第六章 一阶电路
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1 − t τ − 1 t RC
−
1 t RC
)
1 1 − RCt U 0e )e = = cU 0 ( − RC R
−
1 t RC
- - - 指数规律误衰减的
t uc(t)
0 U0
τ 0.368 U0
2τ 0.135 U0
3τ
4τ
5τ 0.0067 U0
U 0e i(t ) = R t = 0 u c (0) = U 0
C R R
所以： 所以：c du c R = u 电容上电流由负 − c 到正， 到正，所以有负 U0 dt 号 du c RC + u c = 0 − −一阶齐次微分方程 dt
＋ －
i
＋ -
uc
uR
初始条件： 令此方程的通解为： 初始条件：uc（0-）=uc（0+）=U0，令此方程的通解为：uc=Aept代 入上式：（ ：（RCP+1）Aept=0 入上式：（ ） 特征方程为： 特征方程为：RCP+1=0 uc（t）=Aept ） A=U0 特征根P=-1/RC 因为 （0+）=U0代入 因为U（ 特征根
即经过时间常数 τ后衰减了 63 ⋅ 8 0
工程上认为经过3τ----5τ衰减过程结束 工程上认为经过3 U0 uc
0.368U0
uR
0.135U0
U0/R i
0.368U0/R 0135U0/R
0
τ
2τ
t
τ
2τ
t
放电过程中，电容放能量， 吸收能量，全部吸收的能量： 放电过程中，电容放能量，R吸收能量，全部吸收的能量：
＋
o
−
o
时电路中所求变量的值和（ｎ－ （ｎ－１ ３、初始条件：ｔ＝０＋ 时电路中所求变量的值和（ｎ－１）阶 初始条件：ｔ＝０ ：ｔ＝ 导数的值，ｕ 的值称为独立的初始条件， 导数的值，ｕｃ（０＋）和iＬ（０＋）的值称为独立的初始条件，其 它称非独立初立条件。 它称非独立初立条件。 (1) 、电容 的初始条件：由前面可知，对于线性电容，任时刻 ， 电容C 的初始条件：由前面可知，对于线性电容，任时刻t， 电荷、电压、与电流的关系为： 电荷、电压、与电流的关系为：
。S（t=0） t=0） 。
＋
R1
R2
•
C ＋
iC
U0
－
iL
L
uC
-
•
因为S 打开前， 已恒定不变， 因为S 打开前，i和u已恒定不变，所以 ic(0+) du c di L － =0 = 0 R2 上的电压极 + 性上负下正这是人 R2 ＋ uR2(0 ) dt dt 为规定的. 为规定的. ＋ 在换路时： 在换路时： U0 uL(0+) +）=u （0-）， uc （0 R1 + R 2 － c iL（0+）=iL（0-） iL(0+) （b） ） 可把0+时刻电路 可把0 画出， 画出，C和L用电 压源和电流源代 替（b）
L τ = − − − 时间常数 R
uR i t uL
例6-3已知励磁绕组的电阻R=0.189欧，电感L=0.398H，直流电压U=35V，电压表 已知励磁绕组的电阻R=0.189欧 电感L=0.398H，直流电压U=35V， R=0.189 L=0.398H U=35V 量程为50V 内阻R =5K欧 开关未断开时，电路中电流已恒定不变。 t=0时断 50V， 量程为50V，内阻RV=5K欧，开关未断开时，电路中电流已恒定不变。在t=0时断 开开关， 开开关，求： 1、电阻、电感回路时间常数。 电阻、电感回路时间常数。
+
R2
ic(0+) － uR2(0+)
＋
U0 = − i L (0 + ) R1 + R 2
+
U0R 2 u R 2 (0 ) = − R 2i L (0 ) = − R1 + R 2
+ + +
＋ U0 uL(0+) R1 + R 2 － iL(0+) （b） ）
R 2U0 －R 1 + R 2
＋
U0R 2 U0R 2 u L (0 ) = u R 2 (0 ) + u c (0 ) = − + =0 R1 + R 2 R1 + R 2
6-2
一阶电路的零输入响应(第 周讲 周讲) 一阶电路的零输入响应 第6周讲
