2021年浙江省宁波市中考数学一模试卷(附答案详解)

2021年浙江省宁波市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1.−2021的相反数是()
A. −2021
B. −1
2021C. 1
2021
D. 2021
2.宁波籍诺贝尔科学奖获得者屠呦呦，发现的青蒿素曾挽救了撒哈拉以南非洲地区约
150万疟疾患者的生命，其中150万用科学记数法表示为()
A. 150×104
B. 1.50×104
C. 0.15×107
D. 1.5×106
3.下列运算正确的是()
A. a3+a3=a6
B. a2⋅a2=a4
C. (2a)4=2a4
D. a6÷a3=a2
4.如图所示的几何体的左视图是()
A.
B.
C.
D.
5.某中学为了让学生的跳远在中考体育测试中取得满意的成绩，在锻炼一个月后，学
校对九年级一班的45名学生进行测试，成绩如下表：
跳远成绩(cm)160170180190200220
人数3969153
这些运动员跳远成绩的中位数和众数分别是()
A. 190，200
B. 9，9
C. 15，9
D. 185，200
6.一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中
任意摸出一个球是红球的概率为()
A. 1
4B. 1
3
C. 1
2
D. 2
3
7.能说明命题“当a为实数时，则a2≥a”是假命题的反例是()
A. a=2
B. a=−1
C. a=−0.5
D. a=0.5
8.圆锥的截面是一个等边三角形，则它的侧面展开图圆心角度数是()
A. 60°
B. 90°
C. 120°
D. 180°
9.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0，c>1)经过点(2,0)，其对称轴
是直线x=1
2
.有下列结论：
①abc>0；
②关于x的方程ax2+bx+c=a有两个不等的实数根；
③a<−1
2
．
其中，正确结论的个数是()
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
10.百变魔尺，魅力无穷，如图是用24段魔尺(24个等腰直
角三角形，把等腰直角三角形最长边看作1)围成的长为
4、宽为3的长方形.用该魔尺能围出不全等的长方形个
数为()
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
11.分式2x−6
x+1
有意义的条件是______ ．
12.分解因式：2a2−18=______．
13.若单项式5
4x3y a−b与2
3
x a+b y是同类项，则ab的值为______ ．
14.如图，用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：则第⑨个图案有______ 个
黑色棋子．
15.如图，以四边形ABCD的边AD为直径作⊙O，恰与边AB，CD分别相切于点A，
点D，连接BD交⊙O于点P，连接CP，若∠ABC=90°，BP=4，r=√5
2
，则CP= ______ ．
16.如图，在平面直角坐标系的第一象限中，有一个Rt△
ABC，满足∠C=90°，AC=3，BC=4，AC//y轴，当
点A，点B及△ABC的内心P在同一个反比例函数y=k
x
的图象上时，则k的值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共80.0分）
)−1；
17.(1)计算：(√3−2)0+(−1
2
(2)计算：(a+1)2−(a+1)(a−1)．
18.为改善民生：提高城市活力，某市有序推行“地摊经济”改策．某社区志愿者随机
抽取该社区部分居民，按四个类别：A表示“非常支持”，B表示“支持”，C表示“不关心”，D表示“不支持”，调查他们对该政策态度的情况，将结果绘制成如图两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解决下列问题：
(1)这次共抽取了______名居民进行调查统计，扇形统计图中，D类所对应的扇形
圆心角的大小是______；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)该社区共有2000名居民，估计该社区表示“支持”的B类居民大约有多少人？
19.图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，△ABC为格点三角形.请仅
用无刻度直尺在网格中完成下列画图．
(1)在图1中，画出△ABC中AB边上的中线CM；
(2)在图2中，画出∠APC，使∠APC=∠ABC，且点P是格点(画出一个即可)．
20.某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，
有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方
向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长(结果保留根号)
．
21.宁波市政府为了进一步促进城乡环境改善、布局合理、功能提升，制定了“三改一
