【3套】特殊平行四边形习题(含答案)

特殊平行四边形习题（含答案）
特殊平行四边形习题
一、选择题
1.如图,在菱形ABCD中,AB=5,∠BCD=120°,则△ABC的周长等于( )
A.20
B.15
C.10
D.5
答案 B ∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,AB∥CD,
∴∠B+∠BCD=180°,
∴∠B=180°-∠BCD=180°-120°=60°,
∴△ABC是等边三角形,
故△ABC的周长=3AB=15.
2.如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是( )
A.AB=CD
B.AD=BC
C.AC=BD
D.AB=BC
答案 C 可添加AC=BD,
∵四边形ABCD的对角线互相平分,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵AC=BD,
∴平行四边形ABCD是矩形,故选C.
3.已知:如图,菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,OE∥DC交BC于点E,AD=6cm,则OE 的长为( )
A.6cm
B.4cm
C.3cm
D.2cm
答案 C 因为菱形的四条边相等且对角线互相垂直平分,所以可以由OE∥DC证得点E是BC 的中点,此时利用三角形的中位线或直角三角形斜边上中线的性质都可以求得OE的长为3 cm.
4.如图,在菱形ABCD中,AB=8,点E、F分别在AB、AD上,且AE=AF,过点E作EG∥AD交CD于点G,过点F作FH∥AB交BC于点H,EG与FH交于点O.当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时,AE的值为( )
A.6.5
B.6
C.5.5
D.5
答案 C 设AE=x,则EB=8-x,
∵四边形ABCD是菱形,AE=AF,EG∥AD,FH∥AB,
∴四边形AEOF和四边形OHCG都是菱形.
∵四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12,
∴4x-4(8-x)=12,解得x=5.5.故选C.
5.如图,将一个长为10cm,宽为8cm的矩形纸片先按照从左向右对折,再按照从下向上的方向对折两次后,沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下(如图1-4-5①),再打开,得到如图1-4-5②所示的小菱形的面积为( )
A.10cm2
B.20cm2
C.40cm2
D.80cm2
答案 A 由题意可得AC=5cm, BD=4cm,故小菱形的面积为×4×5=10(cm2).故选A.
6.如图,正方形ABCD中,E、F是对角线AC上两点,连接BE、BF、DE、DF,则添加下列条件:①∠ABE=∠CBF;②AE=CF;③AB=AF;④BE=BF.可以判定四边形BEDF是菱形的条件有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案 C 连接BD,交AC于点O,
在正方形ABCD中,AB=BC,∠BAC=∠ACB,AC⊥BD,OB=OD,①
在△ABE与△CBF中,∴△ABE≌△CBF(ASA),
∴AE=CF,∵OA=OC,∴OE=OF,又∵AC⊥BD,∴四边形BEDF是菱形,故①正确.②正方形ABCD 中,OA=OB=OC=OD,∵AE=CF,∴OE=OF,又EF⊥BD,BO=OD,∴四边形BEDF是菱形,故②正确.③由AB=AF不能推出四边形BEDF其他边的关系,故不能判定它是菱形,故③错误.④在正方形ABCD 中,OA=OC=OB=OD,AC⊥BD,∵BE=BF,EF⊥BD,∴OE=OF,∴四边形BEDF是菱形,故④正确.故选C.
7.如图所示,在菱形ABCD中,BE⊥AD,BF⊥CD,E、F为垂足,AE=ED,则∠EBF等于( )
A.75°
B.60°
C.50°
D.45°
答案 B 连接BD.因为BE⊥AD,AE=ED,所以AB=BD.又因为AB=AD,所以△ABD是等边三角形,
所以∠A=60°,所以∠ADC=120°.在四边形BEDF 中,∠EBF=360°-∠BED-∠BFD-∠ADC=360°-90°-90°-120°=60°,故选B.