零输入响应：即外界的激励为0，在动态元件的初始储能作用下的 零输入响应：即外界的激励为 ， 响应。 响应。 1、RC电路的零输入响应：在S 闭合前，C已充电，其上电压U0 、 电路的零输入响应： 闭合前， 已充电，其上电压 电路的零输入响应 已充电 闭合后：因为u 闭合后：因为 =u ，而u =Ri 。 S（t=0） 。
第六章
一阶电路
６－１ 动态电路的方程及其初始条件 １、动态电路：含有Ｃ或Ｌ的电路，因为列出的方程含有微分积分 动态电路：含有Ｃ 的电路， 特征：当电路的突然变化（电源的断开等）， ），可使电路由一个状态 特征：当电路的突然变化（电源的断开等），可使电路由一个状态 变到另一个状态，这种转变经历一个过程，工程上称过渡过程，这 变到另一个状态，这种转变经历一个过程，工程上称过渡过程， 种变化－－－称为换路，认为换路是在ｔ＝ 时刻进行的。 －－－称为换路 ｔ＝０ 种变化－－－称为换路，认为换路是在ｔ＝０时刻进行的。 －－换路前的最后的时刻 换路经历的时间为： －－换路前的最后的时刻 换路经历的时间为： o − 到 o + －－换路后的最初的时刻 －－换路后的最初的时刻 经典分析法：建立常微分方程、依据初始条件求解（ｕ、ｉ） ２、经典分析法：建立常微分方程、依据初始条件求解（ｕ、ｉ）
放电过程中电容电压表达式。 uc（t）=U0e-1/RC t----放电过程中电容电压表达式。 ） 放电过程中电容电压表达式
du d( U 0 e 电路中电流 i = − c c = − c dt dt 电阻上的电压 u R = u c = U 0e RC = τ - - - -时间常数 u c (t ) = U 0e
2t U0 U 0 ∞ − RC 2 WR = ∫ i ( t )Rdt = ∫ ( e ) Rdt = ∫ e dt 0 0 R R 0 2 2t 2t U 0 ∞ − RC 2t RC 1 2 − RC )( ) = - cU 0 (e ) = ∫ e d( 0 R RC 2 2 1 2 1 2 = - cU 0 ( 0 − 1) = cU 0 2 2 ∞ 2 ∞ − t τ 2
q( t ) = q( t 0 ) + ∫ i (ξ )dξ
t0
t
1t uc ( t ) = uc ( t 0 ) + ∫ ic (ξ )dξ c t0 q(0 ) = q(0 ) + ∫ i (ξ )dξ
+ − 0− 0+
令t 0 = 0 -
t = 0+
1 0+ uc (0 ) = uc (0 ) + ∫ ic(ξ )dξ 当i c为有限值时积分项为 0 c 0− ∴ u c (o + ) = u c (o − )电容电压不能跳变 2、电感L的初始条件：由前面可知； 1 1 t 1 t0 1t 1t 1 0+ − i = ∫ udt = ∫ udξ = ∫ udξ + ∫ udξ = i(t 0 ) + ∫ udξ = i(0 ) + ∫ udξ L L −∞ L −∞ L t0 L t0 L 0−
∴ i = Ae Q i( 0 + ) = i(0 − ) = I 0 代入上式得 A = i(0 + ) = I 0 ∴ i = i(0 )e
+ R - t L R - t L R - t L
= I 0e
R - t L
u R = Ri = RI 0e
R - t di u L = L = − RI 0 e L dt
− t τ
∴ i = 185.2e
3
−12560 t
u v = − R v i = −5 × 10 × 185.2e 4、 (0+ ) = −926 v 、 u
v
−12560 t
= −926e
−12560 t
6-3
一阶电路的零状态响应
零状态响应：指初始条件为 （无储能）， ），在外激励作用下的响应 零状态响应：指初始条件为0（无储能），在外激励作用下的响应 在t=0时，闭合 ，电路接入直流电压 S 。 uR+uc=Us 时 闭合S，电路接入直流电压U 而 u c (0 ) = 0 微分方程
。 ＋ U
－ 。
