2015北京中考数学试题及答案

2015年北京中考题数学题含答案
一、 选择题（本题共32分，每题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的
1．2的相反数是（ ）．
A ．2
B ．2-
C ．12-
D ．12
2．据报道，某小区居民李先生改进用水设备，在十年内帮助他居住小区的居民累计节水300000吨，将
300000用科学计数法表示应为（ ）．
A ．60.310⨯
B ．5310⨯
C ．6310⨯
D ．43010⨯
3．如图，有6张扑克牌，从中随机抽取1张，点数为偶数的概率（ ）．
A ．
16 B ．14 C ．13
D ．12
4．右图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）．
A ．圆锥
B ．圆柱
C ．正三棱柱
D ．正三棱锥
5．某篮球队12名队员的年龄如下表所示：
则这12A ．18，19 B ．19，19 C ．18，19.5 D ．19，19.5
6．园林队公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积S （单位：平方米）与工作时间t （单位：
小时）的函数关系的图像如图所示，则休息后园林队每小时绿化面积为（ ）． A ．40平方米 B ．50平方米 C ．80平方米 D ．100平方米
7．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，22.5A ∠=︒，4OC =，CD
的长为（ ）．
A ．
B ．4
C ．
D ．8
8．已知点A 为某封闭图形边界的一定点，动点P 从点A 出发，沿其边界顺时
针匀速运动一周，设点P 的时间为x ，线段AP 的长为y ，表示y 与x 的
函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（ ）．
二．填空题（本体共16分，每题4分）
9．分解因式：24ay 9x a -=___________________．
10．在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时测得一根旗杆的影长为
25m ，那么这根旗杆的高度为_________________m ．
11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为2．写出一个函数(0)k
y k x
=
≠使它的图象与正方形OABC 有公共点，这个函数的表达式为______________．
12．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)P x y ，我们把点(1,1)P y x '-++叫做点P 伴随点，一直点1A 的伴
随点为2A ，点2A 的伴随点为3A ，点3A 的伴随点为4A ，这样依次得到点1A ，2A ，3A …，n A …，若点1A 的坐标为(3,1)，则点3A 的坐标为__________，点2014A 的坐标为__________；若点1A 的坐标为(,)a b ，对于任意正整数n ，点n A 均在x 轴上方，则a ，b 应满足的条件为_____________．
三．解答题（本题共30分，每小题5分）
13．如图，点B 在线段AD 上，BC DE ∥，AB ED =，BC DB =． 求证：A E ∠=∠．
14．计算：()3-3tan30----+⎪⎭
⎫
⎝⎛+ 1
5160
π．
15．解不等式2
1
32121-≤-x x ，并把它的解集在数轴上表示出来．（添加图）
16、已知x-y=3
,求代数式（x+1 )2 - 2x + y(y-2x) 的值．
17、已知关于x 的方程mx 2-(m+2)x+2=0（m≠0)． (1) 求证：方程总有两个实数根；
(2) 若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值．
18．列方程或方程组解应用题
小马自驾私家车从A地到B地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动汽车所需电费27．已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0．54元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费．
19．如图，在ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF 交于点P，连接EF．PD．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．
20．根据某研究院公布的2009-2013年我国成年国民阅读调查报告的部分数据，绘制的统计图表如下：
2013年成年国民2009~2013年成年国民
倾向的阅读方式人数分布统计图年人均阅读图书数量统计表
根据以上信息解答下列问题：
（1）直接写出扇形统计图中m的值；
（2）从2009到2013年，成年国民年人均阅读图书的数量每年增长的幅度近似相等，估算2014年成年国民年人均阅读图书的数量约为_______本；
（3）2013年某小区倾向图书阅读的成年国民有990人，若该小区2014年与2013年成年国民的人数基本持平，估算2014年该小区成年国民阅读图书的总数量约为_____本．
21．如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中
点，CE的延长线交切线DB于点F，AF交⊙O于点H，连结BH．
（1）求证：AC=CD；
（2）若OB=2，求BH的长．
22．阅读下面材料：
小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．
E
图1 图2
小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
请回答：∠ACE的度数为___________，AC的长为_____________．
参考小腾思考问题的方法，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，
AE=2，BE=2ED，求BC的长．
五．解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，-2），B（3，4）．
（1）求抛物线的表达式及对称轴；
（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．
24．在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．
（1）依题意补全图1；
（2）若∠PAB=20°，求∠ADF的度数；
（3）如图2，若45°<∠PAB < 90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．
25． 对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0，对于任意的函数值y ，都满足-M≤y≤M ，则称这个函数是有界函数．在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．
（1） 分别判断函数y=x
1（x > 0）和y= x + 1（-4 < x ≤ 2）是不是有界函数？若是有界函数，求边界值；
（2） 若函数y=-x+1（a ≤ x ≤ b ，b > a ）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b 的取值范围； （3） 将函数2(1,0)y x x m m =-≤≤≥的图象向下平移m 个单位，得到的函数的边界值是t ，当m 在什么
范围时，满足 14
3
≤≤t ？
2015年北京高级中等学校招生考试
数学答案
一.
二.
三. 解答题（本题共30分，每小题 5
分）：
13．（本小题满分5分）
证明：∵ BC ∥DE
∴ ∠ABC = ∠EDB ；
在△ABC 和△EDB 中：
AB = ED ；
∠ABC = ∠ EDB ； BC = DB ；
∴ △ABC ≌ △EDB ； ∴ ∠A = ∠E
14.（本小题满分5分）
解：原式 =
=
=
15.（本小题满分5分） 解： 移项得：
；
合并同类项得：
系数化为1： x ≥
在数轴上表示出来：
16.（本小题满分5分） 解：化简代数可得： 原式 =
= =
∵
∴ 原式 =
= 4
17.（本小题满分5分）
（1）证明：可知△
=
=
=
=
= ≥0
∴方程总有两个实数根。