8.如图所示,矩形纸片ABCD中,AB=6cm, BC=8cm,现将其沿EF对折,使得点C与点A重合,则AF长为( )
A .cm B.cm C.cm D.8cm
答案 B 设AF=x cm,则D'F=DF=(8-x)cm,在Rt△AFD'中,(8-x)2+62=x2,解得x=.
9.如图所示,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个钝角为120°的菱形,剪口与第二次折痕所成角的度数应为( )
A.15°或30°
B.30°或45°
C.45°或60°
D.30°或60°答案 D 画出所剪的图形示意图如图.
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠ABD=∠ABC,∠BAC=∠BAD,AD∥BC,
∵∠BAD=120°,∴∠ABC=180°-∠BAD=180°-120°=60°,
∴∠ABD=30°,∠BAC=60°.
∴剪口与第二次折痕所成的角的度数应为30°或60°.故选D.
10.如图,E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点,且CE=DF,AE、BF相交于点O,下列结论:(1)AE=BF;(2)AE⊥BF;(3)AO=OE;(4)S△AOB=S四边形DEOF,其中正确的有( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案 B ∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD=DC,∠D=∠BAD=90°,
∵CE=DF,∴DE=AF,∴△DEA≌△AFB,∴AE=BF,∠DEA=∠AFB,
又∠DEA+∠DAE=90°,∴∠AFB+∠DAE=90°,∴∠AOF=90°,即AE⊥BF.
由△DEA≌△AFB得S△DEA=S△AFB,∴S△DEA-S△AOF=S△AFB-S△AOF,∴S△AOB=S四边形DEOF,
所以正确的是(1)(2)(4),共3个,故选B.
二、填空题
11.如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,不添加任何辅助线,请添加一个条件,使四边形ABCD是正方形(填一个即可).
答案AC=BD(答案不唯一)
12.如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点,若AB=5,AD=12,则四边形ABOM 的周长为.
答案20
解析在Rt△ABC中,由勾股定理易得AC=13,由矩形的性质得AO=BO=AC=,而OM是△ACD 的中位线,所以OM=CD=,所以四边形ABOM的周长为AB+BO+OM+AM=5+++6=20.
13.如图,已知矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,若AO=1,那么BD= .
答案2
解析∵在矩形ABCD中,AC与BD相交于点O,AO=1,∴AO=CO=BO=DO=1,∴BD=2.
14.如图,在矩形ABCD中,AB=3,对角线AC,BD相交于点O,AE垂直平分OB于点E,则AD的长为.
答案3
解析∵AE垂直平分OB,AB=3,∴AB=AO=3,
∵四边形ABCD是矩形,∴BO=AO=3,∴BD=2BO=6,∴AD===3.
15.如图,两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动.要使四边形CBFE为菱形,还需添加的一个条件是(写出一个即可).
答案CB=BF(或BE⊥CF或∠EBF=60°或BD=BF等,答案不唯一)
解析由已知得CB∥EF,CB=EF,∴四边形CBFE是平行四边形.因此可以添加CB=BF;BE⊥CF;∠EBF=60°;BD=BF等,都能说明四边形CBFE是菱形.
16.如图,正方形ABCO的顶点C,A分别在x轴,y轴上,BC是菱形BDCE的对角线,若∠D=60°,BC=2,则点D的坐标是.
答案(2+,1)
解析过点D作DF⊥x轴,垂足为F,在正方形ABCO中,∠BCO=90°,所以∠BCF=90°,在菱形BDCE中,BD=DC,又因为∠D=60°,所以△BCD是等边三角形,因为BC=2,所以CD=2,又
∠BCD=60°,所以∠DCF=30°,在Rt△DCF中,因为∠DCF=30°,CD=2,所以DF=CD=1,由勾股定理得CF=,所以OF=OC+CF=2+,所以点D的坐标为(2+,1).
17.如图，菱形ABCD的面积为120cm2,正方形AECF的面积为50cm2,则菱形的边长为cm.
