矩形、菱形与正方形(解析版)2018年数学全国中考真题-1

2018年数学全国中考真题
矩形、菱形与正方形（试题一）
解析版
一、选择题
1. （2018四川内江，11，3）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已
知∠BDC＝62°，则∠DFE的度数为（）
A．31° B．28° C．62° D．56°
【答案】D
【思路分析】因为∠DFE＝∠ADB＋∠EBD，要求∠DFE的值，则需分别求∠ADB、∠EBD，而由矩形对边平行，及轴对称的性质可知∠EBD＝∠CBD＝∠ADB，利用∠ADB与∠BDC互余，即可出∠DFE的度数．
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC＝90°，∵∠BDC＝62°，∴∠ADB＝90°－62°＝28°，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，根据题意可知∠EBD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠EBD＝28°，∴∠DFE＝∠ADB＋∠EBD＝56°．故选择D．
【知识点】矩形性质，等腰三角形性质，平行线性质
2.（2018山东滨州，7，3分）下列命题，其中是真命题的为（）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
【答案】D
【解析】等腰梯形是一组对边平行，另一组对边相等的四边形，但等腰梯形不是平行四边形，所以A选项是假命题；对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，对角线互相垂直但不互相平分的四边形不是菱形，所以B选项是假命题；对角线相等且互相平分的四边形是矩形，对角线相等但不互相平分的四边形不是矩形，所以C选项是假命题；只有选项D是真命题．
【知识点】平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定
3.（2018浙江衢州，第8题，3分）如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E 处，若∠AGE=32°，则∠GHC等于（）
第8题图
A ．112°
B ．110°
C ．108°
D ．106°
【答案】D
【解析】本题考查了翻折变换（折叠问题）；矩形的性质、平行线性质等知识点. 根据折叠前后角相等可知∠DGH=∠EGH ，∵∠AGE=32°,∴∠EGH=74°，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠AGH=∠GHC=∠EGH+∠AGE ， ∴∠GHC=106°，故选：D ．
【知识点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质、平行线性质；
4. （2018甘肃白银，8，3）如图，点E 是正方形ABCD 的边DC 上一点，把△ADE 绕点A 顺时针旋转90°到
△ABF 的位置。

若四边形AECF 的面积为25，DE=2,则AE 的长为（ )
A.5
B. 23
C.7
D.29
【答案】D.
【思路分析】由旋转性知四边形AECF 的面积与正方形的面积相等，从而得到正方形的面积等于25，边长为5，于是在直角三角形ADE 中由勾股定理可求出AE 的长。

【解题过程】∵△ADE 绕点A 顺时针旋转90°到△ABF
∴△ADE ≌△ABF
∴=ABCD AECF S S 正方形四边形=25
∴正方形的边长AD=CD=5
∴在RT △ADE 中，AE=22AD DE +=225229+=.
故选D
【知识点】正方形的性质及面积公式，旋转的性质即旋转前后图形的形状大小相等面积相等。

第8题图
5. （2018年山东省枣庄市，10，3分）如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形，线段AB 的端点都在小矩
形的顶点上，如果点P 是某个小矩形的顶点，连接PB PA ,，那么使ABP 为等腰三角形的点P 的个数是（ ）
A ． 2个
B ． 3个
C ．4个
D ．5个
【答案】B
【思路分析】首先由正方形的对边相等找到小矩形的长与宽的数量关系，其次利用网格作图中作垂线的方法找出符合题意的点，并注意分类思想的渗透．
【解题过程】如下图，设每个小矩形的长与宽分别为x 、y ，则有2x ＝x ＋2y ，从而x ＝2y ．因为线段AB 是1×2的矩形对角线，所以根据网格作垂线可知，过点B 与AB 垂直且相等的线段有BP 1和BP 2，过点A 与AB 垂直且相等的线段有BP 3，且P 1、P 2，P 3都在顶点上，因此满足题意的点P 共有3个，故选择B ．
【知识点】网格作图；等腰直角三角形
6.（2018山东威海，12，3分）如图，正方形ABCD 中，AB ＝12，点E 为BC 中点，以CD 为直径作圆CFD ，点F 为半圆的中点，连接AF ，EF ，图中阴影部分的面积是( )
A ．18＋36π
B ．24＋18π
C ．18＋18π
D ．12＋18π
P 2
P 3
P 1
A
B
第10题图 B
A
【答案】C
【思路分析】要求阴影部分面积需将其进行转换，可以通过取CD的中点，将△ADM的面积转化到△ADF中，求出其面积，同理，可以求出三角形CEF的面积，利用阴影部分面积的转化，求出结果．
【解题过程】如图，取CD的中点M，连接AM、EM、DF、CF，MF；
S半圆CFD＝1
2πr2＝1
2
π×62＝18π，S△CDF＝1
2
×12×6＝36，
∵点F是半圆的中点、M是CD的中点，故MF垂直CD，所以AD∥MF，
又∵△ADF、△ADM的底相同，高相等，∴S△ADF＝S△ADM＝1
2
×12×6＝36．
同理，S△CEF＝1
2
×6×6＝18，∴S阴影部分＝S△ADF＋S△CEF＋S半圆CFD－S△CDF＝18π＋18．
【知识点】阴影部分面积，三角形面积、圆的面积、转化思想
7.（2018山东烟台，9，3分）对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O 折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕．若B′M=1，则CN的长为（）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【解析】（法一，排除法）连接AC，BD，∵菱形ABCD，AC=6，BD=8，∴CO=3，DO=4，CO⊥DO，∴CD=5，而CN<CD，∴CN<5，故排除A，B，C，故选D．
（法二，正确推导）可证△BMO≌△DNO，∴DN=BM，∵折叠，∴B′M=BM=1=DN，由法一知，CD=5，∴CN=4．
【知识点】菱形的性质；折叠的性质；勾股定理，全等三角形的性质与判定.
