应力状态分析

x y tan 2 2 xy
0
max, min
x y 2 xy 2 max min 2
2
38
2013-7-24
结论：(1)当倾角α转到 对应有 max 二者大小相等，均为

0
和 90 面时
0
max , min
x y
2
x y 2 xy 2
2
在二向应力状态下，三个主应力中有一个 为零，将这三个主应力按如下顺序排序：
σ1σ2 σ3
2013-7-24 36
max , min
x y
2
x y 2 xy 2
1
Mz Wz
3
x
z
2 3
T
Mx 4 Wp
Mz x4 Wz
2
Mx 3 Wp
17
由 Fsy 产生的切 应力忽略。
2013-7-24
在单元体内的各个面上，切应力为零的平 面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。 一般来说，通过受力构件的任意点皆可以找 到三个互相垂直的主平面，因此每个点都有三个 主应力，分别用 1 , 2 , 3 表示，并按其代数值 排序。

0 .6
3

60MPa
01 15.5



02 15.5 90 105.5
（3）主应力单元体：
01
1
2013-7-24
44
三、平面应力状态分析——图解法

图解法即用一个平面图形——应力圆将一点 的应力状态完整的图示。应力圆又称莫尔圆 （Mohr.O，1835-1918，德国）。 方法是将α 作为参数，建立σα与τα的函数关系。
z
二向（平面）应力状态
z
zx
x
x
2013-7-24
xz
zy yz
yx
y
y
x
y
23
xy
xy yx
（三）应力状态的分类
单向应力状态 纯剪切状态
yx
x
xy
2013-7-24
24
单元体上应力分量的记法
第一个下标（左边）指作用
面的外法线方向，第二个下
y
y
2 sin 2 xy cos2
60 40 sin( 60 ) 30 cos( 60 ) 2
58.3MPa
2013-7-24
42
40
（2）主应力、主平面
max
x y
2
(
x y
2
30MPa
) 2 2 xy

60MPa
68.3MPa
2013-7-24
31
参加平衡的量 ——应力乘以其作用的面积
dAcos
F
e
t
0
n

x xy
yx
dA

f

dA x (dA cos )sin
xy (dA cos )cos
y
t
dAsin
yx (dA sin )sin y (dAsin )cos 0
问题——已知单元体各 y
面上的应力，求垂直于
xy 平面的任意斜截面ef
yx
上的应力。
x
e f
xy
x
y
2013-7-24 29
方法——利用截面法及单元体局部的平衡方程 平衡对象——用ef 斜截面截取的单元体局部 y
yx
x
e

xy
x
f
x xy
e


y
yx
dA

②其强度校核是否仍然按 弯、扭强度分别计算? ③危险截面是否还是横截 面？
2013-7-24 8
FP
（一）为什么要研究应力状态？
应力如何叠加 一点处的应 力状态理论 强度理论
两个问题
失效准则的建立 分析一点处的应力状态， （1）可以解释实验中的破坏现象；
（2）可以预测复杂受力情况下构件何时失效，从
d 0 d
x y x y cos 2 xy sin 2 2 2
令
0
结论：（1）正应力取极值的平面上，τ＝0，该极 值平面是主平面；（2）主平面上的主应力是极值 正应力。 有两个解：
2013-7-24 35
0
0 90
0
二向应力状态下的主应力极值
标指应力作用方向。
由切应力互等定理，有：
yz yx xy zy
z
x
xy yx yz zy
zx xz x
O
z
xz zx
2013-7-24 25
单元体上应力的正负号规定
（1）正应力——拉为正、压为负
x
x
2013-7-24
26
单元体上应力的正负号规定
2013-7-24
21
应力状态的分类:
1、单向应力状态：三个主应力中，仅一个不为零的应力状态
1
状态；


2、二向（平面）应力状态：三个主应力中，两个不为零的应力

3
3
3、三向（空间）应力状态：三个主应力均不为零的应力状态；
复杂应力状态
2013-7-24 22
（三）应力状态的分类
三向（空间）应力状态
2013-7-24
32

