高中数学经典题一题多解(一)：解析几何一题多解 21题 53解

32OA OB =+第一种解题思路：
把直线的方程联立椭圆
3OB +
，(,222M x +y)在椭圆:4
C
3,=(，由待定系数法求得2
λ，23OB +第三步：把3
2OM OA OB =+
椭圆上这个条件，但是只提供这就是原题的构造过程.
，过(4,)5
A 且斜率为k 的直线交椭圆(4)5
y k x -=-与:25C +
由2
⎨
⎪(12)
k x
+.又2
6424(1
k
∆=-
22
11,x y ⎧+=⎪
3cos ||||
41a a b k α=
=+134≤
如图，设直线l 与圆222C x y R +=∶(12R <<)相切于A ，与椭圆
2
214
x E y +=∶相切于点B ，当R 为何值时，||AB 取得最大值？并求最大值．
初等解法：
设直线l 的方程为y kx m =+，因为直线l 与圆C ：222x y R +=(12R <<)相切于A ， 所以 2
||1m R k =
+， 即222(1)m R k =+ ①，
因为l 与椭圆2
214x E y +=∶相切于点B ，
由22
14
y kx m x y ++==⎧⎪⎨⎪⎩得22
4()4x kx m ++=， 即222(14)8440k x kmx m +++-=有两个相等的实数解， 则2222226416(14)(1)16(41)0k m k m k m =-+-=-+=⊿， 即22410k m -+=， ②
由①、②可得222
2
223414R m R R k R ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩
， 设11(,)B x y ，由求根公式得1228442(14)km km k
x k m m
=-
=-=-
+， ∴2211441
()k k m y kx m k m m m m -+=+=-+=
=， ∴22
222
1211614||5k OB m R x y +==
=-+=， ∴在直角三角形OAB 中，2222
22244||||||55()AB OB OA R R R R
=-=-
-=-+， 因为
2
2
44R R
+≥，当且仅当2(1,2)R =∈时取等号，所以2||541AB -=≤， 即当2(1,2)R =∈时，||AB 取得最大值，最大值为1．
高等解法：上述解法用的是初等数学的解题方法，即解决二次曲线问题常利用的判别式及根与系数的关系(韦达定理)，包括求根公式；
特别地，对于直线与圆的相切，可利用直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径．
-++ m x x
1)()
⊥．∴MA MB
又 21x x +=)11(
41+-λk )11(42+-λk =k 4-(2
121
λλλλ++2)， ，1λ+2λ=38
-， (1) 21x x =
216k )11(1+λ)11(2+λ=216k (2
11λλ+2121λλλλ++1) ，1λ+2
λ=38
-， (2) 由(1)得: 1λ2λ=)
3(492
--
k ，
由(2)得: 1λ2λ=)3(80)
16(92
2-+-k k . ∴ )
3(49
2--k =)3(80)
16(922-+-k k ，
解得：2k =4.验知⊿>0， ∴k =±2， ∴所求Q 点的坐标是(±2，0).
如果考虑结论中涉及到的1λ+2λ怎样用k 表示，刚才提供的解法二可以演变为下面的
解法三：
1λ+2λ=
441+-kx +442+-kx =-4(411+kx +41
2+kx )=-4×)
4)(4(8)(2121++++kx kx x x k =-4×
16
)(48
)(2121221+++++x x k x x k x x k ，然后把21x x +=
238k k -，21x x =3
19
2
-k 代入上式化简得: 1λ+2λ=
48
3962
-k =38
-，解得：2k =4.验知⊿>0， ∴k =±2， ∴所求Q 点的坐标是(±2，0).
第7题 2012年江苏卷解析几何题的轨迹解法
2012年江苏卷解析几何题的最后一问，命题组提供的答案
充分利用了几何意义.之后，不少杂志上又给出了许多解法，但是这些解法都是利用几何意义找出12,PF PF 与12,AF BF 的关系.本文换一个视角，利用比较纯粹的代数法先求出P 点的轨迹方程，再判断P 点的轨迹为椭圆，然后直接求出12PF PF +是定值． 一、题目：
由点B 在椭圆上知，1222BF BF +=，所以1
1212
=
(22)AF PF BF AF BF -+．
同理，2
2112
=
(22)BF PF AF AF BF -+．
所以1212
122121212
2+=
(22)(22)22AF BF AF BF PF PF BF AF AF BF AF BF AF BF -+-=-+++
由①②得，212222(1)=2m AF BF m +++，21221
=2
m AF BF m ++，
所以1223+=22=222
PF PF -
． 所以12PF PF +是定值．
三、轨迹解法：
（1）椭圆的方程为2
212
x y +=．
（2）（ii ）如右图，设1AF 的延长线交椭圆于1B ， 设(,)P x y ，11()A x y ，，122()B x y ，，
由对称性，22()B x y -，-，其中1200y y ><，，
由（1）得1(10)F -，
，2(10)F ，. 设1AF 的方程分别为1x my =-，
由22
221(2)21=021x y m y my x my ⎧+=⎪⇒+--⎨⎪=-⎩， 显然0>，12222m y y m +=