8. （2018四川省宜宾市，8，3分）在△ABC 中，若O 为BC 边的中点，则必有：AB 2+AC 2=2AO 2+2BO 2成立.依据以
上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG 中，已知DE=4，EF=3，点P 在以DE 为直径的半圆上运动，则PF 2 +PG
2的最小值为（ ）
A.10
B.192
C.34
D.10
【答案】D
【思路分析】取GF 的中点为O ，连接PO ，则根据材料可知PF 2 +PG 2=2PO 2+2OG 2=2PO 2+2×22=8+2OP 2，若使PF 2 +PG
2的值最小，则必须OP 的值最小，所以PO 垂直于GF 时PO 的值最小，即此时才有最小值.
【解题过程】取GF 的中点为O ，连接PO ，则根据材料可知PF 2 +PG 2=2PO 2+2OG 2=2PO 2+2×
22=8+2OP 2，若使PF 2 +PG 2的值最小，则必须OP 的值最小，所以PO 垂直于GF 时PO 的值最小，
此时PO=1，所以PF 2 +PG 2的最小值为10.
【知识点】阅读理解题；矩形的性质
9.（2018天津市，11，3） 如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，P 为对角线BD 上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP 最小值的是（ ）
A ．A
B B ．DE C.BD D ．AF
【答案】D
【解析】分析：本题考查正方形的性质，轴对称的性质，取CD 中点E ′连结AE ′、PE ′，根据正方形是轴对称图形，可得EP=E ′P ,AF= AE ′，结合图形由线段公理可得AE ′为AP+EP 最小值，进而可得结果.
解：取CD 中点E ′连结AE ′、PE ′,
由正方形的轴对称性质，可知EP=E ′P ,AF= AE ′
∴AP+EP=AP+ E ′P ,
∴AP+EP 最小值是A E ′,
即AP+EP 最小值是AF.
故选D
【知识点】正方形的性质；轴对称；线段公理
10. （2018浙江杭州，8，3分） 如图，已知点P 是矩形ABCD 内一点（不含边界），设
1234,,,.PAD PBA PCB PDC θθθθ∠=∠=∠=∠=若8050O O APB CPD ∠=∠=，,则（ ）
A.
01423++)30θθθθ=（）-( B. 0
2413++)40θθθθ=（）-( C.
01234++)70θθθθ=（）-( D. 01234++)180θθθθ=（）+( 【答案】A
【思路分析】把矩形的内角为90°，转化为两个角的和，根据三角形的内角和，可得几个角的和，然后运用等式的性质进行加减
【解题过程】000221=180-80-=100-θθ∠，000443=180-50-=130-θθ∠，00001213431+=90-=103+=90-=10θθθθθθ∠∴∠∴，，，，A 。

12434321-+-=---=-=θθθθθθθθ000（）401030；
C 、
D 无法拼出21124334----θθθθθθθθ或、、；B. 02143-+-==+=40θθθθ≠000401050
【知识点】三角形的内角和为180°，矩形的内角都为90°
11. （2018浙江温州，10，4）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个
正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（ ）
A. 20
B. 24
C. 994
D. 532
,
【答案】B
【思路分析】设矩形的两条边长为x,y 利用对角线是a+b=7,所以x 2+y 2=49,再利用分割成一个正方形和两对全等的直角三角形所以x-y=1用完全平方公式得xy 的值即为矩形的面积
【解题过程】设矩形的两条边长为x,y 利用对角线是a+b=7,所以x 2+y 2=49,再利用分割成一个正方形和两对全等的直角三角形所以x-y=1用完全平方公式得（x-y ）2=1，x 2-2xy+y 2=1,49-2xy=1, -2xy=-48,所以xy=24即为矩形的面积为24所以答案为24
【知识点】矩形的性质，勾股定理，完全平方公式的变形，矩形的面积公式
1. （2018四川遂宁，4，4分） 下列说法正确的是（ ）
A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
B．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形
C．矩形的对角线互相垂直平分
D．六边形的内角和是540°
【答案】B.
【解析】解：A选项，三角形的其中两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等，故错误；B选项，正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，故正确；
C选项，矩形的对角互相平分，且相等，不垂直，故错误；
D选项，六边形的内角和为720°，故错误.
故选B.