S 。。
＋
R
i
2、电流i的初始值和开关断开后电流I的最终值。 电流i的初始值和开关断开后电流I的最终值。 3、电流i和电压表处电压uv 电流i和电压表处电压u 4、开关刚断开时，电压表处的电压。 开关刚断开时，电压表处的电压。
uv － R V V
L
L 0.398 τ = = 79.6µs 解：1、 = 、 3 R + Rv 0.189 + 5 × 10 2、(0 − ) = U = 35 = 185.2 A 、 i R 0.189 i(0+ ) = i(0 − ) = 185.2 i(∞ ) = 0 3、 、 Q i = i(0+ )e
+ −
ΨL (t ) = Ψ (t 0 ) + ∫ udξ = Ψ (0 ) + ∫ udξ 令t0=0- t=0+ t 0−
− 0
t
0+
若在0 为有限值，则积分值为0， 若在 -到0+间，uL为有限值，则积分值为 ，所以 + − i L ( 0 ) = i L (o ) 不能跳变， 不能跳变，电感的初始条件 Ψ(0 + ) = Ψ(0 − ) 动态电路的独立条件为： ），一般根椐 一般根椐u 动态电路的独立条件为：uc（o+）和iL（o+），一般根椐 c（0-）和 iL（0- R 2
＋
ic = c
du c dt
uL = L
di L ∴ i c (0-) = 0 u L (0-) = 0 dt
∴ u c (0- ) =
−
U0 R 2 = u c (0 + ) R1 + R 2
U0 i L (0 ) = R1 + R 2 i c (0 + ) = −
例1：图中直流电压源的电压为U0 图中直流电压源的电压为U 当电路的电压和电流恒定不变时， 当电路的电压和电流恒定不变时， 打开S开关， u 打开S开关，试求c（o+）、 L（o+） i ic（o+） uL（o+） uR2（o+） 解：根据t=0-，时刻电路状态计算 根据t=0 uc （o- ） iL （o- ）
−
uR=Ri
i=C
duc dt
RC
duc dt
+uc=US----一阶非齐次线性 一阶非齐次线性 S （t=0） R ） 。。 i ＋ u US
∞ 0
例：图中所示开关S原在位置1，且电路已达稳态。t=0时开关由1合 图中所示开关S原在位置1 且电路已达稳态。t=0时开关由1 时开关由 的电流i 向2，试求t ≥ 0 的电流i（t） R 1 R1=4 Ω 。。 解：在t= o 时，C开路相当于 ＋ 4Ω 2Ω 2。 S（t=0） ＋ 10 × 4 10V u R2 － u c (0 − ) = = 4v C=1F －c 2+4+4 u c (0 + ) = u c (0 − ) = 4 v R1=4 Ω 换路后见 (b), c通过R 1 R 2放电 4Ω R1R 2 ＋ 并联等效电阻 R `= = 2Ω i u R2 R1 + R 2 C=1F －c τ = R `C = 2S （b） ） t − + ∴ u c (t ) = u c (0 )e τ = 4e − 0.5 t
1 − t τ
0.05U0 0.D18 U0
t = τ u c ( τ ) = U 0e -1 = o.368U 0 t = t 0再过τ后u c (t 0 + τ ) = U 0e = U 0e e
−1 1 − t τ (t +τ ) t − 0 τ
= e −1u c (t 0 ) = 0.368u c (t 0 )
−
u c (t ) i(t ) = − = − e − 0 .5 t 4
注意： 注意：负号
R0 S（t=0） i ＋ 电路的零输入响应： 2、R、L电路的零输入响应：S倒 － 。。 1 2 ＋ uR R 之前，电压和电流已恒定， 向2之前，电压和电流已恒定， 。 U0 uL ＋ ＋ -）， i R － 电感中电流I 电感中电流I0=U0/R0=iL（0 uL － +时倒向2，由（b）知： L 在t=0 时倒向2 • － • （b） （a） di uR + uL = 0 u R = Ri u L = L 电路微分方程 dt di L + Ri = 0 dt R pt 令i = Ae ⇒ Lp + R = 0 P = L