答案13
解析连接BE,EF,FD,AC,
∵菱形、正方形为轴对称图形,对角线所在直线是其对称轴,∴B,E,F,D在同一条直线上,
∵S正方形AECF=AC·EF=AC2=50cm2,
∴AC=10cm,
∵S菱形ABCD=AC·BD=120cm2,
∴BD=24cm.
设AC,BD的交点为O,由菱形的性质可得AC⊥BD,AO=5cm,OB=12 cm,∴AB===13cm.
18.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,点E、F分别在边AB、BC上,△BEF与△GEF关于直线EF对称,点B的对称点是点G,且点G在边AD上.若EG⊥AC,AB=6,则FG的长为.
答案3
解析设AC与EG相交于点O,
∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=120°,
∴∠EAC=∠DAC=60°,∠B=60°,AB=BC.
∴△ABC是等边三角形.
又∵AB=6,∴△ABC的面积为18.
∴菱形ABCD的面积为36,
∵EG⊥AC,∴∠AOE=∠AOG=90°.
∴∠AGE=90°-60°=30°.
∵△BEF与△GEF关于直线EF对称,点B的对称点是点G,
∴∠EGF=∠B=60°,∴∠AGF=∠EGF+∠AGE=90°.
∴FG⊥AD,
∴FG===3.
三、解答题
19.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.
(1)证明:四边形ACDE是平行四边形;
(2)若AC=8,BD=6,求△ADE的周长.
答案(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB∥CD,AC⊥BD,
∴AE∥CD,∠AOB=90°,
又∵DE⊥BD,即∠EDB=90°,
∴∠AOB=∠EDB.
∴DE∥AC.
∴四边形ACDE是平行四边形.
(2)∵四边形ABCD是菱形,AC=8,BD=6,
∴AO=4,DO=3,∴AD=CD==5.
又∵四边形ACDE是平行四边形,
∴AE=CD=5,DE=AC=8.
∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18.
20.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是中线,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交BE的延长线于F,连接CF.
(1)求证:AD=AF;
(2)如果AB=AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.
答案(1)证明:∵AF∥BC,∴∠EAF=∠EDB,
∵E是AD的中点,∴AE=DE,
在△AEF和△DEB中,
∴△AEF≌△DEB(ASA),∴AF=BD,
∵在△ABC中,∠BAC=90°,AD是中线,
∴AD=BD=DC=BC,∴AD=AF.
(2)四边形ADCF是正方形.
∵AF=BD=DC,AF∥BC,
∴四边形ADCF是平行四边形,
∵AB=AC,AD是中线,∴AD⊥BC,
∵AD=AF,∴四边形ADCF是正方形.
21.如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在边AB、BC上,∠ADE=∠CDF.
(1)求证:AE=CF;
(2)连接DB交EF于点O,延长OB至点G,使OG=OD,连接EG、FG,判断四边形DEGF是否为菱形,并说明理由.
答案(1)证明:在正方形ABCD中,AD=CD,∠A=∠C=90°,
在△ADE和△CDF中,
∴△ADE≌△CDF(ASA),
∴AE=CF.
(2)四边形DEGF是菱形.
理由如下:在正方形ABCD中,AB=BC,
∵AE=CF,
∴AB-AE=BC-CF,即BE=BF,
∴BD垂直平分EF,
∴OE=OF,
又∵OG=OD,
∴四边形DEGF为平行四边形,
∵△ADE≌△CDF,
∴DE=DF,
∴四边形DEGF是菱形.
22.如图,AB∥CD,点E、F分别在AB、CD上,连接EF.∠AEF、∠CFE的平分线交于点G,∠BEF、∠DFE的平分线交于点H.
(1)求证:四边形EGFH是矩形;
(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索.过G作MN∥EF,分别交AB、CD于点M、N,过H 作PQ∥EF,分别交AB、CD于点P、Q,得到四边形MNQP.此时,他猜想四边形MNQP是菱形.请在下列框图中补全他的证明思路.