拆”三年专项行动，甲、乙两个工程队通过公开招标获得某小巷部分违章建筑的拆除，若两个工程队合做，则恰好用12天完成任务；若甲、乙合做9天后，由甲再单独做5天也恰好完成，如果每天需要支付甲、乙两公司的工程费用分别为1.2万元，0.7万元．
试问：(1)甲、乙两公司单独完成这项工程各需多少天？
(2)要使整个工程费用不超过22.5万元，则乙公司最少应施工多少天？
22.如图1是一架菱形风筝，它的骨架由如图2的4条竹棒AC，BD，EF，GH组成，
其中E，F，G，H分别是菱形ABCD四边的中点，现有一根长为80cm的竹棒，正好锯成风筝的四条件架，是BD=xcm，菱形ABCD的面积为ycm2．
(1)写出y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2)如图3，在所给的直角坐标系中画出(1)中的函数图象；
(3)为了使风筝在空中有较好的稳定性，骨架AC长度必须大于骨架BD长度且小于
BD长度的两倍，现已知菱形ABCD的面积为375cm2，则骨架BD和AC的长为多少？
23.我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
(1)如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB=90°，请将它分成两个三角形，使它们
成为偏等积三角形．
(2)如图2，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，以AB，AC，BC为边向外作
正方形ABDE，正方形ACFG和正方形BCMN，连接EG．
①求证：△ABC与△AEG为偏等积三角形．
②若AC=3，BC=4，则图中以点A、B、C、D、E、F、G、M、N为顶点构成的
三角形与△ABC是偏等积三角形的个数是______ ．
(3)在△ABC中，∠A=30°，AC=8，点D在线段AC上，连接BD，△ABD和△BCD
是偏等积三角形，将△ABD沿BD所在的直线翻折，得到△A′BD，若△A′BD与△BCD 重合部分的面积等于△BCD面积的一半，求△ABC的面积．
24.如图1，把△AOB放置在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为(6,6)，
点B的坐标为(8,0)，AH是OB边上的高线，P是线段OB上一动点(点P与点O，H.B 均不重合)，过A，P，H三点的外接圆分别交AO，AB于点C，D．
(1)求OA的长及tan∠BAH的值；
(2)如图2，连接CD，当CD//OB时，
①求CD的长；②求点P的坐标；
(3)当点P在线段OB上运动时，AC+√5AD的值是否发生变化？若不变，请求出
该定值；若变化，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：−2021的相反数是：2021．
故选：D．
利用相反数的定义分析得出答案．
此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：150万=1500000=1.5×106．
故选：D．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、a3+a3=2a3，故原题计算错误；
B、a2⋅a2=a4，故原题计算正确；
C、(2a)4=16a4，故原题计算错误；
D、a6÷a3=a3，故原题计算错误；
故选：B．
根据合并同类项，只把系数相加，字母部分不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把幂相乘进行分析即可．
此题主要考查了同底数幂的除法、乘法、积的乘方，以及合并同类项，关键是掌握各计算法则．
4.【答案】A
【解析】解：从几何体的左面看，是一行两个矩形．
故选：A．
找到从几何体的左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握左视图所看的位置．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．
根据中位数和众数的定义，第23个数就是中位数，出现次数最多的数为众数．
【解答】
解：在这一组数据中200是出现次数最多的，
故众数是200cm；
在这45个数中，处于中间位置的第23个数是190，所以中位数是190．
所以这些学生跳远成绩的中位数和众数分别是190，200．
故选A．
6.【答案】D
【解析】解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率=4
4+2=2
3
．
故选：D．
根据概率公式计算．
本题考查了概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
7.【答案】D
【解析】解：当a=0.5时，a2=0.25，则a2<a，
∴命题“当a为实数时，则a2≥a”是假命题，
故选：D．
根据有理数的乘方法则、有理数的大小比较法则解答即可．
本题考查的是假命题的证明，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
