两个平面平行的判定和性质

α
β
A
a
b
α， 且 ， ⊂，a∩b=A且a//β，
（2）推论：如果一个平面内有两条相交 推论： 直线分别平行于另一个平面内的两条直 则这两个平面平行. 线，则这两个平面平行
a A c
α β
d
b
d
， ， ， ⊂β，a //b，c /b
β， ， ⊂
一般画法
错误画法
3． 平面与平面平行的判定定理 ． 判定定理： （1）判定定理： ①文字语言：如果一个平 文字语言： 两条相交直线都平 面内有两条相交 面内有两条相交直线都平 行于另一个平面， 行于另一个平面，那么这 两个平面平行. 两个平面平行. ②图形语言： 图形语言： ③符号语言：a ⊂α，b 符号语言： ， b//β α//β. ⇒
A P
F E C
B
//平面 同理EF//平面ABC， 又因为DE∩EF=E， //平面 所以 平面DEF//平面ABC。 P
D E A C F
B
为夹在α 例2.已知a∥β , AB和DC为夹在α、β间的平 2.已知 行线段。 行线段。 求证： 求证： AB＝DC. 证明： 连接AD、BC 证明： ∵AB//DC ∴ AB和DC确定平面AC
AB DG = BC GC
DG DE = GC EF
所以
AB DE = BC EF
例1. 已知三棱锥P－ABC中，D，E，F，分 的中点， 别是PA，PB，PC的中点， 求证： //平面 求证：平面DEF//平面ABC。 证明： 证明：在△PAB中，因为D， 的中点， E分别是PA，PB的中点， D 所以DE//AB， 又知DE ⊄ 平面ABC， //平面 因此DE//平面ABC，
// // 证明： 证明： AB = DC = D ' C ' ∵ ∴ ABC ' D '是平行四边形
D' B'
C'
∴ BC '// AD '
A'
又 ∵ BC ' ⊄平面 AB ' D ' AD ' ⊂平面 AB ' D ' ∴ BC '// 平面 AB ' D ' 同理： 同理： C ' D // 平面 AB ' D '
A D
α
β B
C
与平面α 又因直线AD、BC分别是平面AC与平面α、 β的交线， 的交线， 是平行四边形. ∴AD//BC，四边形ABCD是平行四边形. ∴AB＝DC
A
D
α
β B
C
如图， 例3. 如图，在长方体 ABCD − A ' B ' C ' D ' 中， 求证： 求证：平面 C ' DB // 平面 AB ' D ' .
两个平面平行的判定 和性质
三. 平面与平面平行 平行平面：如果两个平面没有公共点， 1. 平行平面：如果两个平面没有公共点， 那么这两个平面叫做平行平面. 记作α//β α//β. 那么这两个平面叫做平行平面. 记作α//β. 两个平面的位置关系
两平面平行
两平面相交
2. 平行平面的画法：在画两个平面平行 平行平面的画法： 画法 时，通常把表示这两个平面的平行四边 形的相邻两边分别画成平行线 平行线. 形的相邻两边分别画成平行线.
AB DE 求证： 求证： = BC EF
证明： 证明：连接DC，设DC与 平面β 平面β相交于点G，则平面 与平面α ACD与平面α，β分别相交 于直线AD，BG，
与平面β 平面DCF与平面β，γ分别相交于直线 GE，CF， α//β，β//γ， 因为 α//β，β//γ，所以BG//AD， GE//CF， 于是得
3、平面与平面平行的性质定理: 平面与平面平行的性质定理: （1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任 如果两个平面平行， 意直线均平行于另一个平面. 意直线均平行于另一个平面. （2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那 如果两个平行平面同时和第三个平面相交， 么它们的交线平行. 么它们的交线平行. （3）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线 两条直线被三个平行平面所截， 段成比例. 段成比例.
平面与平面平行的性质定理: 4 平面与平面平行的性质定理: （1）如果两个平面平行，那么其中一个 如果两个平面平行， 平面内的任意直线均平行于另一个平面. 平面内的任意直线均平行于另一个平面. 若α//β，a ， α， ， ⊂ 则a//β.
（2）如果两个平行平面同时和第三个平 面相交，那么它们的交线平行. 面相交，那么它们的交线平行. α//β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a//b. ， ， ，
∵ BC '∩ C ' D = C '
D A B
C
∴平面C ' DB // 平面 AB ' D '
课堂小结： 课堂小结： 1、平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两 平行平面：如果两个平面没有公共点， 个平面叫做平行平面. 记作α//β. 个平面叫做平行平面. 记作α//β. α//β 2、平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面， 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面， 两条相交直线都平行于另一个平面 那么这两个平面平行. 那么这两个平面平行. 推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于 推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于 两条相交直线 另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行. 另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行.
（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那 如果两个平行平面同时和第三个平面相交， 么它们的交线平行. 么它们的交线平行.
证明: 证明:
∵ α // β
∴ α 与β
没有公共点
α
γ
a
∴ a 与b 也没有公共点
∵ a ⊂ γ ,b ⊂ γ
∴ a // b
β
b
（3）两条直线被三个平行平面所截，截 两条直线被三个平行平面所截， 得的对应线段成比例. 得的对应线段成比例. 已知：平面α//平面β//平面γ α//平面β//平面 已知：平面α//平面β//平面γ，两条直线l， 分别与平面α 平面β 平面γ m分别与平面α、平面β、平面γ相交于点A、 B、C和点D、E、F，