答案(1)证明:∵EH平分∠BEF,
∴∠FEH=∠BEF.
∵FH平分∠DFE,
∴∠EFH=∠DFE.
∵AB∥CD,
∴∠BEF+∠DFE=180°,
∴∠FEH+∠EFH=(∠BEF+∠DFE)=×180°=90°,
又∠FEH+∠EFH+∠EHF=180°,
∴∠EHF=180°-(∠FEH+∠EFH)=180°-90°=90°.
同理可证,∠EGF=90°.
∵EG平分∠AEF,∴∠FEG=∠AEF.
∵EH平分∠BEF,∴∠FEH=∠BEF.
∵点A、E、B在同一条直线上,
∴∠AEB=180°,即∠AEF+∠BEF=180°.
∴∠FEG+∠FEH=(∠AEF+∠BEF)=×180°=90°,
即∠GEH=90°.
∴四边形EGFH是矩形.
(2)本题答案不唯一,下面答案供参考.
例如,FG平分∠CFE;GE=FH;∠GME=∠FQH;∠GEF=∠EFH.
23.已知E,F分别为正方形ABCD的边BC,CD上的点,AF,DE相交于点G,当E,F分别为边BC,CD 的中点时,有:①AF=DE;②AF⊥DE成立.试探究下列问题:
(1)如图①,若点E不是边BC的中点,F不是边CD的中点,且CE=DF,上述结论①,②是否仍然成立?(请直接回答“成立”或“不成立”,不需要证明)
(2)如图②,若点E,F分别在CB的延长线和DC的延长线上,且CE=DF,此时,上述结论①,②是否仍然成立?若成立,请写出证明过程,若不成立,请说明理由;
(3)如图③,在(2)的基础上,连接AE和EF,若点M,N,P,Q分别为AE,EF,FD,AD的中点,请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种,并证明你的结论.
答案(1)成立.
(2)仍然成立.
证明:∵四边形ABCD为正方形,
∴AD=DC,∠BCD=∠ADC=90°.
在△ADF和△DCE中,
∴△ADF≌△DCE(SAS),
∴AF=DE,∠FAD=∠EDC,
∵∠ADG+∠EDC=90°,
∴∠ADG+∠DAF=90°,
∴∠AGD=90°,即AF⊥DE.
(3)四边形MNPQ是正方形.
证明:如图,设MQ,DE分别交AF于点G,O,PQ交DE于点H,
∵点M,N,P,Q分别为AE,EF,FD,AD的中点,
∴MQ=PN=DE,PQ=MN=AF,MQ∥DE,PQ∥AF,
∴四边形OHQG是平行四边形,
∵AF=DE,
∴MQ=PQ=PN=MN,
∴四边形MNPQ是菱形,
∵AF⊥DE,
∴∠AOD=90°,
∴∠HQG=∠AOD=90°,
∴四边形MNPQ是正方形.
人教版八年级数学下册第十八章平行四边形单元检测卷
一、选择题
1.如图,在平行四边形ABCD中,下列结论中错误的是( )
A.∠1=∠2
B.∠BAD=∠BCD
C.AB=CD
D.AC=BC
2.如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC+BD=16,CD=6,则△ABO的周长是( )
A.10
B.14
C.20
D.22
3.四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,给出下列四个条件:①AD∥BC;②AD=BC;③OA=OC;
④OB=OD.从中任选两个条件,能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( )
A.3种
B.4种
C.5种
D.6种
4.如图,在△ABC中,AB=6,AC=10,点D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,则四边形ADEF的周长为( )
A.8
B.10
C.12
D.16
5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是边AB,AC的中点,延长BC至F,使CF=BC,
若AB=10,则EF的长是( )
A.5
B.4
C.3
D.2
6.下列命题中正确的是( )
A.两条对角线相等的平行四边形是矩形
B.有三个角是直角的多边形是矩形
C.两条对角线相等的四边形是矩形
D.有一个角是直角的四边形是矩形
7.如图,菱形ABCD的周长为20,一条对角线AC的长为8,另一条对角线BD的长为( )
A.16
B.12
C.6
D.4
8.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,若AC=4,则四边形CODE的周
长为( )
A.4
B.6
C.8
D.10
9.如图,以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB=( )
A.30°
B.45°
C.22.5°
D.135°
10.如图,直线EF经过矩形ABCD对角线的交点O,分别交AB、CD于点E、F,那么图中阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的( )