【知识点】全等三角形的判定，矩形的对角线性质，轴对称图形，中心对称图形，多边形内角和公式
2.（2018甘肃天水，T6，F4）如图所示，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，OE∥AB交AD于点E.若OE=3，
BC=8，则OB的长为（）
A.4
B.5
C.√34
D.√34
2
【答案】B.
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AB∥CD，AB=CD，点O是AC的中点.
∵OE∥AB，
∴OE∥CD，
∴OE是△ACD的中位线，
∴CD=2OE=6，
∴AB=6.
在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，
∴AC=10.
∵OB是Rt△ABC斜边的中线，
AC=5.
∴OB=1
2
【知识点】矩形的性质，中位线的性质
3.（2018湖南省湘潭市，5，3分）如图，已知点E、F、G．H分别是菱形ABCD各边的中
点，则四边形EFGH是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．平行四边形
【解析】连接AC和BD，
，
∵E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点，
∴EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH=FG= BD，EF=HG= AC，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴EF⊥FG，
∴▱EFGH是矩形.
【知识点】中点四边形；菱形的性质；矩形的判定；平行四边形的判定
4.（2018江苏淮安，6，3）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8,则这个菱形的周长是
A.20
B.24
C.40
D.48
（第6题）
【答案】A
【解析】分析：由菱形性质可知其对角线互相垂直且平分，再由勾股定理可得结果.
解：设菱形的对角线于O，则BO=4,CO=3
在Rt△BOC中，由勾股定理可得5
BC==
所以菱形的周长为：5×4＝20
故选：A．
【知识点】菱形的性质;勾股定理
5.（2018山东省日照市，8，3分）如图，在四边形BCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO=CO，
BO=DO，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是（）
A.AB=AD
B.AC=BD
C.AC⊥BD
D.∠ABO=∠CBO.
【解析】∵AO =CO ，BO =DO ，∴四边形ABCD 是平行四边形.
当AB =AD ，根据邻边相等的平行四边形是菱形，能判定四边形ABCD 是菱形；
当AC =BD ，根据对角线相等的平行四边形是矩形，不能定四边形ABCD 是菱形；
当AC ⊥BD ，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，能判定四边形ABCD 是菱形；
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC .
∴∠ADB =DBC .
∵∠ABO =∠CBO ，∴∠ABO =∠ADO .
∴AB =AD ，∴四边形ABCD 是菱形.
故选B .
【知识点】平行四边形的判定 菱形的判定
6.（2018·新疆维吾尔、生产建设兵团，7，5）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ．现将其沿AE
对折，使得点B 落在边AD 上的点B 1处，折痕与边BC 交于点E ，则CE 的长为 （ ）
A ．6cm
B ．4cm
C ．3cm
D ．2cm
【答案】D ．
【解析】由折叠可知，AB 1＝AB ＝6cm ，且四边形ABEB 1是正方形，从而BE ＝AB ＝6cm ，故CE ＝BC －BE ＝8－6＝2（cm ），因此选D ．
【知识点】矩形的性质；折叠；正方形的判定与性质
7. （2018·新疆维吾尔、生产建设兵团，9，5）如图，点P 是边长为1的菱形ABCD 对角线AC 上的一个动点，
点M ，N 分别是AB ，BC 边上的中点，则MP ＋PN 的最小值是 （ ）
A ．12
B ．1 C
D ．2
【答案】B ．
【解析】如下图，取AD 的中点M '，连接M 'N 交AC 于点P ，则由菱形的轴对称性可知M 、M '关于直线AC 对称，从而P M '＝PM ，此时MP ＋PN 的值最小，而易知四边形CD M 'N 是平行四边形，故M 'N ＝CD ＝1，于是，MP ＋PN 的最小值是1，因此选B ．
B 1E D
C B A N
M P
D
B C A
【知识点】菱形的性质；轴对称；最小值；动态问题；最值问题
8. （2018四川攀枝花，10，3）如图4，在矩形ABCD 中，E 是AB 边的中点，沿EC 对折矩形ABCD ，使B 点落在点P 处，折痕为EC ，连结AP 并延长AP 交CD 于F 点，连结C P 并延长CP 交AD 于Q 点。

给出以下结论：①四边形AECF 为平行四边形；②∠PBA =∠APQ ；③△FPC 为等腰三角形；④△APB ≌△EPC.其中正确结论的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】B
【思路分析】由对折可得全等三角形，进而得到线段相等和角相等等结论，再结合已知条件可证①②正确，③④错误。

【解析】由四边形ABCD 是矩形，得△EBC 是直角三角形，由对折可知△EBC ≌△EPC ,且CE ⊥BP ，所以，EB=EP ，∠1=∠2，又点E 是AB 的中点，所以AE=EB=EP ,∠3=∠4，所以∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∠2+∠3=90°，所以AF ⊥BP ，所以AF ∥EC ，由四边形ABCD 是矩形，得AE ∥FC ,所以，四边形AECF 是平行四边形，从而①正确；∵∠EPC =90°，∴∠3+∠6=90°，又∠5=∠6，∴∠3+∠5=90°，又∠2+∠3=90°，∴∠2=∠5=∠1，即∠PBA =∠APQ ，从而②正确；只有当∠6=∠7时，△FPC 才会成为等腰三角形，但题目并没有给出足够的条件保证∠6=∠7，所以③错误；△APB ≌△EPC 需要特定的条件，即∠1=30°，条件也没有给出，所以④错误。

【知识点】矩形的性质，轴对称性质，全等三角形，等腰三角形。

9.（2018四川自贡，12，4分）如图，在边长为a 正方形ABCD 中，把边BC 绕点B 逆时针旋转60°，得到线段BM ,连接AM 并延长交CD 于N ,连接MC ,则⊿MNC 的面积为（ ）
A.