解得
x y
2

x y
2
cos2 xy sin 2

x y

2
sin 2 xy cos2
用 斜截面截取，此截面上的应力为
2
x y x y cos 2 xy sin 2 2 2 x y sin 2 xy cos 2 2
而建立相应的失效准则。
2013-7-24 9
（二）应力状态的描述
一点——构件中的无穷小实
体，称为微元或单元体
（Element） dx，dy, dz 0
单元体的特点
①根据材料的均匀连续性假设，单元体各微面上的 应力均匀分布， ②相互平行的两侧面上应力大小相等、方向相反； ③互相垂直的两侧面上切应力互等。
y
2 1
3
x
主应力：主平面上的正应力。
主方向：主平面的外法线方向。 主应力是反映应力状态本质内 涵的特征量。根据主应力的大
z
小与方向可以确定材料何时失
效，以及失效的形式。
2013-7-24 20
一点的应力状态
过一点的不同方向面上应力的集合。应力分析就 是研究过一点的不同方位面上应力的变化规律。
应力状态分析
主要内容
应力状态的概念
平面应力状态分析——解析法
平面应力状态分析——图解法
三向应力状态
广义胡克定律 复杂应力状态的应变能密度
2013-7-24 2
一、应力状态的概念
（一）为什么要研究应力状态？
低碳钢构件拉伸时：横截面上存在应力，斜截面上 也存在应力。 铸铁构件压缩实验：构件破坏并不都发生在横截面 因此，既要研究横截面上的应力，也要研究斜截面 上的应力。 弯曲和扭转时：横截面上的应力呈线性分布。强度 校核时必须研究其危险点处的应力
2
)
2
2 xy
以应力 , 为变量的圆的方程，称为应力圆
2013-7-24 46
2、应力圆画法一 (
x y
2
) (
2 2
x y
Fs
横截面上正应力分析和切应力分析 的结果表明：同一面上不同点的应力 各不相同，此即 应力的点的概念 。
2013-7-24 6
应 力
指明
哪一个面上？ 哪一点？
哪一点？ 哪个方向面？
过一点不同方向面上应力的集合， 称之为这一点的应力状态
2013-7-24
7
（一）为什么要研究应力状态？
问题——①如果杆件同时 受弯曲和扭转组合变形， 其任意斜截面上的应力如 何求？
max min 方向相反
2
min
(2）切应力极值所在平面与主 平面成45度角，即：



τmax
45°
0 45
0
τmin
max
2013-7-24
39
用应力状态理论解释下列现象：
（1）韧性材料（如低碳钢）构件拉伸时，其表面出现与轴线
成45°左右的滑移线 （2）铸铁构件扭转时，沿45°螺旋面断裂
min
x y
2
(
x y
2
) 2 2 xy
48.3MPa
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
2013-7-24 43
40
主平面的方位：
tan 2 0 2 xy
30MPa
60 60 40
x y
2013-7-24 10
单元体的取法
围绕一点所作的单元体可以有无数个，一般选取 三对面上应力容易确定的面构成单元体，这样由
静力平衡条件即可确定任意方向面上的应力。

A

A


2013-7-24
11
示例一 F
S平面
F
1
1
1
F A
2013-7-24
12
示例二：
FP
S平面
l/2
2
主平面方位角的确定
如果 x
如果 x
y
σmin
则角度α0 对应σmax 的方向；
y
x
则角度α0 对应σmin的方向。
σmax 作用面总是在τ共同指向的象限内
2013-7-24 37
σmax
3. 切应力极值——主切应力
主切平面——切应力取极值的面
主切应力——主切平面上的切应力
令 得
d 0 d
l/2
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13
5 4
FP 2
S平面
FP l Mz 4
5 4 3 2
1
3
2 1
Mz x1 Wz
2
3
x2
2
1
2
3
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14
示例三
l
S
FP
a
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15
S平面
y
1 4
z
2 3
x
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16
y
1
Fs
y
Mx 1 Wp
1 4
Mz
x

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45
1、应力圆方程
由
x y sin 2 xy cos 2 2
x y x y cos 2 xy sin 2 2 2
消去正弦和余弦函数项，得：
(
x y
2
) (
2 2
x y
f
y
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30
参加平衡的量 ——应力乘以其作用的面积
dAcos
x xy
e
n

F
n
0
yx
dA

f

dA x (dA cos )cos
xy (dA cos )sin
yx (dAsin )cos
y
t
dAsin
y (dA sin )sin 0
（2）切应力 切应力使单元体或其局部顺时针
方向转动为正；反之为负

xy
yx
2013-7-24 27
yx
xy
单元体上应力的正负号规定
（3）方向角α 由x轴正向逆时针转到斜截 t y

面法线n正向者为正；
反之为负。
n x
2013-7-24
28
二、平面应力状态分析——解析法
1、平面应力状态斜截面上的应力
2013-7-24
18
主单元体
围绕一点所作的多个单元体
y
2 1 3
x
中，总存在一个特殊的单元
体，其三个相互垂直的面上 都无切应力，只有正应力， 这个单元体即为主单元体。 用主单元体表示一点的应力 状态更为明确、简单。
z
2013-7-24
19
主平面、主应力、主方向
主平面：单元体上τ＝0的平面
2013-7-24 33


因此

x y

x



即单元体两个相互垂直面上的 正应力之和是一个常数。两个 垂直面上的切应力互等。
yx
xy
y
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34
2、正应力极值——主应力
由
x y sin 2 xy cos 2 2
2013-7-24
40
【例1】一点处的平面应力状态如图所示。已知： 30 , x 60MPa, y 40MPa, xy 30MPa. 求：（1） 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
40
30MPa

60MPa
2013-7-24
41
40
【解】（1） 斜面上的应力
30MPa
x y

2 2 60 40 60 40 60MPa cos( 60 ) 30 sin( 60 ) 2 2

x y
cos2 xy sin 2
9.02 MPa
x y
2013-7-24 3
轴向拉压
F


F A
同一横截面上各点应力相等：
F

同一点在斜截面上时： s2
sin 2 2
2013-7-24 4
此例表明：即使同一点在不同方位截
面上，它的应力也是各不相同的，此
即应力的面的概念。
2013-7-24
5
FN
Mz