广东工业大学高数2试卷

装
专
业：
B.斜交于 z 轴
2. 考虑二元函数 f ( x, y ) 的下面 4 条性质：
① f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续； 院： ③ f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处可微； A C ② ③ ①； ③ ④ ①； ② f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的两个偏导数连续； ④ f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的两个偏导数存在． ） B D ③ ② ①； ③ ① ④

dz dxdy dz dxdy
0 Dz1 1 Dz 2
1
2
z 2 dz (2 z )dz
0 1
1
2
5 6
八、 （12 分）解 (1)旋转曲面的方程为: z x 2 y 2 , (0 z 2)
F ( x, y, z ) x 2 y 2 z , ( Fx , Fy , Fz ) (2 x,2 y,1) e 1 4x 4 y 1
若用“ P Q ”表示可由性质 P 推出性质 Q ，则有（ 学
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3． 对于二元函数 f ( x, y ) A．0 B. 不存在
xy ，极限 lim f ( x, y) 为（ ( x , y ) (0,0) x y2
2
） 。
C．1
4 4x x2 2
1 1 1 1 解得两个驻点: ( , ,0) 和 ( , , 0) 2 2 2 2
所以 max
f 1 1 2( ) 2 l 2 2
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六、 （8 分）解:收敛域 I [1, 1]
设
s ( x) (1) n
n 1
x 2n , n 2x , 1 x2
五、 （8 分） 解: el
1 2
{1,1,0}
f f f f cos cos cos 2 ( x y ) l x y z f 2 ( x y) max l 2 x 2 2 y 2 2 z 2 1 F ( x, y, z ) 2 ( x y ) (2 x 2 2 y 2 2 z 2 1) Fx 2 4x 0 F y 2 4 y 0 Fz 4z 0 2 2 2 2 x 2 y 2 z 1
2 2 2 2
(2 x,2 y,1)
1 1 4z
(2 x,2 y,1)
(2)
补充曲面: 0 : z 2, x y 2, 上侧
4 1 y) （

2
dzdx (8 y 1) zdxdy
(8 y 8 8 y 1)dxdydz （ 4 1 y ) 2 dzdx (8 y 1) zdxdy
D. 无穷大
4． 改变积分次序后 A. C.

0
0
2
dx f ( x , y )dy dx
0 2
x
0
f ( x , y )dy =（ f ( x , y )dx
） 。
0 0
2 2
dy dy
2 4 y 2 2 4 y 2 y
f ( x , y )dx , f ( x , y )dx ,
订
2 2 2
学
。
。 。
3．设区域 D : 1 x 1,0 y 1 ，则 4．设 z
( x y
3 D
2
x cos y )d =
z ( x , y ) 是由方程 f ( x z , y z ) 0 所确定的隐函数，其中 f ( u, v ) 具有 f f z z 0 ，则 连续的偏导数，且 。 u v x y 5．设 f ( x) 是周期为 2 的周期函数，它在区间 ( , ] 上的定义为

B. D.
0
dy
2 4 y 2 y 2 4 y 2 0
0
2
dy
f ( x , y )dx
5．若级数
an2 收敛，则级数 an ___________ ．
n 1 n 1
A. 一定绝对收敛； C. 一定发散； 三、 （8 分）求二重积分
B. 一定条件收敛； D. 可能收敛也可能发散．
s ( x) 2 (1) n x 2 n 1
n 1
s( x ) s( 0)
0
x
2x 1 x
2
dx ln(1 x 2 ), s( 0) 0
所以
s( x ) ln(1 x 2 ), 1 x 1
七、 （8 分）解：
V dxdydz
1
A 院：
2
A
3
B
4
C
5
D
学
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三、 （8 分） 解:
x x e dxdy dx e dx
2 2
1
x
D
0
0
xe x dx
2
1
0
1 1 x2 2 e dx 2 0