（2）解：由公式法解方程可得：
∴x1 =x2 =
由题意：方程的两个实数根均为整数
∴ x2必为整数；
又∵ m为正整数；
∴ m = 1或者2。

18.（本小题满分5分）
解：（方法不唯一）设A、B两地距离为x千米
由题意可知：
解得：x = 150
∴纯电动汽车每行驶一千米所需电费为：
四.解答题（本题共20分，每小题满分5分）：
19.（本小题满分5分）
（1）证明：∵因为ABCD是平行四边形
∴ AB∥CD；AD∥CB
∵ AE平分∠BAD；BF平分∠ABC；
∴∠BAE = ∠DAE；∠ABF = ∠CBF；
可知：∠DAE = ∠BEA；∠EBF = ∠AFB；
∴∠ABF = ∠AFB ；∠BAE = ∠AEB
∴ AB = BE；AB = AF；
∵ AF ∥ BE
∴四边形ABEF为菱形
（2）解：作PH⊥AD
∵∠ABC = 60°，AB = BE；
∴△ABE为等边三角形；
∴ AE = AB = 4；∠DAE = 60°；
∵ ABEF为菱形；
∴ P点为AE中点；
∴ AP = 2；
可知：AH = 1；
PH = ；
∵ AD = 6；
∴ DH = 5；
PH =
H
∴ tan∠
ADP =
20.（本小题满分5分）
（1）66；
（2）5.01；
（3）7575.
21.（本小题满分5分）
（1）证明：连接CO
∵ BD为⊙O的切线，AB为直径；
∴∠ABD = 90°；
∵C点为弧AB中点；
∴∠COA = 90°
∴CO∥BD；
∵O点为AB中点；
∴点C为AD中点；即：AC = CD （2）解：∵CO⊥AB；E为OB中点；OB =2；
∴OE = 1 = BE；
∵CO ∥FD
∴△COE ≌△FBE
∴BF = CO = 2；
∵AB为直径；
∴∠AHB = 90°=∠ABF；
∵∠BFH = ∠AFB
∴△ABF ∽△BHF
∴
；
∴BH：FH：BF = 1：2：；∵BF = 2；
∴
BH =
=
22.（本小题满分5分）
（1）75°，3
（2）解：过点D作DF⊥AC；
∵∠BAC = 90°；
∴ AB∥DF
∵ BE = 2ED；
∴
；
∵AE = 2；
∴EF = 1；
∴AF = 3；
∵∠CAD = 30°；∠AFD = 90°；
∴
DF = ；AD = 2；
∵∠CAD = 30°，∠ADC = 75°；∴∠ACD = 75°；即AC = AD
F
可知：AC = AD =2
∵ DF =
∴AB = 2
∴△ABC 为等腰直角三角形；
∴BC = ·AB = 2
五.解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）：
23.（本小题满分7分）
解：（1）∵y=2x2+ mx+ n经过点A（0，-2），B（3，4）
代入，得：
n = -2
18+3m+n =4
∴m = -4；n = -2
∴抛物线的表达式为：y =
∴对称轴为：x = -1
（2）由题意可知：C（-3，-4）
二次函数的最小值为－4；
由图像可以看出D点坐标最小值即为－4；
最大值即BC的解析式：
当x = 1时，y =
∴－4 ≤t ≤
24.（本小题满分7分）
解：（1）补全图形如图所示：
25.（本小题满分8分）。