8.【答案】D
【解析】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为R，
∵它的轴截面是正三角形，
∴R=2r，
∴2πr=nπ×2r
180
，
解得n=180°，
故选D．
易得圆锥的底面直径与母线长相等，那么根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长即可得到这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数．
用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长．
9.【答案】C
【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线x=1
2
，
而点(2,0)关于直线x=1
2
的对称点的坐标为(−1,0)，
∵c>1，
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线对称轴为直线x=1
2
，
∴−b
2a =1
2
，
∴b=−a>0，
∴abc<0，故①错误；
∵抛物线开口向下，与x轴有两个交点，
∴顶点在x轴的上方，
∵a<0，
∴抛物线与直线y=a有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c=a有两个不等的实数根；故②正确；∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(2,0)，
∴4a+2b+c=0，
∵b=−a，
∴4a−2a+c=0，即2a+c=0，∴−2a=c，
∵c>1，
∴−2a>1，
∴a<−1
2
，故③正确，
故选：C．
由题意得到抛物线的开口向下，对称轴−b
2a =1
2
，b=−a，判断a，b与0的关系，得到
abc<0，即可判断①；
根据题意得到抛物线开口向下，顶点在x轴上方，即可判断②；
根据抛物线y=ax2+bx+c经过点(2,0)以及b=−a，得到4a−2a+c=0，即可判断③．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c 决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c)；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
10.【答案】A
【解析】解：∵长为4、宽为3的长方形，
∴周长为2×(3+4)=14
14=(1+6)×2=(2+5)×2=(3+4)×2，
∴能围出不全等的长方形有3个，
故选：A．
根据14=(1+6)×2=(2+5)×2=(3+4)×2，可知能围出不全等的长方形有3个，此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．
11.【答案】x≠−1
【解析】解：要使分式2x−6x+1有意义，必须x +1≠0，
解得，x ≠−1，
故答案是：x ≠−1．
根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键． 12.【答案】2(a +3)(a −3)
【解析】解：2a 2−18=2(a 2−9)
=2(a +3)(a −3)．
故答案为：2(a +3)(a −3)．
首先提取公因式2，再利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键． 13.【答案】2
【解析】解：∵单项式54x 3y a−b 与23x a+b y 是同类项，
∴{a +b =3a −b =1， 解得{a =2b =1
， 故可得ab =2．
故答案为：2．
根据同类项的定义(所含字母相同，相同字母的指数相同)列出方程组，求出a ，
b 的值，再代入代数式计算即可．
此题主要考查了同类项，解答本题的关键是掌握同类项的定义．
14.【答案】21
【解析】解：观察图形的变化可知：
第①个图案黑色棋子个数为：2×3−1=5(个)，
第②个图案黑色棋子个数为：2×4=8(个)，
第③个图案黑色棋子个数为：2×5−1=9(个)，
第④个图案黑色棋子个数为：2×6=12(个)，
第⑤个图案黑色棋子个数为：2×7−1=13(个)，
…，
所以第⑧个图案黑色棋子个数为：2×10=20(个)，
第⑨个图案黑色棋子个数为：2×11−1=21(个)，
故答案为：21．
观察图形的变化可得前几个图形中黑色棋子的个数，进而可得第⑨个图案黑色棋子的个数．
本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．15.【答案】√13
【解析】解：连接AP，过点P作EF//AD交DC于点E，交AB于点F，
∵⊙O与边AB，CD分别相切于点A，点D，
∴∠ADC=∠DAB=90°，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴四边形DAFE是矩形，
∴EF=DA，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠APD=90°，
∴∠DAP+∠ADP=90°，
∵∠ADP+∠ABD=90°，
∴∠DAP=∠ABD，
∵∠ADP=∠BDA，
∴△ADP∽△BDA，
∴AD
BD =DP
AD
，
∵r=√5
2
，
∴AD=√5，
设PD=x，则BD=4+x，
∴(√5)2=x⋅(x+4)，
解得x=1(负值舍去)，
∴DP=1，
∴AP=√AD2−DP2=2，
∴AB=√AP2+PB2=2√5，
∵∠EDP+∠ADP=∠ADP+∠DAP=90°，∴∠EDP=∠DAP，
∴△EDP∽△PAD，
∴DE
AP =PE
DP
=DP
AD
，
∴DE
2=PE
1
=1
√5
，
∴DE=2
5√5，PE=√5
5
，
∴CE=CD−DE=8
5
√5，
∴CP=√PE2+CE2=√13．
故答案为：√13．
连接AP，过点P作EF//AD交DC于点E，交AB于点F，证明△ADP∽△BDA，由相似
三角形的性质得出AD
BD =DP
AD
，设PD=x，则BD=4+x，得出(√5)2=x⋅(x+4)，解得
x=1，求出DP，AP的长，证明△EDP∽△PAD，得出比例线段DE
AP =PE
DP
=DP
AD
，求出DE
和PE的长，求出CE的长，由勾股定理可得出答案．
本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
16.【答案】72
25
【解析】解：连接PA、PB，作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，
PF⊥AB于F，
∵∠C=90°，
∴四边形PDCE是矩形，
∵点P是△ABC的内心，
∴PD=PE=PF，
∴四边形PDCE是正方形，
∴PD=CD=CE=PE，
设PD =CD =CE =PE =x ，
∵AC =3，BC =4，
∴BF =BE =4−x ，AF =AD =3−x ，
∵AB =√AC 2+BC 2=5，
∴4−x +3−x =5，解得x =1，
∴PD =CD =CE =PE =1，
设B(m,n)，则A(m −4,n +3)，P(m −3,n +1)，
∵点A ，点B 及△ABC 的内心P 在同一个反比例函数y =k x 的图象上，
∴k =mn =(m −3)(n +1)=(m −4)(n +3)，
整理得{m −3n −3=03m −4n −12=0，解得{m =245n =35
， ∴k =mn =
245×35=7225， 故答案为7225．
连接PA 、PB ，作PD ⊥AC 于D ，PE ⊥BC 于E ，PF ⊥AB 于F ，根据勾股定理求得AB =5，根据三角形内心的性质求得PD =CD =CE =PE =1，设B(m,n)，则A(m −4,n +3)，P(m −3,n +1)，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k =mn =(m −3)(n +1)=(m −4)(n +3)，解得即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的内心，勾股定理的应用等，表示出A 、B 、P 的坐标是解题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=1−2=−1；
(2)原式=a 2+2a +1−a 2+1=2a +2．
【解析】(1)根据零指数幂和负整数幂的运算法则计算即可；
(2)根据完全平方公式和平方差公式计算即可得到答案．
此题考查的是平方差公式，掌握其公式的特点是解决此题关键．
18.【答案】60 6°
【解析】解：(1)这次抽取的居民数量为9÷15%=60(名)，
扇形统计图中，D 类所对应的扇形圆心角的大小是360°×160=6°，
故答案为：60，6°；
(2)A 类别人数为60−(36+9+1)=14(名)，
补全条形图如下：
=1200(名)．
(3)估计该社区表示“支持”的B类居民大约有2000×36
60
(1)由C类别的人数及其所占百分比可得被调查的总人数，用360°乘以样本中D类别人数占被调查人数的比例即可得出答案；
(2)根据A、B、C、D四个类别人数之和等于被调查的总人数求出A的人数，从而补全图形；
(3)用总人数乘以样本中B类别人数所占比例可得答案．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19.【答案】
解：(1)如图
所示，线段
CM即为所求．
(2)如图所示，
点P即为所求．
【解析】(1)根据三角形中线的定义即可得到结论；
(2)根据圆周角定理即可得到结论．
本题考查作图−应用与设计、等边三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20.【答案】解：如图，作AD⊥BC于D，
∵∠EAB=30°，AE//BF，
∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，
∴∠ABD=45°，又AB=60海里，
∴AD=BD=30√2海里，
∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，
∴∠C=60°，