−
1 t RC
)
1 1 − RCt U 0e )e = = cU 0 ( − RC R
−
1 t RC
- - - 指数规律误衰减的
t uc(t)
0 U0
τ 0.368 U0
2τ 0.135 U0
3τ
4τ
5τ 0.0067 U0
U 0e i(t ) = R t = 0 u c (0) = U 0
C R R
所以： 所以：c du c R = u 电容上电流由负 − c 到正， 到正，所以有负 U0 dt 号 du c RC + u c = 0 − −一阶齐次微分方程 dt
＋ －
i
＋ -
uc
uR
初始条件： 令此方程的通解为： 初始条件：uc（0-）=uc（0+）=U0，令此方程的通解为：uc=Aept代 入上式：（ ：（RCP+1）Aept=0 入上式：（ ） 特征方程为： 特征方程为：RCP+1=0 uc（t）=Aept ） A=U0 特征根P=-1/RC 因为 （0+）=U0代入 因为U（ 特征根
即经过时间常数 τ后衰减了 63 ⋅ 8 0
工程上认为经过3τ----5τ衰减过程结束 工程上认为经过3 U0 uc
0.368U0
uR
0.135U0
U0/R i
0.368U0/R 0135U0/R
0
τ
2τ
t
τ
2τ
t
放电过程中，电容放能量， 吸收能量，全部吸收的能量： 放电过程中，电容放能量，R吸收能量，全部吸收的能量：
＋
o
−
o
时电路中所求变量的值和（ｎ－ （ｎ－１ ３、初始条件：ｔ＝０＋ 时电路中所求变量的值和（ｎ－１）阶 初始条件：ｔ＝０ ：ｔ＝ 导数的值，ｕ 的值称为独立的初始条件， 导数的值，ｕｃ（０＋）和iＬ（０＋）的值称为独立的初始条件，其 它称非独立初立条件。 它称非独立初立条件。 (1) 、电容 的初始条件：由前面可知，对于线性电容，任时刻 ， 电容C 的初始条件：由前面可知，对于线性电容，任时刻t， 电荷、电压、与电流的关系为： 电荷、电压、与电流的关系为：
。S（t=0） t=0） 。
＋
R1
R2
•
C ＋
iC
U0
－
iL
L
uC
-
•
因为S 打开前， 已恒定不变， 因为S 打开前，i和u已恒定不变，所以 ic(0+) du c di L － =0 = 0 R2 上的电压极 + 性上负下正这是人 R2 ＋ uR2(0 ) dt dt 为规定的. 为规定的. ＋ 在换路时： 在换路时： U0 uL(0+) +）=u （0-）， uc （0 R1 + R 2 － c iL（0+）=iL（0-） iL(0+) （b） ） 可把0+时刻电路 可把0 画出， 画出，C和L用电 压源和电流源代 替（b）
L τ = − − − 时间常数 R
uR i t uL
例6-3已知励磁绕组的电阻R=0.189欧，电感L=0.398H，直流电压U=35V，电压表 已知励磁绕组的电阻R=0.189欧 电感L=0.398H，直流电压U=35V， R=0.189 L=0.398H U=35V 量程为50V 内阻R =5K欧 开关未断开时，电路中电流已恒定不变。 t=0时断 50V， 量程为50V，内阻RV=5K欧，开关未断开时，电路中电流已恒定不变。在t=0时断 开开关， 开开关，求： 1、电阻、电感回路时间常数。 电阻、电感回路时间常数。
+
R2
ic(0+) － uR2(0+)
＋
U0 = − i L (0 + ) R1 + R 2
+
U0R 2 u R 2 (0 ) = − R 2i L (0 ) = − R1 + R 2
+ + +
＋ U0 uL(0+) R1 + R 2 － iL(0+) （b） ）
R 2U0 －R 1 + R 2
＋
U0R 2 U0R 2 u L (0 ) = u R 2 (0 ) + u c (0 ) = − + =0 R1 + R 2 R1 + R 2
6-2
一阶电路的零输入响应(第 周讲 周讲) 一阶电路的零输入响应 第6周讲
