高中数学 第12课时 正弦函数、余弦函数的性质(2)—单调性、最值练习 新人教A版必修4-新人教A版

第12课时 正弦函数、余弦函数的性质(2)——单调性、最值
课时目标
1.理解正、余弦函数单调性的意义，会求其单调区间．
2．会求正、余弦函数的最大(小)值．
识记强化
1．y ＝sin x 单调递增区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k πk ∈Z ，单调递减区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k πk ∈Z .x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，y ＝sin x 取得最大值1，x ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，y ＝sin x 取得最小值－1.
2．y ＝cos x 单调递增区间[－π＋2k π，2k π]k ∈Z ，单调递减区间[2k π，2k π＋π]k ∈Z .x ＝2k π，k ∈Z ，y ＝cos x 取最大值1，x ＝2k π＋π，k ∈Z ，y ＝cos x 取最小值－1.
课时作业 一、选择题
1．函数y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递减区间是( ) A.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π＋5π12(k ∈Z ) B.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋2π3(k ∈Z ) C.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ) 答案：C
解析：∵2k π≤2x －π3
≤2k π＋π，k ∈Z . ∴k π＋π6≤x ≤k π＋23
π，k ∈Z. 2．函数y ＝3cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1取得最大值时，x 的值应为( )
A ．2k π－π3，k ∈Z
B ．k π－π6
，k ∈Z C ．k π－π3，k ∈Z D ．k π＋π6
，k ∈Z 答案：B
解析：依题意，当cos(2x ＋
π3)＝1时，y 有最大值，此时2x ＋π3
＝2k π，k ∈Z ，变形为x ＝k π－π6， k ∈Z .
3．已知函数f (x )＝sin(x －π2
)(x ∈R )，下面结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2π
B ．函数f (x )在区间[0，π2
]上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称
D ．函数f (x )是奇函数
答案：D
解析：f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x ，所以f (x )是偶函数，故D 错． 4．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－
32，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1D.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤12，1 答案：B
解析：由x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3. 故y max ＝cos π6＝32，y min ＝cos 2π3＝－12
. 所以，所求值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，32. 5．函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4
，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2，2π 答案：C
解析：画出y ＝|sin x |的图象，如图． 由图象可知，函数y ＝|sin x |的一个递增区间是⎝
⎛⎭⎪⎫π，3π2. 6．下列关系式中正确的是( )
A ．sin11°<cos10°<sin168°
B ．sin168°<sin11°<cos10°
C ．sin11°<sin168°<cos10°
D ．sin168°<cos10°<sin11°
答案：C
解析：∵sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°，由函数y ＝sin x 的单调性，得sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°. 二、填空题
7．函数y ＝sin(x ＋π)在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π上的单调递增区间为________． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π 解析：因为sin(x ＋π)＝－sin x ，所以要求y ＝sin(x ＋π)在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π上的单调递增区间，即求y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的单调递减区间，易知为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2，π. 8．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝
⎛⎭
⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为________．
答案：π6
解析：令2×43π＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π－136
π，k ∈Z ，当k ＝2时，|φ|min ＝π6
. 9．函数y ＝2＋cos x 2－cos x
的最大值为________． 答案：3
解析：由y ＝2＋cos x 2－cos x ，得y (2－cos x )＝2＋cos x ，即cos x ＝2y －2y ＋1
(y ≠－1)，因为－1≤cos x ≤1，所以－1≤2y －2y ＋1≤1，解得13≤y ≤3，所以函数y ＝2＋cos x 2－cos x
的最大值为3. 三、解答题
10．求下列函数的单调递增区间．
(1)y ＝1－sin x 2
； (2)y ＝log 12 (cos2x )．
解：(1)由题意可知函数y ＝sin x 2
的单调递减区间即为原函数的单调递增区间， 由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32
π(k ∈Z )， 得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π(k ∈Z )．
∴函数y ＝1－sin x 2
的单调递增区间为[4k π＋π，4k π＋3π](k ∈Z )． (2)由题意，得cos2x ＞0，
∴2k π－π2＜2x ＜2k π＋π2
，k ∈Z ， 即k π－π4＜x ＜k π＋π4
，k ∈Z . ∵函数y ＝log 12
x 在定义域内单调递减， ∴函数y ＝cos2x (x ∈(k π－
π4，k π＋π4)，k ∈Z )的单调递减区间即为原函数的单调递增区间，
∴x 只需满足2k π＜2x ＜2k π＋π2
，k ∈Z .
∴k π＜x ＜k π＋π4，k ∈Z . ∴函数y ＝log 12(cos2x )的单调递增区间为(k π，k π＋π4
)，k ∈Z . 11．设a ＞0,0≤x <2π，若函数y ＝cos 2x －a sin x ＋b 的最大值为0，最小值为－4，试求a 与b 的值，并求该函数取得最大值和最小值时x 的值．
解：y ＝cos 2x －a sin x ＋b ＝－(sin x ＋a 2)2＋a 24
＋b ＋1， 由－1≤sin x ≤1，a ＞0，知
①若0＜a 2
≤1，即0＜a ≤2， 当sin x ＝－a 2时，y max ＝a 24
＋b ＋1＝0， 当sin x ＝1时，y min ＝－(1＋a 2)2＋a 24
＋b ＋1＝－4， 解得a ＝2，b ＝－2.
②若a 2
＞1，即a ＞2， 当sin x ＝－1时，y max ＝－(－1＋a 2)2＋a 24
＋b ＋1＝0， 当sin x ＝1时，y min ＝－(1＋a 2)2＋a 2
4
＋b ＋1＝－4， 解得a ＝2，b ＝－2不合题意，舍去．
综上，a ＝2，b ＝－2，
当x ＝3π2时，y max ＝0；当x ＝π2
时，y min ＝－4.
能力提升
12．定义运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ≤b ，b ，a >b .例如：1] .
答案：⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤－1，22 解析：在同一直角坐标系中作出y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，结合a *b 的新定义可知．f (x )
的最小值为－1，最大值为22，故其值域为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－1，22. 13．已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，π4上是增函数，求ω的取值X 围．
解：由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2
(k ∈Z )得 －π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω
(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间是 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z )． 据题意，
⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4⊆⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z )． 从而有⎩⎪⎨⎪⎧ －π2ω≤－π3π2ω≥π4ω>0，解得0<ω≤32
. 故ω的取值X 围是⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，32.。