2 B.21a 2
C.2
31
a
4
-
D.2
21
a
4
-
【答案】C
【解析】如图所示，过点N作CM
NE⊥交CM于点E，
根据旋转的性质，
60
=
∠CBM，a
AB
BM
BC=
=
=
∴BCM
∆是等边三角形，且
30
=
∠
=
∠DCM
ABM,
75
)
180
(
2
1
=
∠
-
=
∠
=
∠ABM
BMA
BAM
∴
45
60
75
180
180=
-
-
=
∠
-
∠
-
=
∠BMC
BMA
CMN
∴EMN
∆是等腰直角三角形
设x
EM
EN=
=，则x
EC3
=，
∴a
x
x=
+3，解得
2
)1
3
(a
x
-
=，即
2
)1
3
(a
EN
-
=
∴2
4
1
3
2
)1
3
(
2
1
2
1
a
a
a
EN
CM
S CMN
-
=
-
⋅
=
⋅
⋅
=
∆
【知识点】旋转的性质，三角形的面积，解直角三角形，等腰三角形，等边三角形
10.（2018河南，10，3分）如图1,点F从菱形ABCD的顶点A出发,沿A→D→B以1cm/s速度匀速运动到点
B．图2是点F运动时,△FBC的面积y（cm²）随时间x（s）变化的关系图象,则a的值为
（A）5（B）2 （C）
5
2
（D）25
【思路分析】从题干和图1可知，当点F在边AD上运动时，△FBC的面积保持不变；当点F沿D→B运动时，△FBC的面积逐渐减小，F到达点B时，△FBC面积为0. 从图2可以看出，当0<x≤ a时，总有y=a；当a<x<a+ 5时，y 随x的增大而减小，且为一次函数关系. 因此可以得出，菱形边长为a，菱形对角线DB=5，点F在边AD上运动时，△FBC的面积为a. 根据题意，作出△FBC的高，利用三角形面积和勾股定理即可求出a值.【解题过程】解：如图，在边AD上任取一点F，作FH⊥BC于点H，作DG⊥BC于点G.则DG=FH.
N
M
D
A
B C
图2
图1
（第10题）
x/s
y/cm2
a
a+5
a
F
D
A
C
B O
由题意知BC=CD=AD=a , S △FBC =S △DBC =a,DB=5
∵S △DBC =
21·BC·DG=21·a·DG=a ∴DG =2
在RtΔDBG 中，∠DGB =90°,DB=5, DG =2
∴BG =12-522=
在RtΔDCG 中，∠DGC =90°, DG =2 , DC =a , CG =a -1
由勾股定理得，a 2=(a -1)2+22 , 解得a =2
5. 故答案为C. 【知识点】菱形的性质，三角形面积，勾股定理
11. （2018 湖南张家界，7，3分）下列说法中,正确的是 ( )
A 两条直线被第三条直线所截,内错角相等
B 对角线相等的平行四边形是正方形
C 相等的角是对顶角
D 角平分线上的点到角两边的距离相等
【答案】D
【解析】选项A ，两条平行线被第三条直线所截,内错角相等，故选项A 错误；
选项B ，对角线相等，且互相垂直平分的平行四边形式正方形，故选项B 错误；
选项C ，对顶角相等，故选项C 错误；
选项D ，角平分线上的点到角两边的距离相等，故选项D 正确. 故选择D.
【知识点】内错角，正方形，对顶角，角平分线
12. （2018浙江省台州市，6，3分）
下列命题正确的是（ ）
A ．对角线相等的四边形是平行四边形
B ．对角线相等的四边形是矩形
C ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】C
【解析】A ：对角线相等的四边形有可能是梯形，所以A 选项错误；
B ：对角线相等的四边形有可能是梯形，所以B 选项错误；
C ：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确
D ：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以D 选项错误；
故选C
【知识点】平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定
13. （2018江苏省宿迁市，7，3） 如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为CD 的中点，若
菱形ABCD 的周长为16，∠BAD ＝60°，则△OCE 的面积是（ ）
A ．3
B ．2
C ．23
D ．4
【答案】A
【解析】，过点E 作AC 的垂线，垂足为F ．∵菱形ABCD 的周长为16，∴AD ＝CD ＝4．∴OE ＝CE ＝2． ∵∠BAD ＝60°，∴∠COE ＝∠OCE ＝30°．∴EF ＝1，CF ＝3．∴OC ＝23．∴△OCE 的面积是2
1×23×1＝3．故选A ．
【知识点】菱形的性质
14. （2018陕西，8，3分） 如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 和DA 的中点，连接EF 、FG 、GH 和HE ．若EH =2EF ，则下列结论正确的是（ ）
A ．A
B =2EF B ．AB =2EF
C ．AB =3EF
D ．AB =5EF
【答案】D
【思路分析】连接AC 、BD 交于点O ．利用中位线性质和菱形的性质证明EF =AO ，EH ＝BO ，结合菱形的对角线互相垂直，用勾股定理求线段AB 与AO 的关系，即得出AB 与EF 的关系．
【解题过程】连接AC 、BD 交于点O ．
第7题图 A
B C
D O
E 第7题答图 A B
C
D O
E
F
∵E ，F 分别为AB 、BC 的中点，
∴EF =1
2AC ．
∵四边形ABCD 为菱形，
∴AO =1
2AC ，AC ⊥BD ．
∴EF =AO ．
同理：EH =BO ．
∵EH =2EF ．
∴BO =2AO ．
在Rt △ABO 中，设AO =x ，则BO =2x ．
∴AB =22(2)55x x x +==AO ．
∴AB =5EF ，故选择D ．
【知识点】菱形的性质，中位线的性质，勾股定理
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
O
35. 36. 37.
