义务教育阶段的数学抽象素养及其培养

教育学博士，中南民族大学教育学院副院长、二级教授、博士生导师，
中南民族大学教育硕士学位中心主任，湖北民族教育研究中心主任，全国高考数学命题专家，国家义务教育数学课程标准研制组核心成员，高中数学课程标准研制组成员，教育部中学教师专业标准研制组成员、义务教育质量监测专家、教育现代化县级示范区评估专家、哲学社会科学重大重点项目评审专家；主持完成国家、省部级以上科研项目12项；出版专著47部；先后获得教育部第七届高等学校科学研究（人文社会科学）优秀成果奖著作奖、教育部第四届全国教育科学优秀成果奖著作奖、教育部第五届全国教育科学优秀成果奖著作奖等奖项。

孔凡哲
数学抽象是一种特殊的抽象，其特殊性表现为：数学抽象的对象是“空间形式和数量关系”；数学抽象的对象既可以是现实世界中的空间形式和数量关系，也可以是数学思维中的空间形式和数量关系。

数学抽象素养是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养，具体表现为：能从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，能从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，用数学语言予以表征。

培养学生的数学抽象素养，必须从数学抽象素养的特点出发，结合相关的数学课程内容有针对性地进行。

一、把握数学抽象的层次性，还原数学抽象过程，培养学生的数学抽象素养
数学教学中，学生亲身经历数学抽象的具体过程，积淀数学抽象的直接经验，接受数学抽象的思维训练，才能提升数学抽象思维水平，养成运用数学抽象思维主动思考问题、分析解决问题的习惯，逐步生成数学抽象素养。

第一，日常数学课堂教学中，要长期坚持渗透数学抽象思想。

学生的数学抽象素养不是简单经历几次抽象过程就能够形成的，需要在日常课堂教学中长期坚持、逐级渗透，不宜操之过急。

第二，相同领域课堂教学中，需要反复渗透数学抽象过程，保持不同领域之间的同步性。

例如，在“数与代数”领域“认识数”与“学习多位数的计算”时，都可以用小棒与计数器帮助学生实现数学抽象过程。

“数的认识”是在静态层面上的数学抽象过程，“多位数的计算”是在动态层面上进行的数学抽象过程。

同时，学习相同领域数学知识时，多次反复经历数学抽象过程，也有助于学生实现更高层次的抽象。

第三，在不同数学领域的课堂教学时，需要根据
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各领域特点选择适宜的方法实现数学抽象过程，体现不同学科领域的各自属性。

例如，学习“平面图形的认识”时，可以通过用立体图形的一个面（沾上颜色印在纸上）印、彩描棱（边），用投影将立体图形投在墙上，或者用刀切胡萝卜等方式，帮助学生经历从立体图形到平面图形的抽象过程。

这种数学抽象过程与学习计算时的抽象过程是不同的，但“抽象了的东西源于现实世界，是人抽象出来的”却是相同的。

第四，数学课堂教学中的数学抽象过程要具有层次性。

一节数学课要帮助学生经历数学抽象过程，但这种抽象过程不能仅停留在一个层面，要循序渐进、环环相扣，不同层次的数学抽象过程之间既要有联系，也要有区别，这样才有利于促进学生的抽象素养发展。

二、在获得数学概念和规则中经历抽象的过程，发展数学抽象素养
数学概念和数学规则都是通过抽象得到的。

学生学习数学不仅仅是获得数学概念、数学规则等事实性的知识和技能，让学生经历数学概念、数学规则等抽象过程，还可以培养学生的数学抽象素养。

【案例1】“两位数加一位数的进位加法”的“十位”的抽象：27+5=？
如图1，27表示“两盒鸡蛋+一盒不满的鸡蛋”，另有5
个鸡蛋。

一共有几个鸡蛋呢？
27个鸡蛋
5个鸡蛋
图1
借助生活经验，学生很自然地将5个鸡蛋中的3个拿出来，填补在第三盒鸡蛋的3个空位上，即将空位补齐，凑成一整盒，剩余2个鸡蛋。

