题型最全的递推数列求通项公式的习题[1]

高考递推数列题型分类归纳解析
各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。

特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决
数列难题的瓶颈。

我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。

类型1
)
(1
n f a a n
n
解法：把原递推公式转化为)(1
n f a a n
n ，利用累加法(逐差相加法)求解。

例1. 已知数列
n
a 满足2
11a ，n
n
a a n
n
2
1
1，求n a 。

变式:已知数列1}{1a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K
,
a 2k+1=a 2k +3k
, 其中k=1,2,3,…….
（I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式. 类型2
n
n
a n f a )(1
解法：把原递推公式转化为
)(1
n f a a n n ，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例1:已知数列n
a 满足321a ，n n
a n n
a 1
1
，求n a 。

例2:已知31
a ，n
n
a n
n
a 23131
)1(n
，求n a 。

变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{a n }，满足a 1=1，1
3
21)1(32n
n
a n
a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项1___
n
a 12
n n
类型3
q pa
a n
n
1
（其中p ，q 均为常数，)0)
1((p
pq ）。

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：
)(1
t a p t
a n
n
，其中p
q t
1
，再利用换元法转化为等比数列求解。

例:已知数列
n
a 中，11
a ，321
n n
a a ，求n a .
变式:（2006，重庆,文,14）在数列
n
a 中，若11
1,23(1)n
n
a a a n
，则该数列的通项n a _______________
变式:（2006.福建.理22.本小题满分14分）已知数列
n
a 满足*
1
1
1,21().
n
n
a a a n N （I ）求数列
n
a 的通项公式；
（II ）若数列{b n }滿足1
2
1
1
1
*
4
4
4
(1)
(),n n
b b
b b
n
a n
N 证明：数列{b n }是等差数列；
（Ⅲ）证明：
*
122
3
1
1...
().
2
3
2
n n
a a a n n
n N a a a 类型4
n
n
n
q pa
a 1
（其中p ，q 均为常数，)0)
1)(1((q p
pq ）。

（或1
n
n
n
a p a r q ,其中p ，q, r 均为常数）。

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1
n q
，得：
q
q
a q
p q
a n
n n
n 11
1引入辅助数列
n
b （其中n
n n
q
a b ），得：q
b q
p
b n
n
11
再待定
系数法解决。

例:已知数列
n
a 中，6
51
a ,1
1
)
2
1(
3
1
n n n
a a ，求n a 。

变式:（2006，全国I,理22,本小题满分12分）设数列
n
a 的前n 项的和1
41
22
3
3
3
n n
n
S a
，1,2,3,
n
（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2
n
n
n
T S ，1,2,3,
n
，证明：
1
32
n
i
i T
类型5递推公式为n
n n
qa
pa
a 1
2
（其中p ，q 均为常数）。

解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为
)
(1
12n n
n n
sa a t sa
a 其中s ，t 满足
q st
p
t s 解法二(特征根法)：对于由递推公式n
n n
qa
pa
a 1
2
，2
1
,a a 给出的数列
n
a ，方程02
q
px x
，叫做数列
n
a 的特征方程。

若21,x x 是特征方程的两个根，当
21
x x 时，数列n a 的通项为1
2
1
1
n n
n
Bx
Ax a ，其中A ，B 由2
1,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1n
，代入1
2
1
1
n n n
Bx
Ax
a ，得到关于A 、B 的方程组）；当21
x x 时，数列n a 的通项为1
1
)(n
n
x Bn A
a ，其中A ，B 由2
1
,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1n ，代入1
1
)(n
n x Bn A
a ，得到关于A 、B 的方程组）。

解法一（待定系数——迭加法）:
数列n a ：),0(02531
2
N n
n
a a a n
n
n ，
b a a a 2
1,，求数列
n a 的通项公式。

例:已知数列n
a 中，11a ,22a ,n n
n
a a a 3
1
3
2
1
2
，求n a 。

变式:1.已知数列
n a 满足*
1
22
1
1,3,32().
n
n
n a a a a a n
N
（I ）证明：数列1
n
n
a a 是等比数列；（II ）求数列
n
a 的通项公式；
（III ）若数列
n
b 满足1
2
1
1
1
*
4
4
...4
(1)
(),n
n
b b b b n a n N 证明n
b 是等差数列
2.已知数列
n
a 中，11a ,22a ,n n
n
a a a 3
1
3
2
1
2
，求n
a 3.已知数列
n a 中，n S 是其前n 项和，并且1
1
42(1,2,
),1n
n
S a n a ，
⑴设数列),
2,1(21
n
a a
b n n
n
，求证：数列
n
b 是等比数列；
⑵设数列),2,1(,2
n a c n
n n
，求证：数列
n c 是等差数列；⑶求数列n a 的通项公式及前n 项和。

类型6递推公式为n S 与n a 的关系式。

(或()n n S f a )解法：这种类型一般利用
)
2()1(1
1n
S S n S a n
n
n
与)()(1
1
n
n n
n n
a f a f S S a 消去n
S )2(n
或与)(1
n
n n S S f S )2(n
消
去n a 进行求解。

例：已知数列n
a 前n 项和2
2
14
n
n
n
a S .
（1）求1
n
a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a .
（2）应用类型4（n
n
n q pa
a 1（其中p ，q 均为常数，)0)
1)(1((q p
pq ））的方法，上式两边同乘以
1
2
n 得：2
22
1
1
n n
n
n a a 由12
1
4
1
2
1
1
1
1
a a S a .于是数列
n
n
a 2是以2为首项，2为公差的等差数列，所以
n
n a n n
2)
1(2221
2
n
n
n a 变式:（2006，陕西,理,20本小题满分12分)
已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2
+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n
变式: (2005,江西,文,22．本小题满分
14分）
已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n －S n －2=3,2
3,1),3()
21(2
1
1
S S n
n
且求数列{a n }的通项公式.
类型7 b an
pa
a n
n
1)
001(，ａ
、p
解法：这种类型一般利用
待定系数法
构造等比数列，即令
)()
1(1
y xn
a p y
n
x a n
n
，与已知递推式比较，解出y x,,从而转化为
y xn
a n
是公比为
p 的等比数列。

