新疆乌鲁木齐八一中学2016届高三上学期第一次月考数学(理)试题 含答案

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乌鲁木齐八一中学2015——2016学年第一学期高2016届第一次月考
理科数学试卷
(考试时间:120分钟,卷面分值:150分)
命题人:
一、
选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每个小
题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的) 1.集合{}2
|1,M y y x
x R ==-∈,集合{}
2|9,N x y x x R ==-∈=⋂N M (
)
A .{t |13t -≤≤}
B .{t |03t ≤≤}
C .{t |33t -≤≤}
D .{t |33t t ≥≤-或}
2.已知命题p :|x -1|≥2,命题q :x ∈Z ,若“p 且q ”与“非q"同时为假命题,则满足条件的x 为( )
A .{x |x ≥3或x ≤-1,x ∈Z }
B .{x |-1≤x ≤3, x ∈Z }
C .{0,1,2}
D .{-1,0,1,2,3} 3.复数i
-+25
1(i 是虚数单位)的模等于( ) A .10
B .10
C .5
D 5
4.已知2=a ,3=b ,19+=
a b ,则-a b 等于(

A .
13
B .
15
C .
17
D .
7
5.已知()f x 是R 上的奇函数,且当(],0x ∈-∞时,()lg(3)f x x x =--,则(1)f = A .0 B .lg 3 C .lg 3- D .lg 4-
6.将函数)3
2sin()(π-=x x f 的图像左移3π
,再将图像上各点横坐标压缩到原来的2
1,则所得到的图象的解析式为( )
A .x y sin =
B .)34sin(π+=x y
C .)3
24sin(π
-=x y D .)3sin(π+=x y 7.若关于x 的方程2
40+-=x ax 在区间[2,4]上有实数根,则实数a 的取值
范围是
A .(3,)-+∞
B .[3,0]-
C .(0,)+∞
D .[0,3] 8.在△ABC 中,若1=b ,3=
c ,B=30º,则a =(
)
A .2
B .1
C .1或2
D .2或
3
9.函数2)(-+=x e
x f x
的零点所在的一个区间是 ( )
A .)1,0(
B .)2,1(
C .)1,2(--
D .)0,1(- 10.
()f x '是函数()f x 的导数,函数
()
x
f x e 是增函数( 2.718281828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数),()f x '与()f x 的大小关系是( )
A .()()f x f x '=
B .()()f x f x '>
C .()()f x f x '≤
D .()()f x f x '≥ 11.函数f (x )=Asin (ωx +φ)(A ,ω,φ是常数,A 〉0,ω〉0)的部分图象如图所示,下列结论:
①最小正周期为π;②将f(x)的图象向左平移6
π个单位,所得到的函数
是偶函数;
③f (0)=1;④f(1211
π)<f(1413
π);⑤f (x )=-f (53
π-x ).
其中正确的是( )
A .①②③
B .②③④
C .①④⑤
D .②③⑤ 12.已知a 、b 为正实数,直线y=x -a 与曲线
y=ln(x+b )相切,则
2
2a b
+
的取值范围是( )
A .(0,12
) B .(0,1) C .(0,+∞) D .[)1,+∞
二、填空题(本大题共4小题,共20分)
13.已知A={x |x 2-x +a =0}=φ,则实数a 的取值范围是 . 14.已知x 为实数,复数2
2(2)(32)=+-+++z x
x x x i 为纯虚数,则x = .
15.
22
1cos x dx
π
π-+⎰()= .
16.已知函数()f x 满足1
(1)()
f x f x +=-
,且()f x 是偶函数,当[1,0]x ∈-时,2()f x x =,若在区间[1,3]-内,函数()()log (2)a g x f x x =-+有4个零点,则实数a
的取值范围是 .
三、解答题(本大题共6小题,共70分) 17.(本小题满分10分)已知集合{}()(){}2
68030A x x x B x x a x a =-+<=--<,.
(Ⅰ)若x A x B ∈∈是的充分条件,求a 的取值范围;
(Ⅱ)若φ=⋂B A ,求a 的取值范围.
18..(共12分)已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角,其对边分别为
a 、
b 、
c ,若
)2sin ,2cos (A A m -=→
,)2sin ,2(cos A
A n =→,a =且2
1=⋅→
→n m .
(1)若△ABC 的面积S
b +
c 的值. (2)求b +c 的取值范围.
19.(满分12分)已知函数2
1()log
1
ax f x x +=-(a 为常数)是奇函数。