当然，也有学生会从7个中拿出5个，与5个散装的鸡蛋凑成一盒，剩余2个散的鸡蛋。

这就是将5分成3与2的和，而3与27凑成30，因而结果是32；或者将7分成5与2的和，而5与5凑成10，因而，结果是32。

这是最朴素的“凑十进位”，这里的“一（整）盒”就是最直接、最
形象的“十位”，属于典型的借助“实物”的直接抽象。

初学“两位数加一位数”时，尽管大部分学生已经知道“个位数字、十位数字分别相加”，但他们并不知道算理——为什么必须这样计算。

让学生亲身经历“实物抽象（用实物摆出27+5）→半符号抽象（理解算式27+5的意义）→符号抽象（用竖式计算27+5）”的过程，即使是对于那些已经学过“两位数加一位数的进位加法”的学生来说，也是一次温习的过程，是一次经历数学抽象、培养数学抽象素养的过程。

三、在提出数学命题和模型中经历抽象的过程，发展数学抽象素养
【案例2】一个两位数自乘规律的发现
个位为5的两位数自相乘得到的数，一定是个位为5、十位为2、百位与千位是这个两位数的十位数字与其大1的数字的积。

比如，75×75，7与比其大1的数字8之积是56，于是自乘的结果是5625。

其课堂教学设计是：
（1）计算15×15、25×25，你能发现什么规律？（2）你发现的规律对其他类似问题成立吗？比如，用45×45验证你的猜想。

（3）你发现的规律对更一般的形式，比如◆5×◆5成立吗？这里的◆是1，2，3，…，9中的某个数字。

（4）对于任意一个两位数◆5，如何验证你的发现总是成立呢？
此时，继续采用数字或者自己选定的符号“◆”，就无法与更多的人交流，必须采用字母，比如，用a 表示十位上的数字，此时，这个两位数可表示为简单
代数式10a +5，于是，◆5×◆5就变成了（10a +5）×（10a +5）。

能由此验证你的发现吗？
上述案例设计的真正意图在于，在巩固“两位数乘两位数”基本技能的过程中，让学生再次经历归纳、猜测的思维过程、推理过程，获得“个案1、…、个案n →抽象归纳出共性规律，猜测其普适性→验证自己的猜测→用符号表达一般结论”的直接经验和体验，经历一次“数学家式”的思考，感受智慧产生的过程，体验创新的快乐，进而真正体会从归纳猜想到演绎论证的过程，感受字母表示数的魅力，发展数学抽象素养。

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四、在形成数学方法与思想中经历抽象的过程，发展数学抽象素养
两位数加（减）一位数是小学数学一年级下册最基础、最重要的单元，常规的复习方法是将相关知识杂乱无章地堆砌在一起（如图2）。

这种方式能让学生获得相对系统的知识结构，但他们体会不出其中的规律，
感受不出其中所蕴含的思想方法。

图2
将相关内容按照图3的方式进行复习：先计算各个算式，你发现了什么规律？
学生独立完成图3的各式，就会发现，“□1-6=？”在方法的本质上等价于“11-6=？”，从第二行到第九行的所有算式，都可以归结为第一个算式“11-6=？”，也就是只需要拿出一个整十，用它减6，而其他的整十不动即可。

换句话说，“□1-6=？”本质上等价于“11-6=5”，是11=6+5的逆运算。

进行完图3的独立计算、合作交流、梳理规律之后，请学生独立完成图4（先想一想，再动手做），学生就会发现图4中的这组算式本质上等价于“13-7=6”，只要计算出一个算式，其余算式都可以迅速完成。

同样地，在小学一年级上册“十以内的加法”复习课中，让学生独立填写图5并寻找规律，学生都能印证a+b =b+a 规律的正确性，更重要的是能体会出数学规律的美。

图3图4图5通过具体算式抽象出共性规律，不仅能帮助一年级学生提高计算技能、计算能力，而且能引导他们
在经历数学思想方法的抽象过程中积淀数学抽象的直接经验，发展数学抽象素养。

五、在认识数学结构与体系中经历抽象的过程，发展数学抽象素养
在小学数学图形面积公式的单元教学中，教师组织学生开展如图6所示的活动：
b
a
S=ab
S=ah
a b
b
a a S=ah÷2a
a
h h h 转化
转化
转化
S=（a+b ）h÷2
图6
1.抽象过程
规定边长为单位长度1的正方形的面积为一个面积单位，那么，对于长为a 、宽为b 的长方形（矩形），以面积单位去度量，这个长方形可以被b 行、每行a 个的面积单位所覆盖，一共有ab 个面积单位，从而，长为a 、宽为b 的长方形的面积为S=ab 。