A. B. C. D.
二、填空题
11.如图,平行四边形ABCD的周长为20,对角线AC的长为5,则△ABC的周长为.
12.如图,在平行四边形ABCD中,点E、F分别在边BC、AD上,请添加一个条件: ,使四边形AECF是平行四边形(只填一个即可).
13.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,直线EF是OA的中垂线,分别交AD、OA 于点E、F.若AB=6 cm,BC=8 cm,则△DEO的周长= cm.
14.如图,菱形ABCD中,对角线AC交BD于O,AB=8,E是CD的中点,则OE的长等于.
15.如图,在正方形ABCD中,点E是BC上的一定点,且BE=5,EC=7,点P是BD上的一动点,则PE+PC的最小值是.
16.如图所示,平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线分别交AD、BC于点M、N,若△CON的面积为2,△DOM的面积为4,则△AOB的面积为.
三、解答题
17.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在BA的延长线上,且BE=AD,点F在AD上,AF=AB,求证:△AEF≌△DFC.
18.如图,四边形ABCD是平行四边形,DE平分∠ADC,交AB于点E,BF平分∠ABC,交CD于点F.
(1)求证:DE=BF;
(2)连接EF,写出图中所有的全等三角形.(不要求证明)
19.在矩形ABCD中,点E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE,垂足为F,求证:DF=DC.
20.如图,在▱ABCD中,E、F为BC上的两点,且BE=CF,AF=DE.
求证:(1)△ABF≌△DCE;
(2)四边形ABCD是矩形.
21.已知:如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,DE∥AC,AE∥BD.
(1)求证:四边形AODE是矩形;
(2)若AB=6,∠BCD=120°,求四边形AODE的面积.
22.如图,在直角梯形纸片ABCD中,AB∥DC,∠A=90°,CD>AD,将纸片沿过点D的直线折叠,使点A落在边CD上的点E处,折痕为DF.连接EF并展开纸片.求证:四边形ADEF是正方形.
23.在▱ABCD中,点E、F分别在AB、CD上,且AE=CF.
(1)求证:△ADE≌△CBF;
(2)若DF=BF,求证:四边形DEBF为菱形.
参考答案
1-10 DBBDA ACCCB
11.15
12.答案不唯一,如AF=CE
13.13
14.4
15.13
16.6
17.证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD且AB∥CD,∴∠EAF=∠ADC,
又∵AF=AB,BE=AD,∴AF=CD,AE=DF,
在△AEF和△DFC中,∴△AEF≌△DFC.
18.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,∴∠CDE=∠AED,∵DE平分∠ADC,
∴∠ADE=∠CDE,∴∠ADE=∠AED,∴AE=AD,同理,CF=CB,又AD=CB,AB=CD,
∴AE=CF,∴DF=BE,∴四边形DEBF是平行四边形,∴DE=BF.
(2)△ADE≌△CBF,△DFE≌△BEF.
19.证明∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,AD∥BC,∠B=90°.
∵DF⊥AE,∴∠AFD=∠B=90°.
∵AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB,
又∵AD=AE,∴△ADF≌△EAB,
∴DF=AB,∴DF=DC.
20.证明(1)∵BE=CF,BF=BE+EF,CE=CF+EF,∴BF=CE.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC.
在△ABF和△DCE中,
∴△ABF≌△DCE(SSS).