(Ⅰ)求a 的值与函数)(x f 的定义域;
(Ⅱ)若当),1(+∞∈x 时,m x x f >-+)1(log )(2
恒成立.求实数m 的取值范围。

20(满分12分)。

已知函数
2
π()2sin
24f x x x ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
. (1)求函数)(x f 的最大值,以及取到最大值时的x 的集合 (2)
2)(<-m x f 在ππ42x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
,上恒成立,求实数m 的取值范围。

21.(本小题满分12分)已知函数ax e x f x 2)(+=。

(Ⅰ)当1=a 时,求曲线)(x f y =在点(0,1)处的切线方程; (Ⅱ)若函数)(x f 在区间),1[+∞上的最小值为0,求a 的值;
(Ⅲ)若对于任意x
e x
f x -≥≥)(,0恒成立,求
a 的取值范围。

22.(满分12分)已知函数1()ln x f x x ax
-=+在(1,+∞)上是增函数,且a >
0.
(1)求a 的取值范围;
(2)求函数()ln(1)g x x x =+-在[0,+∞)上的最大值; (3)设a >1,b >0,求证:
1ln a b a
a b b b
+<<+.
乌鲁木齐八一中学高2016 届高三第一次月考
理科实验班数学试题答案 2015.10.15
一、
选择题(共12题,每题5分,共计60分)
二、
填空题(共4题,每题5分,共计20分)
13、4
1>a ; 14、 1 ; 15、2+π; 16、[)+∞,5。

三、解答题(共6题,17题10分,其余题各12分,共计70分) 17、(本题10分) 解:(Ⅰ){}{}2
680=24A x x
x x x =-+<<<
①当0a =时,=B ∅,不合题意;
②当0a >时,{}=3B x a x a =<<,由题意知A B ⊂ 24234
3
a a a ≤⎧∴⇔≤≤⎨
≥⎩ ③当0a <时,{}=3B x a x a =<<,由A B ⊂得324
a a ≤⎧⎨
≥⎩,此时无解,综上:4
23
a ≤≤ (Ⅱ){}24A x x =<< 当0a =时,=B ∅,合题意. 当0a >时,{}=3B x a x a =<<,由A
B =∅得02
40432
3a a a a a >⎧⇔≥<≤⎨≥≤⎩或或
当0a <时,{}=3B x a x a =<<,由A B =∅得0
0234a a a a <⎧⇔<⎨≤≥⎩

综上述:243
a a ≥≤或时A
B =∅
18、(本题12分)
解析:(1)∵m =(-cos 2
A ,sin 2
A ),n =(cos 2
A ,sin 2
A ),且m ·n =12

∴-cos 22
A +sin 22
A =12
,即-cosA =12
, 又
A ∈(0,π),∴A =23π

又由S △ABC =12
bcsinA =
3,所以bc =4, 由余弦定理得:a 2=b 2+c 2-2bc·cos 23π
=b 2+c 2+bc ,
∴16=(b +c )
2
,故b +c =
4.( 6分)
由正弦定理得:sin sin sin b c a
B C A
===23
2sin
3
π=4,
又B +C =-A =3
π,
∴b +c =4sinB +4sinC =4sinB +4sin (3π-B )=4sin(B +3π
),
∵0<B <3π,则3π<B +3
π<23π
,则3
2
<sin (B +3
π)≤1,
即b +c 的取值范围是(]
4,32
19、(本题12分) 解析:(Ⅰ)
2
11
ax
x +-函数f(x)=log 是奇函数 ()()f x f x ∴-=- 22221111
log log log log 1111ax ax ax x x x x ax
-+--∴=-=---++即 1a ∴= 4

令01
1>-+x x ,解得:1-<x 或1>x 6分
所以函数的定义域为:|{x 1-<x 或}1>x 7分 (Ⅱ))1(log )1(log )(2
2
x x x f +=-+ 9分
当1>x 时,12x ∴+> 2
2
log (1)log
21x ∴+>= 12分
∵),1(+∞∈x , m x x f >-+)1(log )(2恒成立
∴1≤m 13分
所以m 的取值范围是]1∞(-, 14分
考点:1。