对于底为a 、高为h 的平行四边形，采用切割的方法，沿着高将平行四边形分割为两块，将割下的三角形块平移到右侧，使三角形的斜边与平行四边形的另一条斜边重合。

此时，底为a 、高为h 的平行四边形就变成了长为a 、宽（高）为b 的长方形，而且其面积没有发生改变，从而，底为a 、高为h 的平行四边形的面积为S=ah 。

对于底为a 、高为h 的三角形，将三角形旋转360o ，使得旋转前后的底边相互平行，将旋转前后的两个三角形拼在一起，得到一个底为a 、高为h 的平行四边形，它的面积为S=ah 。

从而，底为a 、高为h 的三角形的面积为S=ah÷2。

对于上底为a 、下底为b 、高为h 的等腰梯形，将其旋转360o ，使得旋转前后的底边相互平行，将旋转前后
的两个等腰梯形拼在一起，得到一个底为a+b 、高为h 的平行四边形，它的面积是S=（a+b ）h 。

从而，上底为a 、下底为b 、高为h 的等腰梯形的面积为S=（a+b ）h÷2。

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2.类化过程
作为上述过程的逆过程，采用动态软件体现图形面积之间的变化，可以充分体现平面图形面积之间的关联，再现数学抽象的逆过程（如图7）。

上下底边趋于相等小扇形趋于三角形
两腰趋向垂直于底一条底趋于0四条边趋于相等
S=ah÷2
S=ah
S=ab
S=a 2
S=（a+b ）h÷2
S=πr 2
图7
对于上底为a 、下底为b 、高为h 的等腰梯形，变化下底b 使其等于上底a ，同时，变化高h 使其等于上底a ，此时，等腰梯形变成边长为a 的正方形，从而面积S =(a+b)h÷2=a 2。

对于上底为a 、下底为b 、高为h 的等腰梯形，变化腰使得两条腰垂直于底（此时，下底b 等于上底a ），等腰梯形变成长为a 、宽为b 与高h 相等的长方形，从而面积S=（a+b ）h ÷2=ab 。

对于上底为a 、下底为b 、高为h 的等腰梯形，变化下底b 使其等于0，此时，等腰梯形变成底为a 、高为h 的三角形，从而面积S=（a+b ）h ÷2=ah ÷2。

对于半径为r 的圆，将其分割为若干个大小相等的小扇形，每个小扇形可以看作是一个底为圆弧、高为r 的“三角形”，所有“三角形”的底围成一个圆，其周长为2πr ，从而，圆的面积为S=a 1r ÷2+a 2r ÷2+…+a n r ÷2=（a 1+a 2+…+a n ）r ÷2=πr 2。

对于上底为a 、下底为b 、高为h 的等腰梯形，变化下底b 使其等于上底a ，此时，等腰梯形变成底为a 、高为h 的平行四边形，从而面积S=(a+b)h ÷2=ah 。

在上述过程中，学生不仅能够系统掌握平面图形的面积公式，认识图形面积的结构，而且经历了一次再抽象和类化的过程，发展了数学抽象素养。

责任编辑姜楚华“学以成人”是2018年第二十四届世界哲学大会的主题。

其哲学意蕴在于，人是通过主体性、反思性、生命化的学习实践建构和完成自己的。

当前，学校教育需要深入思考和探索“学以成人”这一教育命题，引导教师“让学”（促进学生智慧地学习，走向生命成长的自主和自觉）、学生“向学”（保持对学习的热情、志趣和内在动
力）、师生“共学”（在对话交流、教学相长中协同发展）。

学以成人：学习
如何走向生命自觉
湖北大学教育学院教授、博士生导师，湖北省高等学校人文社会科学重点研究基地“湖北中小学素质教育研究中心”主任，湖北省人民政府咨询委员会特邀专家，教育部高等学校教育学类专业教学指导委员会委员、普通高等学校本科教学工作院校评估专家、中小学校长国家级培训专家、“国培计划”专家，担任中国教育学会教学论专业委员会常务理事，中国伦理学会教育伦理学专业委员会常务理事，湖北省教育学会教育学专业委员会副理事长，曾任湖北大学教育学院院长，主要研究领域为教育哲学、课程与教学论、教师教育、智慧教育，享受湖北省人民政府专项津贴。

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