一划分。

一个整数的个数知道的很少，由算术基本定理及其推论说明：只要知道大于1的正整数a的标准分解式，那么它的所有正约数都知道了，这一点具有很重要的理论及应用价值。

这些知识还可涉及到除数函数、除数和函数等方面的知识。

在第一章第6节还指出了可以利用第4节中关于最大公约数的理论，直接证明算术基本定理。

直接证明最常用的方法就是利用整除、最小自然数原理以及带余数除法和素数的相关性质来证明。

一般都尝试用反政法来做此类证明，毕竟是证明那样的等式是唯一的情况。

不管是那个数学问题，针对此类问题最常用的方法就是反证法。

经过证明后可知，直接证明算术基本定理，进而也就得到了关于除数、最大公约数、最小公倍数的表达式，而在所有的论证中很少用到第4节的最大公约数理论方面的性质。

于是，从相反的方面来思考，我们可以用算术基本定理来证明整除及最大公约数理论中大部分性质，而且论证更为直观易懂。

事实上，可以从算术基本定理出发来定义最大公约数，建立最大公约数理论。

如在整数集合Z中关于两个整数u0,u1(u1 ≠0)最大公约数〔u0,u1〕的以下五种定义是等价的：〔1〕〔u0,u1〕是u0,u1 的公约数中最大的；
〔2〕〔u0,u1〕是u0,u1 的这样一个公约数D:D>0,及对u0,u1的任一公约数d必有d|D;
〔3〕〔u0,u1〕是形如u0x+u1y的正整树种最小的一个；
〔4〕〔u0,u1〕是辗转相除法中的uk+1;
〔5〕假设u0,u1 的素因数分解式是
u0=Pα11…PαSS, u1=Pβ11…PβSS.
定义〔u0,u1〕= Pδ11…PδSS,其中δJ=MIN(αj,βj),1≤j≤s.
此外虽然证明了每个合数都可以唯一分解为素数的乘积，但如何实现此类分解，特别是大数的分解，当今数学界仍然没有统一且有效的方法。

对于取整以及求n！，这在初等代数中有过详细的讲解，只是初等数论中有不一样的认识而已。

容斥原理也属于组合数学中的重点内容。

可见数论并不是孤立存在的，而是与各数学分支紧密相连的。

在初等代数中，我们知道初等数学研究的步骤是先数，然后是式，在后就是方程之类的知识点。

故接下来我们要讨论的就是方程问题，也就是初等数论中的不定方程的问题。

变数个数多于方程个数，且取整数值的方程〔或方程组〕称为不定方程〔或不定方程组〕。

不定方程是数论中一个十分重要的课题。

这儿主要讨论能直接利用整除理论来判断其是否有解，以及有解时求出其全部解的最简单的不定方程。

ixi=c 〔1〕的解法：
解法1：定理3〔书上83页〕
解法2：辗转相除法〔书上85页例6〕
解法3：〔x10,…,xn0〕为〔1〕的一个特解，其次任意的〔1〕的线性解为〔x10,…,xn0〕
令xi=xi0+∑βijtj 代入〔1〕中即可。

例：求15x1+10x2+6x3=61的解。

分析：找出系数绝对值最小值对应的变量，此时即找出x3
从中解出x3=〔61-15x1-10x2〕/6
=〔10-3x1-2x2〕+〔1/6+1/2x1+1/3x2〕
令x4=1/6+1/2x1+1/3x2 其中x4∈Z
ó 6x4-1-3x1-2x2=0
同样的方法解上式，即：x2的系数绝对值最小：
则：x2=〔6x4-3x2-1〕/2
=3 x4- x1- (x1+1)/2;
令 x5= (x1+1)/2 ，其中x5∈Z
x1的系数绝对值最小，又其系数绝对值为1 => x1=2x5-1;
将x5视为参数回代，有x2=3x4-3x5+1；
X3=10-3x1-2x2+ x4；
故，经过整理便得到此题的解，这不时为一种好的有别于课本中的一种方法。

前面是如何解出方程的解，那么针对是否有解以及是否为正解就要用到下面的这个定理。

定理：设a1,a2 及c均为正整数，〔a1,a2〕=1.那么，当c > a1a2时，方程a1x1+a2x2=c有正解，解数等于-[-c/(a1a2)]-1或-[-c/(a1a2)];当c= a1a2 时，所求方程无解。

讨论完一次不定方程，下面来关注二次不定方成，即商高方程或 Pythagoras 方程 <满足xyz=0的解称为显然解，xyz≠0的解称为非显然解> 其实在一些特殊情况下，可求其解。

其实这一特殊情况下，也可求其解。

利用下面这个定理：不定方程 x2 + y2 = z2 的y为偶数解的全体本原解由以下公式给出：
x = r2 - s2 , y=2rs , z = r2 + s2 ,
其中r,s为满足以下条件的任意整数：
r > s > 0, (r,s), 2不整除r+s.
推广情况情况下，涉及Fermat大定理：Fermat大定理，即当n≥3时，不定方程xn+yn=zn，无xyz≠0的整数解。

其英文名为Fermat Last Therem为何为Last Therem，这是因为Fermat不加证明地提出了数论中的定理，这就是其中一个。

后来，大多数结论被证明是对的，个别的则被否认了，而这一个是最后唯一一个定理即没有被否认也没有被证明的。

当然，这个定理已于1993年6月由英国数学家Andrew Wiles所解决。

有Fermat大定理，当然就有Fermat小定理。

Fermat小定理涉及属于同余方面的知识点。

故下面就重点介绍同余方面的知识点。

第三章同余
同余在前面应用部分中已经有所涉及，此处就不再赘述。

只是描述一些同余的性质而已。

有同余是一种等价关系，即为a = a ( mod m ):同余可以下相加，也可以相乘，可扩展到多项式方面。

由于同余的定义是建立在整除的基础上，故不少关于同余的性质，其实就是整除性质的一个转化而已。

比方说，我们知道
d≥1 , d|m , m|a-b , 由整除的传递性可知 d|a-b
转化为同余概念就有：
假设a = b ( mod m ) 成立，则 a = b ( mod d )
故进一步的整除性质可以得到相应的同余式的性质，这些性质和等式性质不同，比方说
m | c(a-b) 等价于 m/(c,m)|[c/(c,m)](a-b)
根据第一章第四节定理6，即：设〔m,a〕=1,那么假设 m|ab,则 m|b,及〔m/(c,m),c/(c,m)〕=1 知这等价于 m/(c,m)|a-b;
转化于同余式有
同余式 ca = cb( mod m ) 等价于 a = b ( mod m/(c,m))
特别的，当(c,m)=1时，同余式ca = cb( mod m ) 等价于 a = 〔mod m〕
即同余式ca = cb( mod m )两边可以同时除以c.
有整除方面的推导就必然想到最大公约数理论等方面的性质，可见整除方面的性质可经过技巧性的改变转化为同余式方面的性质。

观察上面的部分推导，可观察到利用同余符号比利用整除符号要方便得多，并且同余有利于数学思维的进一步发散。

对于同余，仍有更深一层次的理解，比方说模的遍历问题、Fermat 小定理、同余方程方面。