《数值分析》习题6

习题六 （第1、3、5、6、7、9、10题） 1．求解初值问题
y x y +=' )10(≤≤x 1)0(=y
取步长2.0=h ，分别用Euler 公式与改进Euler 公式计算，并与准确解
x e x y 21+-=相比较。

解： 1) 应用Euler 具体形式为 )(1i i i i y x h x y ++=+，其中i x i 2.0= 10=y 计算结果列于下表
i i x i y )(i x y i i y x y -)( 1 0.2 1.200000 1.242806 0.042806 2 0.4 1.480000 1.583649 0.103649 3 0.6 1.856000 2.044238 0.188238 4 0.8 2.347200 2.651082 0.303882 5 1.0 2.976640 3.436564 0.459924 2) 用改进的Euler 公式进行计算，具体形式如下： 10=y
)()
(1i i i D i y x h y y ++=+ )()
(11)
(1D i i i C i y x h y y +++++= )(2
1)(1)(11c i D i i y y y ++++= 4,3,2,1,0=i 计算结果列表如下
i i x i y )
(1D i y + )
(1c i y + i i y x y -)( 0 0.0 1.000000 1.200000 1.280000 0.000000 1 0.2 1.240000 1.528000 1.625600 0.002860 2 0.4 1.576800 1.972160 2.091232 0.006849 3 0.6 2.031696 2.558635 2.703303 0.012542 4 0.8 2.630669 3.316803 3.494030 0.020413 5 1.0 3.405417 0.031147
3. 对初值问题 1
)0(=-='y y y )
0(>x ，证明用梯形公式所求得的近似值为
i
i h
h y ih y )22(
)(+-=≈ ),2,1,0( =i 并证明当0→h 时，它收敛于准确解i
x e y -=，其中ih x i =为固定点。

解：1) 对以上初值问题用梯形公式得
)]()[(2
11++-+-+=i i i i y y h
y y ， ,2,1,0=i
10=y
其中ih x i = 由上式递推得 i
i h
h y )22(
+-= ， ,2,1,0=i 2) 22)2(2
)2
1()
21(2121i i x h x
h i
i h h h h y ∙--+-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
+-= i i i i
i
x x x x h h x h n i h e e
e
h h y --→--∞→→==
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=2
2
2
2
0)2
(2
)21(lim )21(lim lim
5．证明 )4(6
3211k k k h
y y i i +++
=+ ),(1i i y x f k =
2(2h x f k i += ，)2
1k h
y i +
h x f k i +=(3 ，)221hk hk y i +- 是一个3阶公式
局部截断误差为
)4(6
)()(32111K K K h
x y x y R i i i ++--=++ ))(,(1i i x y x f K = 2(2h x f K i +
= ，)2
)(1K h x y i + h x f K i +=(3 ，)2)(21hK hK x y i +- 由微分方程有
))(,()(x y x f x y =' y
x y x f x y x x y x f x y ∂∂'+∂∂=''))
(,()
())(,()(
⎢⎣
⎡∂∂∂'+'∂∂∂+∂∂='''y x x y x f x y x y y x x y x f x x y x f x y ))(,()()())
(,())(,()(222
2
y x y x f x y x y y x y x f ∂∂''+⎥⎦
⎤'∂∂+
))
(,()
()())
(,(2
2 y
x x y x f x y x x y x f ∂∂∂'+∂∂=
))
(,()(2))
(,(22
2
y
x y x f x y y x y x f x y ∂∂''+∂∂'+))
(,()
())
(,()(2
22
)(1i x y K '=
2(2h x f K i += ，)(2
)(i i x y h
x y '+
y
x y x f x y h
x x y x f h x y x f i i i i i i i ∂∂'+∂∂+
=))(,()
(2))(,(2))(,( y x x y x f x y h
h x
x y x f h i i i i i ∂∂∂'⋅⋅+∂∂⎢⎣⎡+))(,()(222))(,()2(212222
)())(,()(23
22
2h O y x y x f x y h i i i +⎥⎦
⎤∂∂'+ )())(,()()(8)(2)(3
2h O y x y x f x y x y h x y h x y i i i i i i +⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∂∂''-'''+''+'= (h x f K i +=3，)
)()()()(3h O x y h x y h x y i i i +''∂+'+
(,())(,()(,())(()2)2i i i i i i i f x y x f x y x f x y x h hy x hK x y ⎡⎤
∂∂'=++-+⎢⎥∂∂⎣⎦
22223
2222
(,())(()2)(,())(,())(()2)()22i i i i i i i i f x y x hy x hK f x y x f x y x h h hy x hK O h x y x y '∂-+∂∂'+++-++∂∂∂∂由于只需展开到3h 阶次
上式中只需第一个22()()()2
i i h
K y x y x O h '''=++，第二个和第三个2()()i K y x O h '=+ 于是有：
232222222
32
3
2(,())(,()(,()(,()
()()2()()
(,())(())(,())(,())()()2(,[(42)()i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i f x y x f x y x f x y x f x y x K y x h
hy x hy x h y x x y y y
f x y x h y x f x y x f x y x h h y x O h x y f x y h y x y x y x ∂∂∂∂'''''=+-++∂∂∂∂'∂∂∂'∂''''+++∂'∂+-+∂∂3()(,()(,()]2()i i i i i x f x y x f x y x h O h y y y
∂∂+⨯∂∂∂注意上面的红色部分可归入3
()O h ，另外上式中2K 被平方时达到3
h 的项直接并入3
()O h ，因此不用列出
)())(,()()(21)()(32h O y x y x f x y x y h x y h x y i i i i i i +⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∂∂''+'''+''+'=
因此
)()(6
)(2)(43
21h O x y h x y h x y h R i i i i +'''+''+'=+
⎢⎣⎡⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
∂∂''-'''+''+'+'-y x y x f x y x y h x y h x y x y h i i i i i i i ))(,()()(2)(2)(4)(62
⎥⎦
⎤+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂''-'''+''+'+)())(,()()(2)()(32h O y x y x f x y x y h x y h x y i i i i i i )(4h O =
由于所给的是一个三级公式，所以最高只能达到三阶，即在1i R +中4
h 项的系数不可能为零，所以所给公式是一个3阶公式
5．证明
)4(6
3211k k k h
y y i i +++
=+ ),(1i i y x f k = 2(2h x f k i +
=，)2
1
1hk y i + h x f k i +=(3，)221hk hk y i +- 是1个3阶公式。