在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=30√2海里，
则tanC=AD
CD
，
∴CD=30√2
√3
=10√6海里，
∴BC=30√2+10√6(海里)．
故该船与B港口之间的距离CB的长为(30√2+10√6)海里．
【解析】本题考查的是解直角三角形的知识的应用，掌握锐角三角函数的概念、选择正确的三角函数是解题的关键．
作AD⊥BC于D，根据题意求出∠ABD=45°，得到AD=BD=30√2海里，求出∠C=60°，根据正切的概念求出CD的长，得到答案．
21.【答案】解：(1)设单独完成这项工程甲公司需要x天，则乙公司需要11
12−1
x 天，
依题意得：9
12+5
x
=1，
解得：x=20，
经检验，x=20是原方程的解，且符合题意，
∴11
12−1
x
=11
12
−1
20
=30．
答：单独完成这项工程甲公司需要20天，乙公司需要30天．
(2)设乙公司施工y天，则甲公司施工1−y 30
1
20
天，
依题意得：0.7y+1.2×1−y
30
1
20
≤22.5，
解得：y≥15．
答：乙公司最少应施工15天．
【解析】(1)设单独完成这项工程甲公司需要x天，则乙公司需要
1
1
12
−1
x
天，根据“若甲、
乙合做9天后，由甲再单独做5天恰好完成”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设乙公司施工y天，则甲公司施工1−y 30
1
20
天，根据整个工程费用不超过22.5万元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．22.【答案】解：(1)∵E、F为AB、AD中点，
∴EF=1
2BD=1
2
x，
∵四边形ABCD是菱形，
∴y=1
2
x(80−2x)=−x2+40x，
自变量x的取值范围是：0<x<40；
(2)函数图象如下：
(3)∵y=−(x−20)2+400=375，
∴(x−20)2=25，
解得：x=25或x=15，
∵AC的长度必须大于BD的长度且小于BD长度的2倍，∴x=25，
即BD=25cm，AC=30cm．
【解析】(1)根据中位线定理可得EF=1
2BD=1
2
x，由菱形的面积=对角线乘积的一半可
列函数解析式；
(2)根据(1)中函数解析式及自变量的范围画函数图象即可；
(3)根据菱形ABCD的面积为375cm2，即y=375，求出x的值，结合骨架AC长度必须大于骨架BD长度且小于BD长度的两倍确定x的值可得．
本题主要考查二次函数的实际应用能力，根据菱形面积公式列出函数关系式是前提和根本，结合题意列出方程根据长度间关系取舍是关键．
23.【答案】3个
【解析】解：(1)作BC边上的中线或AC边上的中线即可．
(2)①证明：过点E作EK⊥GA，交GA的延长线于点K，
∴∠K=90°，
∵四边形ABDE和ACFG都是正方形，
∴∠BAE=90°，AB=AE，∠GAC=90°，AC=AG，
∵∠GAC+∠KAC=180°，
∴∠KAC=180°−∠GAC=180°−90°=90°，
∴∠EAK+∠BAK=∠BAC+∠BAK=90°，即∠EAK=∠BAC，
又∵∠K=∠ACB=90°，AE=AB，
∴△EAK≌△BAC(AAS)，
∴EK=BC，
∴S△ABC=1
2AC⋅BC=1
2
AG⋅EK=S△AEG，
∴△ABC和△AEG为偏等积三角形；
②如图，与△ABC是偏等积三角形有△EAG，△BCG，△GCM，故答案为：3个．
(3)①如图，连接A′C，
∵△ABD和△BCD是“偏等积三角形”，
∴S△ABD=S△BCD，
∴AD=CD=1
2
AC=4，
∵沿BD折叠，使得A与A′重合，
∴AD=A′D=4，
∵△A′BD与△BCD重合部分的面积等于△BCD面积的一半，
∴S△BOD=1
2S△BCD=1
2
S△ABD=1
2
S△A′DB，
∴A′O=BO，CO=DO，
∴四边形A′CBD是平行四边形，
∴BC=A′D=4，
过点C作CM⊥AB于点M，
∵∠A=30°且AC=8，
∴CM=1
2
AC=4=BC，即点B与点M重合，∴∠ABC=90°，
∴AB=√AC2−BC2=√82−42=4√3，
∴S△ABC=1
2AB⋅BC=1
2
×4√3×4=8√3；
②如图，连接A′C，
∵△ABD和△BCD是“偏等积三角形”，
∴S△ABD=S△BCD，易得：AD=CD=1
2
AC=4，
∵沿D折叠使A与A′重合，
∴AD=A′D=4，∠A=∠A′=30°，
∵△A′BD与BCD重合部分的面积等于△BCD面积的一半，
∴S△BOD=1
2S△BCD=1
2
S△ABD=1
2
S△A′BD，
∴A′O=DO，BO=CO，
∴四边形A′CDB是平行四边形，∴A′B=CD=4，
过点B作BQ⊥AD于点Q，
∵∠A′=30°且A′B=4，
∴BQ=1
2
A′B=2，
∴S△ABC=2S△A′BD=2×1
2A′D⋅BQ=2×1
2
×4×2=8，
综上所述，△ABC的面积为8或8√3．
(1)作BC边上的中线或AC边上的中线即可；
(2)①过点E作EK⊥GA，交GA的延长线于点K，根据已知得出△EAK≌△BAC，进而得出EK=BC，再根据三角形面积公式即可得出结论；
②根据已知找到跟△ABC等底等高的三角形即可；