例:设数列n a ：)2(,123,41
1
n
n a a a n
n ，求n a .
变式:（2006，山东,文,22,本小题满分14分）已知数列｛n a ｝中，11
122
n
n a n a a 、点（、）在直线y=x 上，其中n=1,2,3…
(Ⅰ)令是等比数列；求证数列
n n
n
n
b a a b ,31
(Ⅱ)求数列的通项；
n a (Ⅲ)设分别为数列、n n T S 、n a n b 的前n 项和,是否存在实数，使得数列
n
n
S T n 为等差数列？若存在试求出
不存在,则说明理由.
类型8 r n
n
pa
a 1
)
0,0(n a p 解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为q pa
a n
n
1
，再利用待定系数法求解。

例：已知数列｛
n a ｝中，2
1
1
1
,1n n
a a
a a )0(a
，求数列.
的通项公式
n a 变式:（2005，江西,理,21．本小题满分12分）
已知数列:,}{且满足
的各项都是正数n a .
),4(2
1
,11
N n
a a a a n n n
（1）证明;
,21
N n
a a n
n
（2）求数列}{n a 的通项公式a n .
变式:（2006,山东,理,22,本小题满分14分）
已知a 1=2，点(a n ,a n+1)在函数f(x)=x 2
+2x 的图象上，其中=1，2，3，…（1）证明数列｛lg(1+a n )｝是等比数列；
（2）设T n =(1+a 1) (1+a 2) …(1+a n )，求T n 及数列｛a n ｝的通项；
记b n =
2
11n
n
a a ，求｛
b n ｝数列的前项和
S n ，并证明S n +
1
32n
T =1
类型9 )
()()(1
n h a n g a n f a n
n
n
解法：这种类型一般是等式
两边取倒数后换元转化为q pa
a n
n
1。

例：已知数列｛a n ｝满足：1,1
311
1
a a a a n
n
n
，求数列｛a n ｝的通项公式。

变式:（2006，江西,理,22,本大题满分14分）1.已知数列｛a n ｝满足：a 1＝32
，且a n ＝
n 1
n 13n a n
2n N 2a n 1
－－（，）
＋－（1）求数列｛a n ｝的通项公式；（2）
证明：对于一切正整数
n ，不等式a 1a 2……a n 2n ！
2、若数列的递推公式为
1
1
113,
2()n
n
a n a a ，则求这个数列的通项公式。

3、已知数列{n a }满足2,11
n a 时，n n
n n
a a a a 1
1
2，求通项公式。

4、已知数列｛a n ｝满足：1,1
31
1
1
a a a a n
n
n
，求数列｛a n ｝的通项公式。

5、若数列｛a n ｝中，a 1=1，a 1
n
=
2
2n
n a a n ∈N ，求通项a n ．
类型10
h
ra
q pa
a n
n
n
1
解法：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N n
，都有h
ra
q pa
a n
n
n
1
（其中p 、q 、r 、h 均为常数，且r
h a r qr ph
1
,0,），
那么，可作特征方程h
rx
q px x
,当特征方程有且仅有一根0x 时,则
1n
a x 是等差数列;当特征方程有两个相异的根
1x 、2x 时，则
12
n n
a x a x 是
等比数列。

例：已知数列}{n a 满足性质：对于
,3
24,N 1
n n
n
a a a n
且,31a 求}{n a 的通项公式.
例：已知数列}{n a 满足：对于
,N n
都有.
3
25131
n
n
n
a a a （1）若,51a 求;n a （2）若,31
a 求;n a （3）若,61a 求;n a （4）当1a 取哪些值时，无穷数列
}{n a 不存在？
变式:（2005，重庆,文,22,本小题满分12分）数列).1(05
21681}{1
1
1
n
a a a a a a n
n
n
n
n 且满足
记).
1(2
11n
a b n
n
（Ⅰ）求b 1、b 2、b 3、b 4的值；
（Ⅱ）求数列}{n b 的通项公式及数列
}{n n b a 的前n 项和.
n S 类型11 q pn
a a n
n
1
或n
n
n
pq
a a 1
解法：这种类型一般可转化为1
2n
a 与n a 2是等差或等比数列求解。

例：（I ）在数列}{n a 中，n n
a n
a a 6,11
1，求n
a （II ）在数列}{n a 中，n
n
n a a a 3,11
1，求n
a 类型12 归纳猜想法解法：数学归纳法
变式:（2006，全国II,理,22,本小题满分12分）
设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且方程x 2
－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1，2，3，…（Ⅰ）求a 1，a 2；（Ⅱ）｛a n ｝的通项公式类型13双数列型
解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。

例：已知数列
n
a 中，11a ；数列n
b 中，01
b 。

当2n
时，)2(311
1
n
n
n
b a a ,)2(3
11
1
n
n
n
b a b ，求n a ,n b .
类型14周期型解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。

例：若数列
n a 满足)
12
1(
,12)
2
10
(,21
n
n
n n n
a a a a a ，若7
61
a ，则20a 的值为___________。

变式:（2005，湖南,文，5）
已知数列}{n a 满足)(1
33,0*
1
1
N
n a a a a n
n
n
，则20a =
（）
A ．0
B ．
3
C ．
3
D ．
2
3。