两个重要极限的证明

两个重要的极限
1．证明：0sin lim 1x x x
→= 证明：如图（a ）作单位圆。

当0<x<
2
π时，显然有ΔOAD 面积<扇形OAD 面积<ΔOAB 面积。

即111sin 222x x <<tgx ，sinx<x<tgx 。

除以sinx ，得到11sin cos x x x
<< 或sin 1cos x x x >>。

（1） 由偶函数性质，上式对02x π-<<时也成立。

故（1）式对一切满足不等式0||2x π<<的x 都成立。

由0lim x →cosx=1及函数极限的迫敛性定理立刻可得0lim x →sin 1x x
=。

函数f(x)=sin x x
的图象如图（b ）所示。

2．证明：1lim(1)n n n →∞+存在。

证明：先建立一个不等式，设b>a>0，于是对任一自然数n 有 11
(1)n n n b a n b b a
++-<+-或11(1)()n n n b a n b b a ++-<+-，整理后得不等式1[(1)]n n a b n a nb +>+-。

（1） 令a=1+11
n +，b=1+1n ，将它们代入（1）。

由于11(1)(1)(1)(1)11n a nb n n n n +-=++-+=+， 故有111(1)(1)1n n n n ++>++，这就是说1{(1)}n n
+为递增数列。

再令a=1，b=1+12n
代入（1）。

由于11(1)(1)(1)22n a nb n n n +-=+-+=，故有111(1)22n n >+，12(1)2n n >+。

不等式两端平方后有214(1)2n n >+
，它对一切自然数n 成立。

联系数列的单调性，由此又推得数列1{(1)}n n +是有界的。

于是由单调有界定理知道极限1lim(1)n n n
→∞+是存在的。

3．证明：1lim(1)x x e x
→∞+=。

证明：所求证的极限等价于同时成立下述两个极限：
1lim (1)x x e x →+∞+= （1） 1lim (1)x x e x →-∞+= （2）
现在先应用2中数列极限1lim(1)n n e n
→∞+=，证明（1）式成立。

设n≤x<n+1，则有1111111n x n +<+≤++及1111(1)(1)(1)1n x n n x n
++<+<++， （3） 作定义在[1，+)∞上的阶梯函数。

1()(1)1n f x n =++，n≤x<n+1，11()(1)n g x n
+=+，n≤x<n+1。

由（3）有f(x)<1(1)()x g x x +<，x ∈[1，)+∞。

由于11(1)11lim ()lim(1)lim 1111
n n x n n n f x e n n +→+∞→∞→∞++=+==+++
图（a ）
1111lim ()lim(1)lim(1)(1)n n x n n g x e n n n
+→+∞→∞→∞=+=++=，根据迫敛性定理便得（1）式。

现在证明（2）式。

为此作代换x=-y ，则111111(1)(1)(1)(1)(1)111
x y y y x y y y y --+=-=+=++--- 因为当x→-∞时，有y-1→+∞，故上式右端以e 为极限，这就证得1lim (1)x x e x
→-∞+=。

以后还常常用到e 的另一种极限形式10lim(1)a a a e →+= （4） 因为，令1a x
=，则x→∞和a→0是等价的，所以，101lim(1)lim(1)x a x a a x →∞→+=+。