零输入响应：即外界的激励为0，在动态元件的初始储能作用下的 零输入响应：即外界的激励为 ， 响应。 响应。 1、RC电路的零输入响应：在S 闭合前，C已充电，其上电压U0 、 电路的零输入响应： 闭合前， 已充电，其上电压 电路的零输入响应 已充电 闭合后：因为u 闭合后：因为 =u ，而u =Ri 。 S（t=0） 。
第六章
一阶电路
６－１ 动态电路的方程及其初始条件 １、动态电路：含有Ｃ或Ｌ的电路，因为列出的方程含有微分积分 动态电路：含有Ｃ 的电路， 特征：当电路的突然变化（电源的断开等）， ），可使电路由一个状态 特征：当电路的突然变化（电源的断开等），可使电路由一个状态 变到另一个状态，这种转变经历一个过程，工程上称过渡过程，这 变到另一个状态，这种转变经历一个过程，工程上称过渡过程， 种变化－－－称为换路，认为换路是在ｔ＝ 时刻进行的。 －－－称为换路 ｔ＝０ 种变化－－－称为换路，认为换路是在ｔ＝０时刻进行的。 －－换路前的最后的时刻 换路经历的时间为： －－换路前的最后的时刻 换路经历的时间为： o − 到 o + －－换路后的最初的时刻 －－换路后的最初的时刻 经典分析法：建立常微分方程、依据初始条件求解（ｕ、ｉ） ２、经典分析法：建立常微分方程、依据初始条件求解（ｕ、ｉ）
放电过程中电容电压表达式。 uc（t）=U0e-1/RC t----放电过程中电容电压表达式。 ） 放电过程中电容电压表达式
du d( U 0 e 电路中电流 i = − c c = − c dt dt 电阻上的电压 u R = u c = U 0e RC = τ - - - -时间常数 u c (t ) = U 0e
2t U0 U 0 ∞ − RC 2 WR = ∫ i ( t )Rdt = ∫ ( e ) Rdt = ∫ e dt 0 0 R R 0 2 2t 2t U 0 ∞ − RC 2t RC 1 2 − RC )( ) = - cU 0 (e ) = ∫ e d( 0 R RC 2 2 1 2 1 2 = - cU 0 ( 0 − 1) = cU 0 2 2 ∞ 2 ∞ − t τ 2
q( t ) = q( t 0 ) + ∫ i (ξ )dξ
t0
t
1t uc ( t ) = uc ( t 0 ) + ∫ ic (ξ )dξ c t0 q(0 ) = q(0 ) + ∫ i (ξ )dξ
+ − 0− 0+
令t 0 = 0 -
t = 0+
1 0+ uc (0 ) = uc (0 ) + ∫ ic(ξ )dξ 当i c为有限值时积分项为 0 c 0− ∴ u c (o + ) = u c (o − )电容电压不能跳变 2、电感L的初始条件：由前面可知； 1 1 t 1 t0 1t 1t 1 0+ − i = ∫ udt = ∫ udξ = ∫ udξ + ∫ udξ = i(t 0 ) + ∫ udξ = i(0 ) + ∫ udξ L L −∞ L −∞ L t0 L t0 L 0−
∴ i = Ae Q i( 0 + ) = i(0 − ) = I 0 代入上式得 A = i(0 + ) = I 0 ∴ i = i(0 )e
+ R - t L R - t L R - t L
= I 0e
R - t L
u R = Ri = RI 0e
R - t di u L = L = − RI 0 e L dt
− t τ
∴ i = 185.2e
3
−12560 t
u v = − R v i = −5 × 10 × 185.2e 4、 (0+ ) = −926 v 、 u
v
−12560 t
= −926e
−12560 t
6-3
一阶电路的零状态响应
零状态响应：指初始条件为 （无储能）， ），在外激励作用下的响应 零状态响应：指初始条件为0（无储能），在外激励作用下的响应 在t=0时，闭合 ，电路接入直流电压 S 。 uR+uc=Us 时 闭合S，电路接入直流电压U 而 u c (0 ) = 0 微分方程
。 ＋ U
－ 。
S 。。
＋
R
i