(3)①根据已知得出AD=CD，然后根据折叠得出AD=A′D，然后根据△A′BD与△BCD 重合部分的面积等于△BCD面积的一半得出三角形面积之间的关系，然后得出A′O= DO，BO=CO，即可证明四边形A′CBD为平行四边形，即可得到A′B=CD，过点C作CM⊥AB于点M，利用∠A=30°可以证明点B与点M重合，进而得出AB的长度，即可求得结果；
②首先根据已知得出AD=CD，然后根据折叠得出AD=A′D，然后根据△A′BD与BCD 重合部分的面积等于△BCD面积的一半得出A′O=DO，BO=CO，进而得到四边形A′CDB是平行四边形，然后得出A′B=CD，过点B作BQ⊥AD于点Q，根据∠A=30°得出BQ的长度，即可求出结果．
本题考查了四边形的综合题，其中中线等分面积，等积三角形即等底等高等方法是解本题的关键．
24.【答案】解：(1)∵A(6,6)，AH是OB边上的高线
∴AH⊥x轴，∠AHO=∠AHB=90°
∴OH=AH=6
∴OA=√OH2+AH2=√62+62=6√2
∵B(8,0)，即OB=8
∴BH=OB−OH=8−6=2
∴Rt△ABH中，tan∠BAH=BH
AH =2
6
=1
3
(2)①如图1，连接CH，过点C作CE⊥x轴于点E ∴∠DCH=∠DAH，∠CEO=∠CEH=90°
∵CD//OB
∴∠DCH=∠CHE
∴∠CHE=∠DAH
∴tan∠CHE=tan∠DAH=1 3
∴Rt△CEH中，tan∠CHE=CE
EH =1
3
∴EH=3CE
∵Rt △OAH 中，AH =OH
∴∠AOH =45°
∴Rt △CEO 中，OE =CE
∴OH =OE +EH =CE +3CE =4CE ∴EH OH =3CE 4CE =34 ∵CE//AH ∴AC OA =EH OH =34 ∵CD//OB
∴CD OB =AC OA =34
∴CD =34
OB =6 ②如图1，连接PC
∵AC OA =34
∴AC =34OA =34×6√2=9√22
∴OC =OA −AC =
3√22
∴CE =OE =32，即C(32,32
) 设P(p,0)(0<p <8且p ≠6)
∴PH =6−p ，CP 2=(p −32)2+(32)2
∵∠AHP =90°
∴AP 为圆的直径
∴∠ACP =90°
∴AP 2=AC 2+CP 2=AH 2+PH 2
∴(
9√22)2+(p −32)2+(32)2=62+(6−p)2 解得：p =3
∴点P 坐标为(3,0)
(3)AC +√5AD 的值不发生变化．
如图2，连接CP 、DP
∵AP 是圆的直径
∴∠OCP =∠ACP =∠ADP =∠PDB =90°
设P(p,0)(0<p <8且p ≠6)
∴OP =p ，PB =8−p
∵∠OCP =90°，∠COP =45°
∴OC =√22OP =√22
p ∴AC =OA −OC =6√2−
√22p ∵∠BPD =∠BAH
∴Rt △BDP 中，tan∠BPD =BD PD =13
∴PD =3BD ∴PB 2=PD 2+BD 2=9BD 2+BD 2=10BD 2
∴BD =√1010PB =√1010
(8−p) ∵AB =√AH 2+BH 2=√62+22=2√10
∴AD =AB −BD =2√10−√1010(8−p)=6√105+√1010
p ∴√5AD =√5(6√105+√1010p)=6√2+√22
p ∴AC +√5AD =6√2−√22p +6√2+√22
p =12√2 ∴AC +√5AD 的值为12√2，不发生变化．
【解析】(1)由点A 坐标根据两点间距离公式即可求OA 的长；由点B 坐标及AH 为OB 边上的高可求AH 、BH 的长，在Rt △ABH 中有tan∠BAH =BH AH ，代入计算即可．
(2)①连接CH ，
则根据圆周角定理有∠DCH =∠DAH ，再由CD//OB 得到内错角∠DCH =∠CHE ，所以∠CHE =∠DAH ，其正切值相等(应用(1)的结论).过点C 作x 轴垂线段CE ，构造Rt △CEH ，进而由tan∠CHE =tan∠DAH 求得CE 与EH 的关系．由易求得∠AOH =45°，故CE =OE ，得EH OH 的值．由CE//AH 和CD//OB ，根据平行线分线段定理，可得CD OB =AC OA
=EH OH ，即求得CD 的长． ②连接CP ，由∠AHP =90°可得AP 为圆的直径，故∠ACP =90°，所以有AP 2=AC 2+CP 2=AH 2+PH 2.由①可求得点C 坐标，AC 的长，设点P 横坐标为p ，则能用p 表示CP 2和PH.把含p 的式子代入AC 2+CP 2=AH 2+PH 2解方程即求得p 的值．
(3)连接CP 、DP ，设点P 横坐标为p ，先用p 表示OP 、PB 的长．利用△OCP 为等腰直角三角形可以p 表示OC 的长，进而用p 表示AC 的长．由∠BPD =∠BAH 可得其正切值也相等，可计算得到BD 与BP 的关系，即能用p 表示BD 的长．求AB 即能用p 表示AD
的长．计算并化简AC+√5AD得到一个常数，即值不变．
本题考查了勾股定理，三角函数的应用，平行线的性质，平行线分线段定理，圆周角定理．第(3)题探究式子的值是否为定值，可设引起图形变化的动点P的横坐标为p，通过计算得到用p表示要求式子里的每一项，代入计算后看变量p是否能约去．。