38. 39. 二、填空题
1.（2018山东滨州，19，5分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，点E ，F 分别在BC ，CD 上，若AE ＝5，∠EAF ＝45°，则AF 的长为___________．
第19题图
【答案】4103
【解析】取AD 、BC 中点M 、N ，由AD ＝4，AB ＝2，易得ABNM 是正方形，连接MN ，EH （此处忽略EF ，以
免影响），由∠HAE ＝45°，四边形ABNM 是正方形，可知此处有典型的正方形内“半角模型”，故有EH ＝MH ＋BE 。

由AB ＝2，AE ＝5，易知BE ＝1，所以EN ＝BN －BE ＝2－1＝1，设MH ＝x ，由M 是AD 中点，△AMH ∽△ADF 可知，DF ＝2MH ＝2x ，HN ＝2－x ，EH ＝MH ＋BE ＝x ＋1，在Rt △EHN 中有222EN HN EH +=，
故22212)(1)x x +-=+（，解得x ＝23，故DF ＝43
，故AF ＝224103AD DF +=
第19题答图
【知识点】矩形的性质 勾股定理
补充公众号中的23种解法：
https:///s?__biz=MzUyMzQ1NTI5Nw==&mid=2247484222&idx=1&sn=a6459ba33f52c63af01bfceb 8cb9fa8e&chksm=fa3d1d10cd4a9406ac73dbb349ed7b07a31a17dd69979f99fed90703c9c20fbe56ae3bc7bc82&mpshare =1&scene=23&srcid=06143Avo97y8L0Muoknkbri6#rd
A B C D
E
F
A B C D
E F
M
H N
2. （2018浙江金华丽水，15，4分）如图2，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD 内，装饰图中的三角形顶点E ，F 分别在边AB ，BC 上，三角形①的边GD 在边AD 上，则
AB
BC
的值是 ．
【答案】
21
4
+． 【解析】设如图1中正方形的边长为2x ，则
AB BC =AE EB
AG GD
++=24x x x +=214+．故答案为214+．
【知识点】正方形的性质；矩形的性质；平行四边形的性质；勾股定理
3. （2018山东潍坊，16，3分）如图，正方形ABCD 的边长为1，点A 与原点重合，点B 在y 轴的正半轴上，
点D 在x 轴的负半轴上，将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°至正方形AB ′C ′D ′的位置，B ′C ′与CD 相交于点M ，则点M 的坐标为 .
图1 图2
A D
C
E
G
① 第15题图
【答案】（－1，
3
3
）
【思路分析】连接AM，证明Rt△AB′M≌Rt△ADM，求出∠ADM=30°，解直角三角形求得DM的长，注意M在第二象限，即可求出点M的坐标.
【解题过程】连接AM，
在Rt△AB′M和Rt△ADM中，
AB′=AD，AM=AM,
∴Rt△AB′M≌Rt△ADM
∴∠DAM=∠B′AM=
9030
30
2
︒-︒
=︒
在Rt△ADM中，
tan30°=
DM
AD
∴DM=ADtan30°=1×
3
3
=
3
3
.
∴M（－1，
3
3
）.