1 (e 1) 2
四、 （8 分） 解:补充 BA : y 0, x 1对应起点 B, x 1对应终点 A
B (2, 0,1) 方向的方向导数最大，并求出该最大方向导数．
六、 （8 分）求幂级数
n 1
( 1)n

x 2n 的收敛域与和函数。 n x 2 y 2 所围成的立体的体积
七、 （8 分）求曲面 z
2 x2 y2 与 z y2 x 0
八、 （12 分）设 是由曲线 z
e
D
x2
dxdy ，其中 D 为三直线 y 0, y x和 x 1 所围成的平面区域。
L
四、 （8 分）利用格林公式计算曲线积分 ( x 2 2 y )dx (3x y 3 )dy ，其中曲线 L 为 x 2 y 2 1 的上半 圆左端点 A（-1，0）到右端点 B（1，0）的有向弧线段。 五、 （8 分）在球面 2 x 2 2 y 2 2 z 2 1 上求一点，使函数 f ( x, y , z ) x 2 y 2 z 2 在该点处沿 A(1,1,1) 到
由格林公式得,

L BA
( x 2 2 y )dx (3 x y 3 )dy (3 2)dxdy
D
S D 2
所以
(x
L
2
2 y )dx (3 x y 3 )dy
( x 2 2 y )dx (3 x y 3 )dy 2 BA 1 ( x 2 0)dx 2 1 2 3 2
2, x 0 ，则 f ( x) 的傅里叶级数在 处收敛于________． f ( x) 1 x , 0 x
二、选择题： （每小题 4 分，共 20 分） 1．平面 3 x 3 y 8 0 的位置是（ A.平行于 z 轴. ）. C.垂直于 z 轴. D.通过 z 轴.
2
2dxdy 18
九、 （8 分）解:
d 3 ( x) 3 2 ( x) ( x) dx
( x) f 1' f 2'
df ( x, x) dx
f 1' f 2' ( f 1' f 2' ) d 3 ( x) dx 3 2 (1) (1)
所围成的立体的体积八12轴旋转而成的曲面1写出的方程和取下侧即朝着z轴负方向的一侧的单位法向量
广东工业大学考试试卷 (A)
课程名称:
名：
高等数学 பைடு நூலகம்(2)
考试时间: 2009 年 6 月 29 日
试卷满分 (第 20 周 星期一)
七 八 九
100
分
姓
题
号
一
二
三
四
五
六
十
总分
评卷得分
线
评卷签名 复核得分 号： 复核签名 一、填空题： （每小题 4 分，共 20 分） 1．设 OA 2i j ， OB i 2k ，令 m OA OB . 则向量 m 的方向余弦为： 2． 曲面 3 x y z 27 在点 (3, 1, 1) 处的切平面方程为：
(第 20 周 星期 一
六 七 八 九
姓
评卷得分
线
评卷签名 复核得分
号：
复核签名
一、填空题： （每小题 4 分，共 20 分）
1.
2. 3. 4.
学
cos
3 14
, cos
1 14
, cos
2 14
9 x y z 27 0 0 1 3 2
业：
订
5.
装
专
二、选择题： （每小题 4 分，共 20 分）
3 ， ( x) f [ x, f ( x, x)] ，
(1,1)
(1,1)
求
d 3 ( x) dx
x1
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广东工业大学考试
课程名称:
名：
答题纸
试卷满分 100 分 )
总分
高等数学 A（2）
考试时间: 2009 年 6 月 29 日
题 号 一 二 三 四 五
( 0 z 2) 绕 z 轴旋转而成的曲面，
（1）写出 的方程和 取下侧（即朝着 z 轴负方向的一侧）的单位法向量。 （2）对（1）中的定向曲面，求积分
4 1 y) （

2
dzdx ( 8 y 1) zdxdy
f 2， y
f 九、 （8 分） 设函数 z f ( x, y ) 在 (1,1) 处可微， 且 f (1,1) 1 ， x
x 1
3 f 2 (1, 1){ f 1' (1,1) f 2' (1, 1)[ f 1' (1,1) f 2' (1,1)]} 3 1[ 2 3(2 3)] 51
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0
对称性 7 dxdydz

x y 2 2
2
2(8 y 1)dxdy
dz 7 dxdy
0 Dz
2
x y 2 2
2
2(8 y 1)dxdy
广东工业大学试卷用纸，共 2 页，第 5页
对称性 7 zdz
0
2
x y 2 2