(2)∵△ABF≌△DCE,∴∠B=∠C.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD.∴∠B+∠C=180°.
∴∠B=∠C=90°.∴四边形ABCD是矩形.
21.(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,即∠AOD=90°,
∵DE∥AC,AE∥BD,
∴四边形AODE是平行四边形,∵∠AOD=90°,∴▱AODE是矩形.
(2)∵四边形ABCD是菱形,∴AO=OC=AC,BO=OD,AB=BC,AB∥CD,
∴∠ABC+∠BCD=180°,∵∠BCD=120°,∴∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形.
∴AC=AB=6,∴OA=3.
在Rt△ABO中,由勾股定理得BO=3,∴DO=3,
∴S矩形AODE=AO·DO=3×3=9.
22.证明∵△DEF由△DAF折叠得到,∴∠DEF=∠A=90°,DA=DE,∵AB∥CD,
∴∠ADE=180°-∠A=90°.∵∠DEF=∠A=∠ADE=90°,∴四边形ADEF是矩形.又∵DA=DE,∴四边形ADEF是正方形.
23.证明(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,∠A=∠C,
∵在△ADE和△CBF中,
∴△ADE≌△CBF(SAS).
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∵AE=CF,∴EB=DF,
又∵DF∥EB,
∴四边形DEBF是平行四边形,
又∵DF=BF,∴四边形DEBF为菱形.
人教版八年级下册第十八章平行四边形单元测试含答案
一、选择题
1、下列说法错误的是（）
A．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 B．每组邻边都相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．四个角都相等的四边形是矩形2、如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，点E是BC边的中点，OE=1，则AB的长是A．1 B． 2 C．3 D．4
3、如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F，若∠BAF = 60°，则∠DAE = （）
（A）15°（B）30°（C）45°（D）60°
4、在□ABCD中，AB=3，BC=4，当□ABCD的面积最大时，下列结论正确的有（）
①AC=5；②∠A+∠C=180°；③AC⊥BD；④AC=BD．
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
5、四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．下列条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）
A．AD=BC，AB∥CD B．AO=CO，AD=BC
C．AD∥BC，∠ADC=∠ABC D．AD=BC，∠ABD=∠CDB
6、如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点E作垂线交BC于点F，已知BC＝10，△ABD的面积为12，则EF的长为( )
A．4.8 B．3.6 C．2.4 D．1.2
7、如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，2），则CE的长是（）
A． B．2 C． D．
8、如图，正方形ABCD的边长为1，则正方形ACEF的面积为（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
二、填空题
9、已知直角坐标系内有四个点O（0，0），A（3，0），B（1，1），C（x，1），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x= ．
10、如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE 的周长为 ______ ．
11、如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB=6cm，AC=8cm，则四边形ADEF的周长等于cm．
12、如图，矩形中，、交于点，，平分交于
点，连接，则。

13、如图，在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的
长为_________．
14、．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，已知菱形ABCD的周
长为20 cm，则 OE长为_________cm．
15、如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，E，F分别是BC，DC上的点，∠EAF=60°，连接EF，
则△AEF的面积最小值是_________．
三、简答题
16、如图，在▱ABCD中，已知AD＞AB．
（1）实践与操作：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）猜想并证明：猜想四边形ABEF的形状，并给予证明．
17、如图，△ABC和△BEF都是等边三角形，点D在BC边上，点F在AB边上，且∠EAD=60°，连接ED、CF．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）求证：四边形EFCD是平行四边形．
18、如图，▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且ED=BF，EF与AC相交于点O，求证：OA=OC．
19、如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE 分别交于点O、点E，连接EC．
