圆的切线的性质及判定定理

A
O
B
D
练习3 若Rt△ABC内接于⊙O,∠A=30°. 延长斜边AB到D，使BD等于⊙O的半径, 求证：DC是⊙O的切线.
分析:如图
C
300600
. A
300 1200 600 600
O
B
D
练习1.如图A是⊙O外的一点，AO的延长线交 ⊙O于C，直线AB经过⊙O上一点B，且AB＝BC， ∠C＝30°. 求证：直线AB是⊙O的切线.
证明：连结OB,
∵OB=OC,AB=BC,∠C=30°
B
∴∠OBC=∠C=∠A=30° ∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°
C O
A
∴∠ABO=180°－(∠AOB+∠A)
O
l
根据作图,直线l是⊙O切线满足两个条件： A B
1.经过半O的半径 OA⊥l于A
l是⊙O的切线.
定理说明：在此定理中，题设是“经过半径的外端” 和“垂直于这条半径”，结论为“直线是圆的切 线”， 两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线. 下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线不是圆的切线：
例２ 如图，AB是⊙O的直径, C为⊙O上一点， AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D. 求证： AC平分∠DAB．
证明：连接OC．
∵CD 是⊙O的切线， ∴OC⊥CD.
D C
又∵AD⊥CD , ∴OC//AD. A
∴∠ACO＝ ∠CAD .
O
B
又∵OC=OD, ∴∠CAO＝ ∠ACO
∴∠CAD＝ ∠CAO , 故AC平分∠DAB．
O.
A
l
O.
A
l
B
３．应用：
例１ 如图，AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D，
DE⊥AC. 求证：DE是⊙O的切线．
证明：连接OD．
C
∵BD＝CD，OA=OB, ∴OD是△ABC的中位线. ∴OD//AC.
E
D
B
又∵ ∠DEC＝90°, ∴ ∠ODE＝90°.
A
O
又∵ D在圆周上, ∴ DE是⊙O的切线.
=180°－(60°+30°) =90° ∴ AB是⊙O的切线.
题目中“半径”已有， 只需证“垂直”,即可 得直线与圆相切.
练习2．已知：如图，AB是⊙O的直径，D在AB的 延长线上，BD＝OB，C在圆上，∠CAB＝30°, 求证：DC是⊙O的切线.
证明：连OC、BC，
C
∵AO＝OC， ∴∠OCA＝∠A＝30°, ∴∠BOC＝60°. ∴△BOC是等边三角形. ∴BD＝OB＝BC， ∠D＝∠BCD＝30°. ∴∠DCO＝90°. ∴DC⊥OC. ∴DC是⊙O的切线.
1 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
因为经过一点只有一条直线与已知直线垂直， 所以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点； 反之,过切点且垂直于切线的直线也一定过圆心. 由此得到：
切线的性质定
理的推论１:经
过圆心且垂直
O.
于切线的直线
必经过切点． l
A
切线的性质定 理的推论２:经 过切点且垂直 于切线的直线 必经过圆心．
2.
如图,点A是⊙O与直线l的公共点,且 l⊥OA .在直线 l
上任取异于点A的点B,则△OAB是 Rt△．
而OB是Rt△ OAB的斜边，因此，都有OB>OA,即B 一定点在圆外．由点B的任意性可知，圆与直线只有
一个公共点，因此 l 是圆的切线．由此可得：
切线的判定定理：经过半 径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线．