证明 )4(6
3211k k k h
y y i i +++
=+ ),(1i i y x f k = 2(2h x f k i +
= ，)2
1k h y i + h x f k i +=(3 ，)221hk hk y i +- 是一个3阶公式
解局部截断误差为
)4(6
)()(32111K K K h
x y x y R i i i ++--=++ ))(,(1i i x y x f K = 2(2h x f K i +
= ，)2
)(1K h x y i + h x f K i +=(3 ，)2)(21hK hK x y i +- 由微分方程有
))(,()(x y x f x y ='
y
x y x f x y x x y x f x y ∂∂'+∂∂=''))
(,()
())(,()(
⎢⎣
⎡∂∂∂'+'∂∂∂+∂∂='''y x x y x f x y x y y x x y x f x x y x f x y ))(,()()())
(,())(,()(222
2
y x y x f x y x y y x y x f ∂∂''+⎥⎦
⎤'∂∂+
))
(,()
()())
(,(2
2 y
x x y x f x y x x y x f ∂∂∂'+∂∂=
))
(,()(2))
(,(22
2
y
x y x f x y y x y x f x y ∂∂''+∂∂'+))
(,()
())
(,()
(2
22
)(1i x y K '=
2(2h x f K i += ，)(2
)(i i x y h
x y '+
y
x y x f x y h
x x y x f h x y x f i i i i i i i ∂∂'+∂∂+
=))(,()
(2))(,(2))(,( y x x y x f x y h
h x
x y x f h i i i i i ∂∂∂'⋅⋅+∂∂⎢⎣⎡+))(,()(222))(,()2(212222 )())(,()(23
22
2h O y x y x f x y h i i i +⎥⎦
⎤∂∂'+ )())(,()()(8)(2)(3
2h O y x y x f x y x y h x y h x y i i i i i i +⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∂∂''-'''+''+'= (h x f K i +=3，)
)()()()(3h O x y h x y h x y i i i +''∂+'+
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∂∂''+'+∂∂+=y x y x f x y h x y h x x y x f h x y x f i i i i i i i i )(,())()(())(,())(,(2 y x x y x f x y h h x
x y x f h i i i i i ∂∂∂'⋅⋅+⎢⎣⎡∂∂+))(,()(2))
(,(21222
)())(,()(3
2
22
2
h O y x y x f x y h i i i +⎥⎦
⎤∂∂'+ )())(,()()(21)()(3
2h O y x y x f x y x y h x y h x y i i i i i i +⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∂∂''+'''+''+'= )()(6
)(2)(4321h O x y h x y h x y h R i i i i +'''+''+'=+
⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
∂∂''-'''+''+'+'-y x y x f x y x y h x y h x y x y h i i i i i i i ))(,()()(2)(2)(4)(62⎥⎦
⎤+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂''-'''+''+'+)())(,()()(2)()(32h O y x y x f x y x y h x y h x y i i i i i i )(4h O =
∴所给公式是一个3阶公式
6．导出中点公式（或称Euler 两步公式） ),(211i i i i y x hf y y +=-+
并给出局部截断误差。