函数奇偶性单调性;2。

函数定义域与最值;3.不等式与函
数的转化 20.3max
=y
,ππk x +=
12
5
,Z k ∈;(2)()41,
解析:(1
)π()1cos 221sin 222
f x x x x x ⎡⎤
⎛⎫=-+=+ ⎪⎢
⎥⎝⎭⎣


π12sin 23x ⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭.
max ()3f x =
此时,2232
5
()
12
x k x k k Z ππ
π
ππ-
=
+∴=+∈
(2)ππ42x ⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
,∵,ππ2π2633
x -∴≤≤, 即π212sin 233x ⎛⎫
+- ⎪⎝

≤≤,max
min ()
3()2f x f x ==,∴.
()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵,ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
,,
max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+,14m <<∴,即m 的取值范围是(1
4),.
21、解析:解:(Ⅰ)1=a 时,2)(,2)(+='+=x x
e x
f x e
x f , 2分
所求切线的斜率为3)0(),0(=''f f 。

3分
所以,曲线)(x f y =在点)1,0(处的切线方程为013=+-y x .4分
(Ⅱ)当0≥a 时,函数02)(>+=ax e x f x
,不符合题意。

5分
当0<a 时,
a e x f x
2)(+=', 令02=+a e
x
,得)2ln(a x -=, 6分
所以,当))2ln(,(a x -∞∈时,0)(<'x f ,函数)(x f 单调递减;当)),2(ln(+∞-∈a x 时,
0)(>'x f ,函数)(x f 单调递增.
7分
①当1)2ln(≤-a ,即02<≤-
a e
时,)(x f 最小值为e a f +=2)1(.
解02=+e a ,得
2e
a -
=,符合题意. 8分
②当1)2ln(≤-a ,即2
e a -
<时,)(x f 最小值为)2ln(22))2(ln(a a a a f -+-=-。

解0)2ln(22=-+-a a a ,得2e
a -
=,不符合题意. 9

综上,
2e
a -
=。

(Ⅲ)构建新函数a e e x g ax e e x g x
x x x 2)(,2)(++='+-=--。

10分
①当22-≥a ,即1-≥a 时, 因为2≥+-x x
e e
,所以0)(≥'x g .(且1-=a 时,仅当0=x 时,0)(='x g 。


所以)(x g 在R 上单调递增.
又0)0(=g ,所以,当1-≥a 时,对于任意0≥x 都有0)(≥x g . 12分 ②当1-<a 时,解02<++-a e e x x
,即012)(2<++x
x ae e ,

112
2-+-<<---a a e a a x , 其中11,11022>-+-<--
-<a a a a 。

所以
)1ln()1ln(2
2-+-<<---a a x a a , 且0)1ln(2<---a a ,
0)1ln(2>-+-a a 。

所以)(x g 在))1ln(,0(2-+-a a 上单调递减。

又0)0(=g ,所以存在))1ln(,0(20-+-∈a a x ,使0)(0<x g ,不符合题意。

综上,a 的取值范围为),1[+∞-. 14分 22.解析:(1)()f x 的导数为'
211
()f x ax x
=-
+, 因为函数()f x 在(1,+∞)上是增函数,
所以'
211
()0f
x ax x
=-
+≥在(1,+∞)上恒成立, 即1x a
≥在(1,+∞)上恒成立, 所以只需11a
≥,
又因为a >0,所以a≥1;
(2)因为x∈[0,+∞),所以'
1()1011x g x x x
-=
-=≤++
所以()g x 在[0,+∞)上单调递减,
所以()ln(1)g x x x =+-在[0,+∞)上的最大值为(0)0g =. (3)证明:因为a >1,b >0,所以1a b b
+>,
由(1)知1()ln x f x x ax
-=+在(1,+∞)上是增函数,所以()(1)a b f f b
+>,
即1ln 0a b
a b b a b b a b
+-
++>+⋅,化简得1ln a b a b b +<+, 又因为1a b a b b
+=+,
由第(2)问可知()ln(1)(0)0a a a g g b b b
=+-<=,
即ln a b a b b
+<,
综上1ln a b a a b b b
+<<+得证.。

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