【知识点】图形与坐标，正方形，全等三角形的判定和性质，解直角三角形
4.（2018·重庆B卷，16，4）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，CD是斜边AB上的中线，将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置，连接AE．若DE∥AC，计算AE的长度等于．
【答案】23．
【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，CD是斜边AB上的中线，
16题图
E
D
C B
A
∴CD＝1
2
AB＝DA＝DB．
令∠B＝x°，则∠DCB＝∠B＝x°，
由翻折知，DE＝DB，∠ECD＝∠DCB＝x°＝∠CED．∵DE∥AC，
∴∠ACE＝∠CED＝x°．
∴由∠ACB＝90°，得3x＝90，x＝30，从而∠B＝30°，于是AC＝1
2 AB．
在Rt△ABC中，tan B＝AC
BC
，得AC＝BC tan B＝6tan30°＝
∴AC∥DE，AC＝DE，从而四边形ACDE是平行四边形．
又∵CD＝DE，
∴四边形ACDE是菱形．
∴AE＝AC＝
【知识点】翻折直角三角形菱形三角函数
5. (2018山东青岛中考，12，3分)已知正方形ABCD的边长为5，点E F
、分别在AD DC
、上，AE=DF=2，BE 与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为．
【答案】
2
【解析】∠四边形ABCD是正方形，∠AB=AD=BC=CD=5，∠BAD=∠D=∠C=90°．又∠AE=DF，∴△ABE≌△DAF，
∴∠DAF=∠ABE，∴∠ABE+∠BAG=90°，∠BGF=∠BGA=90°．在Rt△BCF中，CF=3，∴
BF=
= Rt∠BGF中，点H为BF的中点，∴GH=
1
2
．
【知识点】正方形的性质；全等三角形的性质与判定；勾股定理；直角三角形的性质；
O
E
D
C B
A
6.（2018四川省德阳市，题号16，分值：3）如图，点D为△ABC的AB边上的中点，点E为AD的中点，△ADC
，③∠ECD=∠DCB，④若AC=2，点P是AB上一动点，为正三角形，给出下列结论，①CB=2CE，②tan∠B=3
4
点P到AC，BC边的距离分别为d1，d2，则d12+d22的最小值是3.其中正确的结论是____（填写正确结论的番号）.
【答案】①③④.
【解析】①由题意得，AE=DE，AD=BD=CD.
∵△ACD是正三角形，
∴∠CDA=60°，CE⊥AD，
∴∠B=∠DCB=30°.
在Rt△BCE中，∠B=30°，CB=2CE.
②∵∠B=30°，
.
∴tan∠B=√3
3
③在正△ACD中，CE是△ACD的中线，
∠ACD=30°，
∴∠ECD=1
2
∴∠ECD=∠DCB.
④如图，PM=d1，PN=d2.
在Rt△MPN中，d12+d22=MN2，
∵∠ACB=∠CMP=∠CNP=90°，
∴四边形MPNC为矩形，
∴MN=CP.
要使d12+d22最小，只需MN最小，即PC最小，当CP⊥AB时，
即P与E重合时，d12+d22最小，
，
在Rt△ACE中，cos∠ACE=CE
AC
∵AC=2，∠ACE=30°，
∴CE=AC·cos30°=√3，则CE2=3，
∴d12+d22的最小值为3.
所以正确的有①③④.
【知识点】等边三角形的性质，特殊角的三角函数，矩形的判定
7.（2018四川省宜宾市，16，3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3,CB=2,点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE 折叠，使点B落在矩形内点F处，下列结论正确的是（写出所有正确结论的序号）
①当E为线段AB中点时，AF∥CE；
②当E 为线段AB 中点时，AF=9
5
；
③当A 、F 、C 三点共线时，AE= 13 – 213
3
；
④当A 、F 、C 三点共线时，△CEF ≌△AEF.
【答案】①②③
【思路分析】①中可以结合折叠的性质以及三角形外角的性质得到；②中可以根据AA 证明三角形相似，得到对应边成比例，从而求出AF 的长；③中可以设BE=x ，根据直角收纳侥幸AEF 中三边满足勾股定理求出；④中可以根据③中线段的长度大小判断三角形是否全等.
【解题过程】由折叠的性质可知CF=CB ，∠CFE=90°，∠CEB=∠CEF,∵E 为BC 中点，∴BE=EF=AE=
3
2
，∴∠FAE=∠AFE ，∵∠FEB=∠FAE+∠AFE ，∴∠CEB=∠CEF=∠FAE=∠AFE,∴AF ∥CE ，故①正确；∵BE=
3
2
,BC=2，∴CE=52,过点E 作EM ⊥AF 垂足为M ，∵∠AFE=∠FEC,EM ⊥AF ，∠CFE=90°，∴△MFE ∽△FEC ，∴MF EF
EF EC =，
即3
23522
MF =,∴MF=910,∴AF=9
5；故②正确；∵A 、F 、C
三点共线，∴∠AFE=90°，
BE=x,则2，在
RT △AFE )
()2
2
223x x +=
-，解得,∴AE=3-x=
13 – 213
3
，故③正确；∵2，CF=2，∴AF ≠CF ，∴④错误.
【知识点】三角形相似；等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；折叠的性质1. （2018甘肃天水，T16，
F4）如图所示，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相较于点O.若AC=6，BD=8，AE ⊥BC ，垂足为E ，则AE 的长为____.
B
A
【答案】24
5.
【思路分析】
首先根据菱形的性质可知△ABO 是直角三角形及两直角边的长，再根据勾股定理求出AB ，然后根据△ABC 的面积相等得出答案即可. 【解析】∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB=BC ，AC ⊥BD ，AO=1
2
AC=3，BO=1
2
BD=4.
在Rt △ABO 中，AB=5， ∴BC=5.
S △ABC =1
2
AC ·BO=1
2
BC ·AE ，
即AE=24
5
.