解： o
1 法1 将后退Eluer 公式 ),(1i i i i y x hf y y +=- 和Eluer 公式
),(1i i i i y x hf y y +=+ 相加得到
),(211i i i i y x hf y y +=-+
o 2 法2得
)(6
12)()()(2
11i i i i y h h x y x y x y ξ'''--=
'-+，
),(11+-∈i i i x x ξ 代入等式 ))(,()(i i i x y x f x y ='
得到 )(6
1
))(,(2)()(211i i i i i y h x y x f h x y x y ξ'''+=--+
变形得到 )(3
1))(,(2)()(3
11i i i i i y h x y x hf x y x y ξ'''+
+=-+ 忽略小量项
)(3
13
i y h ξ'''，并用i y 代替)(i x y ，得到中点公式 ),(211i i i i y x hf y y +=-+ o
3 局部截断误差
))(,(2)()(111i i i i i x y x hf x y x y R --=-++ θ+'''+
'=i i x f h x y h (6
1)(23
)(2)i x y h h '- θ+'''=i x f h (6
13
)h
7．证明解),(y x f y ='的公式： )],(3),(),(4[4
)(21111111--++-++-++=
i i i i i i i i i y x f y x f y x f h
y y y 是二阶的，并求出其局部截断误差。

解：))(,(4[4
)]()([21)(11111++-++-+-
=i i i i i i x y x f h
x y x y x y R ))]
(,(3))(,(11--+-i i i i x y x f x y x f )(4
3
)(4)()(21)(21)(1111-+-+'-'+'---=i i i i i i x y h x y h x y h x y x y x y
)(21)()(6)(2)()(432i i
i i i x y h O x y h x y h x y h x y -+'''+''+'+= )]()(6
)(2)()([2143
2h O x y h x y h x y h x y i i i i +'''-''+
'-- )(4
)]()(21)()([32i i i i x y h
h O x y h x y h x y h '++'''+
''+'- )]()(2
)()([4332
h O x y h x y h x y h i i i +'''+''-'-
)()(6
54
3h O x y h i +'''-= 9．直接推导出2步Adams 显式公式 )],(),(3[2
111--+-+=i i i i i i y x f y x f h
y y 和局部截断误差 )(12
5)
3(31i i y h R ξ=
+， ),(11+-∈i i i x x ξ 解： dx x y x f x y x y i i
x x i i ⎰
++=+1))(,()()(1
以i x 和1-i x 为节点作))(,(x y x f 的一次插值多项式 111111))(,())
(,()(-------+--=i i i i i i i i i i x x x
x x y x f x x x x x y x f x L
则有
dx x L x y x y i i
x x i i ⎰
++≈+1)()()(11
dx x x h
x y x f x y i i x x i i i i ⎰+--⋅+=12
1)(1))(,()( dx x x h x y x f i i
x x i i i ⎰+-⋅+--1
)(1)(,(11 ))(,(2
1
))(,(23)(11---+
=i i i i i x y x hf x y x hf x y 于是我们得到如下二步Adams 显式格式 ),(21
),(23111--+-+
=i i i i i i y x hf y x hf y y )],(),(3[2
11---+=i i i i i y x f y x f h
y 局部截断误差
))](,())(,(3[2)()(1111--++---=i i i i i i i x y x f x y x f h
x y x y R
)]()(3[2
)()(11-+'-'--=i i i i x y x y h
x y x y
)()(6
)(2)()(43
2h O x y h x y h x y h x y i i i i +'''+''+'+=
[]
)
()(2)()(2)(23)(32
h O x y h x y h x y h x y h x y i i i i i +'''+''-'+'--
)()(12
543
h O x y h i +'''=
10．导出具有下列形式的3阶方法：
+++=--+221101i i i i y a y a y a y
)],(),(),([2221110----++i i i i i i y x f b y x f b y x f b h
的系数所满足的方程组。

解：
),([0221101i i i i i i y x f b h y a y a y a y +++=--+
)],(),(222111----++i i i i y x f b y x f b )()()()(2211011--++---=i i i i i x y a x y a x y a x y R )]()()([22110--'+'+'-i i i x y b x y b x y b h
)()(6
)(2)()(43
2h O x y h x y h x y h x y i i i i +'''+''+'+= )(0i x y a -
)]()(6
)(2)()([43
21h O x y h x y h x y h x y a i i i i +'''-''+'-- )]()(3
4)(2)(2)([43
2
2h O x y h x y h x y h x y a i i i i +'''-''+'-- )(0i x y h b '-
)]()(2
)()([32
1h O x y h x y h x y h b i i i +'''+''-'-
)]()(2)(2)([3
2
2h O x y h x y h x y h b i i i +'''+''-'-
)()21()()1(21021210i i x y h b b b a a x y a a a '---+++---=
)()222
121(22121i x y h b b a a ''++--+ )()()22
346161
(432121h O x y h b b a a i +'''--+++ 所给方程为3阶方法充要条件为 01210=---a a a 02121021=---++b b b a a 0222
1212121=++--b b a a 022
3461612121=--++b b a a
即
1210=++a a a
1221021-=---+b b b a a
14242121=--+b b a a
112382121-=--+b b a a
1221=++a a a
1221021=+++--b b b a a 14242121=--+b b a a
112382121=++--b b a a。