（1）求证：AD=EC；
（2）当∠BAC=90°时，求证：四边形ADCE是菱形．
20、如图，在正方形中，为对角线上一点，连接、。

(1)求证：；
(2)延长交于点，若，求的度数。

21、如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．
（1）求证：四边形EBFD为平行四边形．
（2）对角线AC分别与DE、EF交于点M、N，求证：△ABN≌△CDM．
22、．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
23、已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．
（1）若CE=1，求BC的长；
（2）求证：AM=DF+ME．
24、如图，在在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，
且AD=12cm，AB=8cm，DC=10cm，若动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒3cm的速度沿CB向B点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题：
（1）BC= cm；
（2）当t= 秒时，四边形PQBA成为矩形．
（3）当t为多少时，PQ=CD？
（4）是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由．
25、如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE 交CD于F．
（1）证明：PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
参考答案
一、选择题
1、C【解答】解；A、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，首先由两直线平行，同旁内角互补及等角的补角相等得出另一组对角相等，然后根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形可知是个真命题，正确，不合题意；
B、每组邻边都相等的四边形是菱形，正确，不合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故此选项错误，符合题意；
D、四个角都相等的四边形是矩形，正确，不合题意；
故选：C．
2、B
3、B
4、B
5、C【考点】平行四边形的判定．
【分析】根据平行四边形的判定方法即可判断．
【解答】解：A、错误．四边形ABCD可能是等腰梯形．
B、错误．不满足是平行四边形的条件．
C、正确．由AD∥BC，∠ADC=∠ABC，可以推出△ABD≌△CDB，得到AB=CD，所以四边形ABCD是平行四边形．
D、错误．四边形ABCD可能是等腰梯形．
6、C
7、C【解答】解：∵四边形COED是矩形，
∴CE=OD，
∵点D的坐标是（1，2），
∴OD=，
∴CE=，
故选：C．
8、A
【解析】根据勾股定理。

可得AC的长，再根据乘方运算，可得答案.
解：由勾股定理得：AC===，乘方得：（）2=2.
二、填空题
9、4或﹣2 ．
【考点】平行四边形的判定；坐标与图形性质．
【分析】分别在平面直角坐标系中确定出A、B、O的位置，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可确定C的位置，从而求出x的值．
【解答】解：根据题意画图如下：
以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则C（4，1）或（﹣2，1），
则x=4或﹣2；
故答案为：4或﹣2．
10、15
11、14．【分析】首先证明四边形ADEF是平行四边形，根据三角形中位线定理求出DE、EF即可解决问题．
解：∵BD=AD，BE=EC，
∴DE=AC=4cm，DE∥AC，
∵CF=FA，CE=BE，
∴EF=AB=3cm，EF∥AB，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF的周长=2（DE+EF）=14cm．
12、75
13、
14、_5
15、
三、简答题
16、【考点】平行四边形的性质；作图—基本作图．
【分析】（1）由角平分线的作法容易得出结果，在AD上截取AF=AB，连接EF；画出图形即可；（2）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠AEB，证出BE=AB，由（1）得：AF=AB，得出BE=AF，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）四边形ABEF是菱形；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴BE=AB，
由（1）得：AF=AB，
∴BE=AF，
又∵BE∥AF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AF=AB，
∴四边形ABEF是菱形．
17、【考点】平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）欲证明△ABE≌△ACD只要证明∠EAB=∠CAD，AB=AC，∠EBA=∠ACD即可．（2）欲证明四边形EFCD是平行四边形，只要证明EF∥CD，EF=CD即可．
【解答】证明：（1）∵△ABC和△BEF都是等边三角形，
∴AB=AC，∠EBF=∠ACB=∠BAC=60°，
∵∠EAD=60°，
∴∠EAD=∠BAC，
∴∠EAB=∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD．
（2）由（1）得△ABE≌△ACD，
∴BE=CD，
∵△BEF、△ABC是等边三角形，
∴BE=EF，
∴∠EFB=∠ABC=60°，
∴EF∥CD，
∴BE=EF=CD，
∴EF=CD，且EF∥CD，
∴四边形EFCD是平行四边形．