+，122
1
2
y y m =-+， 因为2,,P F A 共线，且所在直线有斜率，所以
1111
y y
x x =-- ①， 因为1,,P F B 共线，且所在直线有斜率，所以
2211
y y
x x =+- ②，
12111
x x x =+--，122
212122)2()y y m y y m y y =--+
9)3(2222=+-++y x y x ，即0322=-+x y x )33
5
(≤≤x
所以，点M 的轨迹方程为0322=-+x y x )33
5
(≤≤x ．
第10题 一道1985年高考解析几何题的两个优美解
已知椭圆，直线
，
是上一
点，射线
交椭圆于点，又点
在
上，且满足，当点
在上移动时，求点
的轨迹方
程，并说明轨迹是什么曲线.
优美解1
(极坐标法)如图，依题意设
三点的极坐标分别为
.因点
在椭圆
上， 故有，所以①.
又点在直线上，所以有
，即②.
又由
得
③ .
由①②③得，即
，
所以，化为直角坐标方程得
.
又点不能是坐标原点，所以不同时为零，
故点
的轨迹方程是
(
)，
即
，
其轨迹是中心为
焦点在直线
上的椭圆(坐标原点除外).
优美解2(向量方法)依题意设，
设
，则
，因点
在直线上，
故有即①.又点在椭圆上，
所以有即②. 又由
得
即
③.
由①②③得，即，下同法1略.
问题是数学的心脏，问题解决是数学的核心和目标，简单优美是数学的更高追求，根据问题
特点灵活选择恰当的方法使问题得以轻松解决，可从中可体验创造美、发现美、欣赏美的愉悦和成功.
第11题 抛物线对称轴上五个重要点
在抛物线22(0)y px p =>的对称轴上有五个重要的点，即
(0,0)O ，(,0)2p
K -，(,0)2
p F ，(,0)M p ，(2,0)N p ，与这五点
相关的高考试题非常多，本文对这五个点做一个简单的总结，
其中前三个点的研究既用了代数法，又用了几何法，后两个点的研究只用了代数法，希望这个研究方法能对同学们有所启发，在遇到由此改编的试题的时候能够选用恰当的方法．
为了减少作图和便于比较，我们把涉及五点的结论所
需的图形全部放在一个整体的图形中，这个图我们把它叫做五点图，如右图所示：
1、原点(0,0)O 处的三点共线：
过(,0)2
p
F 任作直线交抛物线22(0)y px p =>于A B 、，过
A B 、分别作准线2
p
x =-的垂线，垂足为11A B 、，O 为坐标原点，
则1A O B 、、三点共线，1A O B 、、三点共线． 证法一 几何法
连结1AB 交x 轴于1O 点，由已知11AA FK BB ∥∥， 由抛物线定义11,,AA AF BB BF ==于是
11111111O F BB B K O K O K
BF FA BA BA B A AA FA
=====，
( 2FBB
-∠180，∴
F B F
⊥
解：（1）因为椭圆
由18
4x y +=⎨⎪⎩08
=
≥．又
+ OA OB
221(1k +==
OB OA OB =.,OA OB OA OB =2
整理得: OA 12120x x y y ∴⋅+⋅=．
设M(x,y)是以线段AB 为直径的圆上的任意一点,则MA 12)()(x x y -+22
,OA OB OA OB =整理得: OA 12120x x y y ∴⋅+⋅= (1)
设(x,y)是以线段AB 为直径的圆上则
1
1(y y y y x x --⋅=--,OA OB OA OB =2
整理得: OA
x x⋅
又因
12
x x⋅≠
12
2
所以圆心的轨迹方程为设圆心C到直线
12
x x⋅
又因
12
∴⋅=
x x
2
4(22p p -解法3:
设圆C 的圆心为1x x +⎧=12又因12x x ⋅x x ∴⋅=1
|
4p
d ∴=
5
+
5(14k 时，上式取等号．
2
-
127t
.
()
21712727
t t =
⨯
- ()2
2712712
27
t t +-≤
⨯
37
7
=
. ……12分 当且仅当27127t t =-，即42
7
t =
时，等号成立. ∴ ABC ∆的面积的最大值为
37
7
． …… 14分 第 16题 一道解析几何定值题的2种解法
已知曲线C 是到点)8
3
,21(-P 和到直线
8
5
-=y 距离相等的点的轨迹，l 是过点Q （-1，0）的直线，
M 是C 上（不在l 上）的动点；A 、B 在l 上，x MB l MA ⊥⊥, 轴（如图）。

（Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）求出直线l 的方程，使得|
|||2
QA QB 为常数。

（Ⅰ）解：设()N x y ，为C 上的点，由题设得：
22
135288x y y ⎛⎫⎛⎫++-=+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭．化简，得曲线C 的方程为21()2y x x =+． （Ⅱ）解法一：
设2
2x x M x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭，，直线:l y kx k =+，则
()B x kx k +，，从而2||1|1|QB k x =++．
在Rt QMA △中，因为
222||(1)14x QM x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
， 2
222
(1)2||1x x k MA k ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=+． A
B O
Q y x
l M
=+
kx k
2( 0，显然x≠。