【知识点】菱形的性质，勾股定理
2. （2018广东广州，14，3分）如图，若菱形ABCD 的顶点A ，B 的坐标分别为（3，0），（－2，0）点D 在y
轴上，则点C 的坐标是_______．
【答案】（－5，4） 【解析】由A （3，0），B （－2，0），得AO ＝3，AB ＝5；在菱形ABCD 中，CD ＝AD ＝AB ＝5；在Rt △AOD 中，由勾股定理得，OD 4，所以C (－5，4)．
【知识点】菱形的性质；勾股定理；点的坐标
3. （2018江西，10，3分）如图，在矩形ABCD 中，AD ＝3，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转，得到矩形AEFG ，点B 的对应点E 落在CD 上，且DE ＝EF ，则AB 的长为________．
第10题图
x
y C
D
A
B O 22AD AO
【答案】3 2.
【解析】∵AD ＝EF ＝DE ＝3，∠D ＝90°，∴AE 2＝AD 2＋DE 2＝18，∴AE ＝AB ＝18＝3 2.
【知识点】矩形，旋转，勾股定理
4. （2018广东省深圳市，15，3分）如图，四边形ABCD 是正方体，∠CEA 和∠ABF 都是直角且点,,E A B 三
点共线，4AB =，则阴影部分的面积是 ．
【答案】8． 【思路分析】
【解析】解：∵四边形ABCD 是正方体，∴AC ＝AF ，∠CAF ＝90°，∠CEA 是直角，∴∠CAE ＋∠BAF ＝90°，
∠CAE ＋∠EAC ＝90°，∴∠EAC ＝∠BAF ，则在△ACE 和△F AB 中，∵90AEC ABF EAC BAF AC AF ∠∠=︒∠∠=⎧⎪
⎨⎪⎩
＝＝，∴△ACE ≌△F AB
（AAS ），∴AE ＝CE ＝4，∴阴影部分的面积S △ABC ＝
12
AB ·CE ＝
12
×4×4＝8．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的性质和判定；三角形的面积公式；阴影部分面积
5. （2018武汉市，14，3分）以正方形ABCD 的边AD 作等边△ADE ，则∠BEC 的度数是___________ 【答案】30°或150° 【解析】如答图（1），∵△ADE 是等边三角形，∴DE ＝DA ，∠DEA ＝∠1＝60°；∵四边形ABCD 是正方形，∴DC ＝DA ，∠2＝90°；∴∠CDE ＝150°，DE ＝DC ，∴∠3＝
001
(180150)2
-＝15°.同理可求得∠4＝15°.∴∠BEC ＝30°. 如答图（2），∵△ADE 是等边三角形，∴DE ＝DA ，∠1＝∠2＝60°；∵四边形ABCD 是正方形，∴DC ＝DA ， ∠CDA ＝90°；∴DE ＝DC ，∠3＝30°，∴∠4＝
001
(18030)2
-＝75°. 同理可求得∠5＝75°.∴∠BEC ＝360°―∠2―∠4―∠5＝150°.故答案为30°或150°.
4
3
2
1
E
D C
B
A 54
3
2
1
A B
C
D E
第14题答图（1） 第14题答图（2） 【知识点】正方形的性质 等边三角形的性质
15．6.（2018四川攀枝花，15，4） 如图5，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =3，矩形内部有一动点P 满足
ABCD PAB S s 矩形3
1
=∆，则点P 到A 、B 两点的距离之和P A +PB 的最小值为 .
【答案】24
【解析】设△PAB 中AB 边上的高是h ， ∵ABCD PAB S s 矩形31=∆，∴AD AB h AB ⋅=⋅3
1
21， ∴23
2
==
AD h ，∴动点P 在与AB 平行且与AB 的距离是2的直线L 上，如图，作点A 关于直线L 的对称点A'，链接AA',BA',则BA'即为所求的最短距离。

在,422,4=+='='∆A A AB A AB Rt 中， ∴24442222=+='+=
'A A AB A B ，即。

的最小值为24PB PA +
【知识点】
7. （2018四川自贡，18，4分）如图，在⊿ABC 中，AC BC 2,AB 1===,将它沿AB 翻折得到⊿ABD ,则 四边形ADBC 的形状是 形，点P E F 、、分别为线段AB AD DB 、、的任意点，则PE PF +的最小值是 .
【答案】菱形
4
15 【解析】∵BC AC =，∴ABC ∆是等腰三角形
将ABC ∆沿AB 翻折得到ABD ∆，∴BD AD BC AC ===，∴四边形ADBC 是菱形 ABC ∆沿AB 翻折得到ABD ∆，∴ABC ∆与ABD ∆关于AB 成轴对称
如图所示，作点E 关于AB 的对称点'E ，根据轴对称的基本性质，
AB 垂直平分'EE ，∴'PE PE =，∴PF PE PF PE +=+'，
∴要求PF PE +的最小值，即在线段AC 、AB 、BD 上分别找点'E 、P 、F ，使PF PE +'值最小，根据“两点之间，线段最短”即''FE PF PE =+最小，'FE 最小值即为平行线AC 与BD 间的距离. 由题知2==BC AC ，1=AB ，BAD CAB ∠=∠ ∴BAD CAB ∠=∠cos cos ,即1221
AG ==，4
1
=AG ,
在ABG Rt ∆中，415
161122=-=-=AG AB BG ∴''FE PF PE PF PE =+=+的最小值为
4
15
.
