抽象函数定义域的类型及求法

抽象函数定义域的类型及求法

抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说具有一定难度，特别是求其定义域时，许多同学解答起来总感棘手．下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的几种题型及求法．

一、已知()f x 的定义域，求()f g x 的定义域

其解法是：若

()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为

()f g x 的定义域．例1已知函数()f x 的定义域为15，，求(35)f x 的定义域．

分析：该函数是由35u x 和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中

间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知

15u ≤≤，即1355x

≤≤，求x 的取值范围．解：()f x 的定义域为15，，1355x ≤≤，

41033x ≤≤．故函数(35)f x 的定义域为

41033，．二、已知()f g x 的定义域，求()f x 的定义域

其解法是：若()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的范围即为()f x 的定义域．

例2已知函数2(22)f x

x 的定义域为03，，求函数()f x 的定义域．分析：令222u x x ，则2(22)()f x x f u ，

由于()f u 与()f x 是同一函数，因此u 的取值范围即为

()f x 的定义域．解：由03x ≤≤，得21225x

x ≤≤．令222u x x ，则2(22)()f x x f u ，15u ≤≤．

故()f x 的定义域为15，．

三、运算型的抽象函数

求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各

个函数的定义域，然后再求交集．

例３若()f x 的定义域为35，，求()()(25)x f x f x 的定义域．解：由()f x 的定义域为35，，则()x 必有353255x x ，

，≤≤≤≤解得40x ≤≤．

所以函数()x 的定义域为40，．