2、电流i的初始值和开关断开后电流I的最终值。 电流i的初始值和开关断开后电流I的最终值。 3、电流i和电压表处电压uv 电流i和电压表处电压u 4、开关刚断开时，电压表处的电压。 开关刚断开时，电压表处的电压。
uv － R V V
L
L 0.398 τ = = 79.6µs 解：1、 = 、 3 R + Rv 0.189 + 5 × 10 2、(0 − ) = U = 35 = 185.2 A 、 i R 0.189 i(0+ ) = i(0 − ) = 185.2 i(∞ ) = 0 3、 、 Q i = i(0+ )e
+ −
ΨL (t ) = Ψ (t 0 ) + ∫ udξ = Ψ (0 ) + ∫ udξ 令t0=0- t=0+ t 0−
− 0
t
0+
若在0 为有限值，则积分值为0， 若在 -到0+间，uL为有限值，则积分值为 ，所以 + − i L ( 0 ) = i L (o ) 不能跳变， 不能跳变，电感的初始条件 Ψ(0 + ) = Ψ(0 − ) 动态电路的独立条件为： ），一般根椐 一般根椐u 动态电路的独立条件为：uc（o+）和iL（o+），一般根椐 c（0-）和 iL（0- R 2
＋
ic = c
du c dt
uL = L
di L ∴ i c (0-) = 0 u L (0-) = 0 dt
∴ u c (0- ) =
−
U0 R 2 = u c (0 + ) R1 + R 2
U0 i L (0 ) = R1 + R 2 i c (0 + ) = −
例1：图中直流电压源的电压为U0 图中直流电压源的电压为U 当电路的电压和电流恒定不变时， 当电路的电压和电流恒定不变时， 打开S开关， u 打开S开关，试求c（o+）、 L（o+） i ic（o+） uL（o+） uR2（o+） 解：根据t=0-，时刻电路状态计算 根据t=0 uc （o- ） iL （o- ）
−
uR=Ri
i=C
duc dt
RC
duc dt
+uc=US----一阶非齐次线性 一阶非齐次线性 S （t=0） R ） 。。 i ＋ u US
∞ 0
例：图中所示开关S原在位置1，且电路已达稳态。t=0时开关由1合 图中所示开关S原在位置1 且电路已达稳态。t=0时开关由1 时开关由 的电流i 向2，试求t ≥ 0 的电流i（t） R 1 R1=4 Ω 。。 解：在t= o 时，C开路相当于 ＋ 4Ω 2Ω 2。 S（t=0） ＋ 10 × 4 10V u R2 － u c (0 − ) = = 4v C=1F －c 2+4+4 u c (0 + ) = u c (0 − ) = 4 v R1=4 Ω 换路后见 (b), c通过R 1 R 2放电 4Ω R1R 2 ＋ 并联等效电阻 R `= = 2Ω i u R2 R1 + R 2 C=1F －c τ = R `C = 2S （b） ） t − + ∴ u c (t ) = u c (0 )e τ = 4e − 0.5 t
1 − t τ
0.05U0 0.D18 U0
t = τ u c ( τ ) = U 0e -1 = o.368U 0 t = t 0再过τ后u c (t 0 + τ ) = U 0e = U 0e e
−1 1 − t τ (t +τ ) t − 0 τ
= e −1u c (t 0 ) = 0.368u c (t 0 )
−
u c (t ) i(t ) = − = − e − 0 .5 t 4
注意： 注意：负号
R0 S（t=0） i ＋ 电路的零输入响应： 2、R、L电路的零输入响应：S倒 － 。。 1 2 ＋ uR R 之前，电压和电流已恒定， 向2之前，电压和电流已恒定， 。 U0 uL ＋ ＋ -）， i R － 电感中电流I 电感中电流I0=U0/R0=iL（0 uL － +时倒向2，由（b）知： L 在t=0 时倒向2 • － • （b） （a） di uR + uL = 0 u R = Ri u L = L 电路微分方程 dt di L + Ri = 0 dt R pt 令i = Ae ⇒ Lp + R = 0 P = L