【知识点】菱形的判定，轴对称的基本性质，平行线间距离，解直角三角形
8. （2018浙江省台州市，16，5分）
如图，在正方形ABCD 中，3AB =，点E ，F 分别在CD ，AD 上，CE DF =，BE ，CF 相交于点G .若
A B
图中阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为2:3，则BCG ∆的周长为 ．
【答案】【思路分析】通过正方形的边长可以求出正方形的面积，根据“阴影部分的面积与正方形的面积之比为2:3”可以求出空白部分的面积；利用正方形的性质可以证明ΔBCE ≌CDF ，一是可以得到ΔBCG 是直角三角形，二是可以得到ΔBCG 的面积，进而求出BG CG=3；利用勾股定理可以求出22+=9BG CG ，这样就可以求出
，因而ΔBCG 的周长就可以表示出来了.
【解题过程】∵在正方形ABCD 中，AB=3，
∴2ABCD ==9S 3正方形，
∵阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为2:3，
∴空白部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为1:3，
∴=3S 空白，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴BC=CD ，∠BCE=∠CDF=90°
∵CE=DF,
∴ΔBCE ≌CDF(SAS)
∴∠CBE=∠DCF,
∵∠DCF+∠BCG=90°,
∴∠CBE+∠BCG=90°,
即∠BGC=90°，ΔBCG 是直角三角形 易知BCG FGED 3==
S S 2∆四边形，∴BCG 13=BG CG=S 22∆， ∴BG CG=3，
根据勾股定理：222+=BG CG BC ，即22+=9BG CG
∴222=+2BG CG+=9+23=15BG+CG BG CG ⨯（），
∴，
∴ΔBCG 的周长=BG+CG+BC=
【知识点】正方形的性质，三角形的面积；全等三角形的判定与性质；勾股定理；一元二次方程的解法；
三、解答题
1. （2018四川内江，18，9）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 、F分别是AB、BC上的点，AE＝
CF，并且∠AED＝∠CFD．
求证：（1）△AED≌△CFD；
（2）四边形ABCD是菱形．
【思路分析】（1）根据平行四边形对角相等可得∠A＝∠C，再结合AE＝CF，∠AED＝∠CFD即可得出结论；（2）由（1）△AED≌△CFD得AD＝DC，再结合四边形ABCD是平行四边形，可得四边形ABCD是菱形．【解题过程】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，在△AED≌△CFD中，
A C
AE CF
AED CFD
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
∴△AED≌△CFD（ASA）；（2）由（1）得△AED≌△CFD，∴AD＝DC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定
2. （2018浙江金华丽水，24，12分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12．点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F、G．
（1）如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形．
①若点G为DE中点，求FG的长．
②若DG=GF，求BC的长．
（2）已知BC=9，是否存在点D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．
【思路分析】本题综合考查了三角形、四边形的判定与性质．（1）①由勾股定理可得AG，由相似三角形的性质得
FG
AF
＝
EG
AC
＝
1
2
，进而得FG的方程方程值；②根据题意先证得∠1＝∠2（设为x），∠1＝∠2＝∠B＝∠3＝x．根据三角形内角和定理列方程，解得x＝30°．
在Rt△ABC中，由BC＝
tan30
AC
可得解．
（2）存在．分情况讨论：①点D在线段BC上；②点D在线段BC的延长线上，且直线AB，CE的交点在AEF A
B
D
C
F
G
E
第24题图
上方；③点D 在线段BC 的延长线上，且直线AB ，EC 的交点在BD 下方；④点D 在线段CB 的延长线上．
【解题过程】解：（1）①在正方形ACDE 中有DG ＝GE ＝6．
在Rt △AEG 中，AG
＝
∵EG ∥AC ，∴△ACF ∽△GEF ． ∴
FG AF ＝EG AC ，∴FG AF ＝612＝12
． ∴FG ＝13AG ＝
②如图1,在正方形ACDE 中, AE ＝ED ，∠AEF ＝∠DEF =45°，
又EF ＝EF ，∴△AEF ≌△DEF ．
∴∠1＝∠2（设为x ）．
∵AE ∥BC ，∴∠B ＝∠1＝x ．
∵GF ＝GD
∴∠3＝∠2＝x ．
在△DBF 中，∠3＋∠FDB ＋∠B =180°，
∴x ＋（x ＋90°）＋x ＝180°,解得x ＝30°，
∴∠B =30°．
∴在Rt △ABC 中，BC ＝tan 30AC ＝
． （2）在Rt △ABC 中，AB
＝15．
如图2,当点D 在线段BC 上时,此时只有GF ＝GD ．
∵DG ∥AC ，∴△BDG ∽△BCA ．
设BD ＝3x ，则DG ＝4x ，BG ＝5x ，
∴GF ＝GD ＝4x ，则AF ＝15－9x ，
∵AE ∥CB ，∴△AEF ∽△BCF ，
（图1）
C （图2）C A。