18、【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题；压轴题．
【分析】根据ED=BF，可得出AE=CF，结合平行线的性质，可得出∠AEO=∠CFO，∠FCO=∠EAO，继而可判定△AEO≌△CFO，即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，∠AEO=∠CFO，∠FCO=∠EAO，
又∵ED=BF，
∴AD﹣ED=BC﹣BF，即AE=CF，
在△AEO和△CFO中，，
∴△AEO≌△CFO，
∴OA=OC．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得出ED=BF及∠AEO=∠CFO，∠FCO=∠EAO是解答本题的关键．
19、【考点】平行四边形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；菱形的判定．
【专题】证明题．
【分析】（1）先证四边形ABDE是平行四边形，再证四边形ADCE是平行四边形，即得AD=CE；（2）由∠BAC=90°，AD是边BC上的中线，即得AD=BD=CD，证得四边形ADCE是平行四边形，即证；
【解答】证明：（1）∵DE∥AB，AE∥BC，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BD，且AE=BD
又∵AD是BC边的中线，
∴BD=CD，
∴AE=CD，
∵AE∥CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴AD=EC；
（2）∵∠BAC=90°，AD是斜边BC上的中线，
∴AD=BD=CD，
又∵四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是菱形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，（1）证得四边形ABDE，四边形ADCE为平行四边形即得；（2）由∠BAC=90°，AD上斜边BC上的中线，即得AD=BD=CD，证得四边形ADCE是平行四边形，从而证得四边形ADCE是菱形．
20、
21、【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE=DF，
∵BE∥DF，
∴四边形EBFD为平行四边形；
（2）证明：∵四边形EBFD为平行四边形，
∴DE∥BF，
∴∠CDM=∠CFN．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∴∠BAC=∠DCA，∠ABN=∠CFN，
∴∠ABN=∠CDM，
在△ABN与△CDM中，
，
∴△ABN≌△CDM （ASA）．
22、【解答】（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠2=∠5，∠4=∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1=∠5，∠3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF；
（2）解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，
∵CE=12，CF=5，
∴EF==13，
∴OC=EF=6.5；
（3）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
23、25
24、【解答】解：根据题意得：PA=2t，CQ=3t，则PD=AD﹣PA=12﹣2t，（1）如图，过D点作DE⊥BC于E，则四边形ABED为矩形，
∴DE=AB=8cm，AD=BE=12cm，
在Rt△CDE中，∵∠CED=90°，DC=10cm，DE=8cm，
∴EC==6cm，
∴BC=BE+EC=18cm．
故答案为18；
（2）∵AD∥BC，∠B=90°
∴当PA=BQ时，四边形PQBA为矩形，
即2t=18﹣3t，
解得t=秒，
故当t=秒时，四边形PQBA为矩形；
故答案为；
（3）
①当P'Q'∥CD时，如图，
∵AD∥BC，
∴四边形CDP'Q'是平行四边形，
∴P'Q'=CD，DP'=CQ'，
∴12﹣2t=3t，
∴t=秒，
②如图，梯形PDCQ是等腰梯形时，PQ=CD，
易证，四边形PDEF是矩形，
∴EF=DP=12﹣2t，
易证，△CDE≌△QPF，
∴FQ=CE=6，
∴CQ=FQ+EF+CE=6+12﹣2t+6=3t，
∴t=
（4）△DQC是等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当QC=DC时，即3t=10，
∴t=；
②当DQ=DC时， =6，
∴t=4；
③当QD=QC时，3t•=5，
∴t=．
故存在t，使得△DQC是等腰三角形，此时t的值为秒或4秒或秒．
25、【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，
∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，
∵PA=PE，
∴PC=PE；
（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠E，
∴∠DCP=∠E，
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPF=∠EDF=90°；
（3）在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，
∵PA=PE，
∴PC=PE，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PC，
∴∠DAP=∠AEP，
∴∠DCP=∠AEP
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠AEP，
即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，∴△EPC是等边三角形，
∴PC=CE，
∴AP=CE．。