【数学题】切糕问题：模拟法解决操作问题

【数学题】切糕问题：模拟法解决操作问题
最近听说了所谓“切糕问题”：
⼀块圆柱形的切糕，上⼀半是⽩⾊，⼀半是⿊⾊（也就是说，可以看做两个形状⼤⼩完全相同，⼀⿊⼀⽩的圆柱切糕压紧形成），给定⼀个⾓α（0°<α<360°），现在对这块切糕循环进⾏下列操作：
1.沿着底⾯的⼀条半径竖直切⼀⼑；（不妨把这条半径称为⼑⼝）
2.将⼑⼝逆时针旋转α⾓，沿着半径竖直切⼀⼑，把切糕分成两部分；
3.取出⾓度为α的⼀块（⼑⼝转过的区域），翻转⼀下插回原来的位置，并且压紧，可以认为两块切糕⽆缝粘合在⼀起；
求证：不断重复操作（1~3依次做⼀次称为⼀轮操作），总能使切糕⼜变为上⼀半⽩下⼀半⿊。

容易看出的是，我们只需观察上底⾯的颜⾊情况即可（下底⾯的颜⾊与上底⾯相反）。

下⾯来⼀个α=135°的样例，12轮之后恢复原状：
设360°=kα+β，其中k为正整数，0°<=β<α。

显然当β=0°时，k轮操作后切糕变为上⿊下⽩，再k轮就变为原来的上⽩下⿊，共2k轮，结论成⽴。

下⾯讨论k≠0°的情况。

为了叙述⽅便，设k+1轮操作后，将切糕顺时针旋转α-β⾓，使⼑⼝转回初始状态（显然这不会影响结果），再将切糕的⿊⽩互换（原来⿊⾊部分变为⽩⾊，⽩⾊部分变为⿊⾊，显然，若总共换了偶数次，也不会影响结果，即使这⼏次分开换），并称为⼀次循环。

下⾯以k=5的情况演⽰（这⾥α=70°，β=10°），第⼀次循环的情况（最后⼀个图同时进⾏转切糕，换⿊⽩两个动作）：
可以看到，⼑⼝的顺时针⽅向出现了⼀块⿊⾊区域，⼤⼩为α-β，离⼑⼝较近的⼀边夹⾓为β。

容易证出这对于其它情况也成⽴。

第⼆次循环的情况：
规律开始明显了：⿊⾊区域多了⼀块，⼤⼩仍为α-β，两块⿊区中间夹⾓为β。

仔细对⽐两幅图会发现：第⼀次循环后的⿊区在第⼆次循环时变⽩（当然后来被换成⿊⾊），同时⼜像第⼀次循环末尾⼀样，⽣成了⼀个新的⿊区。

由此我们合理地猜测：后⾯⼏次也是这样的规律。

请看下图：
共过了k次循环，出现了k块⾓度为α-β的⿊扇形区。

有k-1块⽩区⾓度为β，还有⼀块特殊的⽩区——由⼑⼝顺逆时针各转β⾓形成，⾓度为2β。

（不多说什么了，看图吧）
事实上，到此结论已经出来了：“逆时针转着切”的逆过程就是“顺时针转着切”，所以到了上⾯的情况，“顺时针”进⾏k次循环可以变回原状。

⽽且这是⼀个对称局⾯，“顺时针”k次循环与“逆时针”k次循环是⼀样的！所以共进⾏2k次“逆时针”循环就OK 了。

中间插着2k次⿊⽩换，不会影响结果。

于是总共2k次循环，或者说2k(k+1)轮操作，仍然是原来情况，上⾯全⽩。

下⾯放出后k次循环的情况：
⾄此结论已出：对于β≠0°的情况，⽤2k(k+1)轮操作即可回复初始状态。